Curs Mecanica

1.2. CINEMATICA SISTEMELOR MATERIALE S¸I CORPURILOR RIGIDE57
Observat¸ie 1.2.12 Distribut¸ia accelerat¸iilor pentru un corp rigid poate fi exprimată
nu numai prin ecuat¸ia (1.146), ci ¸si printr-o relat¸ie de tipul (1.143),
adică
aP (t) = aO ′(t) + y1
d2j1 + y2
dt2 d2j2 + y3
dt2 d2j3 . (1.149)
dt2 Definit¸ie 1.2.17 Punctul Q ce apart¸ine rigidului în care accelerat¸ia se anulează
la momentul t poartă numele de pol al accelerat¸iei.
Teoremă 1.2.4 Dacă ω × ˙ω = 0, atunci există un singur pol Q al accelerat¸iei
dat de
Q−O ′ =
1
(ω × ˙ω) 2
2
ω × ˙ω+ω ω · aO ′
ω + ( ˙ω · aO ′) ˙ω + (ω · aO ′) ˙ω × ω .
(1.150)
Demonstrat¸ie. Să notăm prin Q polul accelerat¸iei, ceea ce înseamnă că
aQ(t) = 0, ¸si să considerăm ρ = Q−O ′ . Atunci, relat¸ia (1.146) oferă următoarea
ecuat¸ie pentru determinarea lui ρ = Q − O ′ :
˙ω × ρ + ω × (ω × ρ) = −aO ′. (1.151)
Demonstrăm faptul că această ecuat¸ie determină un unic ρ.
observăm că, având în ipoteză faptul că ω × ˙ω = 0, avem
În acest scop,
ω × ˙ω · (ω × ˙ω) = (ω × ˙ω) 2 > 0, (1.152)
¸si deci tripletul {ω, ˙ω, ω × ˙ω} constituie o bază în V . Astfel, putem descompune
ρ în baza {ω, ˙ω, ω × ˙ω} după cum urmează:
T¸ inând cont de (1.152), din (1.153), obt¸inem
λ1 =
λ2 =
λ3 =
În plus, prin intermediul relat¸iei (1.151), obt¸inem
ρ = λ1ω + λ2 ˙ω + λ3ω × ˙ω. (1.153)
1
2
(ω × ˙ω)
˙ω × (ω × ˙ω) · ρ,
1
2 (ω × ˙ω) × ω · ρ,
(ω × ˙ω)
1
2 ω × ˙ω · ρ.
(ω × ˙ω)
(1.154)
˙ω × (ω × ˙ω) · ρ = ω × ˙ω · aO ′ + ω2 (ω · aO ′) ,
(ω × ˙ω) × ω · ρ = ˙ω · aO ′,
ω × ˙ω · ρ = − ˙ω · aO ′. (1.155)
Dacă înlocuim relat¸ia (1.155) în (1.154) ¸si rezultatul în (1.153), atunci obt¸inem
relat¸ia (1.150) ¸si astfel demonstrat¸ia este completă.