caracterizarea bazata pe cunoastere a capacitatii de amortizare

1
CARACTERIZAREA BAZATA PE CUNOASTERE A CAPACITATII DE
AMORTIZARE A NANOCOMPOZITELOR DIN MATERIALE AUXETICE SI
NANOTUBURI DE CARBON
LUCRARE
Colectiv
Dr. mat. Ligia Munteanu – director de program cercetator stiintific grad 1
Dr. mat. Veturia Chiroiu – cercetator stiintific grad 1
Dr. ing. Dan Dumitriu – cercetator stiintific
Dr. mat. Miruna Beldiman – cercetator stiinctific
Dr. ing. Cristian Rugina – cercetator stiintific grad II
Drd. Ing. Cornel Secara – cercetator stiintific
Drd. Ing. Daniel Baldovin – cercetator stiintific
Drd. mat. Ana Maria Nitu – cercetator stiintific
Drd. mat. Valerica Mosnegutu – cercetator stiintific
Rezumat
Nanocompozitele cu materiale auxetice si nanotuburi de carbon sunt materiale noi, de mare
performanta in controlul vibratiilor si al zgomotului. Materialele auxetice admit un coeficient
Poisson negativ (metale cubice moleculare si spume) , si au un comportament bizar deoarece
expandeaza atunci cand sunt intinse. Nanotuburile de carbon au avantajul alunecarii la interfetele
nanotub-nanotub si nanotub-polimer, imbunatatind amortizarea structurala fara alterarea
proprietatilor mecanice sau a integritatii structurale. Caracterizarea nanocompozitelor este
esentiala pentru cercetatorii si producatorii de nanomaterial, in particular pentru IMM-uri, prin
punerea la dispozitie a unei cunoasteri avansate in caracterizarea nanomaterialelor.
Limitarile instrumentatiei si a metodelor existente (nanoindentarea) sunt : calculul modulului de
elasticitate si a duritatii se realizeaza numai pentru materiale izotrope si liniare, fara sa se obtina
informatii privind proprietatile elasto-vascoase si de amortizare.
Caracterizarea amortizarii este o problema deschisa fiind limitata de o intelegere incompleta a
proprietatilor la nanoscara. Metodele existente esueaza la acest nivel si nu pot prezice
amortizarea, deoarece nu sunt luate in consideratie fenomene precum energia discontinua de
legatura adeziva, histerezis, difuzie, fluaj, dislocatii, forfecarea atomica, curgere plastica,
relaxare, gradienti de temperatura.
Acest proiect este capabil sa depaseasca aceste limitari prin avansarea unei idei noi privind
nanoinstrumentatia si modelarea amortizarii la diferite scari metrice.
Proiectul este conceput pe 3 ani, cu accent pe: 1) Auxeticitate- ideie noua pentru nanocompozite;
2) Nanotuburi de carbon-materiale cu mare capacitate de amortizare; 3) Nanocompozite cu

2
incluziuni auxetice si nanotuburi de carbon; 4) Concept nou pentru testarea prin nanoindentare, 5)
Studii de caz: Nanocompozite, Nanopanouri acustice.
Scopul proiectului
Proiectul se focalizeaza pe:
(1) dezvoltarea unei teorii noi de caracterizare a amortizarii compozitelor nanostructurate si de
asemenea, a proprietatilor lor elastice si vascoelastice, bazate pe teorii nelocale si teoria
solitonilor. Aceasta teorie va sta la baza dezvoltarii unei noi tehnici de nanoindentare si masurare
care sa conduca la dezvoltarea unei instrumentatii noi de nanoindentare adecvate pentru
masurarea capacitatii de amortizare la nanoscara;
(2)arhitecturarea si avansarea unor noi nanocompozite si materiale nanostructurate bazate pe
materiale auxetice si nanotuburi de carbon cu proprietati croite la cerere, cu aplicatii la reducerea
si controlul vibratiilor si zgomotului.
Ca studii de caz: cresterea capacitati de amortizare a structurilor ingineresti prin utilizarea
materialelor auxetice si a nanotuburilor de carbon, controlul vibratiilor si a zgomotului,
nanocompozite, panouri sonice.
Cuprinsul lucrarii
Prefata
1. O noua cunoastere si concept privind corelatia dintre proprietati si nanostructura materialelor,
in detaliu, prin combinatia dintre sinteza, masuratori ale proprietatilor mecanice, examinarea
nanostructurii si modelare .
1.1. Identificarea parametrilor nano- structurali si construirea legilor constitutive nelocale de
tip elastic si vasco-elastic
1.2. Analiza conceptelor de nanostructurare a sistemelor compozite alcatuite din materiale
diferite
2. Dezvoltarea capabilitatilor tehnologice ale metodei nelocale Preisach-Tzitzeica ca baza pentru
caracterizarea amortizarii prin nanoindentare
2.1. Definirea unei probleme inverse pentru determinarea parametrilor nanostructurali din
analiza datelor experimentale
2.2. Cuplarea analizei nelocale de tip Eringen cu metoda Preisach de analiza a histerzisului si
cu teoria pseudosuprafetelor Tzitzeica cu curbura negativa. Modele de caracterizare a
proprietatilor elastice si vasco-elastice ale materialelor prin nanoindentare
3. Metoda noua de caracterizare a amortizarii prin nanoindentare. Realizarea virtuala a
instrumentului de nanoindentare (etapa I-metoda)
3.1. Descrierea metodei. Studiul capacitatii de amortizare a materialelor la diferite scari
metrice. Metode macroscopice de caracterizare a amortizarii.
3.2. Analiza capacitatii de amortizare a nanotuburilor de carbon. Caracterizarea amortizarii
unei franghii alcatuite din nanotuburi de carbon
3.3. Adaptarea metodei nelocale Preisach-Titeica la caracterizarea amortizarii prin
nanoindentare.
4. O ideie noua: auxeticitatea aplicata nanocompozitelor in scopul cresterii capacitatii de
amortizare.
4.1. Modelarea materialelor auxetice. Legi constitutive nelocale
4.2. Analiza capacitatii de amortizare a materialelor auxetice
5. Nanocompozite pe baza de nanotuburi de carbon
6. Folii nanocompozite cu incluziuni de materiale auxetice si nanotuburi de carbon (folii
nanosonice)

3
6.1. Material cu arhitectura noua cu materiale auxetice si nanotuburi de carbon. Modele de
folii nanocompozite cu incluziuni de materiale auxetice si nanotuburi de carbon
6.2. Studiul proprietatilor elastice si vasco-elastice ale materialelor auxetice si nanotuburilor
de carbon
7. Un nou concept privind nanoindentarea capabil sa masoare proprietati elastice, vasco-elastice
si amortizare
7.1. Modelarea nanocontactelor si a fenomenului de nanoindentare cu indentere avand forme
diferite
7.2. Includerea in teorie a frecarii care insoteste nanoindentarea la diferite scari metrice
7.3. Teorii cuplate atomistic-continue de simulare a nanoindentarii
7.4. Metode de rezolvare a ecuatiilor neliniare (metoda cnoidala)
8. Integrare si design tehnologic a nanoinstrumentatiei virtuale pentru masurarea proprietatilor
elastice si vasco-elastice ale materialelor
8.1. O problema inversa de identificare a proprietatilor elastice, vasco-elastice si de
amortizare a unui material nanostructurat
8.2. Experimente de nanoindentare simulate realist pe computer (I. Model)
Bibliografie
Prefata
O parte substantiala din paragrafele 1 si 2 a fost realizata in cadrul deplasarilor efectuate in
2007 la Laboratory for Machine Tools and Manufacturing Engineering, Department of
Mechanical Engineering, Aristoteles University, Thessaloniki, Grecia (drd.C.Secara si
drd.D.Baldovin) si la Laboratoire de Mécanique et Modélisation des Matériaux et Structures du
Génie Civil, Egletons, Université de Limoges, Franţa (dr. D.Dumitriu).
Problemele inverse rezolvate in paragrafele 3-5 au utilizat datele experimentale
achizitionate in cadrul deplasarilor efectuate in 2008 la Universitatea din Bremen (dr.V.Chiroiu,
dr.L.Munteanu), Haifa, Israel Institute of Technology, Dynamics Lab., Faculty of Mechanics
Engineering Technion (drd.A.M. Mitu, drd.D.Baldovin), Haifa, Israel Institute of Technology
Biomechanics Lab. of Technion (drd.V.Mosnegutu), Universitatea Tehnica a Moldovei (dr.
V.Chiroiu, dr. D.Dumitriu), Torino, Politecnico di Torino (dr. V.Chiroiu si dr. L.Munteanu),
Heraklion University of Crete Heraklion Creta (dr.V.Chiroiu), University of Thessaloniki, Lab.
For Machine Tools and Manufacturing (drd. C.Secara) si Faculty of Civil Construction
Management Univ. Union Belgrad Serbia (dr.D.Dumitriu, drd.D.Baldovin si dr.C.Rugina).
In paragrafele 5-8 s-au utilizat datele experimentale achizitionate in anul 2009, in cadrul
deplsarilor efectuate la Centre for Advanced Materials, Faculty of Engineering, The British
University of Egypt (dr.V.Chiroiu, drd.A.M.Mitu, drd. V.Mosnegutu), la Gdansk University
of Technology, Faculty of Mechanical Engineering din Gdansk si Politecnico di Torino,
dip.di Fisica (dr. L.Munteanu, dr.V.Chiroiu si drd.A.M.Mitu).
1. O noua cunoastere si concept privind corelatia dintre proprietati si nanostructura
materialelor, in detaliu, prin combinatia dintre sinteza, masuratori ale
proprietatilor mecanice, examinarea nanostructurii si modelare
Noua cunoastere si concept are la baza natura, care ne furnizează modele interesante pentru
structuri cu o largă gamă de utilizare. De exemplu, caracatiţa nu-şi încurcă niciodată tentaculele
chiar şi atunci când se află în mişcare, pentru că are, la nivelul fiecărui braţ, câte un mini-creier
responsabil cu coordonarea. Mini-sau nano-creierul este un sistem nervos periferic independent

4
de sistemul nervos central, care reglementează activitatea fiecărei tentacule. Sistemul nervos al
tentaculelor este responsabil de mişcările fiecăruia dintre braţe, şi constituie un model perfect
pentru controlul braţelor-robot care ar putea fi utilizate în cadrul operaţiilor chirurgicale sau
pentru diverse alte aplicaţii în industriile de mare fineţe.
Tabel 1.1.. Componente macroscopice şi componente moleculare (Drexler).
Technologi
e
Funcţie
Exemple moleculare
Transmit forţe, menţin
Bare, grinzi
poziţii
Pereţi celulari, microtuburi
Cabluri Transmit tensiune Colagen
Adezivi Conectează părţi Forţe intermoleculare
Solenoizi,
actuatori
Deplasează corpuri Muşchi
Motoare Transmit mişcare Motor flagelar
Arbori Transmit torsiune Bacteria flagella
Reazeme Suport corpuri în mişcare Legătură
Capete de
prindere
Manipulează piese Legături enzimatice
Instrumente Modifică piese
Enzime, molecule reactive
Linii de
producţie
Control
Sistem enzimatic, ribozomi
Sisteme de
Memorează şi citeşte
control
programe
numeric
Sistem genetic
Astfel de exemple abundă în natură, şi nanotehnologia si nanomecanica caută să înţeleagă
cum sunt construite şi cum funcţionează aceste sisteme, pentru a le putea reconstrui sintetic
pentru diferite aplicaţii în medicină, ştiinţa calculatoarelor, explorarea spaţiului, etc. (Forrest
1995). Exemplul ribozonului demonstrează faptul că dispozitivele mecanice moleculare
specializate lucrează asemenea sistemelor bilogice. O comparaţie a componentelor şi funcţiilor
biomoleculare cu cele macrodimensionale este prezentată în tabelul 1.1 (Drexler 1981). Un
exemplu natural îl constituie microscopul electronic de transmisie descoperit în bacteria
magnetotactică. Bacteriile conţin o busolă care le permit să se mişte într-o direcţie magnetică
particulară. Busola este compusă dintr-o serie de nanoparticule magnetice (25 nm) care se
aliniază după câmpul magnetic terestru (Alivisatos, în Whitesides şi Alivisatos, 1999).

5
Fig.1.1. Model computational pentru o nanostructura.
Pentru a descrie corelatia dintre proprietati si structura, pentru nanomateriale, un model
computational pentru o nanostructura este prezentat schematic in fig.1.1
Modelul este aplicat in cazul a mai multor nanostructuri si nanocompozite. Am inceput cu
nanotubul de carbon, unul dintre cele mai promiţătoare nanostructuri cu proprietăţi mecanice,
electronice şi magnetice neaşteptate (Srivastava, Menon şi Cho 1999, Gao, Cagin şi Goddard
1998) (vezi paragraf 1.1).
Un prim element esential in corelatia dintre proprietati si structura este cunoasterea
suprafaţei materiale ca interfaţă dintre două medii sau faze materiale, care nu este continuă şi
netedă la scara atomică şi moleculară. Arhitectura atomică a suprafeţelor este caracterizată de
prezenţa asperităţilor de diferite dimensiuni, forme, unghiuri de contact şi densităţi. Discutăm
acum câteva modele ale suprafetelor in contact la scara continua macroscopica, tinand seama de
legăturile de tip adeziv pentru contactul solid.
Pentru a separa două suprafeţe trebuie invinse legăturile care există între aceste suprafeţe
printr-o forţă negativă, numită forţă adezivă. Natura acestei forţe de suprafaţă este nanoscopică.
Primul model pentru forţa adezivă este dat de Johnson, Kendall si Roberts (JKR) în anul
1971. În acest model se presupune că adeziunea se datoreşte unor forţe atractive cu rază infinită
de acţiune şi care acţionează în aria de contact, fiind nulă în afara acestei arii.
Forţa necesară pentru desprinderea suprafeţelor este

6
unde energia adezivă de suprafaţă are forma relatiei Dupré:
3
F = πR∆γ , (1.1)
2
∆γ = γ
1
+ γ2 − γ
12
, (1.2)
unde γ
1
este energia de suprafaţă a primului solid, γ 2
este energia de suprafaţă a celui de al
doilea solid, iar γ 12
este energia de interfaţă. În acest model se presupune că forţele de întindere
acţionează pe marginile ariei de contact şi forţele de compresiune acţionează în centrul ariei, şi că
există o arie finita de contact pentru sarcini aplicate nule.
Un model nelocal este dezvoltat de Derjaguin, Muller şi Toporov (DMT) (1975). Acest
model este mai realist decât modelul JKR şi presupune că forţele atractive de suprafaţă au un
domeniu finit de acţiune şi sunt exersate şi în afara ariei de contact.
In acest model forţa care rupe contactul este
F = 2πR∆γ . (1.3)
In ambele modele există o arie circulară de contact la incarcare nula, cu raza de contact a
data de
unde
3 1 a = ( R ∆γ R)
(1.4)
K
cu ν
1
, ν
2
, k
1
si k
2
sunt coeficientii lui Poisson si modulii lui Young pentru cele doua materiale.
Prezentăm în continuare modelul nelocal lui Derjaguin, Muller şi Toporov . Acest model se
referă la influenţa reciprocă dintre deformaţiile de contact şi forţele moleculare de atracţie pentru
Eball
contactul dintre o sferă elastică de rază R şi un suprafaţă rigidă cu

7
Fig.1.2. Modelul original al lui Derjaguin, Muller şi Toporov (1975).
Componenta normală a deformaţiei sferei este
2
1−σ
Pz
dω
d wR ( ′) = − , (1.7)
πE
R′
cu Pz
dω sarcina concentrată normală, şi R′ distanţa de la punctul de aplicaţie a sarcinii până la
punctul în care se consideră deformaţia. E este modulul de elasticitate al sferei, σ este
coeficientul lui Poisson, şi dω este elementul arie de contact. Deformaţia normală se obţine prin
înlocuirea expresiei (1.7) în (1.6) şi integrând pe aria de contact. Considerând un punct de pe
sferă de coordonate ( rz, , ) componenta normală a deformaţiei este
unde
2 a 2π
1−σ
P ( )
wR ( ) z
ρ
′ = ρρϕ d d
πE
∫∫ , (1.8)
R′
0 0
2 2 2 2 2
′ = ( −ρ ) + = −2 ρcosϕ+ ρ + . (1.9)
R r z r r z
Când calculăm deformaţia în puncte pe suprafaţa sferei lângă perimetrul ariei de contact,
2
neglijăm z în (1.9). Dacă luăm z = 0 în (1.9) obţinem
3θF
w()
r = T
2 1
, (1.10)
π a
Unde
T
1
=
a π
00
a
− ρρρϕ d d
2 2
∫∫ .
2 2
ρ + −2ρ cosϕ
r
r
ρ ⎛ρ
⎞
Pentru ρ ≤ r obţinem integrala eliptică completă de ordinul întâi de modul , K ⎜ ⎟ r ⎝ r ⎠ :

8
π
∫ dϕ
2 ⎛ρ⎞
= K
2 2
⎜ ⎟
ρ + r −2ρrcosϕ
r ⎝ r ⎠
. (1.11)
0
Scriind
2
2
a ρ
x = ≤ 1 , y = , valoarea lui T
2 2
1
din (1.10) devine
r a
( )
1 ρ
a
a
T 2 K a d K xy 1 y d y T
a
2 a
2
⎛ ⎞ 2 2
1
= ⎜ ⎟ −ρ ρ ρ= − =
2
r
0 ⎝ r ⎠
r
0
r
∫ ∫ , (1.12)
şi
unde
∞
π
2
( ) (
n
)
n n
K xy = ∑ C x y , (1.13)
2 n−0
(2n
−1)!!
Cn
= 2 .
n
(1.14)
2 n!
Substituind valoarea lui K ( xy ) din (1.13) în (1.12) avem
( )
1
∞
π
n π
2 n
= − = × ∫ y 1− yd y = ∑( Cn)
anx
, (1.15)
2
1
∞
2 n
T2
∫ K xy 1 yd y ∑( Cn
) x
0
2 n−0
0
⎛3
⎞
1 Γ ( n + 1)
1
3
Γ⎜ ⎟ n+
n
2 2 n!
an
= y 1 yd y B( n 1, )
⎝ ⎠
∫ − = + = = , (1.16)
2 5 (2n
+ 3)!!
0
⎛ ⎞
Γ ⎜n
+ ⎟
⎝ 2 ⎠
unde Γ şi B sunt funcţiile Euleriene. Din (1.14) şi (1.16) avem
n−0
Substituind
n+
1
2 2 n! ⎡(2n−1)!!
⎤ 2
n( n)
= =
n
a C
2
an( C
n)
în (1.15) avem
Cn
(2n+ 3)!! ⎢
⎣ 2 n! ⎥
⎦ (2n+ 3)(2n+
1)
.
∞
n
Cx
n
T2
=π∑ . (1.17)
n=
0 (2n+ 3)(2n+
1)
Avem în continuare din (1.14):
∞
n 1
∑ Cx
n
= . (1.18)
1 − x
n=
0
cu x avem
Înmulţind la stânga şi la dreapta expresia (1.18) cu
1
4 x
şi integrând de două ori în raport
∞
n+
1
Cx
n
1
∑ = {2 x (1 −x ) − (1 − 2 x )arccos(1 − 2 x )} .
(2n+ 3)(2n+
1) 8
n=
0

