Curs Mecanica

1.2. CINEMATICA SISTEMELOR MATERIALE S¸I CORPURILOR RIGIDE47
iar
¸si
y = Aϕz ′′ , (1.108)
i ′′
1 = cos ϕj1 − sin ϕj2,
i ′′
2 = sin ϕj1 + cos ϕj2, (1.109)
i ′′
3 = j3.
Pentru că rotat¸ia sistemului are loc în jurul axei j3, rezultă că viteza unghiulară
este dată de
ωϕ = ˙ϕj3. (1.110)
Prin compunerea celor trei rotat¸ii prezentate mai sus, deducem că transformarea
completă din sistemul zi în sistemul yi este dată de
¸si matricea de rotat¸ie A este
y = Aϕz ′′ = AϕAθz ′ = AϕAθAψz, (1.111)
A = AϕAθAψ. (1.112)
T¸ inând cont de relat¸iile (1.99), (1.103), (1.107) ¸si (1.112), deducem că această
matrice are următoarele componente
α11 = cos ϕ cos ψ − cos θ sin ψ sin ϕ,
α21 = − sin ϕ cos ψ − cos θ sin ψ cos ϕ,
α31 = sin θ sin ψ,
α12 = cos ϕ sin ψ + cos θ cos ψ sin ϕ,
α22 = − sin ϕ sin ψ + cos θ cos ψ cos ϕ,
α32 = − sin θ cos ψ,
α13 = sin ϕ sin θ, α23 = cos ϕ sin θ, α33 = cos θ. (1.113)
Pentru ceea ce urmează, este cel mai convenabil să exprimăm cele trei viteze
unghiulare în funct¸ie de sistemul ata¸sat corpului, adică în funct¸ie de versorii
bazei j1, j2, j3. Astfel, prin intermediul relat¸iilor (1.101), (1.102), (1.105),
(1.106), (1.109) ¸si (1.110), avem
ωψ = ˙ ψ (sin θ sin ϕj1 + sin θ cos ϕj2 + cos θj3) , (1.114)
ωθ = ˙ θ (cos ϕj1 − sin ϕj2) , (1.115)
ωϕ = ˙ϕj3. (1.116)
Exercit¸iu 1.2.6 În schema de rotat¸ie a lui Euler, găsit¸i relat¸iile dintre vectorii
unitari i1, i2, i3 ¸si j1, j2, j3.