Curs Mecanica

1.2. CINEMATICA SISTEMELOR MATERIALE S¸I CORPURILOR RIGIDE53
Pentru că A este o matrice ortogonală, avem că A −1 = A T . Astfel, rezolvând
ecuat¸ia (1.129) pentru y ¸si înlocuind rezultatul în (1.130), avem
˙x(t) = ˙c(t) + ˙A(t)A T (t) [x(t) − c(t)] , (1.131)
unde ˙AA T este o matrice antisimetrică. Pentru a vedea acest lucru, vom
diferent¸ia egalitatea AA T = 1, ¸si astfel avem
Pentru că A T · = ( ˙A T ), din (1.132) deducem
˙AA T + A A T · = 0. (1.132)
˙AA T = −A ˙A T
= − ˙AA T T .
În plus, pentru că matricea ˙AA T ω1i1 + ω2i2 + ω3i3 astfel încât
este antisimetrică, există un vector ω =
˙AA T ⎛
= ⎝ 0 −ω3
ω3 0
ω2
−ω1
⎞
⎠ . (1.133)
−ω2 ω1 0
În plus, considerând x−c = P −O ′ , ˙x = vP , ˙c = vO ′, din (1.131) concluzionăm
vP = vO ′ + ω × (P − O′ ). (1.134)
Observat¸ie 1.2.8 Din (1.128), rezultă că cea mai generală expresie pentru deplasarea
elementară arbitrară a unui rigid este dată de
1.2.7 Teorema lui Mozzi
dP = dO ′ + ωdt × (P − O ′ ).
Din formula fundamentală a sistemelor rigide (1.128), rezultă că starea de
mi¸scare a unui corp rigid poate fi totodeauna scrisă ca o sumă de stări de mi¸scare
de translat¸ie ¸si de rotat¸ie. Cu alte cuvinte, nu rezultă din această formulă că
starea de mi¸scare a unui rigid, cea mai generală este cea de roto–translat¸ie.
Această concluzie se bazează pe următoarea teoremă.
Teoremă 1.2.2 (Mozzi) La fiecare moment, cea mai generală stare de mi¸scare
pentru un sistem rigid, este cea de roto–translat¸ie sau elicoidală. În particular,
poate fi de translat¸ie sau rotat¸ie.
Demonstrat¸ie. Dacă avem ω = 0 în formula (1.128) atunci viteza vO ′
poate fi scrisă întotdeauna ca sumă a două componente: prima este aleasă să
fie paralelă cu ω ¸si este notată prin v
O ′(t), ¸si cea cealaltă este ortogonală cu ω
¸si o notăm cu v⊥ O ′(t). Reamintim că, dând doi vectori ortogonali v⊥ O ′(t) ¸si ω, va