9
Impărţind la x 3/2 , determinăm pe T
2
:
π 1
T2 =
3/2 {2 x (1 − 2 x ) − (1 − 2 x )arccos(1 − 2 x ) . (1.19)
8 x
Din (1.19), (1.12) şi (1.10) obţinem deformaţia în direcţia axei z în afara ariei de contact,
adică pentru r≥ a:
2
3θF
⎧⎪ 2 2 2 2
⎛ a ⎞⎫⎪
wr ( ) = 2 a r a (2 a r )arccos 1 2
2 ⎨ − + − ⎜ −
2 ⎟⎬. (1.20)
πa
⎪⎩
⎝ r ⎠⎪⎭
Pentru r = a avem
3πθF
wa ( ) = . (1.21)
8a
Deformaţia în originea coordonatelor r = z= 0 se determină din (1.8)
3πθF
w(0) = = 2 wa ( ) . (1.22)
4a
Daca z
0
este coordonata unui punct de pe sferă înainte de deformatie, pentru orice punct de
pe suprafaţa deformată este valabilă relaţia
cu
z = z0
+ w−α, (1.23)
2
r
z0
= . (1.24)
2R
De aici apare că, în originea coordonatelor z = z0 = 0 , avem w (0) =α, adică
în timp ce pe perimetrul ariei de contact avem r
α
(1.22), wa ( ) = , şi găsim din (1.23) relaţia cunoscută
2
3πθF
α= , (1.25)
4a
= a, z = 0 şi
z
0
2
a
= . Se observă că, potrivit cu
2R
2
2
a α
a
+ −α= 0 ⇒ α= . (1.26)
2R
2
R
3θ F 1
Comparând (1.25) cu (1.26) avem
3 = , şi după substituirea acestei expresii în
4a
π R
(1.20) avem
wr
1 ⎧⎪
a r a a r
⎩
2
2 2 2 2
( ) = ⎨2 − + (2 − )arccos⎜1−2
2 ⎟⎬
2πR⎪ r ⎪
Acum, substituind în (1.23) pe z
0
, α şi w din (1.24), (1.26) şi (1.27) găsim
⎛
⎝
a
⎞⎫⎪
. (1.27)
⎠⎭

10
2
1 ⎧⎪
2 2 2 2 r ⎫⎪
zr ( ) = ⎨a r −a −(2 a −r)arctan −1
2 ⎬. (1.28)
πR
⎪ ⎩
a ⎪ ⎭
Formula (1.28) defineşte forma suprafeţei deformate a sferei depinzând de α (sau a valorii
forţei elastice) în combinaţie cu (1.25) şi (1.26). Formula (1.28) determină distanţa între punctele
opuse ale sferei şi plan.
Aproape de aria de contact, distanţa dintre aceste puncte nu este zero, deoarece trebuie sa
adăugăm o valoare ε cu ordinul de mărime 3-4Å, necesară pentru a calcula componenta forţei de
interacţiune moleculară care acţionează între plan si suprafaţa unei sfere deformate, în afara ariei
de contact. Prin urmare formula finală pentru zr () este
1 ⎧⎪
r ⎫⎪
z a r a a r
πR
⎪ ⎩
a ⎪ ⎭
2
=
2 2 2 2
⎨ − −(2 − )arctan
2
− 1⎬+ε
. (1.29)
Din (1.29) putem calcula deci componenta forţei de interacţiune moleculară care acţionează
între plan şi suprafaţa unei sfere deformate, în afara ariei de contact.
Conceptul se materalizeaza sub forma unui algoritm de calcul pentru calculul proprietatilor
unui nananomaterial. Conceptul s-a aplicat pentru piramida Ge (Ge pyramid) de atomi de
germaniu pe o suprafaţă de silicon, cu latura bazei de 10 nm şi înălţimea de 1,5 nm, este realizată
prin autoasamblare în câteva secunde (Williams, R. S. în Whitesides şi Alivisatos, 1999). În cazul
coralului cuantic, 48 atomi de fier, aşezaţi într-un cerc de rază 7,3 nm pe un strat de cupru, sunt
poziţionaţi individual cu ajutorul unui microscop (Eigler, D. în Whitesides şi Alivisatos, 1999).
Polimerii nanstructuraţi formaţi prin autoasamblarea unor structuri polimerice, au diverse aplicaţii
în industria aviatică, ca lubrifianţi în microelectronică (Stupp in Whitesides şi Alivisatos, 1999).
În paralel, tehnica bottom-up, care constă în controlul nanostructurilor complexe începând de la
nivelul molecular, se dezvoltă ca un instrument deosebit de eficient pentru nanomanufactură.
Subliniem importanţa majoră în dezvoltarea nano-manufacturii a inventării microscoapelor de
scanare (scanning probe microscopy SPM şi scanning tunneling microscopy STM) de către
Binnig şi Rohrer în anul 1982, urmate de inventarea microscopului atomic (atomic force
microscope AFM) în anul 1986 de către Binnig, Quate şi Gerber (Chiroiu, Ştiucă, Munteanu si
Donescu 2005).
1.1. Identificarea parametrilor nano-structurali si construirea legilor constitutive nelocale
de tip elastic si vasco-elastic
Nanostructurile au o dimensiune intermediară între structurile moleculare (dimensiunea
−10
7
unei molecule 10 m ) şi structurile microscopice măsurate în microni ( 10 − m ), adică de la
0.1−
100nm . Ele conţin un număr foarte mare de atomi. Privite ca molecule, nanostructurile sunt
prea mari pentru a putea fi modelate cu metodele mecanicii cuantice. Privite ca materiale, sunt
mult prea mici şi prezintă caracteristici care nu sunt observabile la structurile macroscopice (chiar
în jur de 0,1µm ). Noţiunea de nanostructură combină concepte diferite: dimensiune mică,
organizare complexă, raport dintre arie (interfeţe) şi volum, mare, densitate mare şi interacţiuni
electromecanice puternice. Caracteristicile electronice şi magnetice ale acestor structuri sunt
dominate de un comportament cuantic. La dimensiuni mici, materialele au proprietăţi diferite de
cele la scară macroscopică. De exemplu, la scară nanometrică materialele au o rezistenţă
mecanică mai mare decât probele macroscopice ale aceluiaşi material. Abilitatea unui material de
a se deforma (întindere, compresiune, încovoiere, torsiune) fără să se rupă depinde de legăturile
chimice care ţin atomii împreună. În principiu, legăturile chimice sunt aceleaşi atât în scara
nanometrică cât şi în scara macroscopică. Dar probele macroscopice includ multe defecte,

11
cavităţi, atomi lipsă, etc., care limitează proprietăţile mecanice. Densitatea acestor defecte poate fi
mult mai mică la scară nanometrică, şi ca rezultat nanomaterialele devin mai rezistente.
Cercetătorii au în vedere exploatarea proprietăţilor superioare ale materiei la scară nanometrică şi
combinarea unor piese sau blocuri nanometrice în construirea unor materiale nanostructurate, care
pot fi considerate ca fiind compuse din blocuri nanometrice (Jackson 2004, (Chiroiu, Ştiucă,
Munteanu si Donescu 2005).
Tradiţional, rezistenţa mecanică σ a unui material cristalin depinde de dimensiunea d
granulei (conform legii lui Hall-Petch σ=σ
0
+ kd −1/ 2 ). Dar, cu cât scara structurală se reduce,
rezistenţa mecanică depinde şi de alţi factori, si că există o limită pentru descrierea ei
convenţională (Misra et al. 1998). O valoare ridicată a raportului volum/interfaţă poate influenţa
substanţial procesele de mobilitate, frecare internă, histerezis, plasticitate din materialul
nanostucturat. Un studiu recent pe compozite Cu/Nb şi Cu/Ag a pus in evidenţă reducerea
fragilităţii si înlăturarea completă a ruperii firelor încercate la întindere la temperatura heliului
lichid (Han et al.1999), deşi metalele bcc. (cum este Nb) sunt cunoscute ca având o rupere fragilă
la 4.2 K. Materialul nanostructurat Cu/Nb prezintă o combinaţie interesantă de rezistenţă şi
ductibilitate până la rupere (2 GPa şi deformaţie 10%). Aceasta arată că prin reducerea scării
structurale la nivel nanometric relaţia rezistenţă-ductibilitate poate fi extinsă dincolo de limitele
inginereşti actuale (Kung şi Lowe, în Whitesides şi Alivisatos, 1999).
De exemplu, pentru o nanobara cu sectiune circulara din silicon (raza 50nm, lungime
600nm), s-au determinat lungimile de unda caracteristice, λ
1
=67nm , λ
2
=75nm. In fig.1.1.1 se
prezinta variatia tensiunii in raport cu lungimea pentru nanobara de silicon.
Fig. 1.1.1. Campul de tensiune versus lungime pentru o nanobara din silicon cu sectiune
circulara.
.
Pentru a descrie corelatia dintre proprietati si structura, pentru nanomateriale, consideram
ca obiect de studiu nanotubul de carbon. În urma descoperirii C
60
de către Curl, Kroto şi Smalley
(premiul Nobel pe anul 1996), a fost înteleasă şi formarea nanotuburilor de carbon, care au fost
descoperite în anul 1991 de către Iijima. Forţele de legătură covalente reprezintă o metodă de
formare a nanostructurilor mari şi uniforme. Nanotuburile de carbon sunt rezistente din punct de
vedere mecanic, au conductivitate excelentă şi sunt în miniatură, exemple de fire utilizate în
fabricarea compozitelor şi a nanocalculatoarelor.
Nanotuburile de carbon sunt cilindrii lungi şi subţiri de carbon, formate din macromolecule
mari, de fapt o foaie de grafit (reţea hexagonală de carbon) răsucită sub forma unui cilindru (Fig.
10.1).Se cunosc patru structuri alotropice de carbon: carbon amorf, grafit, diamant şi nanotuburi
de carbon. Nanotubul de carbon poate fi considerat o structură cvasi-unidimensională deoarece

12
raportul lungime/diametru este foarte mare (diametrul este de aproximativ câţiva nanometrii, iar
lungimea de până 50 microni). Nanotubul este de 100000 de ori mai subţire decât firul de păr
uman, rezistenţa la întindere este de 100 ori mai mare decât a oţelului şi densitatea sa este de 2 ori
mai mică decât a aluminiului. Nanotuburile de carbon sunt utilizate ca fire atomice. Fibrele care
includ în compoziţie fire moleculare din nanotuburi de carbon au rezistenţă mare, cântăresc de 5
ori mai puţin, şi au conductivitatea de 5 ori mai mare decât a argintului şi transmit căldura mai
bine decât diamantul (Chiroiu si Chiroiu 2003, Teodorescu, Dumitriu si Chiroiu 2006)
al. 2003).
Fig. 1.1.2. O secţiune printr-un tub de carbon (zigzag) văzută dintr-o parte (Ruoff et
Nanotubul de carbon poate avea o structură cu un singur perete sau cu mai mulţi pereţi.
Pentru identificarea structurii tubului de carbon, introducem un parametru geometric asociat
procesului răsucirii foii de grafit, notat cu r , care este o combinaţie liniară de baza reţelei a şi
b , cu ( n, m ) o pereche particulară de întregi (Fig. 1.1.3)
r = na + mb . (1.1.1)
Fig. 1.1.3. Definiţia parametrului geometric r .
. Pentru m = 0 , avem forma zigzag, pentru n= m, forma armchair, şi pentru restul forma
chiral. Un nanotub de carbon cu capete închise este stabil atunci când diametrul său este mai
mare decât a tuburilor (5,5) şi (9,0).
Aplicabilitatea nanotuburilor de carbon este largă. Proprietăţilor lor mecanice încluzând rezistenţa
înaltă, rigiditate mare, densitate redusă şi structură perfectă fac ca ele să fie ideale pentru aplicaţii
medicale şi industriale: frânghii nanometrice, nanosenzori, polimeri armaţi cu nanotuburi de
carbon, nanotuburi de carbon implute cu diferiţi atomi, cu aplicaţii în NEMS.
Pe de altă parte, adăugarea de nanotuburi într-un material tradiţional creşte apreciabil
proprietăţile mecanice ale nanocompozitului în comparaţie cu acelea unui polimer nearmat. De
exemplu, un adaus de 1% de nantuburi cu pereţi multiplii ridică rezistenţa la întindere a
polistirenului cu peste 25% .Curgerea fluidului printr-un nanotub de carbon este granulară în
sensul că şi pereţii se mişcă odată cu fluidul, iar comportarea fluidului în nanotub depinde de
rigiditatea tubului. Gazele sau lichidele introduse în volume foarte mici sunt importante în
nanotehnologie. De exemplu, ele servesc ca fluide hidraulice în actuarea mecanică, la pistoane,
sau pot conduce moleculele în camere de reacţie.

13
Fig. 1.1.4. Curgerea unui fluid printr-un nanotub.
Nanotuburile de carbon au aplicaţii diverse. Se pot fabrica semiconductoare de putere,
comutatoare ce pot controla LED-uri sau motoare electrice, tranzistoare pentru chip-uri de
computer pentru a stoca şi procesa informaţia. Nanotuburile de carbon sunt foarte flexibile şi pot
suporta deformaţii mari datorită rezistenţei mari pe care o au la întindere, compresiune, răsucire şi
încovoiere. Iijima (1991), Iijima şi Ichihashi (1993) au arătat experimental că nanotubul de
carbon se poate încovoia semnificativ până la un unghi critic de aproximativ de 27,8 , pentru un
tub cu un singur perete cu raza de 6 A . La acest unghi, tubul se flambează local şi apare un
comportament postcritic de tip deformaţie elastică kink. S-a observat că pereţii tubului se pot
apropia unul de altul până la o distanţă de echilibru de aproximativ 3,5 A , pentru care forţele van
der Waals de interacţiune se transformă din forţe atractive, în forţe puternic repulsive. Nanotubul
poate suporta unghiuri de încovoiere de până la 110 , cu deformaţii complet reversibile, astfel
încât după înlăturarea sarcinilor exterioare, tubul revine la forma iniţială. Pentru un unghi de
120 , legăturile atomice se rup şi deformaţiile devin ireversibile.
Un fenomen interesant care poate fi studiat prin nanoindentare este nuclearea (generarea si
formarea de nuclee) si cresterea filmelor la nivel de nanoscara pe straturi si interfete suport
(Rafii-Tabar 2000). Acest proces reprezinta o tranzitie de faza vapor-solid, in care o stare initiala
de atomi si molecule este urmata de difuzia, coalescenta si eventual cresterea in substructuri
stratificate. Atomi si molecule izolate aflate in faza gazoasa si care nu sunt initial in echilibru
termic ajung la intefata unui material, condenseaza pe aceasta dupa complicate miscari colective
sau individuale, apoi migreaza prin aceasta interfata, se pot reintoarce la faza de gaz priun
desorbtie, sau pot fi captati in material prin intermediul defectelor sau dislocatiilor prin absorbtie.
Condensarea initiala este o competitie dintre aceste doua fenomene adsorbtie si desorbtie
(Bethune et al. 1993, Saito et al. 1998).
Exemple de adsorbtie: (1) adsorbtia moleculelor C60 de o suprafata Si(100), (2) adsorbtia
atomilor de Ag in grafit, (3) adsorbtia gazelor in nanotuburi de carbon..
C60 este o noua faza a carbonului condensat, localizat intre clusterele mici de carbon cum este
C3 si faza solida de carbo. In cazul unui sistem de nanotuburi de carbon, adsorptia gazelor poate
aparea in locuri distincte (fig. 1.1.5): (1) in interiorul tuburilor, (2) in spatiile interstitiale dintre 3
tuburi, (3) in spatiile externe dintre 2 tuburi adiacente. Fenomenul de interactiune multicorp
dintre atomii si moleculele adsorbite, este foarte important in cunoasterea termodinamicii
sistemului. Este interesant de stiut ca fenomenul adsorbtiei poate fi controlat si dirijat pentru
obtinerea de noi structuri cu proprietati controlate, ca de exemplu cresterea firelor de Ag in grafit.

14
Fig. 1.1.5. Locurile in care pot fi captati vaporii de gaz intr-o structura de nanotuburi de carbon.
Pentru intelegerea acestor fenomene si pentru a putea modela deformatia si evolutia
nanotuburilor de carbon supuse la difererite incarcari, diferite tipuri de potentiale pot fi
considerate.
Modelarea şi simularea proprietăţilor materiei sunt legate de determinarea scării de
reprezentare. Metodele de calcul ale nanomecanicii au la bază cuplarea metodelor atomistice şi
continue. Un element important al acestor metode cuplate îl contituie determinarea energiei
potenţiale totale a unui sistem mecanic sau nanomecanic ca o funcţie de gradele de libertate ale
acestui sistem. Aceste grade de libertate pot fi atomii sau poziţiile nodale descrise în metoda
elementului finit (FEM). Starea de echilibru static se obţine prin minimizarea energiei totale, sau,
echivalent, din determinarea poziţiilor de forţă nulă pentru fiecare grad de libertate. Forţa asociată
unui grad de libertate este derivata energiei totale în raport cu coordonata gradului de libertate. În
simulările mecanicii moleculare, se utilizează legea a doua a lui Newton.
Solidele care au structură cristalină sunt caracterizate printr-un aranjament periodic al
atomilor. O reţea Bravais este reprezentată printr-un aranjament geometric tridimensional de
paralelipipede identice cu atomi identici distribuiti la varfuri. Paralipipedele interstiţiale cu un
atom la fiecare vârf se numesc celule elementare. Într-o astfel de celulă elementară sau unitate,
există un singur atom [38]. Dacă înlocuim atomii cu molecule orientate se obţine o reţea generală,
în care fiecare celulă unitate conţine numărul de atomi din moleculă. Aici termenul de moleculă
nu se referă la o moleculă reală, ci descrie un aranjament geometric de atomi. Pentru a deveni o
moleculă reală trebuie definite tipul de legături chimice între atomi şi molecule.
Descriem mai întâi reţelele cele mai simple, care sunt caracteristice pentru cele mai multe
dintre metale şi pentru forma solidă a gazelor inerte. Ele sunt reţelele cubice ce pot apare în trei
forme: cubică simplă (SC), cubică cu volum centrat intern (BCC) şi cubică cu feţe centrate
(FCC). Sistemul de vectori unitari se notează cu a,a,a
1 2 3
. Pentru SC (NaCl) avem a
1
= ( a,0,0)
,
a a a a a a
a a a
a2 = (0, a,0)
şi a
3
= (0,0, a)
; pentru BCC, a
1
= ( , , ) , a
2
= ( , , − ) şi a
3
= ( − , , ) ;
2 2 2 2 2 2
2 2 2
a a a a a a
pentru FCC (Na Cl, diamant, ZnS) a 1
= (0, , ) , a2 = ( ,0, ) şi a
3
= ( , ,0) . Fig. 1.1.6
2 2 2 2 2 2
reprezintă căteva tipuri de cristale SC, BCC şi FCC.

