Curs Mecanica

More documents

Recommendations

Info

62 CAPITOLUL 1. CINEMATICA Observat¸ie 1.2.15 Deoarece accelerat¸ia de transport a punctului P este aceea pe care punctul P ar avea-o dacă ar fi considerat fix fat¸ă de sistemul mobil de referint¸ă, utilizând formula accelerat¸iei punctelor unui rigid, deducem că aτ este dată de (1.146) sau (1.149), adică aτ = aO ′ + y1 d2j1 + y2 dt2 d2j2 + y3 dt2 d2j3 . (1.173) dt2 Teoremă 1.2.6 (Compunerea accelerat¸iilor) Accelerat¸ia absolută a unui punct la fiecare moment este reprezentată de suma accelerat¸iilor relative, de transport ¸si accelerat¸ia Coriolis, adică aa(t) = ar(t) + aτ (t) + ac(t). (1.174) Demonstrat¸ie. Diferent¸iind expresia (1.169) în raport cu timpul, obt¸inem aa(t) = aO ′ + ÿ1j1 dj1 dj2 dj3 + ÿ2j2 + ÿ3j3 + 2 ˙y1 + ˙y2 + ˙y3 dt dt dt +y1 d2j1 + y2 dt2 d2j2 + y3 dt2 d2j3 . dt2 Din ultima ecuat¸ie, folosind expresiile (1.171), (1.173) ¸si formula lui Poison, obt¸inem aa(t) = ar + aτ + 2( ˙y1 ω × j1 + ˙y2ω × j2 + ˙y3ω × j3). (1.175) Prin urmare, folosind expresia (1.172) pentru accelerat¸ia Coriolis, din (1.175) obt¸inem relat¸ia (1.174) ¸si demonstrat¸a este completă. Observat¸ie 1.2.16 Într-un sistem neinert¸ial, viteza absolută este dată de expresia ¸si viteza absolută are forma va = vO ′ + ω × (P − O′ ) + vr aa = aO ′ + ˙ω × (P − O′ ) + 2ω × vr + ω × [ω × (P − O ′ )] + ar. Termenul ω×[ω × (P − O ′ )] este cunoscut ca accelerat¸ia centripetă a punctului. Exercit¸iu 1.2.10 Două puncte materiale P1 ¸si P2 au urnătorii vectori de pozit¸ie: x1 = 2ti1 − t 2 i2 + (3t 2 − 4t)i3 ¸si respectiv x2 = (5t 2 − 12t + 4)i1 + t 3 i2 − 3ti3, . Determinat¸i viteza ¸si accelerat¸ia relativă al celui de al doilea punct în raport cu primul la momentul t = 2. Solut¸ie. Vitezele celor două puncte materiale sunt v1 = ˙x1 = 2i1 − 2ti2 + (6t − 4)i3, v2 = ˙x2 = (10t − 12)i1 + 3t 2 i2 − 3i3,
1.2. CINEMATICA SISTEMELOR MATERIALE S¸I CORPURILOR RIGIDE63 ¸si astfel, la momentul t = 2, avem v1 = 2i1 − 4i2 + 8i3 ¸si v2 = 8i1 + 12i2 − 3i3. Astfel, viteza relativă a punctului P2 în raport cu P1 este v2 − v1 = 6i1 + 16i2 − 11i3. Accelerat¸iile celor două puncte materiale sunt a1 = ¨x1 = −2i2 + 6i3, a2 = ¨x2 = 10i1 + 6ti2, astfel că, la momentul t = 2, avem a1 = −2i2 + 6i3, a2 = 10i1 + 12i2. Deci, accelerat¸ia relativă cerută este a2 − a1 = 10i1 + 14i2 − 6i3. Exercit¸iu 1.2.11 Un unghi invariant y1Oy2 se rote¸ste în planul său în jurul punctului O cu viteza unghiulară ω. Un punct material P se mi¸scă în planul acestui unghi ¸si are coordonatele y1 ¸si y2 în raport cu sistemul de referint¸ă plan (O, y1, y2). 