Curs Mecanica

14 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
unghiulară (transversală). Deoarece vρ ¸si vθ sunt ortogonali, mărimea vitezei
este dată de formula
v = ˙ρ 2 + ρ2 ˙ θ2 .
Prin derivare directă a relat¸iei (1.32), obt¸inem următoarea expresie a accelerat¸iei
în coordonate polare:
a = dv
dt = ¨ρr+ ˙ρ ˙ θ dr
dθ + ˙ρ ˙ θh + ρ ¨ θh + ρ ˙ θ
Folosind relat¸iile (1.30) ¸si (1.31) în (1.33), deducem că
2 dh
. (1.33)
dθ
a = (¨ρ − ρ ˙ θ 2 )r + (ρ ¨ θ + 2 ˙ρ ˙ θ)h. (1.34)
Observat¸ie 1.1.2 Accelerat¸ia punctului P , exprimată în coordonate polare,
poate fi reprezentată ca suma a doi termeni: primul termen, aρ = (¨ρ−ρ ˙ θ2 )r, este
numit accelerat¸ie radială, ¸si cel de-al doilea termen, aθ = (ρ¨ θ+2 ˙ρ ˙ θ)h, este numit
accelerat¸ie unghiulară (sau transversală). Deoarece ρ¨ θ + 2 ˙ρ ˙ θ = 1
ρ (ρ2 ¨ θ + 2ρ ˙ρ ˙ θ),
putem de asemenea exprima aθ ca aθ = 1 d
ρ dt (ρ2 ˙ θ)h.
Exercit¸iu 1.1.6 Mi¸scarea unui punct este descrisă de x1 = e t cos t, x2 =
e t sin t, t ∈ R. Determinat¸i vectorii accelerat¸ie radială¸si transvesală ai punctului.
Solut¸ie. Trebuie să introducem sistemul de coordonate polare (ρ, θ), astfel
ca x1 = ρ cos θ, x2 = ρ sin θ. Luând în considerare ecuat¸ia de mi¸scare, deducem
că
ρ(t) = x2 1 + x22 = et , θ(t) = arctan x2
= t.
Mai mult, avem
¸si
x1
r = cos ti1 + sin ti2, h = − sin ti1 + cos ti2,
aρ = (¨ρ − ρ ˙ θ 2 )r = 0, aθ = 1 d
ρ dt
ρ 2
θ˙
h = 2e t h.
Exercit¸iu 1.1.7 Determinat¸i traiectoria punctului P care se mi¸scă într-un
plan cu mărimea vitezei constante, ¸si astfel încât mărimea vitezei radiale fat¸ă
de punctul O este de asemenea constantă.
Solut¸ie. Introducem coordonatele polare (ρ, θ) în planul considerat. Atunci,
viteza este dată de formula v = ˙ρr + ρ ˙ θh. Luând în considerare ipotezele
problemei, obt¸inem
˙ρ 2 + ρ 2 ˙ θ 2 = c1, ˙ρ = c2,
unde constantele c1 ¸sic2 îndeplinesc în mod evident c1 > c 2 2. Astfel, avem
ρ = c2t + ρ0, unde ρ0 = ρ(0) ¸si prin urmare, rezultă din ˙ρ 2 + ρ 2 ˙ θ 2 = c1 că