15
Fig. 1.1.6. Cristale SC, BCC şi FCC.
Ordonarea atomilor sferici în reţeaua cristalină se poate face hexagonal, sau cu straturi
deplasate orizontal obţinându-se o simetrie hexagonală. Unele metale ca argintul şi cuprul sunt
cristale cubice cu feţe centrate intern, altele ca beriliul şi magneziul formeaza cristale hexagonale.
Există şapte tipuri de cristale: cubic, tetragonal, ortorombic, hexagonal, trigonal, monoclinic,
şi triclinic. Cristalele se pot clasifica după tipul de forţă atomică : cristale ionice, cristale van der
Waals sau moleculare, cristale covalente şi metale. Valenţa este puterea unui atom de a se
combina cu alţi atomi, şi se măsoară prin numărul de electroni pe care un atom îi poate ceda,
capta sau împărţi pentru a forma un compus chimic. Singurele elemente cu valenţă nulă sunt
gazele nobile. Legătura covalentă este cea mai puternică legătură atomică. Această legătură apare
atunci când doi atomi împart electroni. Ionii sunt atomi care pierd electroni şi care posedă o
sarcină electrică datorită lipsei de bilanţ între numărul de protoni şi electroni. Ionul care câştigă
electroni se numeşte anion şi este încărcat negativ. Ionul care pierde electroni este un cation şi
este încărcat pozitiv. Cationii şi anionii sunt atraşi unii de ceilalţi prin forţele coulombiene dintre
sarcina negativă şi cea pozitivă. Această atracţie se numeşte ionică şi este mai slabă decât legătura
covalentă.
Cristalele ionice (NaCl, sare) sunt cristalele în care atomii individuali nu au legături
covalente, ei fiind mentinuţi împreună datorită forţelor electrostatice. Aceste cristale sunt
rezistente şi au un punct de topire relativ înalt. Cristalele moleculare (zahăr) conţin molecule care
pot fi recunoscute şi care sunt menţinute împreună prin interacţii necovalente, aşa cum este
legătura de hidrogen. Aceste cristale sunt fragile şi au punctul de topire scăzut.
Un cristal covalent (diamant, ZnS) este o moleculă mare, având punctul de topire înalt.
Cristalele metalice sunt compuse din atomi metalici, şi electroni care se mişcă liber în reţea, au
punctul de topire înalt şi densităţi mari. Modelarea numerică la scară nanometrică se realizează cu
metodele de dinamică moleculară, care analizează mişcarea atomilor individuali dintr-o structură
care conţine N atomi, pe baza legii lui Newton sau a legii stocastice a lui Langevin, în ipoteza că
poziţia şi viteza lor se cunoaşte la momentul iniţial. Din cauza numărului foarte mare de atomi
care se află într-o structură, se alege de obicei un volum finit care conţine N atomi, de exemplu,
ca celulă primară de calcul, şi se introduc condiţii periodice pe frontieră pentru a putea replica
celula în tot spaţiul prin generarea de imagini periodice ale acestei celule şi a înlătura efectele
nedorite ale interfeţelor artificiale asociate cu dimensiunea finită a sistemului care se simulează.
Teoria se bazează pe potenţialul interatomic H ( rij
) din care se determină forţele newtoniene
care acţionează asupra atomilor
Fi = ∑ ∇rHr
( )
i ij
, (1.1.1)
j>
i
unde ij
r este distanţa dintre atomii i şi j . Se face ipoteza că fiecare atom interacţionează cu
atomii din vecinătate sa, să zicem o sferă cu rază specificată. Se obţine un număr de 3N ecuaţii

16
diferenţiale de mişcare, cuplate, pentru 3N grade de libertate care reprezintă poziţiile spaţiale ale
celor N atomi. O metodă de rezolvare a acestui sistem de ecuaţii este algoritmul Verlet, potrivit
căruia poziţiile r i
şi vitezele v i
ale atomilor de masă mi
sunt calculate la fiecare pas de timp
conform relaţiilor
1 2 Fi
() t
ri( t+ d t) = ri( t) + vi(t)dt+
dt
2 mi
1 1 Fi
() t
vi( t+ d t) = vi( t) + dt
, (1.1.2)
2 2 m
1 1 Fi
( t + d t)
vi( t+ d t) = vi( t+ d t) + dt
2 2 m
În problemele de termodinamică, se introduce temperatura ca un parametru de control, şi se
efectueaza efectuează simularea moleculară a sistemului pentru o temperatură constantă. Pentru a
menţine o temperatură de referinţă, se folosesc metode constrânse care restricţionează energia
cinetică totală a sistemului, sau metode stocastice de tip Langevin. O altă metodă este metoda
sistemelor extinse a lui Nosé şi Hoover, care se bazează pe ansamblul canonic reprezentativ.
În mecanica statistică ansamblul canonic reprezentativ se poate construi considerând un
număr mare de sisteme, care sunt replica mentală a unor sisteme fizice (fiecare având un volum
V cu N atomi), şi aranjându-le împreună pentru a forma un bloc tridimensional. Acest bloc se
scufundă apoi într-o baie caldă aflată la temperatura T . Presupunând că suprafeţele care separă
elementele din bloc sunt permeabile la schimbări de energie, atunci toate elementele din bloc vor
atinge după un timp aceeaşi temperatură T . Un astfel de bloc izolat termic formează un ansamblu
canonic.
Potrivit cu această metodă, sistemul şi baia caldă sunt cuplate şi formează un sistem
compozit, cu o dinamică continuă deterministă. Teoria se bazează pe extensia spaţiului
variabilelor dinamice ale sistemului, dincolo de coordonatele şi impulsurile particulelor reale,
pentru a include o coordonată fantomă adiţională s şi impulsul său conjugat p
s
, care acţionează
ca o baie caldă pentru particulele reale. Prin această metodă se poate selecta un Hamiltonian
pentru sistemul extins şi, simultan, variabilele sistemului fizic real se pot lega de cele ale unui
sistem virtual, astfel încât funcţia de partiţie microcanonică a sistemului virtual extins să fie
proporţională cu funcţia de partiţie canonică a sistemului fizic real.
Avem prin urmare sistemul real ( ri
, p
i
) , sistemul virtual ( ri
, p
i
) , sistemul real extins
( ri , pi, s, ps)
şi sistemul virtual extins ( ri , pi, s, p s)
.
Hamiltonianul sistemului virtual extins este definit astfel:
N 2 2
*
i
s
H = + Hr ( ) ln
2 ij
+ + gkT
B
s
i=
1 2ms
i
2Q
i
i
p
p
∑ , (1.1.3)
unde g este numărul gradelor de libertate, k
B
constanta lui Boltzmann, Q este un parametru
care se comportă ca o masă asociată mişcării coordonatei s , iar r i
, p
i
, r i
şi p
i
sunt coordonatele
şi impulsurile canonice ale tuturor particulelor reale şi virtuale. Deoarece Hamiltonianul H este
energia potenţială pentru ambele sisteme, real şi virtual, primii doi termeni din (1.1.3) reprezintă
energia cinetică şi energia potenţială a sistemului fizic, iar următorii doi termeni reprezintă
energia cinetică şi energia potenţială asociate gradelor de libertate adiţionale.
Coordonatele virtuale şi timpul, sunt legate de coordonatele fizice reale prin relaţiile

17
1 1
ri
= r i,
pi
= p i,
dt
= dt . (1.1.4)
s s
*
Din Hamiltonianul H rezultă ecuaţiile de mişcare pentru sistemul fizic, ecuaţii care se mai
numesc ecuaţiile termostat ale lui Nosé-Hoover:
dri
dt
p
i
= , dp i
mi
dt
2
dη 1 ⎛ p ⎞
i
= Fi
−η pi,
= ⎜∑ − gkBT⎟, (1.1.5)
dt Q⎝
i mi
⎠
unde η este numit coeficientul de frecare al băii deoarece caracterizează frecarea din interiorul
băii. Acest coeficient nu este o constantă şi poate avea atât valori pozitive cât şi negative, fiind
legat de un mecanism negativ de feedback. Ultima ecuaţie (1.1.5) controlează funcţionarea băii
calde. Din această ecuaţie observăm că dacă energia cinetică totală este mai mare decât 1 2
gkBT ,
atunci d η şi deci η sunt pozitive. Acest fapt produce frecare în interiorul băii şi ca urmare
dt
mişcarea atomilor este decelerată şi energia cinetică a băii scade. Dacă energia cinetică totală este
mai mică decât 1 gkBT , atunci d η şi deci η sunt negative, şi ca rezultat baia se încălzeşte şi
2
dt
mişcarea atomilor este accelerată.
Ecuaţiile de mişcare (1.1.2) pentru ansamblul canonic, se pot reformula în spiritul metodei
Verlet:
1 2
⎡ Fi
() t ⎤
ri( t+ d t) = ri( t) + vi(t)dt+ d t ⎢ −η( t) vi( t)
⎥
2 ⎣ mi
⎦
1 1 ⎡ Fi
() t ⎤
vi( t+ d) t = vi() t + d t⎢
−η() t vi()
t ⎥
2 2 ⎣ mi
⎦
N
1 1 ⎡ 2 ⎤
η ( t + d t) =η ( t) + d t mv
i i( t)
gkBT
2 2Q ⎢∑ − ⎥
(1.1.6)
⎣ i=
1
⎦
N
1 1 ⎡ 2 1 ⎤
η ( t + d) t =η ( t+ d) t + d t mv
i i( t d) t gkBT
2 2Q ⎢∑
+ −
i=
1 2
⎥
⎣
⎦
2 ⎡ 1 1 Fi
( t+
d) t ⎤
vi( t+ d t) = ⎢vi( t+ d t) + dt
⎥
2 +η ( t+ d t)dt ⎣ 2 2 mi
⎦
O parametrizare particulară a lui Q se poate defini astfel:
Q
2
= gkBTτ , (1.1.7)
unde τ este timpul de relaxare al băii, care are acelaşi ordin de mărime cu pasul de timp dt , şi
care controlează fluctuaţiile în temperatură ale băii. Numărul gradelor de libertate este
g = 3( N − 1) . În continuare prezentăm pe scurt expresiile potenţialilor interatomici utilizaţi în
dinamica moleculară şi care au fost descrişi pentru diferiţi atomi metalici sau pentru atomi cu
legături covalente. Pentru potenţialii atomilor metalici avem (Chiroiu et al. 2005):

18
Potenţial din metoda atomului inclus (EAM)
Conform metodei atomului inclus, energia necesară pentru a include un atom într-un nod al
unei reţele atomice este funcţie de densitatea electronică a acelui nod. Densitatea electronică
totală a reţelei se poate exprima ca o superpoziţie liniară a densităţilor electronice a atomilor
individuali. Prin urmare, în fiecare poziţie atomică sau nod, densitatea electronică este definită ca
o contribuţie atât a atomului luat în consideraţie cât şi a celorlalţi atomi din reţea. Energia
necesară includerii unui atom în reţea este suma energiilor asociate densităţii electronice a
nodului şi o energie constantă asociată celorlalţi atomi din reţea. Energia totală a sistemului se
scrie sub forma
1
[ ] ( )
∑ ∑∑ , (1.1.8)
( EAM )
H = Fi ρ
h,
i
+ φij rij
i 2 i j≠i
unde ρhi
,
este densitatea electronică a atomului i datorită contribuţiei celorlalţi atomi din reţea,
F [ ] i
ρ este energia necesară includerii atomului i în nodul de densitatea electronică ρ , şi φij
este
potenţialul central al perechii de atomi i şi j , separaţi prin distanţa r ij
, şi care reprezintă
interacţiunea repulsivă nucleu-nucleu. Densitatea electronică ρhi
,
este suma contribuţiilor
individuale:
*
ρ
hi ,
= ∑ ρ
j( rij)
, (1.1.9)
j≠i
*
unde ρ este densitatea electronică a atomului j . Acest potenţial a fost construit pentru calculul
energiei şi relaxării de suprafaţă pentru o varietate de metale FCC (Ni, Pd, aliaje Ni-Cu), şi pentru
calculul constantelor elastice şi a modurilor de vibraţie pentru Ni 3 Al şi pentru alte aliaje.
Potenţial Finnis şi Sinclair (FS)
Energia totală a unui sistem de N atomi se exprimă astfel:
N
FS 1
H = V( r ) −c
ρi
2
∑∑ ∑ , (1.1.10)
ij
i= 1 j≠i i
unde V ( r
ij
) este interacţiunea repulsivă a perechei de atomi i şi j , aflaţi la distanţa r ij
, c fiind o
constantă pozitivă, şi
ρ
i
= ∑ φ( rij)
, (1.1.11)
j≠i
unde φ
ij
este potenţialul de coeziune de tip 2 corpuri. Cel de al doilea termen reprezintă
contribuţia coezivă de tip multe corpuri la energia totală. Forma de radical este motivată de
analogia cu modelul legăturii atomice de tip radical, în care energia de coeziune este de acelaşi
ordin de mărime cu rădăcina pătrată din numărul atomic.
Expresia (1.1.10) este similară cu (1.1.8), dar interpretarea este diferită. Potenţialii FS au
fost obţinuţi din modelul legăturii atomice de tip radical, şi de aceea partea de interacţiune de tip
multi-corp care corespunde funcţionalei Fi
[ ρ
hi ,
] din potenţialul EAM are aici forma unui termen
de rădăcină pătrată. Acest potenţial necesită o conversie de la metale pure la aliajele lor, mai
greoaie decât potenţialul EAM. Poenţialul FS a fost construit pentru câteva aliaje de metale
nobile Au, Ag, Cu, etc.

19
Potenţial cu rază mare de acţiune Sutto şi Chen (SC)
Acest potenţial a fost construit din descrierea energetică a 10 metale elementare cu faţă
cubic centrată (FCC).
Energia totală a unui sistem de N atomi se exprimă la fel ca în (1.1.10):
N
SC
⎡1
⎤
H =ε⎢
V( rij)
−c
ρi
⎥
⎣2
i= 1 j≠i i ⎦
∑∑ ∑ ,
(1.1.12)
⎛ a ⎞
V( rij
) = ⎜
r ⎟
⎝ ij ⎠
m
m
, (1.1.13)
⎛ a ⎞
ρ
i
= ∑ , (1.1.14)
⎜
j≠i
r ⎟
⎝ ij ⎠
unde ε este un parametru cu dimensiune de energie, a constanta reţelei atomice cu dimensiune de
lungime, m şi n sunt întregi pozitivi n> m. Forma de putere a termenilor a fost adoptată pentru a
construi un model unitar care să combine interacţiunile cu rază mică de acţiune (primul termen
din partea dreaptă a (1.1.12), care este util pentru descrierea fenomenului de relaxare a
suprafeţei), cu forţele van der Waals care dau o mai bună descriere a interacţiunilor cu rază mare
de acţiune. În tabelul 1.1.1 sunt prezentaţi parametrii potenţialului Sutton-Chen, determinaţi din
date experimentale privind energia coezivă.
Tabel 1.1.1. Parametrii potenţialului Sutton-Chen (Rafii-Tabar 2000).
element m n ε [eV]
c
Ni 6 9
2
1,5707 × 10 − 39,432
2
Cu 6 9 1,2382 10 −
3
Rh 6 12 4,9371 10 −
3
Pd 7 12 4,1790 10 −
3
Ag 6 12 2,5415 10 −
3
Ir 6 14 2,4489 10 −
2
Pt 8 10 1.9833 10 −
2
Au 8 10 1,2793 10 −
3
Pb 7 10 5,5765 10 −
2
Al 6 70 3,3147 10 −
× 39,432
× 144,41
× 108,27
× 144,41
× 334,94
× 34,408
× 34,408
× 45,778
× 16,399
Potenţial cu rază mare de acţiune Sutto şi Chen (SC)
Potenţialul SC a fost generalizat pentru a modela interacţiunile atomice în aliaje metalice
binare cu fată cubic centrată. Ecuaţiile (1.1.12)–(1.1.14) au fost rescrise pentru aliaje binare A-B:
unde
N
RST 1 AA A BB B
= (
ij
) − ˆi ρi − ˆi (1 − ˆi ) ρi
2
i= 1 j≠i i i
∑∑ ∑ ∑ , (1.1.15)
H V r d p d p p
AA BB AB
V ( r ) ˆ ˆ ( ) (1 ˆ )(1 ˆ ) ( ) [ ˆ (1 ˆ ) ˆ (1 ˆ
ij
= pi pjV rij + − pi − pj V rij + pi − pj + pj − pi )] V ( rij
)
,
(1.1.16)

20
∑
∑
ρ A = φ A ( r ) = [ pˆ
φ AA ( r ) + (1 − pˆ
) φ
AB ( r )] ,
i ij j ij j ij
j≠i
j≠i
∑
ρ B B ( ) [(1 ˆ ) BB ( ) ˆ
AB
i
= φ rij = − pj φ rij + pjφ
( rij
)] , (1.1.17)
j≠i
unde operatorii p ˆi
sunt definiţi astfel:
Funcţiile V µν şi
Constantele
AA
d şi
µν
φ
∑
j≠i
⎧1, atomul A ocupa pozitia i,
pˆ
i
= ⎨ (1.1.18)
⎩ 0, atomul B ocupa pozitia i.
sunt definite astfel
BB
d se determină din
d
µν
µν µν
⎡a
⎤
V () r =ε ⎢ ⎥
⎣ r ⎦
µν
µν
⎡ a ⎤
φ ( r)
= ⎢ ⎥
⎣ r ⎦
=ε c , d
AA AA AA
µν
m
µν
n
BB BB BB
, (1.1.19)
. (1.1.20)
=ε c . (1.1.21)
Parametrii ε , c , a , m şi n pentru AA şi BB sunt parametrii potenţialului SC pentru elementele
pure A şi B listate în tabelul 1.1.1. Parametrii mixti AB se obţin după legea mixturii
AB AA BB AB AA BB
φ = φ φ , V = V V , (1.1.22)
care conduce la
AB 1 (
AA BB
m = m + m ) ,
2
AB 1 (
AA BB
n = n + n ) ,
2
AB AA BB
a = a a ,
AB AA BB
a = a a . (1.1.23)
Potenţialul (1.1.15) a fost utilizat pentru a calcula constantele elastice şi termice pentru o
serie de aliaje metalice FC şi pentru a modela formarea filmelor ultrasubţiri Pd pe o suprafaţă
Cu(100) (Rafii-Tabar 2004).
Potenţial de interacţiune unghiulară, Moriarty (MO)
Metalele de tranziţie începând cu Ti, Zr şi Hf şi terminând cu Ni, Pd şi Pt, corespund la
acoperirea orbitelor 3d, 4d şi, respectiv, 5d. Interacţiunile dintre orbite dau naştere unor forţe
unghiulare care joacă un rol important în energetica acestor metale. Pentru metalele BCC, energia
coezivă totală este definită astfel:
H MO
= H 1 1
( Ω ) + vol
( ) ( )
2N
V ij + 6
V ijk +
∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑ V4
( ijkl),
(1.1.24)
2 3
i j≠i N i j≠i k≠i,
j
1
24N i j≠i k≠i, jl≠i, j,
k
unde Ω este volumul atomic, N este numărul de ioni, V
3
şi V
4
sunt potenţialii unghiulari de
interacţiune pentru 3 şi respectiv pentru 4 ioni, iar H
vol
include toate contribuţiile de interacţiune
ionică interatomice. Avem

