Curs Mecanica

36 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
atunci x1, x2 ¸si θ constituie coordonatele generalizate pentru lama subt¸ire ¸si, în
plus, avem
dx2
= tan θ. (1.74)
dx1
Legătura de mai sus este neolonomă, deoarece nu este integrabilă. De fapt, dacă
presupunem că există o relat¸ie de tipul F (x1, x2, θ) = 0, deducem că
∂F
∂x1
dx1 + ∂F
dx2 +
∂x2
∂F
dθ = 0, (1.75)
∂θ
¸si deci, luând în considerare legătura (1.74) ¸si deoarece dθ este arbitrar, obt¸inem
∂F
∂θ
= 0,
∂F
∂x1
+ ∂F
tan θ = 0. (1.76)
∂x2
Prima relat¸ie din (1.76) implică că F este independent de θ, în timp ce a doua
relat¸ie din (1.76) conduce la
∂F
= 0,
∂x1
∂F
= 0,
∂x2
deoarece tan θ este arbitrar. Astfel, putem concluziona că F este independent
de x1, x2 ¸si θ ¸si nu poate fi o legătură. Aceasta constradict¸ie provide din faptul
că am presupuns că (1.74) este o legătură olonomă. A¸sadar, legătura (1.74) este
neolonomă.
Exercit¸iu 1.2.2 Determinat¸i numărul gradelor de libertate pentru următoarele
cazuri: a) un punct care se mi¸scă pe o curbă din spat¸iu: b) trei punct care se
mi¸scă liber într-un plan: c) patru puncte care se mi¸scă liber în spat¸iu: d) două
puncte care se mi¸scă în spat¸iu, unite printr-o bară rigidă
Solut¸ie. a) Curba din spat¸iu poate fi dată de reprezentarea naturală x1 =
x1(s), x2 = x2(s), x3 = x3(s). Prin urmare, pozit¸ia punctului pe curbă poate fi
descrisă de parametrul specificats. Astfel, sistemul are un grad de libertate.
b) Fiecare punct cere două coordontate pentru a îi specifica pozit¸ia sa în
plan. Astfel, sunt necesare 3 · 2 = 6 coordonate pentru a specifica pozit¸ia
tuturor celor trei puncte ¸si astfel sistemul are 6 grade de libertate.
c) Pentru a specifica pozit¸ia unui punct material din sistemul considerat,
avem nevoie de trei coordonate. Astfel, sistemul necesită 4 · 3 = 12 coordonate
¸si deci are 12 grade de libertate.
d) Coordonatele (x1, x2, x3) ¸si (y1, y2, y3) ale celor două punct sunt în a¸sa fel
încât distant¸a dintre ele rămâne constantă, adică (x1 − y1) 2 + (x2 − y2) 2 + (x3 −
y3) 2 = constant. Prin urmare, una din cele ¸sase coordonate poate fi exprimată
în termenii celorlalte cinci ¸si deci sistemul are cinci grade de libertate.
Exercit¸iu 1.2.3 Câte grade de libertate are un corp rigid când: a) se mi¸scă
liber în spat¸iul tridimensional; b) are un punct fix ¸si se mi¸scă în jurul lui; c)
are două puncte fixe ¸si se mi¸scă în jurul axei ce trece prin aceste două puncte
distincte; d) se mi¸scă în jurul unei axe fixe; e) se mi¸scă în a¸sa fel încât trei
puncte necoliniare rămân într-un plan fix.