Curs Mecanica

1.1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL 21
Exercit¸iu 1.1.11 Punctul P descrie o curbă plană astfel încât accelerat¸ia sa
trece mereu printr-un punct fix O. Demonstrat¸i că
a = v dv
dρ ,
unde v = |v| ¸si a este componenta radială a accelerat¸iei.
Solut¸ie. Mi¸scarea unui punct P este centrală. Folosind sistemul polar de
coordonate cu polul în O, avem ρ2 ˙ θ = c, unde c este constanta ariilor. Astfel,
avem aθ = 1
d ρ2 ˙
θ h = 0 ¸si a = aρ = (¨ρ − ρ ˙ θ2 )r. Pe de altă parte, avem
ρ dt
v 2 = ˙ρ 2 + ρ 2 ˙ θ 2 ,
¸si deci, prin derivare directă în raport cu t, obt¸inem
Astfel, obt¸inem
2v dv
dt = 2 ˙ρ¨ρ + 2ρ ˙ρ ˙ θ 2 + 2ρ 2
θ˙ θ ¨ = 2 ˙ρ ¨ρ − ρ ˙ θ 2
+ 2ρ ˙
θ ρ¨ θ + 2 ˙ρ ˙
θ .
¸si deci relat¸ia cerută.
v dv
dt
= dρ
dt a,
1.1.7 Mi¸scări uniform variate ¸si periodice
Numim uniformă orice mi¸scare a cărui viteză este constanta în timp; o astfel de
definit¸ie nu depinde de traiectoria punctului. Prin urmare, notând cu v0 = ˙s(t)
această valoare constantă, ecuat¸ia orară devine
s(t) = v0t + s0, (1.46)
unde cei doi parametri s0 ¸si v0 reprezintă abscisa curbilinie init¸ială ¸si, respectiv,
viteza punctului P .
Să considerăm o mi¸scare care nu este în mod necesar rectilinie.
Definit¸ie 1.1.10 Mi¸scarea unui punct P se nume¸ste uniform variată dacă mărimea
accelerat¸iei tangent¸iale este constantă, adică, există o constantă a0 astfel ca
¨s(t) = a0.
Prin urmare, prin integrarea ultimei relat¸ii de două ori în raport cu timpul
t, obt¸inem următoarea ecuat¸ie orară pentru mi¸scarea uniform variată:
s(t) = 1
2 a0t 2 + v0t + s0, (1.47)
unde s0 ¸si v0 reprezintă abcisa curbilinie ¸si, respectiv viteza la momentul t = 0.
Este evident din (1.47) că ecuat¸ia orară pentru mi¸scarea uniform variată este
reprezentată grafic ca o parabolă care este concavă pentru a0 < 0, ¸si convexă