21
V2 ij V2
r ij
( ) ≡ ( , Ω ) , V3( ijk) ≡V3( r , r , r , Ω ) , V4( ijkl) ≡V4( r , r , r , r , r , r , Ω ) , (1.1.25)
ij jk ki
ij jk kl li ki lj
unde r ij
este distanţa dintre ionii i şi j . Cu ajutorul acestui potenţial s-au determinat constante
elastice, de asemenea frecvenţa fononilor pentru o serie de metale de tranziţie.
Pentru atomi cu legături covalente se utilizează următorii potenţiali:
unde
Potenţial Tersoff de tip multi-corp C-C, Si-Si şi C-Si
Energia totală de legătură este definită astfel:
TR 1
H = Ei
= V( rij
)
2
∑ ∑∑ , (1.1.26)
i i j≠i
E
i
este energia atomului i şi V
ij
energia de interacţiune dintre atomii i şi j dată de
R
A
V ( r ) = f ( r )[ V ( r ) + bV ( r )] . (1.1.27)
ij c ij ij ij ij
R
Funcţia V ( r
ij
) reprezintă potenţialul repulsiv al perechii de atomi i şi j, cum ar fi
A
interacţiunea nucleu-nucleu, iar funcţia V ( r
ij
) este potenţialul de legătură datorită valenţei
electronilor. Termenul b ij
caracterizează ordinul legăturii şi natura interacţiunii de tip multicorp.
Aceşti potenţiali au următoarea formă analitică:
R
V ( rij) = Aijexp( −λ
ijrij)
, V A ( rij) =−Bij exp( −µ
ijrij)
,
(1)
⎧ 1, rij
< Rij
,
⎪
(1)
⎪1 1 π( rij
−Rij
)
(1) (2)
fc( rij) = ⎨ + cos , R ,
(2) (1) ij
< rij < Rij
⎪2 2 Rij
− Rij
⎪ (2)
⎩ 0, rij
> Rij
,
ni ni ( −1/2)
ni
=χ (1 +β ζ )
b ij ij i i
∑
ζ = f ( r ) ω g( θ )
ij c ik ik ijk
k≠i,
j
2 2
ci
ci
g( θ
ijk
) = 1+ −
2 2 2
di [ di + ( hi −cos θijk) ]
( λ
i
+λ
j
) ( µ
i
+ µ
j
)
λ
ij
= µ
ij
=
2
2
A
(1) (1) (1)
= AA , Bij = BB
i j
, Rij = Ri Rj
, R = R R
ij i j
ω = µ r − r .
3 3
ik
exp[
ik
(
ij ik
) ]
(2) (2) (2)
ij i j
(1.1.28)
unde indicii i , j şi k se referă la atomii din legătura ijk , r ij
şi r ik
se referă la lungimea legăturii
ij şi, respectiv, a legăturii ik , al cărui unghi este θ
ijk
.
Parametrii cu un singur indice λ
i
şi ni
se referă la un singur tip de atom, de exemplu C sau Si.
Parametrii pentru C–C, Si–Si şi Si–C sunt listaţi în tabelul 1.1.2.

22
Tabel 1.1.2. Parametrii potenţialului Tersoff pentru C şi Si (Rafii-Tabar 2000).
C
Si
A[eV]
3
1,3936× 10
3
1,8308×
10
B[eV]
2
3,467× 10
2
4,7118×
10
λ [Å -1 ] 3,4879 2,4799
µ [Å -1 ] 2,2119 1,7322
β
7
1,5724 × 10 −
6
1,1 × 10 −
n
1
7,2751 × 10 −
1
7,8734 × 10 −
c
4
3,8049× 10
5
1,0390×
10
d 4,384 16,217
h -0,57058 -0,59825
(1)
R [Å] 1,8 2,7
(2)
R [Å] 2,1 3
χ 1 1
χ( C − Si)
0,9776 Å
Potenţialul Brenner Tersoff
Acest tip de potenţial modelează legătura atomică pentru molecule mici de hidrocarbon, şi
dă o descriere realistă pentru C–C, cu legături simple, duble şi triple, pentru grafit şi diamant, însă
pentru situaţii intermediare între legătură simplă şi dublă se obţine un model nerealist. În acest
potenţial, (1.1.26) şi (1.1.27) se scriu sub forma
H
Br
1
= ∑∑ V( rij
), (1.1.29)
2
i
j≠i
R
A
V ( r ) = f ( r )[ V ( r ) + bV ( r )] . (1.1.30)
ij c ij ij ij ij
unde
D
V r = − S β r −R
R
ij
( e)
(
ij
) exp( 2
ij ij
(
ij ij
)
Sij
−1
−DS
2
V r = − β r −R
A
ij ij
( e)
(
ij
) exp(
ij
(
ij ij
)
Sij
−1
Sij
( b + b )
b = + F N N N
2
ij ji () t () t conj
ij ij
(
i
,
j
,
ij
)
b = + G + H N N
( H) ( C)
−δ
ij
[1
ij ij
(
i
,
i
)] i
⎡ c
Gc
( θ ) = a 1+ −
⎣
2 2
0 0
0 ⎢ 2 2 2
d0 d0
+ (1+ cos θ)
c
⎤
⎥
⎦
(1.1.31)
Cantităţile
( C )
i
( t) ( C) ( H)
i
(
i i
)
G = ∑ f r G θ α r −R − r −R
.
( e) ( e)
ij c
(
ik
)
i
(
ijk
)exp[
ijk
((
ij ij
) (
ik ik
))]
k≠i,
j
N şi
N reprezintă numărul de atomi C şi H legaţi de atomul i ,
( H )
i
N = N + N este numărul total al atomilor din vecinătatea atomului i , şi de asemenea

23
determină dacă legătura este parte a unui sistem conjugat. De exemplu, dacă
atomul de carbon formează o legătură conjugată cu atomii de carbon vecini,
N < 4 , atunci
N depinde de
faptul dacă o legătură de carbon ij est parte a unui sistem conjugat. Aceste cantităţi sunt definite
astfel:
() t
i
conj
ij
atomi hidrogen
atomi carbon
( H )
( C )
Ni
= ∑ fc
( ril
),
Ni
= ∑ fc
( rik
),
l≠i,
j
k≠i,
j
atomi carbon
atomi carbon
conj
ij
= + ∑ c ik ik
+ ∑ c jl jl
k≠i, j l≠i,
j
N 1 f ( r ) F( x ) f ( r ) F( x )
⎧ 1, xik
≤ 2,
⎪1 1
F( xik ) = ⎨ + cos[ π( xik − 2)], 2 < xik
< 3,
⎪2 2
⎪⎩ 0, xik
≥ 3,
x = N − f ( r ). (1.1.32)
() t
ik k c ik
conj
Pentru N
ij
= 1, legătura dintre perechea de atomi i şi j nu este parte a unui sistem
conj
conjugat, în timp ce, pentru Nij
≥ 2 , este parte a unui sistem conjugat.
Potenţialul (1.1.29) poate fi rescris sub o formă care include funcţii analitice pentru
interacţiunile intramoleculare
p π =π +π
rc dh
ij ij ij
⎡ Q ⎤
R
ij
V ( rij ) = fc ( rij ) ⎢1 + ⎥Aij exp( αijrij
)
⎢⎣
rij
⎥⎦
A
V ( r ) =−f ( r ) B exp( β r )
∑
ij c ij ijn ijn ij
n=
1,3
σπ σπ
( pij
+ pji
)
π
bij
= + pij
2
G = f ( r ) G (cos θ )exp[ λ ( r −r
)]
∑
ij c ik i jik ijk ij ik
k≠i,
j
() ()
π rc ( t , t , conj
ij
= Fij Ni Nj Nij
)
2 2
atomi carbon
atomi carbon
conj
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
ij
= 1 + ⎢ ∑ c( ik
) (
ik
) ⎥ + ⎢ ∑ c( jl
) (
jl
) ⎥
k≠i, j l≠i,
j
N f r F x f r F x
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
() ()
⎡
2
⎤
π hd ( t , t , conj
ij
= Tij Ni N
j
Nij ) ⎢ ∑∑ (1−cos ωijkl ) fc ( rik ) fc ( rjl
) ⎥
⎣k≠i, jl≠i,
j
⎦
ω = e ⋅ e . (1.1.33)
cos ijkl ijk ijl
Q
ij
este potenţialul Coulomb care tinde către infinit atunci când distanţa tinde către zero.
rc
Termenul π
ij
reprezintă influenţa radicalilor şi a legăturii conjugate π , şi valoarea sa depinde de
faptul dacă legătura dintre atomii i şi j are caracter radical sau este parte a unui sistem conjugat.
Valoarea termenului
rc
πij
depinde de unghiul diedru pentru legătura dublă C–C. Funcţiile
Hij
sunt
parametrizate prin funcţii spline bidimensionale P ij
, şi prin funcţii spline tridimensionale F
ij
şi

24
T
ij
. Funcţiile e
ijk
sunt versorii asociaţi produsului vectorial R
ji
× R
ik
, unde R sunt vectori
interatomici. Funcţia Gi
(cos θ
jik
) reprezintă contribuţia la b ij
a atomilor din vecinătatea atomului
i , şi a fost determinată pentru θ= 109,47
diamant şi foaia de grafit, şi pentru θ= 90
şi respectiv θ= 120
, pentru unghiul de legătură în
şi respectiv θ= 180
, pentru unghiul de legătură întro
reţea cubică simplă. Reţeaua FCC conţine unghiuri de 60º, 90º, 120º şi 180º. S-a calculat şi
valoarea G i
(cos60 ) . Pentru θ între 0º şi 109º, pentru un atom de carbon i , se utilizează funcţia
unghiulară
t
g = G (cos θ ) + Q( N )[ γ (cos θ) −G
(cos θ )], (1.1.34)
c c i c c
unde γ (cos θ)
este o funcţie spline determinată pentru unghiuri mai mici decât 109,47º. Funcţia
c
Q( N
t ) este
i
t
⎧ 1, Ni
≤ 3, 2
t
t ⎪1 1 π( Ni
−3,2)
t
QN (
i
) = ⎨ + cos , 3,2< Ni
< 3,7
⎪2 2 (3,7−
3,2)
⎪
t
⎩ 0, Ni
≥ 3,7.
(1.1.35)
Potenţial Lennard-Jones
Interacţiunile care nu sunt de tipul legăturilor atomice se pot modela prin potenţialul
Lennard-Jones care descrie interacţiunile intermoleculare în reţeaua atomică de grafit sau în
moleculele C
60
. Potenţialul de interacţiune total între atomii de carbon în două molecule C
60
, sau
dintre două plane de grafit se scrie sub forma
H
LJ
12 6
⎡⎛ IJ
σ ⎞ ⎛ σ ⎞ ⎤
( rij ) = 4ε∑∑ ⎢
IJ −
IJ
⎥ ,
i j>
i ⎢⎜r
⎟ ⎜
ij
r ⎟
(1.1.36)
⎝ ⎠ ⎝ ij ⎠ ⎥
⎣
⎦
IJ
unde I şi J reprezintă două molecule sau două plane, r
ij
este distanţa dintre atomul i din
molecula (planul) I şi atomul j din molecula (planul) J . Parametrii acestui potenţial sunt
−2
ε= 0,24127 × 10 eV , σ= 3,4 Å.
Potenţialul 6-exp
Acest potenţial descrie interacţiunea dintre atomii de carbon în două molecule C
60
:
A
H ( r ) = ∑∑ − + Bexp( −αr
) . (1.1.37)
DJ IJ IJ
ij
IJ 6
ij
i j>
i ( rij
)
Parametrii din acest potenţial sunt listaţi în tabelul 1.1.3. Valoarea măsurată a parametrului a
pentru C
60
este a = 14,04 Å la T = 11K , iar valoarea calculată în cazul 1, este a = 13,01 Å, iar în
cazul 2, a = 14,03 Å.

25
Tabel 1.1.3. Parametrii potenţialului 6-exp pentru C (Rafii-Tabar 2000).
A [kcal×Å 6 /mol] B [kcal/mol] α [Å -
Cazul
1
Cazul
2
358 42000 3,58
568 83630 3,60
1 ]
Potenţial Ruoff-Hickman
Acest potenţial descrie interacţiunea unei molecule C 60
cu un substrat de grafit. Aceste
două sisteme se modelează ca suprafeţe continue. Sumele se înlocuiesc cu integrale care se
evaluează analitic. Molecula C 60
este modelată ca o sferă goală cu raza b = 3,55 Å, şi
interacţiunea C–C se consideră de forma Lennard-Jones
H ( rij
) c r c r
= − , (1.1.38)
−12 −6
12 6
unde c
6
= 19,97 eVÅ 6 şi c
12
= 34812 eVÅ 12 . Potenţialul de interacţiune dintre C
60
şi un singur
atom de carbon al substratului de grafit aflat la o distanţă z> b de centrul sferei, se scrie
unde
V ( z) = V ( z) − V ( z)
, (1.1.39)
12 6
c N ⎡ 1 1
V ( z)
= ⎢ −
2( n−2) bz⎣( z− b) ( z+
b)
n
n n−2 n−2
⎤
⎥ , (1.1.40)
⎦
cu N numărul de atomi pe sferă ( N = 60 în cazul acesta) şi n = 12 şi 6. Energia totală de
interacţiune între C60
şi planul de grafit se obţine prin integrarea funcţiei V()
z pe domeniul
atomilor din plan:
H ( R) = E ( R) − E ( R)
, (1.1.41)
12 6
unde R este distanţa verticală de la centrul sferei la plan, şi
E
c N ⎡ 1 1
⎢
4( n−2)( n−3) b ⎣( R− b) ( R+
b)
2
n
n
( R)
= −
3 n−3 n−3
⎤
⎥ . (1.1.42)
⎦
Potenţial metal-carbon
În modelarea creşterii filmelor metalice pe substraturi semi-metalice cum este grafitul, un
rol important îl are interfaţa metal-carbon, deoarece ea controlează umezirea iniţială a
substratului, difuzia şi alinierea finală a atomilor. Un potenţial care descrie interacţiunea unui
atom metalic FCC (M) cu C, se poate construi prin regula mixturii.
Se consideră un potenţial generalizat de tip Morse cu parametrii necunoscuţi
MC
H ( rij ) = ∑∑ EMC [exp( −Nα( rij −rw )) −Nexp( −α( rij −rw
))] , (1.1.43)
i
j>
i
un potenţial Morse cunoscut, care descrie interacţiunea C–C

26
CC
H ( r ) = ∑∑ E [exp( −2 α ( r −r )) −2exp( −α ( r −r
))], (1.1.44)
ij C 1 ij d 1 ij d
i j>
i
şi un potenţial generalizat Morse cunoscut, care descrie interacţiunea M–M
MM
H ( r ) = ∑∑ E [exp( −mα ( r −r )) −mexp( −α ( r −r
))], (1.1.45)
ij M 2 ij 0 2 ij 0
i j>
i
O lege mixtă poate fi de forma
E
= EE , rw
= rdr
0
, α= αα
1 2
, N = 2m
. (1.1.46)
MC C M
În felul acesta se obţine
∑∑
MC
H ( r ) = E [exp( −Nα( r −r )) −Nexp( −α( r −r
))] −
ij MC ij w ij w
i j>
i
−E [exp( −Nα( r −r )) −Nexp( −α( r −r
)) −
MC c w c w
EMC
Nα
− [1 −exp( η( rij −rc ))][exp( −Nα( rc −rw )) −exp( −α( rc −rw
))],
η
unde r c
este valoarea la care potenţialul este nul, η fiind o constantă care este egală cu 20.
Parametrii acestui potenţial pentru M ≡ Ag sunt listaţi în tabelul 1.1.4.
(1.1.47)
Tabel 1.1.4. Parametrii potenţialului Ag-C (Rafii-Tabar 2000).
α 4,9519 Å -1
1
α
2 0,37152 Å -1
3,1 eV
E
C
E 0,0284875 eV
Ag
m 6
r
0
r
d
4,44476 Å
1,2419 Å
Primul scop al lucrarii este de a construi o clasa de legi constitutive pentru nanotuburile de
carbon, bazate pe date experimentale. Aceasta clasa de legi se construieste prin considerarea unei
probleme1D de deformatie uniaxiala a unui nanotub de carbon cu un singur perete. Se aplica
metoda reducerii pseudosferice a problemei de deformatie (Teodorescu, Chiroiu si Munteanu
2005 a,b,c,d, Rogers si Schief 1997).
Pentru intelegerea acestei problemei, consideram ecuatiile de miscare intr-un sistem de
coordonate Lagrangeian, sub forma
ε
t
= vX
, ρ
0vt =σ
X
. (1.1.48)
Ecuatia constitutiva uniaxiala este data de
σ=σ( ε , X ) . (1.1.49)

27
ρ0 Aici, σ si ρ sunt tensiunea uniaxiala si respectiv, densitatea materialului, iar ε= −1
este
ρ
alungirea, ρ
0
este densitatea materialului in stare nedeformata, si v( X , t ) este viteza. Intr-un
sistem ce coordonate Eulerian x = xXt ( , ) , avem
d x = ( ε+ 1)dX = vdt
, (1.1.50)
astfel incat
ρ dX = ρdx− ρ vdt
. (1.1.51)
0
In (1.1.51), X corespunde functiei particula ψ in formularea lui Martin. Variabilele
independente sunt σ si ψ , cu ρ
0
= 1. In acest caz, se obtine ecuatia Monge–Ampère (Munteanu
si Donescu 2002, 2004)
2
ξσσξψψ − ξ
σψ
=ε
σ
, (1.1.52)
t
= ξ
σ
, v = ξ
ψ
,
d x = ξξ
ψ σσ
+ ( ξξ
ψ σψ
+ε)dψ , (1.1.53)
0 < | ξσσε

28
zyy
ξ
σσ
=
2
zxxzyy − zxy
Curbura Gaussiana (1.1.57) devine
z
xx
xy
, ξ
ψψ
= , ξ
2 σψ
=
2
zxxzyy − zxy
zxxzyy − zxy
z
. (1.1.60)
1
K =
. (1.1.61)
2 2 2 2
(1 +σ +ψ ) ( ξσσξψψ − ξσψ
)
Curbura Gaussiana se poate pune in corespondenta biunivoca cu ecuatia Monge–Ampère
(1.1.52) prin
1
ε
σ
= , (1.1.62)
Κ
2 2 2
(1 +σ +ψ )
si
2
A
Κ=
. (1.1.63)
2 2 2
(1 +σ + X )
unde
A
2
urmare scriem
∂σ
= , cu A viteza de unda Lagrangeiana. Suprafata Σ este pseudosferica, prin
∂ε
| X
1
K =− , a = const.
(1.1.64)
2
a
In acest caz , relatia (1.1.63) devine
∂ε
Integrand (1.1.65), avem
2
∂σ 2 2 2 ∂σ
=
2 2 (1 +σ + X ) σ |
X
> 0
|
X
a
∂ε
, σ> 0 . (1.1.65)
2 2
a
σ σ 1+
X
ε= [arctan( ) + ] +α( X ) , (1.1.66)
2 3/2 2 2 2
2(1 + X ) 1+ X 1+σ + X
unde α ( X ) se determina din date experimentale cu ajutorul unor probleme inverse. Pentru
σ |
ε= 0
= 0, rezulta α ( X ) =0. Relatia (1.1.66) reprezinta o clasa de ecuatii constitutive pentru
nanotuburi de carbon, pentru care ecuatia de miscare (1.1.48) este asociata unei suprafete
pseudosferice Σ .
Legile constitutive si potentialii atomici sunt in masura sa identifice parametrii nanostructurali
pentru materialele elastice si vasco-elastice.
O extensie a reducerii pseudo sferice se paote face si pentru materialele vascoelastcie prin
cuplarea cu un model nelocal.
Un domeniu fizic în care teoria nelocală este aplicabilă constă în descrierea fenomenelor de
indentare în materiale micro şi nanostructurate. Toate materialele au o microstructură fiind
alcătuite din subcorpuri (atomi, molecule, granule, etc) care se atrag între ele prin forţe
interatomice. Pentru un corp dat, scările de lungime macro-, micro şi nanometrică sunt asociate
unei lungimi caracteristice λ . Această lungime caracteristică poate fi o distanţă atomică sau o
distanţă granulară depinzând de natura fenomenului studiat. Scara de timp τ sau de frecvenţă ω
poate fi timpul minim de transmitere a unui semnal sau a unei frecvenţe asociate de la un subcorp
la altul. Domeniul de aplicabilitate a teoriei corpurilor deformabile depinde de raportul
( λ/, l τ/ τ0
) sau ( λ/, l ω0
/ ω ) . .

