Curs Mecanica

44 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
de coordonate O ′ = (0, 0, c3). Este clar că, în acest caz, αhk sunt date de relat¸ia
(1.91), în timp ce ecuat¸iile de mi¸scare au următoarea formă:
x1(t) = cos ϕ(t) y1 − sin ϕ(t) y2,
x2(t) = sin ϕ(t) y1 + cos ϕ(t) y2, (1.95)
x3(t) = c3(t) + y3.
Astfel, deducem că proiect¸ia mi¸scării punctului P pe planul (x1, x2) este un
cerc. Din (1.95), avem
vP = ˙c3(t)i3 + ˙x1i1 + ˙x2i2. (1.96)
În cele din urmă, luând în considerarea expresia vitezei de rotat¸ie, obt¸inem
vP = ˙c3(t)i3 + ˙ϕi3 × (P − O ′ ) = v(O ′ ) + ω × (P − O ′ ). (1.97)
Din (1.97), deducem formula pentru deplasarea elementară relativă:
dP = dO ′ + dϕi3 × (P − O ′ ). (1.98)
Mi¸scarea de roto–translat¸ie se numne¸ste elicoidală dacă viteza v(O ′ ) din
expresia (1.97) este proport¸ională cu ω.
Exercit¸iu 1.2.5 Un rigid laminat în formă dreptunghiulară ABCD se mi¸scă
în plan în pozit¸ia A ′ B ′ C ′ D ′ , adică vârfurile A, B, C, D se deplasează în
vârfurile A ′ , B ′ , C ′ , D ′ , respectiv. Demonstrat¸i că mi¸scarea se poate scrie ca o
sumă a unor mi¸scări de translat¸ie ¸si de rotat¸ie în jurul unui punct corespunzător
al rigidului.
Solut¸ie. Fie E un punct în dreptunghiul ABCD care corespunde punctului
În primul rând se execută translat¸ia din punctul
E ′ din dreptunghiul A ′ B ′ C ′ D ′ .
E în punctul E ′ , astfel că dreptunghiul ABCD devine A1B1C1D1. Mai departe,
folosind pe E ′ ca punct de rotat¸ie, executăm rotat¸ia de unghi θ a dreptunghiului
A1B1C1D1, unde θ este unghiul dintre dreptele suport ale laturilor AB ¸si
respectiv A ′ B ′ . Astfel mi¸scarea este compusă dintr-o translat¸ie ¸si o rotat¸ie.
1.2.4 Unghiurile lui Euler
Presupunem că, pe lângă sistemul de referint¸ă (O ′ , y1, y2, y3) ata¸sat rigidului,
este dat un nou sistem de referint¸ă (O ′ , z1, z2, z3), cu originea în acela¸si punct O ′ ,
dar care are axele paralele cu axele x1, x2, x3 (Figura 1.16). Configurat¸ia corpu-
lui rigid se va defini din nou în funct¸ie de coordonatele lui O ′ ¸si de cosinusurile
directoare ale axelor y1, y2, y3 în funct¸ie de tripletul z1, z2, z3. În mod normal,
ace¸sti cosinu¸si directori coincid cu αhk. Astfel, matricea de rotat¸ie A = (αhk)
descrie complet orientarea relativă a celor două sisteme. Matricea de rotat¸ie
A cont¸ine trei unghiuri independente. Sunt multe posibilităt¸i de a alege aceste