Curs Mecanica

46 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
Din moment ce rotat¸ia are loc în planul z1O ′ z2, matricea transformării este
⎛
cos ψ sin ψ 0
⎞
Aψ = ⎝ − sin ψ cos ψ 0 ⎠ (1.99)
0 0 1
¸si
¸si
z ′ = Aψz, (1.100)
i1 = cos ψi ′ 1 − sin ψi ′ 2,
i2 = sin ψi ′ 1 + cos ψi ′ 2, (1.101)
i3 = i ′ 3.
Viteza unghiulară, ωψ care corespunde acestei rotat¸ii infinitezimale în jurul axei
care-l cont¸ine pe i3 este dată de
ωψ = ˙ ψi3. (1.102)
II. A doua rotat¸ie este de unghi θ în sens invers acelor de ceasornic în jurul
axei z ′ 1 ¸si transformă (z ′ 1, z ′ 2, z ′ 3) în (z ′′
1 , z ′′
2 , z ′′
3 ) = (z ′ 1, z ′′
2 , y3). Pentru că rotat¸ia
are loc în planul z ′ 2O ′ z ′ 3, în jurul liniei nodurilor, matricea transformării este
¸si
¸si
⎛
Aθ = ⎝
1 0 0
0 cos θ sin θ
0 − sin θ cos θ
⎞
⎠ (1.103)
z ′′ = Aθz ′ , (1.104)
i ′ 1 = i ′′
1,
i ′ 2 = cos θi ′′
2 − sin θi ′′
3, (1.105)
i ′ 3 = sin θi ′′
2 + cos θi ′′
3.
Dcaă notăm prin n versorul liniei nodurilor, adică n = i ′ 1, atunci vectorul
vitezei unghiulare, ωθ corespunzător acestei rotat¸ii infinitezimale este dat de
ωθ = ˙ θn = ˙ θi ′ 1. (1.106)
III. A treia rotat¸ie este de unghi ϕ în sens invers acelor de ceasornic în jurul
axei z ′′
3 ¸si transformă sistemul (z ′′
1 , z ′′
2 , z ′′
3 ) în sistemul (y1, y2, y3). Pentru că
rotat¸ia are loc în planul z ′′
1 O ′ z ′′
2 , matricea transformării este
⎛
Aϕ = ⎝
cos ϕ sin ϕ 0
− sin ϕ cos ϕ 0
0 0 1
⎞
⎠ (1.107)