10 ) S˘ se determine componentele vitezei absolute a punctului P în raport cu axele Oy1 ¸si Oy2; 2 0 ) Dacă y1Oy2 = π 2 absolute sunt C1 y1 ¸si componentele vitezei ¸si C2 y2 , unde C1 ¸si C2 sunt constante arbitrare, să se arate că y2 1 + y2 2 este o funct¸ie liniară în raport cu timpul; 30 ) Dacă y1Oy2 = π 2 ¸si ω este o constantă, să se determine traiectoria punctului P atunci când accelerat¸iile absolută ¸si relativă sunt egale. Solut¸ie. 1 0 ) Fie j1 ¸si j2 versorii axelor Oy1 ¸si respectiv Oy2. Dacă introducem notat¸ia α = y1Oy2 ¸si considerăm vectorul unitar u ortogonal versorului j1 atunci avem j2 = cos αj1 + sin αu ¸si astfel deducem d dt j1 = ωu, d u = −ωj1, dt Deoarece P − O = y1j1 + y2j2, rezultă că ¸si deci va = va = ˙y1j1 + ˙y2j2 + y1 d dt j2 = ω(cos αu − sin αj1). d dt j1 d + y2 dt j2 ˙y1 − ωy1 cot α − ωy2 j1 + ˙y2 + ωy2 cot α + sin α ωy1 j2. sin α 2 0 ) Utilizând ipotezele problemei ¸si rezultatele de mai sus, deducem ecuat¸iile care implică Prin integrare, obt¸inem ˙y1 − ωy2 = C1 , ˙y2 + ωy1 = C2 , y1 y1 ˙y1 + y2 ˙y2 = C1 + C2. y 2 1 + y 2 2 = 2(C1 + C2)t + C, C = constant. y2
Page 1:
INTRODUCERE ÎN MECANICA CLASICĂ:
Page 4 and 5:
iv CUPRINS
Page 6 and 7:
2 CAPITOLUL 1. CINEMATICA Asociem E
Page 8 and 9:
4 CAPITOLUL 1. CINEMATICA x 1 i 3 O
Page 10 and 11:
6 CAPITOLUL 1. CINEMATICA x 1 O x 3
Page 12 and 13:
8 CAPITOLUL 1. CINEMATICA x 1 O x 3
Page 14 and 15:
10 CAPITOLUL 1. CINEMATICA P(s) t(s
Page 16 and 17: 12 CAPITOLUL 1. CINEMATICA Din rela
Page 18 and 19: 14 CAPITOLUL 1. CINEMATICA unghiula
Page 20 and 21: 16 CAPITOLUL 1. CINEMATICA din care
Page 22 and 23: 18 CAPITOLUL 1. CINEMATICA unde t
Page 24 and 25: 20 CAPITOLUL 1. CINEMATICA deci v
Page 26 and 27: 22 CAPITOLUL 1. CINEMATICA pentru a
Page 28 and 29: 24 CAPITOLUL 1. CINEMATICA unde ω
Page 30 and 31: 26 CAPITOLUL 1. CINEMATICA A O x P*
Page 32 and 33: 28 CAPITOLUL 1. CINEMATICA x 1 O θ
Page 34 and 35: 30 CAPITOLUL 1. CINEMATICA mi¸scă
Page 36 and 37: 32 CAPITOLUL 1. CINEMATICA O x 2 R(
Page 38 and 39: 34 CAPITOLUL 1. CINEMATICA cu const
Page 40 and 41: 36 CAPITOLUL 1. CINEMATICA atunci x
Page 42 and 43: 38 CAPITOLUL 1. CINEMATICA x 1 O x
Page 44 and 45: 40 CAPITOLUL 1. CINEMATICA În form
Page 46 and 47: 42 CAPITOLUL 1. CINEMATICA x 2 y 2
Page 48 and 49: 44 CAPITOLUL 1. CINEMATICA de coord
Page 50 and 51: 46 CAPITOLUL 1. CINEMATICA Din mome
Page 52 and 53: 48 CAPITOLUL 1. CINEMATICA Solut¸i
Page 54 and 55: 50 CAPITOLUL 1. CINEMATICA Observat
Page 56 and 57: 52 CAPITOLUL 1. CINEMATICA Mai mult
Page 58 and 59: 54 CAPITOLUL 1. CINEMATICA exista
Page 60 and 61: 56 CAPITOLUL 1. CINEMATICA care est
Page 62 and 63: 58 CAPITOLUL 1. CINEMATICA x 1 O 1
Page 68 and 69: 64 CAPITOLUL 1. CINEMATICA 3 0 ) Pe
Page 70 and 71: 66 CAPITOLUL 1. CINEMATICA y 2 O x
Page 72 and 73: 68 CAPITOLUL 1. CINEMATICA x ′ 1
Page 74 and 75: 70 CAPITOLUL 1. CINEMATICA x 1 π x
Page 76 and 77: 72 CAPITOLUL 1. CINEMATICA A O x 2
Page 78 and 79: 74 CAPITOLUL 1. CINEMATICA y 2 O x
Page 80 and 81: 76 CAPITOLUL 1. CINEMATICA B B O H
Page 82 and 83: 78 CAPITOLUL 1. CINEMATICA O x 2 x
Page 84 and 85: 80 CAPITOLUL 1. CINEMATICA y 3 x 1
Page 88 and 89: 84 BIBLIOGRAFIE [15] Graffi, D., El
Page 90 and 91: 86 BIBLIOGRAFIE [51] Slater, J. C.
Page 92 and 93: 88 GLOSAR Clausius-Duhem inequality
Page 94 and 95: 90 GLOSAR isochoric deformation, ??
Page 96 and 97: 92 GLOSAR rotational kinetic state,
show all

Curs Mecanica

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?