Curs Mecanica

1.1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL 25
Exercit¸iu 1.1.14 Un punct se mi¸scă pe cercul de raza R după următoarea
ecuat¸ie orară s = v0t − c
2t2 , unde v0 ¸si c sunt constante. Să se determine
mărimea accelerat¸iei.
Solut¸ie. Avem ˙s = v0 − ct ¸si ¨s = −c, ¸si astfel obt¸inem
Deci, avem
a = ¨st + ˙s2
ρ n = −ct + (v0 − ct) 2
n.
R
a =
c2 + (v0 − ct) 4
R2 .
Exercit¸iu 1.1.15 Un punct se mi¸scă pe un cerc de rază R cu accelerat¸ia unghiulară
constantă α. La momentul t = 0, punctul porne¸ste din repaus. Să se
demonstreze că la momentul t viteza unghiulară este ω = αt ¸si că a parcurs
lungimea de arc s = 1
2 Rαt2 .
Solut¸ie. Deoarece ¨ θ = α, rezultă că θ = 1
2αt2 + θ1t + θ0, unde θ0, θ1 sunt
constante. Luând în considerare condit¸iile init¸iale, deducem că θ1 = 0 ¸si deci
θ − θ0 = 1
2αt2 . Apoi, avem ω = αt ¸si s = R[θ(t) − θ0] = 1
2Rαt2 .
1.1.9 Mi¸scări armonice
Începem cu studiul unei miscari circulare uniforme a unui punct P pe un cerc
de centru O ¸si rază R. Notăm cu P ∗ proiect¸ia lui P pe un diametru fixat
AB. Atunci, în timp ce P descrie cercul, P ∗ se mi¸scă pe diametrul AB după
următoarea lege (Figura 1.10):
x = R cos( ˙ θt + θ0),
unde x este componenta lui P −O de-a lungul diametrului AB, ¸si θ este unghiul
P OB. În final, θ0 este valoarea lui θ la t = 0. Deoarece mi¸scarea este uniformă,
˙θ = ω este constant ¸si avem
x = R cos(ωt + θ0), (1.57)
¨x = −Rω 2 cos(ωt + θ0). (1.58)
Definit¸ie 1.1.13 O mi¸scare rectilinie este numită oscilat¸ie armonică dacă ecuat¸ia
orară este dată de
s(t) = C cos(ωt + γ), (1.59)
unde constantele C, ω ¸si γ sunt numite amplitudine, pulsat¸ie (sau frecvent¸ă
unghiulară) ¸si fază.
Rezultă din (1.57) că mi¸scarea lui P ∗ de-a lungul diametrului AB este armonică.
În plus, din (1.57) ¸si (1.58), obt¸inem proprietatea importantă descrisă
de ecuat¸ia
¨s = −ω 2 s, (1.60)