Curs Mecanica

1.2. CINEMATICA SISTEMELOR MATERIALE S¸I CORPURILOR RIGIDE77
viteza relativă a centrului instantaneu, atunci avem
va(C) = vr(C). (1.196)
Deoarece vitezele va ¸si vr ar trebui să fie tangente curbelor bază ¸si ruletă, în C,
deducem din (1.196) că aceste două curbe sunt tangente. De aceea, în timpul
mi¸scării, ruleta se rostogole¸ste peste curba bază. În cele din urmă, pentru că
vτ (C) = 0, viteza de alunecare se anulează. Astfel, ruleta se rostogole¸ste fără
să alunece peste curba bază.
Observat¸ie 1.2.23 Baza ¸si ruleta sunt singurele curbe fixe în sistemele de
referint¸ă (O, x1, x2) ¸si respectiv (O ′ , y1, y2), care se rostogolesc fără să alunece
una pe alta. De fapt, dacă există alte două curbe care au acelea¸si proprietăt¸i,
viteza punctului care coincide cu punctul de contact din figura în mi¸scare fără
alunecare, se anulează. Totu¸si, din (1.190), doar centrul instantaneu are această
proprietate.
Exemplu 1.2.5 Considerăm un disc care se rostogole¸ste fără alunecare peste o
axa (Figura 1.29). Această mi¸scare poartă numele de cicloida, pentru că fiecare
punct descrie o cicloidă. Din Observat¸ia 1.2.23, pentru această mi¸scare, axa ¸si
discul vor fi baza ¸si respectiv ruleta. Astfel, la fiecare moment, centrul instantaneu
C va coincide cu punctul de contact dintre disc ¸si axa pe care discul se
mi¸scă. Să determinăm numărul gradelor de libertate ale acestui sistem. Notăm
prin x distant¸a dintre C ¸si O, ¸si prin θ unghiul pe care diametrul AA ′ al discului
îl formează cu vectorul (C − O ′ ). Evident, x ¸si θ determină pozit¸ia discului, dar
este u¸sor să observăm că impunerea condit¸iei de rostogolire fără alunecare duce
la o relat¸ie între x ¸si θ. Viteza punctului O ′ este dată de
vO ′ = ˙xi1. (1.197)
În plus, ¸stiind că discul se află într-o stare de mi¸scare de rotat¸ie în jurul lui C,
putem obt¸ine următoarea expresie pentru vO ′
vO ′ = ω × (O′ − C), (1.198)
unde ω este acela¸si vector care apare în formula fundamentală
vP = vO ′ + ω × (P − O′ ).
Prin urmare, ω reprezintă viteza unghiulară a mi¸scării discului fat¸ă de sistemul
de referint¸ă cu originea O ′ ¸si axele paralele sau fixe fat¸ă de (x1, x2). În acest
caz, avem
ω = ˙ θi3. (1.199)
De aceea, comparând (1.197), (1.198) ¸si (1.199), obt¸inem
˙x = R ˙ θ, (1.200)