29
Valorile mărimilor de stare care caracterizează fenomenul într-un punct al mediului, la un
moment de timp, depind nu numai de valorile pe care le au aceste mărimi în acelaşi punct într-un
moment anterior, ci şi de valorile pe care le aveau mărimile în acel moment în puncte ale
mediului situate la depărtări comparabile cu lungimea de undă a propagării fenomenului.
În teoria atomică a laticelor, existenţa forţelor coezive cu un domeniu larg de acţiune este
recunoscută şi efectul lor asupra dispersiei undelor elastice a fost stabilit de experimentatori.
Interacţiunea dintre domenii ale căror dimensiuni sunt de acelaşi ordin de mărime cu
lungimea de undă a propagării fenomenului, este o problemă care a preocupat pe mulţi dintre
matematicieni şi fizicieni. Teoria elasticităţii se bazează pe ideea că forţele de răspuns au o rază
de acţiune practic nulă. Aceasta implică o anumită limitare în aplicaţii deoarece forţele de
coeziune în materialele reale au un domeniu de acţiune finit dar nenul. Domeniul de acţiune al
forţelor interne şi continuitatea materiei sunt două concepte diferite. Împreună pot conduce la o
teorie nelocală a elasticităţii, adică la o teorie a conţinutului care ia în consideraţie un domeniu
finit de acţiune al forţelor coezive.
Trăsăturile care fac distincte teoriile nelocale şi teoriile clasice sunt postulatele privind
întregul corp şi apariţia în ecuaţiile locale a unor termeni numiţi de Eringen reziduuri de
localizare. Eringen a obţinut din legile globale de bază formele nelocale ale legilor de bilanţ şi ale
inegalităţii entropiei, prin includerea reziduurilor de localizare a căror contribuţie totală în legile
globale este nulă. Reziduurile de localizare sunt suficiente pentru a lua în consideraţie
interacţiunea tuturor părţilor corpului cu starea oricărui punct material din corp.
Stabilim acum ecuaţiile nelocale de bilanţ şi legile constitutive pentru un solid elastic cu
microstructură, conducător de căldură, alcătuit din n constituenţi (granule solide sau fluide
vâscoase, compresibile, conducătoare de căldură).
Se consideră două sisteme de coordonate, unul spaţial şi altul material, având vectorii de
poziţie x , respectiv X . Spaţiul de referinţă, în raport cu care se descrie fenomenul de
interacţiune solid-fluid este un spaţiu euclidean tridimensional E al punctelor x , ale căror
k
coordonate spaţiale se notează cu x , k = 1, 2,3 . Solidul şi constituenţii sunt suprapuşi în aşa fel
încât orice punct spaţial x este ocupat simultan de către o particulă a fiecărui constituent. Timpul
de referinţă, în raport cu care se descrie fenomenul de interacţiune dintre fazele solid-fluid este un
spaţiu euclidean unidimensional al punctelor t , numite momente de timp. Conform lui Truesdell
p
prin mixtură continuă se înţelege o familie de varietăţi tridimensionale B ξ
de clasă C , p ≥ 2 ale
punctelor X ξ
. Punctele X ξ
reprezintă particulele constituenţilor ξ ai mixturii. Este greu să se
stabilească o corespondenţă biunivocă între particulele X ξ
ale mixturii continue definite mai sus
şi particulele elementare solide sau fluide care formează mixtura solidă propriu-zisă.
Varietăţile B ξ
se raportează la un sistem cartezian ortogonal de coordonate şi astfel se
k
poate stabili o corespondenţă biunivocă între particulele X ξ
şi tripletele de numere reale X ξ
,
k = 1, 2,3
X = X X X X . (1.1.67)
1 2 3
ξ ξ( ξ, ξ, ξ)
k
Numerele X ξ
, k = 1, 2,3 se numesc coordonatele materiale ale particulelor X ξ
ale
constituentului ξ . Se presupune că structura internă a unei particule solide sau fluide X ξ
este
caracterizată de un câmp tensorial χ
ξ
care determină starea internă a particulelor. Corespondenţa
biunivocă dintre varietatea B ξ
şi un domeniu E
1
al spaţiului euclidean tridimensional stabileşte o
k
corespondenţă biunivocă între coordonatele materiale X ξ
şi valorile câmpului χ
ξ

30
x = χ ( X , t).
. (1.1.68)
ξ
ξ
Câmpul tensorial χξ
descrie mişcarea constituentului ξ la momentul t . Punctul spaţial x la
momentul t este ocupat simultan conform legii (1.1.68) de către o particulă materială a fiecărui
k
constituent. Se presupune că (1.1.68) este biunivocă şi continuu diferenţiabilă în raport cu X ξ
şi
t . Viteza fiecărui constituent material este definită prin
∂χξ
vξ
= | X
. (1.1.69)
∂
ξ
t
Notând densitatea de masă a constituentului ξ cu ρ
ξ
, densitatea de masă a mediului este
dată de formula
ρ = ∑ ρξ
. (1.1.70)
Derivata materială a funcţiei tensoriale ψ relativ la constituentul ξ este
Dψ dψ ∂ψ
ξ = | = | + v ψ
Dt dt ∂t
ξ
k
X ξ x ξ , k
unde ψ
,k
reprezintă derivata parţială a funcţiei ψ în raport cu
, (1.1.71)
k
x . Înainte de a trece la legile de
bilanţ se dau două formule fundamentale utilizate în stabilirea ecuaţiilor nelocale de bilanţ.
Derivata în raport cu timpul a integralei funcţiei tensoriale ψ considerată pe volumul V ξ
asociat constituentului ξ poate fi scrisă sub forma
d
dt
Vξ
∂ψ
ψ d V = [ + ( ψ v ) ]d V + ψ ⋅( v −u ) nkdσ
∂t
, (1.1.72)
∫ ∫ ∫
*
Vξ
k k k
ξ , k ξ
σ
*
unde V ξ
reprezintă partea din V ξ
care nu conţine vecinătăţi ale suprafeţei de discontinuitate σ , n
vectorul unitar normal la σ în direcţia propagării discontinuităţii, u viteza cu care se propagă
suprafaţa de discontinuitate σ , şi parantezele duble saltul valorii cantităţii respective de-a lungul
suprafeţei de discontinuitate în direcţia de propagare. Interfaţa dintre constituenti o putem defini
ca o astfel de suprafaţă de discontinuitate. A doua formulă este dată de teorema generalizată
Green-Gauss pentru o funcţie vectorială A pe suprafaţa S ξ
a lui V ξ
∫ ∫ ∫
A ndS= AdV+ A ndσ.
k k k
k , k k
S
*
ξ V
σ
ξ
(1.1.73)
În cele ce urmează nu se iau în consideraţie fenomenele electro-magnetice, relativiste sau
cuantice. Legile de bilanţ, în cazul mediului nelocal, includ legile de bilanţ ale masei, energiei,
impulsului, momentului cinetic şi inegalitatea lui Clausius-Duhem.
1. Conservarea masei. Derivata în raport cu timpul a integralei densităţii de masă pentru
constituentul ξ , considerată pe volumul de material V ξ
trebuie să fie nulă
d
ρ
ξdV
= 0
t
∫ . (1.1.74)
d V ξ

31
Utilizând (1.1.72) ecuaţia nelocală a densităţii de masă poate fi scrisă pentru fiecare
constituent în parte astfel
∂ρ
ξ
+
k
( ρ v ) ,
ˆ
ξ ξ k = ρ
ξ, (1.1.75)
∂t
∫ ρ ˆ
ξdV
= 0,
Vξ
(1.1.76)
k k
ρ ( v u ) n ˆ
ξ ξ
−
k
= Rξ, (1.1.77)
ˆ
∫ Rξd
σ= 0 . (1.1.78)
σ
În ecuaţiile de mai sus au apărut nişte câmpuri scalare, arbitrareρ ˆ ξ
şi ˆR *
ξ
definite pe V ξ
,
respectiv σ , care îndeplinesc (1.1.76) şi (1.1.78) . Astfel de legi de bilanţ sunt familiare reacţiilor
chimice unde cantităţile notate cu ^ reprezintă variaţii ale cantităţii respective în V ξ
datorită
interacţiunilor cu restul corpului, ele fiind o consecinţă directă a interacţiunilor interne nelocale.
*
În (1.1.75) ρ ˆ ξ
caracterizează variaţia de masă a constituentului ξ în volumul V ξ
, datorită
reacţiilor chimice. Câmpul scalar ˆR ξ
poate fi interpretat ca fiind variaţia de masă a
constituentului ξ de-a lungul suprafeţei de discontinuitate σ . În cazul absenţei reacţiilor chimice,
atât ρ ˆ ξ
cât şi ˆR ξ
se anulează. Condiţiile (1.1.76) şi (1.1.78) caracterizează faptul că nu există
creştere netă de masă în corp. Deoarece aceşti termeni apar în procesul de localizare a legilor
globale de bilanţ, ei se numesc, potrivit cu Eringen, reziduuri de localizare. Înlocuind în (1.1.42)
ψ cu ρψ
ξ
şi ţinând seama de (1.1.75), formula (1.1.72) devine
d
dt
Vξ
∂ψ
ρψ d V = [ ρ + ρ v ψ + ψρ ]d V + ρψ⋅( v −u ) nkdσ. (1.1.79)
∫ ∫ ∫
k k k
ˆ
ξ ξ ξ ξ , k ξ ξ ξ
* ∂t
V
σ
ξ
Sub această formă, formula (1.1.79) va fi utilizată mai departe în obţinerea legilor nelocale
de bilanţ. Cum se va vedea, fiecare lege de bilanţ acompaniată de condiţia de salt, va conţine un
*
reziduu de localizare de volum şi un reziduu de localizare de suprafată, definite pe V ξ
şi respectiv
*
pe σ , completate de condiţia ca integralele pe V ξ
şi σ ale acestor reziduuri să fie nule.
2. Bilanţul impulsului. Presupunând că există un tensor al tensiunii t ξ
pentru fiecare constituent şi
o fortă de volum f ξ
pentru fiecare constituent, ecuaţia de bilanţ al impulsului se scrie sub forma
d
dt
k jk k
∫ρ ξvξdV = ∫tξnjdS + ∫ ρξfξdV
. (1.1.80)
Vξ
Sξ
Aplicând (1.1.73) şi (1.1.79) se obţine ecuaţia nelocală de bilanţ al impulsului pentru
fiecare constituent în parte
Vξ
k
dv
jk k ξ k
ˆ ˆ k
tξ,
j
+ρξ( fξ − ) = vξρ ξ
+ρ
ξfξ
, (1.1.81)
dt

32
ˆ
∫ fξ d V = 0 ,
*
Vξ
(1.1.82)
jk k j j
( ) ˆ k
tξ −ρξvξ vξ − u
nj
=ρξFξ
, (1.1.83)
ˆ
∫ Fdσ=
0 . ξ
(1.1.84)
σ
În (1.1.81)-(1.1.84) ˆf ξ
şi ˆF ξ
reprezintă reziduurile de localizare ale forţelor de volum
*
definite pe V ξ
şi respectiv pe σ . Câmpul vectorial ˆF ξ
poate fi interpretat ca reprezentând
efectele nelocale pe suprafaţa σ introduse de variaţia forţei de volum ce acţionează asupra
constituentului ξ de-a lungul suprafeţei de discontinuitate σ .
3. Bilanţul momentului cinetic. Forma integrală a ecuaţiei de bilanţ a momentului cinetic pentru
fiecare constituent este
d
dt
j k j ik j k
∫eijk p ρ
ξvξdV = ∫eijk p tξnidS + ∫ eijk
p ρξfξdV
, (1.1.85)
Vξ
unde e
ijk
sunt componentele tensorului alternativ, iar
Sξ
Vξ
j
p componenetle vectorului de poziţie.
Făcând uz de (1.1.73) şi (1.1.79) şi de condiţia de bilanţ a impulsului, ecuaţia nelocală de bilanţ a
momentului cinetic devine
e [ t jk + ρ p j fˆ
k ] = ρ lˆ
, (1.1.86)
ijk
ξ ξ ξ ξ ξ
ˆ
∫ ldV
ξ
= 0 ,
*
Vξ
(1.1.87)
e pF j ˆ k = Lˆ
i , (1.1.88)
ijk
ξ
ξ
ˆ
∫ Ldσ=
0 . ξ
(1.1.89)
σ
În formulele de mai sus ˆl ξ
şi ˆL ξ
reprezintă reziduurile de localizare ale cuplelor de volum
*
definite pe V ξ
şi respectiv pe σ . Ele caracterizează efectul nelocal introdus de variaţia cuplelor
de volum pe unitatea de masă. În cele ce urmează se consideră că termenii. ˆl ξ
şi ˆL ξ
se pot
elimina atâta vreme cât nu sunt considerate în ecuaţia (1.1.85) cuplele de tensiuni, de suprafată şi
de volum. Prin urmare se consideră
lˆ ξ
= 0 , Lˆ ξ
= 0 . (1.1.90)
4. Bilanţul energiei. Presupunând că există pentru fiecare constituent energia internă specifică ε
ξ
,
vectorul flux de cădură q ξ
îndreptat spre interiorul volumului materiei şi sursa de căldură h ξ
,
ecuaţia conservării totale a energiei se scrie astfel

33
d 1 [
k ]d
jk k
∑ ρ
ξvξvξk + ρξεξ V − tξvξ knjdS − ρξfξvξ
k d V −
dt
∫ ∑ ∑
2
∫ ∫
ξ V
ξ
ξ
S
ξ
ξ
∑
k
− qndS− ρ hdV=
0
ξ
∫
Sξ
∑
∫
ξ k
ξ ξ
ξ Vξ
Vξ
(1.1.91)
Utilizând (1.1.73) şi (1.1.79), precum şi ecuaţiile de bilanţ a impulsului, şi a momentului
cinetic, ecuaţia nelocală de conservare a energiei devine
k
k
∂qξ dεξ ∂v
jk ξ
ˆ k 1 k
− ρ t h v ˆ ˆ ˆ
k ξ
+
ξ
+ρ
j ξ ξ
− ρ
ξ ξk
fξ + ρξεξ − ρ
ξvξkvξ = ρξhξ, (1.1.92)
∂x dt ∂x
2
ˆ
∫ ρ
ξhξ
d V = 0 ,
*
Vξ
(1.1.93)
1
k j j jk j
ρ ( v )( )
ˆ
ξ ξk +εξ vξ −u −tξ vξ k
− q
ξ
nj
=ρξHξ
2
, (1.1.94)
ˆ
∫ Hξd
σ= 0 . (1.1.95)
σ
unde ĥξ şi Ĥ *
ξ
reprezintă reziduurile de localizare definite pe V ξ
şi respectiv pe σ , caracterizând
variaţia energiei nelocale pe unitatea de masă respectiv efectul de suprafaţă corespunzător.

