Curs Mecanica

30 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
mi¸scări circulare. Să definim acum vectorul tangent t ¸si normala principală n.
Deoarece s = (R 2 + h 2 ) 1/2 θ, avem dθ
ds = (R2 + h 2 ) −1/2 . Mai mult, obt¸inem
t = dP dθ dθ
=
dθ ds
n = ρ dt dt
= ρ
ds dθ
ds (−R sin θi1 + R cos θi2 + hi3),
dθ dθ
= ρ
ds ds
2
R(− cos θi1 − sin θi2).
Deoarece n este un vector unitar, deducem din ultima relat¸ie că ρ =
dθ −2 1
ds R =
R 2 +h 2
R , ¸si în consecint¸ă avem n = − P ∗ −O
R . Astfel, normala principală la curbă
coincide cu normala la suprafat¸ă ¸si astfel elicile sunt geodezice ( 9 ) ale cilindrului.
Trebuie punctat faptul că o descriere generală a mi¸scării folosind coordonatele
curbilinii este prezentată în Appendix A.
Exercit¸iu 1.1.18 Mi¸scarea unui punct este dată de x = a cos e −t i1+a sin e −t i2+
be −t i3, unde a, b sunt constante pozitive. Să se determine componentele tangent¸ială
¸si normală ale accelarat¸iei punctului.
Solut¸ie. Avem o mi¸scare elicoidală. Prin derivare directă, avem dx =
−e −t (−a sin e −t i1 + a cos e −t i2 + bi3) dt, ¸si deci ds = e −t√ a 2 + b 2 dt. Mai mult,
avem
¸si
¸si
t = dx
ds =
1 −t √ a sin e i1 − a cos e
a2 + b2 −t
i2 − bi3 ,
dt
ds
Apoi, deducem că
dt dt a
= = −
dt ds a2 + b2 −t
cos e i1 + sin e −t
i2 .
v = ˙st = e −t a 2 + b 2 t,
at = ¨st = −e −t a2 + b2 2 dt
t, an = ˙s
ds = −ae−2th, unde h = cos e −t i1 + sin e −t i2.
1.2 Cinematica sistemelor materiale ¸si corpurilor
rigide
1.2.1 Legături ¸si sisteme olonome
Să considerăm un sistem material B de N puncte materiale, care sunt notate cu
P1, P2, . . ., PN. Dacă punctele sunt libere să ocupe pozit¸ii arbitrare din spat¸iu,
atunci sistemul material este numit liber. Configurat¸ia sistemului material liber
a N puncte dată într-un sistem de referint¸ă (O, x1, x2, x3) este cunoscută atunci
9 Reamintim că geodezica la o suprafat¸ă este acea curbă de pe suprafat¸ă a cărui normală
este direct¸ionată de-a lungul normalei la suprafat¸ă (a se vedea Appendix A, definit¸ia A.13).