Curs Mecanica

34 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
cu constrangeri olonome bilaterale. Dacă sistemul este supus la r < 3N legături
bilaterale, definite de r ecuat¸ii independente de următorul tip:
ψh(x1, x2, . . . , xN, t) = 0, h = 1, 2, . . . , r, (1.69)
atunci există numai n = 3N − r parametri independent¸i, deoarecem folosind
sistemul (1.69), putem, pentru exemplu, exprima r coordonatele în termenii
a celor n = 3N − r rămase. Vorbind mai general, putem găsi n parametri
independent¸i q1, q2,. . . , qn care determină pozit¸ia oricărui punct al sistemul,
adică avem
Ps = Ps(q1, . . . , qn, t), s = 1, 2, . . . , N. (1.70)
Prin urmare, numărul n de grade de libertate a sistemului poate fi obt¸inut
scăzând numărul r al ecuat¸iilor legăturilor din 3N, care este numărul gradelor
de libertate ale unui sistem constituit din puncte libere.
Pentru un sistem material dat, este posibil să asociem n coordonate la-
grangiane q1, q2, . . . , qn într-un număr infinit de moduri.
Într-adevăr, orice
transformare χ : R n → R n care este injectivă ¸si suficient de regulată poate
determina un nou n–uplu de parametri lagrangiani.
Presupunem că, pe lângă legăturile bilaterale, un sistem olonom este de
asemenea supus la legături unilaterale de următoarea formă
ψ ′ (x1, x2, . . . , xN , t) ≥ 0. (1.71)
Este clar că, dacă luăm în calcul doar legături bilaterale, folosind argumentat¸ii
similare cu cele folosite mai sus, putem defini de asemenea, în acest caz, n coordonate
lagrangiane q1, q2, . . . , qn, ¸si în consecint¸ă obt¸inem ecuat¸iile (1.70).
Deoarece coordonatele punctelor sistemului trebuie să satisfacă inegalităt¸ile
(1.71), ace¸sti parametri lagrangiani vor satisface de asemenea inegalităt¸i de
următoarea formă:
ϕ (q1, q2, . . . , qn, t) ≥ 0. (1.72)
Este posibil să explicăm de ce aceste inegalităt¸i nu pot reduce numărul de
grade de libertate ¸si prin ramâne egal cu cea a sistemului care este supus numai
la legături olonome ¸si bilaterale. Spre exemplu, numărul de parametri
independent¸i pentru un punct de constrâns să se mi¸ste într-o camera numărul
gradelor de libertate rămâne egal cu trei, chiar dacă ace¸sti parametri sunt legat¸i
reciproc prin intermediul relatiilor de tipul (1.72), deoarece punctele nu pot
parăsi sala.
Definit¸ie 1.2.6 Un sistem material este numit neolonom dacă este supus la cel
put¸in o legătură neolonomă.
De¸si legăturile neolonome impun unele restrict¸ii cu privire la vitezele punctelor
din sistem, nu le interzice să aibă orice pozitie decât dacă este supusă unei
legături olonome, astfel legăturile neolonome nu reduc numărul de parametri
lagrangiani ai sistemului. Prin urmare, în studiul sistemelor neolonome, trebuie
mai întâi să considerăm sistemul material care este supus doar la legături