34
1.2. Analiza conceptelor de nanostructurare a sistemelor compozite alcatuite din materiale
diferite
Nuzzo şi Allara au raportat primul studiu al mono-straturilor auto-asamblate în 1983. De
atunci acest domeniu de activitate se dezvoltă rapid, în special mono-straturile pe substrat de aur,
chemoabsorbite din soluţii sau gaze. Posibilitatea de a fabrica filme mono-moleculare omogene
cu proprietăţi controlate a captat substanţial atenţia cercetătorilor în domeniu în ultimii ani. Autoasamblarea
mono-straturilor SAMs de sulf pe substrat de aur este un procedeu uşor de a forma
fire omogene. Procesul de absorbţie are doi paşi. În primul pas, moleculele sunt fizic absorbite
(prin absorbţie izotermă Langmuir) şi aranjate aproape paralel, în linie cu suprafaţa. În pasul al
doilea, moleculele se reorientează şi-şi organizează lanţurile alchil prin chemobsorbţie într-un
monostrat omogen cu proprietăţi controlate. Cristalele se pot aranja în diferite forme ordonate, şi
se pot utiliza ca filme anti-îngheţ pentru avioane, straturi lubrifiante în microelectronică, agenţi
anti-trombotici pentru artere, etc. In lucrare s-a studiat o colecţie de nanoparticule de aur de
aproximativ 5nm diametru, aranjate în circuite moleculare intr- matrice de cupru, sunt prezentate
în fig. 1.2.1.
Fig.1.2.1. Circuite moleculare din nanoparticule de aur in matrice de cupru.
Pentru obtinerea unor proprietati superioare de rezistenta si amortizare, se utilizeaza
compozite cu materiale diferite. Implementand in circuitele moleculare cu nanoparticule de aur,
nanoparticule dintr-un material auxetic, proprietatile de amortizare a nanocompozitului cresc. IN
lucrare se studiaza materialele auxetice si materialele cu rigiditate negativa (sau a materialelor
auxetice cu coeficient Poisson negativ in scopul arhitecturarii a noi nanocompozite cu proprietati
superioare sau la cerere (Chiroiu, Munteanu, Dumitriu, Beldiman si Secara 2007, Chiroiu,
Dumitriu, Munteanu 2007). Motivatia pentru studiul materialelor cu rigiditate negativa este data
de rezultatele experimentale estrem de promitatoare din ultimii ani, care au demonstrat ca
mecanismul rigiditate negativă exercită o forţă opusă care anulează rigiditatea resortului elastic.
Acest mecanism amortizează vibraţiile de la două ori la trei ori mai bine dacật orice mecanism
activ sau semi-activ de reducere a vibraţiilor (Chiroiu, Munteanu, Dumitriu, Beldiman si Secara,
2008). Rezultatul esential pe care se bazeaza aceasta lucrare este demonstrarea atat experimentala
(Lakes 2001, Lakes, Lee, Bersie si Wang 2001) cat si teoretica (Teodorescu, Badea, Munteanu şi
Onişoru 2005, Teodorescu, Munteanu si Chiroiu 2005) existenţa materialelor cu constante
elastice de material avậnd valori negative. În cazul cuprului se arată că acest material poate avea
constante elastice negative pentru deformaţii iniţiale mari pozitive sau negative.
Ideia principală a lucrarii constă în aceea că, înglobate într-o matrice de material cu
rigiditate pozitivă, incluziunile din material cu rigiditate negativă activează în timpul vibraţiilor
mecanismul rigiditate negativă prin care dezvoltă deformaţii mai mari în incluziuni şi în
vecinatatea lor, decật în restul matricii. Datorită acestor deformaţii mari, mişcarea globală a

35
compozitului este amortizată. Deşi materialul de rigiditate negativă este instabil, incluziunile pot
fi stabilizate prin matricea în care sunt incorporate.
Mecanismul rigiditate negativă are ca efect reducerea deformaţiilor unei structuri
nanostructurate. O lege constitutiva tipic pentru astfel de materiale cu rigiditate negativa este
reprezentata in fig. 1.2.2.
C
klmn
Fig. 1.2.2. Lege constitutive in care instabilitatea materiala apare din cauza inmuierii.
In cele ce urmeaza vom folosi urmatoarele notatii:
u
k
, k = 1,2,3 vector deplasare;
σ , k, l = 1, 2,3 tensor tensiune;
kl
t tensiune de tractiune;
( n)
k
m
kl
tensor tensiuni cuplate (or moment pe unitatea de arie);
m cuple de suprafata;
( nk )
n
l
normala exterioara la frontiera;
e = 1/2( u + u ) tensorul Lagrange al macrodeformatiilor;
kl k, l l,
k
ϕ
k
vector de microrotatie;
ν = ϕ vector viteza de microrotatie (vectorul giratie);
k
k
ε = u +ϕ tensor microdeformatie;
kl k, l k,
l
ε
klm
( ε 123
=ε 231
= ε 312
=−ε 132
=−ε 321
=−ε 213
= 1 , altfel ε
klm
= 0 ) simbol de permutare;
r = 1/2ε u vector macrorotatie;
k klm m,
l
λ , µ constante elastice Lamé ;
12
B
klmn
( ε=ε=− ′
1
2 C ε) constante Cosserat gradient de rotatie;
C 11
C
2
12
b
=
22
+
23
− 2 ( C
ijkl
C11
Y C C
B constanta Cosserat de rotatie;
ijkl
) constante chirale elastice;
ijkl
A energia specifica ;
L energie electrostatica Coulomb (energie Madelung );
d energie free-electron, care depinde de volumul cristalului;
b energia de banda structurala;

36
( x, y, z)
energie repulsiva ion-core (Born-Mayer) ;
l parametru a energiei repulsive;
2α volumul celulei elementare.
. Ecuatiile constitutive pentru un material isotrop centrosimetric de tip Cosserat sunt (Lakes
1982, Chiroiu, Munteanu si Dumitriu 2008)
σ
kl
=λerrδ kl
+ (2 µ +κ ) ekl +κεklm( rm −ϕ
m)
, m
kl
=αϕr, rδ kl
+βϕ
k, l
+ γϕ
l,
k
, (1.2.1)
In (1.2.1) sase constante elastice indpendente descriu comportarea solidului isotrop
centrosimetric Coserat. Pentru un corp isotrop non-centrosymmetric de tip Cosserat, energia de
deformatie si tensorul deformatie se scriu sub forma
si
= ε ε + ϕ ϕ + ε ϕ , (1.2.2)
2V Cklmn kl mn
Bklmn k , l m, n
Aklmn kl m,
n
ε = e +ε ( r −ϕ ). (1.2.3)
kl kl klm m m
Tensiunile si cuplele de tensiuni se obtin din
∂V
σ = , ∂ε
kl
kl
m
kl
∂V
= . (1.2.4)
∂ϕ
Din (1.2.3) si (1.2.4) obtinem ecuatiile constitutive pentru un corp isotropic noncentrosimetric
de tip Cosserat
sau
σ
kl
= Cklmnε mn
+ Aklmnϕ m,
n
, mkl Bklmn m,
n
Aklmn mn
l,
k
= ϕ + ε . (1.2.5)
σ = ε δ + ε + ε + ϕ δ + ϕ + ϕ (1.2.6)
kl
C1 rr kl
C2 kl
C3 lk
A1 r, r kl
A2 k, l
A3 l, k,
unde
m = Bϕ δ + B ϕ + B ϕ + Aε δ + A ε + Aε , (1.2.7)
kl 1 r, r kl 2 l, k 3 k, l 1 rr kl 2 lk 3 kl
C
1
=λ, C
2
= µ , C
3
=κ, B
1
=α, B
2
= β , B
3
= γ , A1 = C1, A2 = C2, A3 = C3,
Ecuatiile constitutive (1.2.6) si (1.2.7) conduc la
σ =λe δ + (2 µ +κ ) e +κε ( r −ϕ ) + Cϕ δ + C ϕ + C ϕ , (1.2.8)
kl rr kl kl klm m m 1 r, r kl 2 k, l 3 l,
k
m =αϕ δ +βϕ + γϕ + C e δ + ( C + C ) e + ( C −C ) ε ( r −ϕ ). (1.2.9)
kl r, r kl k , l l, k 1 rr kl 2 3 kl 3 2 klm m m
Ecuatiile (1.2.9) reprezinta ecuatiile constitutive pentru un corp de tip Cosserat care se
comporta isotropic in raport cu o rotatie a sistemului de referinta dar nu in raport cu o inversie.
Constantele chirale Ci
, i= 1, 2,3 caracterizeaza noncentrosimetria. Pentru C
i
= 0 se reobtin
ecuatiile elasticitatii isotrope micropolare. Pentru α=β = γ =κ= 0 , ecuatiile (1.2.8) and (1.2.9)
se reduc la ecuatiile constitutive ale teoriei elasticitatiii liniare isotrope.
Conditiile pe frontiera sunt date de
σ
lknl = t( n)
k
, mn
lk l
m( n)
k
Legea de miscare este independenta de simetria materiala. Avem
= . (1.2.10)

37
σ −ρ = , m
,
+ε σ −ρϕ j = 0 . (1.2.11)
kl, k
ul
0
rk r klr lr k
Pentru a calcula constantele elastice de ordin superior adoptam modelul material al lui
Jankowski and Tsakalakos (1985) (Chiroiu, Munteanu si Dumitriu 2008). Energia totala a
cristalului se scrie sub forma
Calculele arata ca
Avem
E = Ees + Efe + Ebs + Er
, (1.2.12)
E
r
reprezinta termenul predominant in calculul constantelor elastice.
E
∑
2
exp( R)
, (1.2.13)
1
r
= α −β
R
cu α , β parametri energetici care se determina experimental pentru fiecare material in parte.
Constantele elastice se determina din
2
2
2
∂ V
∂ V
∂ V E
C = , B = , A = , V = . (1.2.14)
∂ε ∂ε ∂ϕ ∂ϕ ∂ε ∂ϕ Ω
ijkl
ij
kl
ijkl
i, j k,
l
unde V este densitatea energiei de deformatie, Ω este volumul celulei elementare si ε ij
tensorul
Lagrange de deformatie. Formula de calcul este
ijkl
ij
k,
l
∂ 1 ∂ ∂
= ( Xi
+ X
j ) . (1.2.15)
∂ε 2 ∂x
∂x
ij j i
In (1.2.15) X i
sunt coordonatele Lagrange corespunzatoare starii initiale care poate fi
supusa unei deformatii finite initiale, x
i
sunt coordonatele finale Euler, care difera de X
i
printr-o
deformatie infinitezimala. Derivatele unei functii diferentiabile f () r se calculeaza conform cu
formula
unde
⎛
2
∂ f() r ⎞ 1 1
= [ Rf′′ ( R) − f′ ( R)] Y ( )
3
ijkl
+ f′
R Z
⎜
⎟
⎝∂εkl∂εij
⎠ R
4R
r=
R
ijkl
,
Y
= XXX X, Zijkl = XiXkδ jl
+ XiXlδ jk
+ X
jXlδ ik
+ X
jXkδ il
,
ijkl i j k l
R = X + X + X .
2 2 2
1 2 3
Din (1.2.12)-(1.2.14) rezulta
cu
Cijkl = aijkl − bijkl
, (1.2.16)
( n)
( n) ( n)
( n) ( n)
( n) ( n) ( n)
βR
aijkl
= ∑ f Yijkl
, bijkl
= ∑ g Zijkl
, f = f( R ) = 4 g [1 + ],
( n) 2
n
n
( R )
( n) ( ( n) ) K
exp( ( n)
g = g R = −β R ) , K
αβ
= ,
( n)
R
8 Ω
unde Ω este volumul celulei elementare.
Consideram acum un cristal FCC caracterizat de 3 constante independente, care este
defomat in directia [111] (fig. 1.2.3).

38
Fig. 1.2.3. Reprezentarea sistemelor de axe ( x, y, z)
si ( X , YZ , ) . Ultimul este
utilizat pentru a studia deformatia biaxiala a cristalului,
Ecuatiile de transformare din sistemul ( x, y, z ) in ( X , YZ , ) sunt
x + y + z − x+
y
X = , Y = ,
3
2
Din (1.2.17) se obtin coordonatele atomilor dupa deformare
la ma
X = , Y = ,
3 8
−x − y + 2z
Z = . (1.2..17
6
na
Z = , (1.2.18)
24
cu l, m,
n numere intregi. Celula unitara a cristalului este reprezentata in fig, 1.2.4, in fig. 1.2.5
se arata aranjamentul laticei obtinut din (1.2.18) iar in fig. 1.2.6 locatia atomilor in cele doua
sisteme de coordonate deformat si nedeformat.
Deformatia biaxiala in directia [111] este descrisa de
unde
X1 = X (1 +ε ′)
, X2 = Y(1 +ε ) , X3 = Z(1 +ε ) , (1.2.19)
X
i
sunt coordonatele dupa deformatie.

39
Fig. 1.2.4. Celula unitara a cristalului FCC .
Fig. 1.2.5. Reprezentarea laticei in sistemul de referinta deformat ( X , YZ , ) .
.

40
Fig.1.2.6. Reprezentarea atomilor (a) in sistemul nedeformat ( x, y, z ) , si b) in sistemul deformat
( X , YZ , ) .
Dupa deformatia biaxiala, constantele elastice diferite de zero au expresiile
cu
2
A f ′
C11 = A11 − B11
, C22 = C33 = A22 − B22
, C44 = 1 ( C )
22
− C23
,
2
C55 = C66 = A13 − B55
,
1
C12 = C13 = A13
, C23 = A22
, C25 = C46 = A25
, C35 = A25
,
3
4
11
= η ,
3 c
1
A (9 f f )
16
4
22
=
a
+
c
η ,
1
A f ′
2 2
13
= η η ,
6 c
1
= η η ,
12 2 c
3
A25
f ′
(1.2.20)
B g ′
2
11
= 8 c
η ,
B22 (6g 2 g )
2
=
a
+
c
η ,
1 [3
2 (
2 4
2
a c )]
B55
= g η + g η + η ′ ,
2
Ra
f
a
= f( R ), f = f( R ), g = gR ( ), g = gR ( ),
a
1
= η a,
2
c
1 1
R a ′
3 6
c
2 2
c
= η + η , 1
a
a
c
η = +ε, η ′ = 1+ε ′.
c
(1.2.21)

41
Se utilizeaza conventia de notatie a lui Voigt 11∼1, 22∼2,33∼3,23∼4,13∼5,12∼ 6 .
Definim modulul biaxial Yb
σ
= ε
, si
σ
2
=σ
3
=σ, σ
1
=σ
4
=σ
5
=σ
6
= 0 , ε
2
=ε
3
=ε.
ε =ε = ( S + S ) σ,
2 3 22 23
Y b
=
S
1
+ S
22 23
. (1.2.22)
In (1.2.22) S
ij
sunt compliantele SC ij jk
=δ ik
. Avem
′
12
ε=ε=−
1
ε,
2 C C 11
2
C12
Yb
= C22 + C23
− 2 .
C
. Consideram o placa de lungime L , latime d si grosime b , alcatuita dintr-un material celular
de tip tabla de sah (fig.1.2.7) (Chiroiu, Munteanu si Dumitriu 2008).
Notam cu WC setul de puncte ( x, y, z ) care apartine cuburilor albe si cu BC, setul de puncte
care apartine cuburilor negre. Cubul unitare are lungimea l , cu unghiul intre doua laturi 2α ,
α=π /4. Celulele sunt alcatuite diuntr-un materiala auxetic cu coeficientul Poisson negativ.
11
Fig. 1.2.7. O structura celulara - tabla de sah.
In urma deformatiei biaxiale in directia [111], materialul din celulele BC se transforma intrun
material cu rigiditate negativa (admite cel putin o constanta elastica negativa) si in mod
normal ar deveni instabil. Prezenta celulelor albe insa reduce aceasta instabilitate si in final
materialul compozit se stabilizeaza. Se obtine astfel un material compozit in care materialul
auxetic din celulele negre este caracterizat de o rigiditate negativa (fig.1.2.9). Printre avantajele
prezentei materialului auxetic cu rigiditate negativaa in nanocompozite, specificam o mare
capacitate de amortizare, greutatea redusa si rezistenta mecanica mare la intindere si
compresiune.

42
Fig. 1.2.8. Orientarea structurii, b) Singularitatile in colturi la celulele BC.
Fig. 1.2.9. Celulele BC de rigiditate negative incluse in matricea de material auxetic.
2. Dezvoltarea capabilitatilor tehnologice ale metodei nelocale Preisach-Titeica ca baza
pentru caracterizarea amortizarii prin nanoindentare
In această secţiune este prezentat un model cu frecare (FCM) pentru contactul dintre două
unitati (granule) vibratorii în spiritul lui Yang, Chu and Menq (1998) care permite cuplarea
modelelor Preisach si Titeica pentru caracterizarea amortizarii. Granulele au dimensiuni in
domeniul mezzo-micro si nanoscopic. Acest model este prezentat schematic in fig. 2.1 şi
reprezintă interfaţa dintre două granule cu o încărcare iniţială n0 = kve
, modelate ca elemnte
elastice fără masă caracterizate de două arcuri liniare de lungimi l u
and respectiv l v
, şi modulii
ku
and respectiv k
v
(ce contorizează propritaţile de forfecare si intindere). Deasemenea punctul de
contact respectă legea de frecare a lui Coulomb cu coeficientul de frecare µ .

43
Am notat cu u deplasarea relativă tangenţială, v este deplasarea relativă normală şi w
este deplasarea tangentială (de alunecare) a punctului de contact faţă de granula 2. Când
particulele sunt în contact este posibil să apară o mişcare tangenţială (de lipire – alunecare), iar
când deplasarea relativă normală v devine mare poate avea loc un fenomen de separare a
particulelor (fig. 2.2).
Fig. 2.1 Model pentru interfaţa dintre două granule.
Fig. 2.2. Fazele de alunecare şi separare ale interfeţei.

44
Incarcarea normală şi forţa de frecare sund date prin relaţiile:
⎧n0 + kv
v
, pentru v≥-n0
/ kv
n = ⎨
⎩0, pentru v < -n0
/ kv
(2.1)
f = k ( u− w)
(2.2)
u
Când deplasările sunt mici cele două granule sunt în contact fără alunecare, iar forţa de
frecare este proporţională cu u în timp ce w este nul. Forţa de frecare îşi păstrează limitele între
valorile ±µ n . Când forţa de frecare tinde să depăşescă valoarea pozitivă µ n , cele două particule
încep să alunece una faţă de cealaltă în direcţia pozitivă a lui u . Forţa de frecare rămâne egală cu
încărcarea de alunecare variabilă până când interfaţa dintre cele două granule prezintă un contact
fără alunecare. Tranziţia între fazele interfeţei de alunecare şi lipire depinde de deplasarea
tangenţială relativă u şi de încărcarea normală. Momentul în care interfaţa ajunge din nou în fază
de lipire fără alunecare nu corespunde cu schimbarea direcţiei deplasării tangenţiale u . In timpul
unei mişcări ciclice încărcarea normală se poate anula ceea ce duce la faza de separare a interfeţei
dintre cele doua granulere.
In fig. 2.3 este prezentat cel mai simplu model de frecare pentru interfaţă în care
încărcarea normală este constantă. Interfaţa este supusă unei mişcări relative ciclice de forma
u = Acosθ, θ=ω t , ω fiind frecvenţa de oscilare şi t timpul. In acest caz curba de histerezis
constă din două regiuni simetrice în faza de lipire a interfeţei şi din alte două regiuni simetrice în
faza de alunecare a interfeţei. In cazul unei interfeţe cu o încărcare normală variabilă regiunile de
alunecare devin linii înclinate (fig. 2.4), încărcarea variabilă având expresia n 0
+ γ k d
u , unde γ
este o constantă şi kd = ku / kv
. Tranziţia lipire – alunecare are loc totdeauna în momentul când
0
0
mişcarea relativă îşi schimbă direcţia ( θ= 0 sau θ= 180 ). In ambele situaţii curba de histerezis
a fazelor interfeţei de lipire – alunecare poate fi uşor obţinută.

