Curs Mecanica

1.2. CINEMATICA SISTEMELOR MATERIALE S¸I CORPURILOR RIGIDE37
Solut¸ie. Dacă trei puncte necoliniare Pi, i = 1, 2, 3, ale rigidului sunt fixate,
atunci întreg rigidul este fixat. Astfel, mi¸scarea corpului rigid va fi cunoscută
când cunoa¸stem cum se mi¸scă trei puncte necoliniare ae corpului rigid.
a) Într-un sistem fix de coordonate (O, x1, x2, x3), fie (x1, x2, x3), (y1, y2, y3),
(z1, z2, z3) coordonatele a trei puncte. Deoarece d(P1, P2) = constant, d(P2, P3) =
constant, d(P3, P1) = constant, rezultă că
(x1 − y1) 2 + (x2 − y2) 2 + (x3 − y3) 2 = constant,
(y1 − z1) 2 + (y2 − z2) 2 + (y3 − z3) 2 = constant, (1.77)
(z1 − x1) 2 + (z2 − x2) 2 + (z3 − x3) 2 = constant,
¸si deci putem exprima trei coordonate în termenii a celorlalte ¸sase. Prin urmare,
avem nevoie de ¸sase coordonate independente pentru a descrie mi¸scarea corpului
rigid ¸si deci această mi¸scarea are ¸sase grade libertate.
b) Presupunem punctul fix ca fiind P1 de la punctul anterior a) ¸si deci avem
x1 = a1, x2 = a2, x3 = a3. (1.78)
Astfel, din sistemul de ecuat¸ii descris de relat¸iile (1.77) ¸si (1.78), putem exprima
¸sase coordonate în termenii a altor trei. Prin urmare, mi¸scarea poate fi descrisă
prin trei parametri independent¸i ¸si are trei grade de libertate.
c) Presupunem că punctele fixe sunt P1 ¸si P2 de la punctul a), adică
x1 = a1, x2 = a2, x3 = a3, (1.79)
y1 = b1, y2 = b2, y3 = b3.
Atunci, din sistemul de ecuat¸ii descris de (1.77) ¸si (1.79) putem exprima opt
coordonate în termenii unei singure coordonate. Prin urmare, această mi¸scare
poate fi descrisă doar de un parametru ¸si deci are un grad de libertate.
0 d) Fie u versorul director al unei drepte fixe (d) ¸si fie P0 x1, x0 2, x0
3 un
punct fixat pe (d). Atunci dreapta fixă (d) are ecuat¸ia vectorială P − P0 = λu,
λ ∈ R. Luăm P1 ¸si P2 pe dreapta (d) ¸si P3 /∈ (d). Atunci, avem P1 − P0 = λ1u,
P2 − P0 = λ2u, cu λ1, λ2 ∈ R ¸si deci
x1 − x 0 1 = λ1u1, x2 − x 0 2 = λ1u2, x3 − x 0 3 = λ1u3,
y1 − x 0 1 = λ2u1, y2 − x 0 2 = λ2u2, y3 − x 0 3 = λ2u3. (1.80)
Prin urmare, din relat¸iile (1.77) ¸si (1.80), puteam exprima nouă coordonate în
termenii parametrilor λ1 ¸si λ2. Bazându-ne pe aceasta, putem concluziona că
această mi¸scare poate fi descrisă prin doi parametri independet¸i ¸si deci are două
grade de libertate.
e) Fie (π) : ax1 + bx2 + cx3 + d = 0 un plan fix. Presupunând că Pi ∈ (π),
i = 1, 2, 3, avem
ax1 + bx2 + cx3 + d = 0,
ay1 + by2 + cy3 + d = 0, (1.81)
az1 + bz2 + cz3 + d = 0.
Din relat¸iile (1.77) ¸si (1.81), putem exprima ¸sase coordonate în termenii altor
trei coordonate ¸si deci putem concluziona că mi¸scarea are trei grade de libertate.