Curs Mecanica

56 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
care este o stare de mi¸scare de rotat¸ie.
Dacă, din contra, ω = 0, atunci, din formula fundamentală a cinematicii
sistemelor rigide (1.128), imediat rezultă că aceasta corespunde unei starări de
mi¸scare de translat¸ie.
Observat¸ie 1.2.11 Amintim că formula fundamentală a cinematicii sistemelor
rigide (1.128) poate fi de asemenea scrisă sub forma (1.124), adică
dj1 dj2 dj3
vP (t) = vO ′(t) + y1 + y2 + y3 . (1.143)
dt dt dt
Dincolo de definit¸ia stării de mi¸scare ¸si, în consecint¸ă, dincolo de distribut¸ia
vitezelor unui corp rigid, este folositor să discutăm despre mult¸imea accelerat¸iilor
punctelor unui corp rigid. Pentru aceasta, vom diferent¸ia ecuat¸ia (1.128) în raport
cu timpul, pentru a obt¸ine
aP (t) = d2O ′ dω
+
dt2 dt × (P − O′ ) + ω × d(P − O′ )
. (1.144)
dt
Folosind încă o dată ecuat¸ia (1.128) scrisă în forma:
obt¸inem
d(P − O ′ )
dt
= ω × (P − O ′ ), (1.145)
aP (t) = d2O ′ dω
+
dt2 dt × (P − O′ ) + ω × [ω × (P − O ′ )] , (1.146)
unde primul termen reprezintă accelerat¸ia punctului O ′ , al doilea apare datorită
variat¸iei vectorului ω, iar al treilea termen poate fi exprimat sub următoarea
formă:
ω × [ω × (P − O ′ )] = ω × [ω × ((P − P ∗ ) + (P ∗ − O ′ ))] =
= ω × [ω × (P − P ∗ )] , (1.147)
unde P ∗ este proiect¸ia lui P pe axa care trece prin O ′ ¸si este paralel ω. Folosind
proprietatea dublului produs vectorial , din (1.147) obt¸inem
ω × [ω × (P − O ′ )] = [ω · (P − P ∗ )]ω − ω 2 (P − P ∗ ) =
= −ω 2 (P − P ∗ ). (1.148)
Din pricina acestui rat¸ionament, ultimul termen în (1.146) reprezintă accelerat¸ia
punctului P într-o mi¸scare uniformă de rotat¸ie în jurul axei care trece prin O ′
¸si este paralelă cu ω. În acest caz, obt¸inem
d2O ′
= 0,
dt2 dω
dt
= 0.