45
Fig. 2.3. (a) Modelul de frecare pentru interfaţă, (b) curba de histerezis pentru o interfaţă supusă
la o încărcare normală constantă.
Intorcându-ne la modelul prezentat în fig.2.1 condiţia de lipire – alunecare este
caracterizată de forţa de frecare f şi viteza de alunecare w , a caror expresii trebuiesc formulate
in termeni de deplasările relative de intrare.
Din (2.1) şi (2.2) avem:
⎧ ku
( u− u0) + f0, pentru w
= 0 (lipire)
⎪
f = ⎨ µ n=µ n0
+µ kvv, pentru w
> 0 (alunecare pozitiva)
⎪
⎩ −µ n = −µ n0
− µ kvv, pentru w
< 0 (alunecare negativa)
(2.3)
unde u
0
şi f
0
sunt valorile initiale pentru u şi f la începutul stării de lipire t = 0 , u(0)
= u0
,
f (0) = f .
0
Fig. 2.4 (a) Modelul de frecare pentru interfaţa, (b) curba de histerezis pentru o interfaţă supusă la
o încărcare normală variabilă cos θ
1
= ( − 2 µ n0/ kd
A− µγ + 1) /(1 −µγ ) şi
cos θ = ( − 2 µ n / k A− µγ −1) /(1 −µγ )
2 0
Derivând (2.1)-(2.3) în raport cu timpul obţinem:
d

46
⎧
⎪
⎪ 0, pentru lipire
⎪ µ kv
w = ⎨u−
v, pentru alunecare pozitiva
⎪ ku
⎪ µ kv
⎪u+
v, pentru alunecare negativa
⎪⎩ ku
(2.4)
In tebelul 2.1 sunt prezentate criteriile de tranziţie între cele patru stări distincte ale
interfeţei: lipire, alunecare în sens pozitiv, alunecare în sens negativ şi separare. Aceste condiţii
au fost obţinute fără nici un fel de presupunere asupra deplasărilor relative de intrare.
Tabel 2.1 Criteriile de tranziţie
tranzţia
criteriul
lipire – alunecare pozitivă f − µ n= 0 , f − µ n > 0 sau folosind (2.1), (2.3)
ku
u
− µ kv
v
+ ( f0 −µ n0 − ku
u 0) = 0 , ku u
− µ kv
v
> 0
lipire – alunecare negativă f + µ n= 0 , f + µ n > 0 sau folosind (2.1), (2.3)
ku
u
+ µ kv
v
+ ( f0 +µ n0 − ku
u 0) = 0 , ku u
+ µ kv
v
< 0
lipire – separare n = 0 , n < 0 sau folosind (2.1)
n0 + kvv
= 0 , v < 0
alunecare pozitivă - lipire w = 0 , w < 0 sau folosind (2.4)
µ kv
µ kv
u− v = 0 , u − v
< 0
ku
ku
alunecare negativă - lipire w = 0 , w > 0 sau folosind (2.4)
µ kv
µ kv
u+ v = 0 , u + v
> 0
ku
ku
alunecare pozitivă – separare n = 0 , n < 0 sau folosind (2.1)
n0 + kvv
= 0 , v < 0
alunecare negativă – separare n = 0 , n > 0 sau folosind (2.1)
n0 + kvv
= 0 , v > 0
separare – lipire −µ n< f
v
ku
separare – alunecare negativă µ kv
u

47
u = asin θ, v= bsin( θ+ϕ ) . (2.5)
Caracteristicile de amortizare şi rigiditate ale interfeţei sunt independente de frecvenţa
mişcării, unghiul de tranziţie putând fi interpretat ca timpul adimensional ω t . Incărcarea
variabilă normală este descrisă prin:
⎧n0 + kb
v
sin( θ+ϕ), pentru sin( θ+ϕ) ≥−n0
/ kb
v
n = ⎨
⎩ 0, pentru sin( θ+ϕ )

48
alunecare negativă – lipire −1
θ
8
=π+ tan [(1 + bcos ϕ) /( b
sin ϕ)]
Cu aceste unghiuri stabilite putem să obţinem acum curba de histerezis. S-au gasit 12
posibile secvenţe ale regiunilor lipire/alunecare separare datorate mişcării sinusoidale. Aceste
secvenţe sunt prezentate în tabelul 2.3
Tabelul 2.3 Secvenţele posibile în curba de histerezis
cazul Secvenţa
1 regiune de lipire (fară alunecare)
2 alunecare fără separare
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
stick
negative
slip
stick
positive
slip
θ →θ → θ →θ → θ
7 2 8 1 7
positive negative positive
separation slip stick slip stick slip
θ → θ → θ →θ → θ →θ →θ
5 6 7 2 8 1 5
separation
positive
slip
θ → θ → θ
5 6 5
separation
positive
slip
stick
negative
slip
θ → θ → θ →θ → θ
5 6 7 2 5
negative positive negative
separation slip stick slip stick slip
θ → θ → θ →θ → θ →θ →θ
5 6 8 1 7 2 5
separation
negative
slip
stick
positive
slip
θ → θ → θ →θ → θ
5 6 8 1 5
separation
negative
slip
θ → θ → θ
5 6 5
positive
separation stick slip stick
negative
slip
θ → θ →θ → θ →θ → θ
5 6 3 7 2 5
positive
separation stick slip
θ → θ →θ → θ
5 6 3 5
negative
separation stick slip stick
negative
slip
θ → θ →θ → θ →θ → θ
5 6 4 8 1 5
separation
stick
negative
slip
θ → θ →θ → θ
5 6 4 5
Pentru prima secvenţa deplasarea relativă este mică, iar interfaţa se găseşte mereu în
starea de lipire. Acest caz are loc când:
1 ( 1 2 2 cos 1 2
2 cos )
n 0
> + b − b ϕ + + b + b ϕ
(2.11)
2

49
Pentru al doilea caz, forma curbei de histerezis se schimbă odată cu unghiul de fază ϕ
dintre u şi v . Acest caz are loc când:
1 ( 1
2 2
+ b − 2 b cos ϕ + 1 + b + 2 b cos ϕ ) > n 0
> b
(2.12)
2
Pentru studiul fenomenului de histerezis la scara mezo-micro si nano utilizam o teorie
cuplata Preisach-Titeica. Ideea modelului Preisach este de a exprima o functie de ieşire f () t în
raport cu o funcţie de intrare ut () sub forma unei integrale:
f( t) = ∫∫ P( α, β) Gαβu( t)dαdβ
(2.13)
α≥β
unde G αβ
este operatorul histerezis elementar – având o formă rectangulară prezentată în fig. 2.5.
Numerele α şi β corespund schimbării în “sus” şi “jos” a valorilor de intrare, + 1 şi − 1 fiind
cele doua valori de ieşire posibile. Modelul (2.13) descrie operatorul histerezis cu memorie
nelocală (globală).
Atunci când ut () este monoton crescătoare se urmează curba ascendentă abcde . In cazul
cind funcţia de intrare este descrescătoare va fi trasată curba descendentă. Funcţia P( α, β ) este
funcţia lui Preisach, o funcţie ce caracterizează neliniarităţile histeretice.
In cele ce urmează vom presupune că α≥β , ceea ce este chiar natural din punct de
vedere fizic. Asfel, domeniul de integrare în (2.13) este un triunghi dreptunghic în planul ( α, β ) ,
cu ipotenuza reprezentată de dreapta α=β şi unghiul drept reprezentat de punctul
( α0, β
0
=−α
0)
. Valoarea α
0
> 0 este definită prin maximul global al funcţiei de intrare ut ().
Fig. 2.5. Operatorul histerezis elementar
Există o corespondenţa biunivocă între operatorul G αβ
şi punctele ( α, β ) ale triunghiului.
Acest triunghi (fig.2.6) este numit triunghi limită, fiind suport al funcţiei Preisach, din moment ce
funcţia Preisach P( α, β ) este presupusă nulă in exteriorul acestui triunghi. Interfaţa dintre cele
două părţi ale triunghiului este o funcţie de tip treaptă Lt (). Vârfurile aceste linii au coordonatele

50
( α, β ) corespunzătoare punctelor de maxim şi minim local ale funcţiei de intrare calculate la
momentele de timp anterioare.
Dacă funcţia de intrare este crescătoare atunci Lt () este orizontală, iar dacă funcţia de
intrare este descrescătoare atunci linia este verticală. La orice moment de timp triunghiul este
+
împărţit în doua submulţimi: o parte A () t corespunzătoare punctelor ( α, β ) pentru care
−
Gαβ u( t) = 1, şi una A () t corespunzătoare punctelor ( α, β ) pentru care Gαβ
u( t) =− 1 , separate de
Lt (). Astfel, ecuaţia (2.13) poate fi scrisă sub forma:
∫∫ ∫∫ . (2.14)
f( t) = P( α, β)dαd β − P( α, β)dαdβ
+ −
A () t A () t
Fig. 2.6. Triunghiul limită cu interfaţa Lt ()
Se poate arăta că acest model are următoarea proprietate: fiecare punct de maxim local al
funcţiei de intrare elimina vârfurile lui Lt () a caror coordonate α sunt mai mici decăt acest
maxim, iar fiecare minim local elimină vârfurile de coordonate β mai mari decât acest minim. Cu
alte cuvinte, modelul Preisach inregistrează seriile alternante ale punctelor de extrem dominante,
în timp ce celelalte celelalte puncte de extrem sunt eliminate (fig. 2.7). Eliminarea acestor vârfuri
este echivalentă cu ştergerea istoriei asociată acestor puncte.
O altă proprietate a modelului este ilulstrată în fig. 2.8: toate curbele de histerezis
corespunzătoare aceluiaşi punct de extrem al funcţiei de intrare sunt congruente.
Funcţia Preisach P( α, β ) poate fi determinată astfel. Pornim din starea de saturaţie
negativă şi creştem funcţia de intrare la o anumită valoare α . Funcţia de ieşire urmează partea
ascendentă a curbei principale şi pentru u =α va avea valoarea f α
. Dacă deşcreştem funcţia de

51
intrare la o anumită valoare β , funcţia de ieşire urmează curba de întoarcere (tranziţie), ca in fig.
3.5. Notănd valoarea funcţiei de ieşire la u = β prin f αβ
, obţinem:
si după derivarea în raport cu β şi α , avem:
2
1 ∂ F( α, β)
P( αβ , ) =−
2 ∂α∂β
α α
F( α, β ) = fαβ
− fα
=−2 ∫∫ [ P( α′ , β′ )d α′ ]dβ′
, (2.15)
β
β
, P( −α, −β ) = P( α, β ) . (2.16)
Deci, putem concluziona că datele experimentale pentru o curbă de tranziţie de ordinul
întâi ne permit determinarea funcţiei Preisach P( α, β ) . Proprietăţile macroscopice ale
materialului sunt descrise prin intermediul unui ansamblu de unitaţi histeretice mezoscopice ca în
fig. 2.5.
Fig. 2.7. Modelul Preisach inregistrează seriile alternante ale
punctelor de extrem dominante.

52
Fig. 2.8. Proprietatea de congruenta.
Fig. 2.9. Curba de tranziţie de ordinul I obţinută prin inversarea valorii
funcţiei de intrare de la u =α la u = β .
Vom face următoarele notatii:
ku ( lu + lv)
kk
k = , kh
=
l
k + k , kv ( lu lv)
k +
= . (2.17)
l
u
v

53
Unitatea elementara histeretica este reprezentata in fig. 2.9.
Pentru un material compus dintr-un infinit de granule sferice, se adoptă o conexiune în
paralel de un număr infinit de astfel de unităţi (fig. 2.10). Unitaţile au aceeaşi coeficienţi de
elasticitate şi de încarcare, dar coeficienţii de frecare sunt presupuşi diferiţi µ
min
≤ µ ≤ µ
max
.
Presupunem că în material există o distribuţie uniformă de coeficienţi de frecare
µ
max
− µ
min
= constant. Fiecare unitate poate fi gândită ca o granulă individuală într-un material
policristalin. Granulele cele mai predispuse către stările de alunecare şi separare corespund
elementelor mai slabe.
Fig. 2.9. Unitate elementară.
Fig. 2.10. Conexiune în paralel dintr-un nr. infinit de unităţi elementare.
negative
slip
positive
slip
Curba de histerezis în cazul 2 din tabelul 2.3 : ( θ7 →θ2 → θ8 →θ1 → θ
7) este
0
prezentată în fig. 2.11. pentru ϕ= 90 , k = k = 1, a = b = 1, µ = 0.4 , n
0
= 1.2 . Forma curbei se
u
v
stick
stick

54
schimbă odată cu unghiul de fază ϕ dintre u şi v . Pentru alte secvenţe curba este mult mai
complicată, fiind împărţită în regiunii corespunzătoare fazelor de lipire, alunecare pozitivă,
alunecare negativă şi separare. Modelul lui Preisach facilitează obţinerea curbei de histerezis
pentru fiecare secvenţă in parte si de aici, pentru întreg materialul.
Funcţia Preisach poate fi construită pentru a caracteriza neliniarităţile histeretice. In
tabelul 2.3 este prezentată funcţia Preisach P( α, β ) pentru două modele foarte simple: o
conexiune în paralel a unui element de alunecatre (Saint-Venant) cu un element elastic (Hooke) şi
un element de alunecare legat în serie cu un element elastic.
Tabelul 2.4. Funcţia Preisach P( α, β )
model P( α, β )
input f () t
output ut ()
input ut ()
output f () t
1 f = αβ ( n)
k
β + µ , −f0 ≤β ≤ f0 − 2µ
n
∂fαβ
1
β + 2µ n ≤α, fαβ
= fα
, = H ( α−β − 2 µ n)
∂β k
1
P( α, β ) = δ( α−β − 2 µ n)
2k
f0
1
u( t) = Gαα− , 2µ
n
f( t)
dα
2k
∫
2( µ n)
− f0
f = µ αβ
n − k( α−β ) , 2 µ
α−
n ≤β ≤α
k
β + 2µ n ≤α, f = µ n if β ≥α and
αβ
fαβ =−µ n if 2 µ
β≤α−
n
k
∂ fαβ
2µ
n
= kH [ ( α−β) −H( α−β− )
∂β
k
k
P( αβ , ) = [ δα−β ( ) −δα−β− ( 2 µ n/ k)
2
u0 u0
k
f( t) = [ G u() t dα− G u() t dα]
2
∫ ∫
αα , αα− , 2 µ n/
k
− u0 2( µ n/ k)
−u0
In tabelul 2.4, H este funcţia Heaviside şi δ este funcţia Dirac.
Sa consideră curba de histerezis prezentată in fig. 2.12. Pentru o unitate elementară, când
valorile de intrare sunt date de deplasările relative u şi v , iar forţa de frecare reprezintă funcţia de
ieşire, funcţia Preisach are suportul determinat de dreptele α−β = 0 şi α−β = 2µ n şi este dată
de:
k 1
µ n
P( α, β ) = δ( α−β) − ( k −kh
) δ( α−β− 2 )
(2.18)
2 2
k
unde n are expresia (2.6).
Forţa de frecare în funcţie de deplasările de intrare are forma:
u0 u0
k
1
f( t) = [ Gαβutd () ( k kh) Gα, α− 2( µ n/ k)
utd () ]
2
∫ α− − α
2
∫ (2.19)
− u0 2( µ n/ k)
−u0

55
Fig. 2.11. Curba de histerezis în cazul 2 (tabelul 2.3) pentru
0
ϕ= 90 .
Pentru un sistem format dintr-un număr infinit de astfel de unităţi elementare, conectate
în paralel şi având o distribuţie uniformă de coeficienţi de frecare forţa de frecare se scrie sub
forma:
u0
k
1 1
f( t) = [ G u( t)d α− ( k −k ) G u( t)dαd β]
2 2 ( )
∫ ∫∫ , (2.20)
−u0
αβ h
α, α− 2( µ n/ k)
n µ
max
−µ
min A
unde domeniul de integrare A este aria din triunghi cuprinsă între dreptele
2 n µ
α−β= .
kmax
2 n µ
k
min
α−β= şo

56
Fig. 2.12. Bucla histeretica pentru modelul din fig. 2.9.
Metoda de evaluare a amortizarii, propusa de noi, pe baza teoriilor nelocale de tip Eringen si
a suprafetelor cu curbura negativa Titeica, prin reducerea pseudosferica a problem3i dinamice,
este prezentata in paragraful 2.2.
2.1. Definirea unei probleme inverse pentru determinarea parametrilor nanostructurali din
analiza datelor experimentale
In acest paragraf s –au utilizat datele experimentale achizitionate din deplasarile anului
2008. O metoda practica de investigare a proprietatilor mecanice de rezistenta si amortizare ale
materialelor este indentarea sau stantarea materialui considerat. Problema contactului elastic are
la baza intelegerea mecanismului de transmitere a fortelor.
Problema a fost abordata pentru prima data de catre H. Hertz (1882). Solutia problemei
stantei cu baza plana eliptica, precum si sugestia de a folosi aceasta solutie in problema
contactului fara frecare, au fost obtinute concomitent de J. Boussinesq (1885). Ideea de baza
consta in asimilarea corpurilor in contact cu niste semispatii. In felul acesta se poate utiliza

57
problema lui Neumann pentru semispatiul elastic. Corpurile in contact se presupun perfect lucii,
adica separate de un strat de lubrifiant. Componentele tangentiale ale tensiunii la limita in zona de
contact sunt nule, transmitandu-se numai sarcinile normale pe un domeniu de contact necunoscut.
Problema contactului 3D fara frecare a doua corpuri elastice perfect lucii, in cazul micilor
deformatii, este tratata extensiv de Solomon (1964, 1968, 1969), Jonhson (1985), Solomon si
Zamfirescu (1963). Alte lucrări valoroase în domeniu aparţin lui Oliver şi Pharr (1992, 2004),
Hay, Bolshakov si Pharr (1999).
Hertz a dezvoltat un model care descrie campul tensiunilor si al deformatiilor la contactul
a doua corpuri sferice (fig.2.1.1). Deplasarea totala este notată cu δ şi reprezintă suma dintre
deplasările celor două suprafeţe δ 1
şi δ 2
. Aria de contact are raza a. Raza de curbură relativă R se
determină din relatia 1/R=1/R 1
+1/R , unde R 2 1
şi R 2
sunt razele de curbură ale celor două sfere.
Modelul lui Hertz se aplica doar in cazul contactului elastic şi este bazat pe următoarele
ipoteze:
1. Suprafeţele sunt elastice, netede, continue,
2. Deformaţiile sunt mici a

58
Pentru cazul stantei conice, a se determina din
a
= Rδ . (2.1.7)
a = tan( ϕ)
δ . (2.1.8)
Oliver şi Pharr [9], [10] au analizat indentarea cvasistatică bazata doar pe un singur ciclu
de încărcare-descărcare. Ideea importanta este ca la incarcare solicitarea poate contine si
deformatii inelastice sau plastice, ireversibile, insa la descarcare curba caracteristica este pur
elastica. Aceasta curba este elementul esential in determinarea caracteristicilor de material, de
exemplu a modului de elasticitate al lui Young. Oliver şi Pharr au numit aceasta metoda Analiza
Mecanică în domeniul Dinamic (DMA).
O curbă tipic cvasistatică forţă-deplasare pentru indentare este reprezentată în fig.2.1.2.
Rigiditatea la descărcare este notată cu S, deplasarea stantei s-a notat cu h, iar adâncimea finală
după descărcare cu h f
. Fig. 1.3 prezintă secţiunea transversală a indentării. Deplasarea verticală
de la suprafata liberă s-a notat cu h s
, iar cu h c
s-a notat adâncimea de contact sau distanţa până la
contact. Oliver şi Pharr dau următoarea relaţie pentru h c
:
h
P
ε
S
max
c
= hmax
− . (2.1.9)
Fig. 2.1.1. Contactul a două sfere (Johnson 1985).

