Curs Mecanica

1.2. CINEMATICA SISTEMELOR MATERIALE S¸I CORPURILOR RIGIDE33
În domeniul mecanicii, legăturile neolonome nu sunt foarte frecvent întâlnite.
Aceste legături sunt de obicei exprimate prin relat¸ii care sunt liniare în raport cu
vitezele punctelor care formează sistemul. Pentru cazul unui sistem constituit
dintr-un num˘r finit N de puncte supuse unor legături bilaterale, aceste relat¸ii
au următoarea forma:
N
as(x1, . . . , xN , t) · ˙xs + α (x1, . . . , xN , t) = 0. (1.66)
s=1
De fapt, pentru a fi un sistem neolonom, forma diferent¸ială (1.66) trebuie să nu
fie integrabilă. Aceasta înseamna că nu există nicio funct¸ie ˆ F care depinde de
coordonatele punctelor sistemului material, astfel ca
d
dt ˆ F (x1, . . . , xN , t) =
N
as(x1, . . . , xN , t) · ˙xs + α (x1, . . . , xN , t) = 0. (1.67)
s=1
Într-adevăr, dacă o astfel de funct¸ie ar exista, din (1.67), putem obt¸ine
ˆF (x1, . . . , xN , t) = constant, (1.68)
care este o relat¸ie de tipul (1.65), ¸si care caracterizează o legătură olonomă.
Prin urmare, pentru a avea o legătură neolonomă, este esent¸ial ca relat¸ia (1.66)
să nu fie o formă diferentială integrabilă . În caz contrar, legătura olonomă s-ar
putea exprima ca relat¸ii reductibile la ecuat¸ia (1.68).
Definit¸ie 1.2.5 Un sistem material este numit olonom dacă posibilele sale
legături sunt toate olonome ¸si posibilele sale configurat¸ii pot fi identificate în
mod unic de un numă r finit n de parametri independent¸i, q1, q2,. . . , qn, numit¸i
coordonate generalizate sau coordonate lagrangiane. Numărul n este numit
numărul gradelor de libertate al sistemului, sau se spune că sistemul are n
grade de libertate.
Un punct material liber (adică, un punct a cărui mi¸scarea nu este supusă
la nicio legătură, ¸si în consecint¸ă la relat¸ii de tipul (1.63)) reprezintă un sistem
olonom cu trei grade de libertate. Un punct material fort¸at să se mi¸ste pe o
suprafat¸ă, adică este supus unei legături definite de o relat¸ie de următorul tip:
ϕ (x, y, z, t) = 0,
c reprezintă un sistem olonom cu două grade de libertate. Într-adevăr, pentru a
determina pozit¸ia unui punct pe o suprafat¸ă, ne trebuie doi parametri. În final,
un punct constrâns să se mi¸ste pe o curbă reprezintă un sistem olonom cu doar
un grad de libertate, deoarece un parametru este suficient pentru a identifica
pozit¸ia punctului pe o curbă dată.
Este posibil să prezentăm conceptul de grad de libertate ¸si numărul lor
pornind cu un sistem constituit dintr-un număr finit N de puncte materiale