Curs Mecanica
Curs Mecanica
Curs Mecanica
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
50 CAPITOLUL 1. CINEMATICA<br />
Observat¸ie 1.2.6 Dacă mi¸scarea unui rigid este de rotat¸ie, atunci la fiecare<br />
moment corpul se află într-o stare cinetică de rotat¸ie. Reciproca acestei remarci<br />
nu este adevărată în general.<br />
Într-adevăr, mai târziu, vom arăta că o mi¸scare rigidă plană sau un corp<br />
rigid cu un punct fix la fiecare moment se află într-o stare cinetică de rotat¸ie,<br />
chiar dacă mi¸scarea nu este în general de rotat¸ie.<br />
Definit¸ie 1.2.15 Numim stare de mi¸scare de roto–translat¸ie sau stare cinetică<br />
de roto–translat¸ie sau stare elicoidală la momentul t următoarea distribut¸ie a<br />
vitezelor pentru un corp rigid:<br />
vP (t) = vO ′(t) + ω(t) × (P − O′ ), (1.122)<br />
unde O ′ este un punctcare are viteza vO ′ paralelă cu ω.<br />
Prin urmare, distribut¸ia vitezelor este aceea¸si ca în cazul mi¸scării de roto–<br />
translat¸ie.<br />
Dacă un corp rigid se rote¸ste în jurul unui punct fix O, atunci, la fiecare<br />
moment, este o linie L de puncte din corp sau dintr-o prelungire a sa care sunt<br />
instantaneu în repaus. Linia L poartă numele de axă instantanee de rotat¸ie a<br />
corpului. Se poate arăta că linia L trece prin O ¸si este paralelă cu ω. Rezultă că,<br />
în orice moment, mi¸scarea unui corp rigid cu un punct fix poate fi considerată<br />
o rotat¸ie în jurul unei linii care trece printr-un punct fix.<br />
Dacă rigidul nu are nici un punct fix, atunci în general nu există nici o linie<br />
de puncte care instantaneu să se afle în repaus, dar există o linie L de puncte<br />
care se mi¸scă instantaneu de-alungul liniei L, adică o linie L de-alungul cărei nu<br />
există mi¸scare perpendiculară pe L. Axa care trece prin O ′ ¸si care este paralelă<br />
cu ω poartă numele de axă instantanee de roto–translat¸ie. Punctele acestei linii<br />
au vitezele paralele cu viteza unghiulară ω, presupusă a fi nenulă. Rezultă că,<br />
în orice moment, mi¸scarea unui corp rigid, când nici un punct nu este fix, poate<br />
fi considerată instantaneu o mi¸scare elicoidală: translat¸ia de-alungul unei axe ¸si<br />
rotat¸ia în jurul ei.<br />
Exercit¸iu 1.2.9 Un con se rostogole¸ste fără să alunece pe o suprafat¸ă dură<br />
perfect orizontală. Găsit¸i axa instantanee de roto-translat¸ie a conului.<br />
Solut¸ie. Avem un corp rigid cu un punct fix. Alegem ca originile sistemului<br />
ata¸sat corpului ¸si a sistemului fix să coincidă, aceasta înseamnă O ≡ O ′ . Alegem<br />
sistemul fix astfel încât planul x1Ox2 să coincidă cu planul orizontal ¸si ca Ox3<br />
să corespundă cu direct¸ia verticală. Axa y1 ata¸ată corpului este aleasă astfel<br />
încât să fie axă de simetrie pentru con ¸si planul y2Oy3 să fie ortogonal cu Oy1.<br />
Apoi, folosind schema de rotat¸ie a lui Euler, obt¸inem ϕ = constant ¸si, mai mult,<br />
ψ = θ sin ϕ pentru că rostogolirea este fără alunecare. Astfel, viteza unghiulară<br />
pentru această mi¸scare este dată de ω = ˙ θ (sin ϕi3 + j1). Din moment ce avem<br />
j1 = cos ϕn − sin ϕi3, unde n este versorul liniei nodurilor, rezultă că ω =<br />
˙θ cos ϕn ¸si deci axa instantanee de rotat¸ie are ecuat¸ia P − O = λω, λ ∈ R, adică<br />
P −O = λ ˙ θ cos ϕn. Prin urmare, axa instantanee de rotat¸ie este linia de contact<br />
dintre con ¸si planu orizontal.
Change language