Curs Mecanica

68 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
x ′
1
n
y 3
ψ
y 1
O
ϕ
θ
′
′
x3
Figura 1.21:
x ′
2
Ca o aplicat¸ie la Teorema Compunerii Vitezelor Unghiulare, vom deduce
relat¸ia dintre viteza unghiulară ω a rigidului ¸si unghiurile lui Euler. Considerăm
un corp rigid liber ¸si expresia corespunzătoare a vitezei punctului P
y 2
n ′
′′ n
vP (t) = vO ′(t) + ω × (P − O′ ),
unde O ′ este un punct al rigidului pe care îl alegem drept origine pentru sistemele
de referint¸ă (O ′ , y1, y2, y3) ata¸sat corpului ¸si a unui nou sistem de referint¸ă
(O ′ , x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3) ale cărui axe sunt paralele sau invariabile fat¸ă de (O, x1, x2, x3)
fixat în spat¸iu. Să notăm prin θ, ϕ, ψ unghiurile lui Euler (ca în Figura 1.21).
Vom nota de asemenea prin n ′ o nouă axă, astfel încât (O ′ , n, n ′ , y3) este un
triplet ortogonal care respectă regula mâinii drepte ¸si prin n ′′ , o altă axă, astfel
încât (O ′ , n, n ′′ , x ′ 3) este de asemenea un triplet ortogonal care respectă regula
mâinii drepte. Dacă vom considera mi¸scarea corpului relativ la cele două triplete
(O ′ , x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3) ¸si (O ′ , n, n ′ , y3), din Teorema Compunerii Vitezelor Unghiulare
deducem
ω = ωr + ωτ ,
unde ω reprezintă vectorul rotat¸ie instantanee a mi¸scării corpului în raport
cu (O ′ , x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3). Mai mult, avem ωr = ˙ϕj3, pentru că, fat¸ă de tripletul
(O ′ , n, n ′ , y3), corpul se mi¸scă în jurul axei y3. În cele din urmă, ωτ este viteza
unghiulară a mi¸scării tripletului (O ′ , n, n ′ , y3) în raport cu (O ′ , x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3). De
aceea, considerând mi¸scarea lui (O ′ , n, n ′ , y3) ca fiind una rigidă, o putem studia
în raport cu cei doi observatori asociat¸i celor două sisteme de referint¸ă
(O ′ , n, n ′′ , x ′ 3) ¸si (O ′ , x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3). Astfel, obt¸inem
ωτ = ω ′ r + ω ′ τ ,
unde ω ′ r = ˙ θn (n este versorul liniei nodurilor) este viteza unghiulară a mi¸scării
lui (O ′ , n, n ′ , y3) relativ la (O ′ , n, n ′′ , x ′ 3), ¸si ω ′ τ = ˙ ψi3 este viteza unghiulară a