Curs Mecanica

1.2. CINEMATICA SISTEMELOR MATERIALE S¸I CORPURILOR RIGIDE63
¸si astfel, la momentul t = 2, avem v1 = 2i1 − 4i2 + 8i3 ¸si v2 = 8i1 + 12i2 − 3i3.
Astfel, viteza relativă a punctului P2 în raport cu P1 este v2 − v1 = 6i1 + 16i2 −
11i3.
Accelerat¸iile celor două puncte materiale sunt
a1 = ¨x1 = −2i2 + 6i3, a2 = ¨x2 = 10i1 + 6ti2,
astfel că, la momentul t = 2, avem a1 = −2i2 + 6i3, a2 = 10i1 + 12i2. Deci,
accelerat¸ia relativă cerută este a2 − a1 = 10i1 + 14i2 − 6i3.
Exercit¸iu 1.2.11 Un unghi invariant y1Oy2 se rote¸ste în planul său în jurul
punctului O cu viteza unghiulară ω. Un punct material P se mi¸scă în planul
acestui unghi ¸si are coordonatele y1 ¸si y2 în raport cu sistemul de referint¸ă plan
(O, y1, y2). 10 ) S˘ se determine componentele vitezei absolute a punctului P
în raport cu axele Oy1 ¸si Oy2; 2 0 ) Dacă y1Oy2 = π
2
absolute sunt C1
y1
¸si componentele vitezei
¸si C2
y2 , unde C1 ¸si C2 sunt constante arbitrare, să se arate că
y2 1 + y2 2 este o funct¸ie liniară în raport cu timpul; 30 ) Dacă y1Oy2 = π
2 ¸si ω este
o constantă, să se determine traiectoria punctului P atunci când accelerat¸iile
absolută ¸si relativă sunt egale.
Solut¸ie. 1 0 ) Fie j1 ¸si j2 versorii axelor Oy1 ¸si respectiv Oy2. Dacă introducem
notat¸ia α = y1Oy2 ¸si considerăm vectorul unitar u ortogonal versorului
j1 atunci avem
j2 = cos αj1 + sin αu
¸si astfel deducem
d
dt j1 = ωu,
d
u = −ωj1,
dt
Deoarece P − O = y1j1 + y2j2, rezultă că
¸si deci
va =
va = ˙y1j1 + ˙y2j2 + y1
d
dt j2 = ω(cos αu − sin αj1).
d
dt j1
d
+ y2
dt j2
˙y1 − ωy1 cot α − ωy2
j1 + ˙y2 + ωy2 cot α +
sin α
ωy1
j2.
sin α
2 0 ) Utilizând ipotezele problemei ¸si rezultatele de mai sus, deducem ecuat¸iile
care implică
Prin integrare, obt¸inem
˙y1 − ωy2 = C1
, ˙y2 + ωy1 = C2
,
y1
y1 ˙y1 + y2 ˙y2 = C1 + C2.
y 2 1 + y 2 2 = 2(C1 + C2)t + C, C = constant.
y2