Curs Mecanica

24 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
unde ω = ˙ θk este numită viteză unghiulară.
Expresia (1.55) pentru viteza lui P în termenii vectorului ω poate fi de
asemenea scrisă folosind matricea antisimetrică W = (Whk) legată de vectorul
ω = (ω1, ω2, ω3) ¸si definită astfel
⎛
W = ⎝ 0 −ω3
⎞
ω2
ω3 0 −ω1 ⎠ .
−ω2 ω1 0
Este u¸sor de verificat ( 8 ) că , dacă x = (x1, x2, x3), atunci ω×(P −O) = Wx,
¸si deci
v = Wx.
Mai mult, deoarece
ˆs(t) = R ˆ θ(t) = R(ωt + θ0),
rezultă că funct¸ia ˆs este de asemenea periodică cu perioada T = 2πR , ¸si deci
v0
mi¸scarea este periodică cu aceea¸si perioada T .
În final, deoarece mi¸scarea este uniformă (¨s = 0), accelerat¸ia este centripetă
Ecuat¸iile carteziene a mi¸scării circulare sunt
a = v2 0
R n = −ω2 (P − O). (1.56)
x1 = R cos θ, x2 = R sin θ, θ = ˆ θ(t).
Dacă mi¸scarea este uniformă, atunci ˆ θ(t) = ωt + θ0, ¸si astfel
x1 = R cos(ωt + θ0), x2 = R sin(ωt + θ0).
Exercit¸iu 1.1.12 Mi¸scarea unui punct P este descrisă de x(t) = 3 cos ωti1 +
3 sin ωti2, unde ω este o constantă prescrisă. Să se demonstreze că mi¸scarea
este centrală. Calculat¸i x · v ¸si x × v.
Solut¸ie. Avem v = −3ω sin ωti1 + 3ω cos ωti2 and a = −3ω 2 cos ωti1 −
3ω 2 sin ωti2. Apoi, avem a = −ω 2 x ¸si deci mi¸scarea este centrală. Obt¸inem
x·v = −9ω sin ωt cos ωt+9ω sin ωt cos ωt = 0 ¸si x×v = (3 cos ωti1 +3 sin ωti2)×
(−3ω sin ωti1 + 3ω cos ωti2) = 9ωi3.
Exercit¸iu 1.1.13 Un punct P se mi¸scă pe un cerc a cărui rază este R cu
accelerat¸ia tangent¸ială constantă at. Punctul P porne¸ste din P0 la momentul
t = 0. Determinat¸i intervalul de timp în care accelerat¸ia centripetă an devine
egală cu accelerat¸ia tangent¸ială at.
Solut¸ie. Avem at = ¨s ¸si an = ˙s2
ρ
= ˙s2
R . Astfel, deducem că ˙s = att + c ¸si,
din condit¸ia init¸ială ˙s(0) = 0, obt¸inem ˙s = att. Avem an = at unde ˙s2
deci (att) 2
R
= Rat. Prin urmare, intervalul cerut este t = at .
8 A se vedea Teorema D.2 din Appendix D.
R = at ¸si