59
Aici, ε este determinat empiric în funcţie de geometria stantei. Pentru un indenter conic
avem ε = 0,72, iar pentru un indenter paraboloid de revolutie ε = 0,75. Pentru sferă, formula
(2.1.9) devine
h
h
− h
2
max f
c
= . (2.1.10)
Fig. 2.1.2. Diagrama forţă-deplasare.
Fig. 2.1.3. Schema secţiunii transversale a indentării.
Oliver şi Pharr au ajuns la concluzia că rezultatele lui Hertz şi Sneddon pentru relaţia forţădeplasare
pot fi generalizate pentru stante cu diferite geometrii, astfel
P = α( h− h ) m
f
. (2.1.11)
unde α şi m sunt constante. Parametrul m depinde de geometria stantei. De exemplu, pentru
m = 3/2 obtinem ecuatia (2.1.2), iar pentru m = 2, se obtine ecuatia (2.1.3). Oliver şi Pharr (1992)
obtin următoarele relaţii pentru rigiditatea la descarcare S :
dP
2
S = Ered
Ac
dh
= π
, (2.1.12)
2
S = β Ered
Ac
. (2.1.13)
π

60
Ecuaţia (2.1.12) se poate aplica doar in cazul micilor deformaţii ale materialelor solicitate
cu stante rigide simetrice. Factorul β este utilizat pentru a corecta solutia in cazul unor geometrii
diverse, nesimetrice si necirculare, sau in cazul unor deformaţii mari sau a unei comportari elastoplastice.
Ecuatia (2.1.12) este valabilă numai pentru un indenter rigid axial simetric. De aceea,
cazul β = 1 poate conduce la erori. Pentru alte situaţii, s-au determinat alte valori pentru β , şi
anume 1,0055 sau 1,085. Hay, Bolshakov si Pharr (1999) au demonstrat următoarea legătură între
β şi coeficientul lui Poisson ν :
(2.1.14)
unde ϕ este unghiul conului la indentarea semispaţiului cu un varf rigid conic. În fig.2.1.4 este
reprezentată geometria utilizata de Sneddon pentru analiza indentării unui semispaţiu cu un
indenter rigid conic. Deplasarea radială în cazul modelului din fig.2.1.4. este calculată de
Sneddon
(2.1.15)
Pentru coeficientul lui Poisson ν = 0,5 (material incompresibil) şi ϕ = 90º (stanta plana)
rezultă u = 0 . Pentru alte tipuri de material, u este negativ şi aria reală de deformaţie este
reprezentată în Fig. 2.1.4 (jos). Raza efectivă de contact este dată de
aefectiv
şi din (2.1.13) expresia ariei de contact se poate scrie astfel:
= β a, (2.1.16)
(2.1.17)
Fig. 2.1.4. Geometria utilizată de Sneddon pentru analiza indentării unui semispaţiu cu un
indenter rigid conic.
Revenind la (2.1.12), în mod normal S se determină din prima parte a curbei de
descărcare (fig.2. 1.2), şi se calculeaxă astfel:

61
dP
S = . (2.1.18)
dh
Dacă aria de contact A c este cunoscută atunci E red se poate determina usor. Duritatea H se
determină din (2.1.4). Deci, pentru a determina modulul lui Young şi duritatea materialului supus
indentarii, trebuie să cunoaştem aria de contact A c . Pentru contactul circular cu un indenter de
2
rază a, aria de contact este Ac
= π a . Pentru alte situaţii aria de contact rămâne necunoscută.
Modelul DMA se referă la indentarea dinamică. In aceasta metoda, se consideră sistemul
dinamic al unui indenter (fig.2.1.5), cu m masa indenterului, C
f
complianţa (inversul rigidităţii)
cadrului de încărcare, K
f
rigiditatea cadrului de încărcare, S rigiditatea de contact, D
amortizarea sistemului şi K
s
rigiditatea suportului. Prin aplicarea unei sarcini oscilante
Pos
= sinωt, de frecvenţă ω , asupra cadrului de încărcare, se obţine următorul răspuns pentru
amplitudine şi respectiv fază
Pos
h( ω)
− −
(( )
) 2
f
s
ω
1 1 2 2 2
= s + C + K − m + ω D
(2.1.19)
(2.1.20)
unde h este amplitudinea oscilaţiei şi θ unghiul de fază dintre forţă şi deplasare. Amplitudinea şi
faza pot fi măsurate experimental. În aceste formule S este necunoscută. La excitaţie liberă
S = 0 , şi din ecuaţiile (2.1.19) şi (2.1.20) se pot determina K
s
şi D .
Fig. 2.1.5. Modelul dinamic al indentării (Oliver si Pharr 1992).
Aria de contact se poate determina din formula
(2.1.21)
unde coeficienţii C 0
,..., C 8
se pot determina printr-o metodă de calibrare. Presupunem că
cunoaştem modulul de elasticitate E al materialului. Măsurând S, P max
, h max
şi introducând aceste
cantităţi în (2.1.12) obţinem A c
pentru anumite valori h c
.
Incepem cu modelarea locală a contactului cu frecare. Considerăm un punct material P
constrâns să se mişte pe o suprafaţă de ecuaţie g( x1, x2, x
3)
= 0 . Notăm forţa normală de
constrângere cu N = λ grad g , unde λ este o constantă. Dacă suprafaţa este rugoasă atunci
constrângerea nu mai este ideală, iar forţa de constrângere R nu mai este normală la suprafaţă.

62
Apare o componentă T a acestei forţe care se află în planul tangent la suprafaţă în punctul P , şi
are direcţia opusă faţă de rezultanta forţelor care acţionează asupra punctului. Conform teoriei lui
Coulomb, modulul forţei de frecare la alunecare verifică relaţia
T
≤ f N , (2.1.22)
egalitatea având loc la echilibru. Coeficientul f , care depinde numai de starea suprafeţei, şi nu
de viteza v a punctului, se numeşte coeficient static de frecare (coeficientul dinamic de frecare
este de forma f = f()
v ). Dacă notăm cu ϕ unghiul de frecare, coeficientul static de frecare este
f = tanϕ
(2.1.23)
Din relaţia T = tan µ ≤ tanϕ
, obţinem µ ≤ ϕ.
N
Dacă punctul P este constrâns să se mişte pe o curbă continuă C, de ecuaţie
gi
( x1, x2, x
3)
= 0 , i = 1, 2 , forţa de constrângere N = λ1 grad g1 + λ2grad
g2
, se află în planul
normal la curbă în P , iar λ 1
, λ 2
sunt constante. Dacă curba este rugoasă, forta de frecare la
alunecare T are forma (2.1.21), de-a lungul tangentei la curbă în P . La echilibru, este suficient
ca unghiul dintre suportul forţei de constrângere R şi tangenta la curbă să fie mai mare sau egal
decât π /2− ϕ .
Dacă frecarea are loc între o particulă şi un fluid, frecarea este vâscoasă, şi coeficientul de
frecare se numeşte coeficient de vâscozitate, iar forţa de constrângere este o fortă de rezistenţă.
Legile experimentale ale frecării de alunecare şi de rostogolire au fost stabilite de C.A.
Coulomb (1736-1806). Frecarea este un fenomen complex, care este greu de modelat din punct de
vedere teoretic, şi care este esenţial în înţelegerea comportării sistemelor electromecanice.
Frecarea clasică Coulomb este reprezentată printr-o forţă de frecare în cazul mişcării de translaţie,
sau printr-un moment de frecare în cazul miscării de rotaţie, care se opun mişcării şi îşi schimbă
semnul odată cu direcţia de mişcare (Lyshevski 2000, Chiroiu si Chiroiu 2003):
dx
FC = kFcsgn( v) = kFcsgn( ) , (2.1.24a)
dt
dθ
MC = kMcsgn( ω) = kMcsgn( ) , (2.1.24b)
dt
dx
dθ
unde x este deplasarea liniară, θ deplasarea unghiulară, v = viteza liniară, ω = viteza
dt
dt
unghiulară, iar k Fc
şi k
Mc
sunt coeficienţii de frecare Coulomb. Amplitudinile forţei sau
momentului de frecare sunt constante.
Frecarea vâscoasă este reprezentată de o forţă sau moment care sunt funcţii liniare de viteza
liniară în cazul mişcării de translaţie, şi de viteza unghiulară în cazul mişcării de rotaţie:
dx
FV = kFvv= kFv
, (2.1.25a)
dt
dθ
MV = kMvω
= kMv
, (2.1.25b)
dt
unde k
Fv
şi kMv
sunt coeficienţii de frecare vâscoasă.
Frecarea statică există numai când corpul nu se mişcă, ea opunându-se mişcării iniţiale şi
anulându-se atunci când corpul începe să se mişte.

63
Fig. 2.1.6. Reprezentarea frecării: a) frecare Coulomb, b) frecare vâscoasă, c) frecare statică
Frecarea statică este reprezentată de o forţă sau moment cu următoarele expresii:
FS =± F
S
|
v = 0
, (2.1.26a)
MS
=± MS
| ω= 0
. (2.1.26b)
În fig.2.1.6 sunt reprezentate forţele şi momentele de frecare coulombiană, vâscoasă şi
statică. În general, forţa sau momentul de frecare statică sunt forţe neliniare care se modelează
utilizând memoria frecării, condiţiile iniţiale de alunecare, etc. Se utilizează de multe ori formule
empirice, ca de exemplu
F = ( k −k exp( − k| v|) + k | v|)sgn( v)
, (2.1.27a)
S 1 2 3
S
= (
1
−
2exp( − | ω|) +
3
| ω|)sgn( ω)
, (2.1.27b)
M k k k k
unde k1, k2,
k
3
şi k sunt coeficienţi care se determină experimental. Acest tip de frecare
statică este reprezentată în Fig. 2.1.7.
Fig. 2.1.7. Forţa şi momentul de frecare sunt funcţii de viteza liniară şi unghiulară

64
Considerăm două corpuri S şi Σ aflate în contact, simplu rezemate în P. În realitate solidele
se deformează în vecinătatea lui P, astfel încât contactul este obţinut pe o suprafată mică pe care
apar forţe de constrângere (Fig.2.1.8a). Reducând sistemul de forţe în punctul P, obţinem torsorul
(forţa de constrângere R şi momentul de constrângere M), reprezentând acţiunea lui Σ asupra
corpului S (Fig.2.1.8b). In Fig.2.1.8c se pun în evidenţă forţa normală de constrângere N, forţa
tangenţială T corespunzătoare frecării la alunecare, conţinută în planul tangent, momentul M
p
normal la planul tangent, corespunzător frecării de pivotare, care se opune rotaţiei în jurul
normalei, şi momentul M
r
conţinut în planul tangent, corespunzător frecării de tip rolling care se
opune rotaţiei în jurul unei axe din planul tangent care trece prin P.
Fig. 2.1.8. Zona de contact intre două corpuri S şi Σ (a). Forţa de constrângere R şi momentul de
constrângere M (b) şi componentele lor (c).
Coeficientul de frecare la alunecare nu depinde în general de viteza relativă de alunecare
dintre două corpuri sau de magnitudinea suprafeţei de contact, ci numai de natura materialelor
aflate în contact. Valorile numerice ale acestui coeficient f sunt date în tabelul 2.1.1. Un
exemplu de dependenţă de viteză este dat in tabelul 2.1.2 pentru metal/metal.
Tabelul 2.1.1. Coeficientul de frecare pentru diferite materiale
lemn pe lemn, uscat 0,25-0,50 piele pe metal, uscat 0,56
………...
………..
lemn pe lemn, sapun 0,20 piele pe metal, umed 0,36
……….
……….
metal pe stejar
0,50-0,60 piele pe metal, grăsime 0,23
uscat………..
…….
metal pe stejar,
0,24-0,26 piele pe metal,
0,15
umed……….
ulei……….....
metal pe stejar, grasime 0,20 oţel pe agat,
0,20
…....
uscat…………...
metal pe ulm, uscat 0,20-0,25 oţel pe agat, ulei 0,107
………..
…………...
cânepă pe stejar, uscat
……..
0,53 fier pe piatră
……………….
0,30-
0,70
cânepă pe stejar, 0,33 lemn pe piatră
0,40
umed…......
……………...
piele pe
stejar……………….
0,27-0,38 pământ pe
pământ………….
0,25-
1,00
metal pe metal, uscat 0,30 argilă pe argilă
0,31
……….
…….............
metal pe metal, umed 0,15-0,20 metal pe 0,01-

65
…….... ghiaţă…………….. 0,03
suprafeţe netede 0,03- suprafeţe netede, 0,07-
....................
0,036 grăsime…..
0,08
Tabelul 2.1.2. Dependenţa de viteză pentru metal/metal.
v
(km/h)
0 10,93 21,08 43,5 65,8 87,6 96,48
f 0,242 0,088 0,072 0,07 0,057 0,038 0,027
Suprafaţa materială, ca interfaţă dintre două medii sau faze materiale, nu este continuă şi
netedă la scara atomică şi moleculară. Arhitectura atomică a suprafeţelor este caracterizată de
prezenţa asperităţilor de diferite dimensiuni, forme, unghiuri de contact şi densităţi. Discutăm
acum câteva modele ale suprafetelor in contact la scara continua macroscopica, tinand seama de
legăturile de tip adeziv pentru contactul solid.
Pentru a separa două suprafeţe trebuie invinse legăturile care există între aceste suprafeţe
printr-o forţă negativă, numită forţă adezivă. Natura acestei forţe de suprafaţă este nanoscopică.
In continuare ne bazam pe teoria prezentata in acest paragraf si in paragraful 1. Pe baza
rezultatelor experimentale de nanoindentare, construim cateva probleme inverse, pentru
determinarea parametrilor nanostructurali si a proprietatilor unor nano compozite.
Se considera un sistem cu frecare 2D prezentat in fig. 2.1.9.
Fig. 2.1.9. Sistem cu frecare
In fig.2.1.9, mt () este unui indentaer (varf de diamant) care aluneca pe un strat de Cu,
si care variaza ca rezultat al adeziunii atomilor de Cu, k x
este rigididatea elastica in directia x
-1
-1
(20 Nm ), k
z
este rigiditatea elastica in directia z (10 Nm ), V este viteza de alunecare, xt ()
este deplasarea in directia orizontala, zt () deplasarea in directia verticala; Fx
() t si Fz
() t sunt
fortele care actioneaza asupra masei care aluneca in directia x si respectiv, z . Valorile
specificate rezulta din calcule de dinamica moleculara.
Alegem potentialul atomic generalizat de tip Morse dat de 1.1.43, cu parametri
necunoscuţi
∑∑ ,
MC
H ( r ) = E [exp( −Nα( r −r )) −Nexp( −α( r −r
))]
ij MC ij w ij w
i j>
i

66
Problema inversa propusa este de a determina mt (),
EMC
N , r
w
si α din masuratori
experimentale privind pozitia varfului de diamant in raport cu timpul. Indenterul are o miscare de
tip stick-slip. Cu un algoritm genetic se obtine mt ( ) = 0.234t− 0.6 , E = 3.0592eV , N = 5.3 ,
r
w
= 1,24A si α= 1,3152A −1 . N = 0,561.
Fig. 2.1.10 prezinta variatia traiectoriei x a indenterului in functie de
constanta.
MC
F x
, pentru
F
z
Fig.2.1.10. Traiectoria indenterului in directia x in raport cu forta pe directia orizontala [N].
Consideram acum o nanostructura alcatuita din straturi periodice din aluminiu si un material
auxetic (fig.2.1.11). Pentru predictia proprietatilor mecanice ale nanocompozitului, existenta
defectelor (dislocatii, frontiere dintre granule, etc.) joaca un rol important. Pentru a analiza
comportarea defectelor, le-am studiat din punct de vedere al elasticitatii si al caracteristicilor lor
energetice, prin metoda nelocala Presach-Titeica. In materiale nanostructurate, proprietatile
elastice ale defectelor se modifica puternic din cauza interactiunii cu interfetele.
Fig.2.1.12 prezinta schematic trei tipuri de interfete: coerenta, semicoerenta si incoerenta.
In lucrare se analizeaza toate tipurile de interfete. De asemenea, se studiaza modul in care
modulul de elasticitate al lui Young creste pentru un material auxetic fata de un material
neauxetic avand acelasi coeficient Posisson in valoare absoluta. In tabelul 2.1.2 sunt prezentate
proprietatile materialului auxetic si a unui material neauxetic avand acelasi coeficient Posisson in
valoare absoluta pentru valori diferite ale fractiunii θ de aluminiu din compozit, obtinute dintr-o
problema inversa din date experimentale. Comportamentul histeretic al placii compozite pentru
interfete coerente si material auxetic este prezentat in fig. 2.1.13.

67
Fig. 2.1.12. Placa compozita.
Fig. 2.1.13. Structura interfetelor: (a) coerenta, (b) semicoerenta, (c) incoerenta.

68
neauxetic.
Tabel 2.1.2. Modulul lui Young pentru un material auxetic si un material
Young’s
modulus
[GPa]
10.33
9.29
11.98
10.18
14.71
12.79
40.03
36.27
50.12
45.22
80.65
68.66
94.35
80.19
ν θ Young’s
modulus
[GPa]
– 0.2 0.22 104.66
+ 0.2 90.00
– 0.2 0.27 109.91
+ 0.2
98.91
– 0.2 0.3 118.05
+ 0.2
102.70
– 0.3 0.35 123.22
+ 0.3
107.33
– 0.3 0.38 130.56
+ 0.3
117.51
– 0.4 0.43 138.07
+ 0.4
– 0.3
+ 0.3
124.27
0.91 139.44
125.49
ν
– 0.4
+ 0.4
– 0.3
+ 0.3
– 0.3
+ 0.3
– 0.2
+ 0.2
– 0.2
+ 0.2
– 0.3
+ 0.3
– 0.4
+ 0.4
θ
0.5
0.83
0.8
0.65
0.71
0.75
0.75
Fig. 2.1.14. Comportamentul histeretic al placii compozite pentru interfete coerente si material
auxetic.

69
2.2. Cuplarea analizei nelocale de tip Eringen cu metoda Preisach de analiza a histerzisului
si cu teoria pseudosuprafetelor Tzitzeica cu curbura negativa
In continuare prezentam modelul cuplat de evaluare a capacitatii de amortizare Preisach-
Titeica. Nanostructurile si materialele nanostructurate cu proprietati foarte bune de
amortizare, au atras atentia specialistilor doar in ultimii 5 ani. Disiparea energiei sta la baza
controlului inteligent de tip activ sau semiactiv al vibratiilor mecanice. Traditional, rezistenta
mecanica σ si proprietatea de disipare a energiei ( tanδ
- faza dintre tensiune si deformatie)
pentru un material cristalin pot fi controlate la nivelul dimensiunii d a unei granule (prin legea
−1/ 2
lui Hall-Petch σ=σ
0
+ kd ). Dar, s-a observat in ultimii ani ca, atunci cand scara structurala se
reduce, tinzand catre dimensiunea nanometrica, aceste proprietati depind semnificativ de scara, si
ca exista o limita pentru descrierea conventionala a acestor proprietati (Misra et al. 1998). O
valoare ridicata a raportului volum-interfata poate influenta radical procesele de mobilitate,
frecare interna, histerezis, plasticitate, iar controlul capacitatii de disipare a energiei, si a
rezistentei mecanice, ar trebui sa tina seama de aceste elemente. Un studiu recent pe compozite
Cu/Nb a pus in evidenta reducerea fragilitatii si cresterea amortizarii la temperatura Heliului
lichid (Han et al.1998), desi metalele bcc (cum este Nb) prezinta o rupere fragila la 4.2 K. Pentru
materialele nanostructurate Cu/Nb s-a pus in evidenta o combinatie interesanta de rezistenta si
ductibilitate pana la tensiunea de rupere ~2 GPa. Diamantul si nitrida boronica cubica (cBN) sunt
cele mai dure substante cunoscute de om. Se pune intrebarea: este posibil sa obtinem materiale cu
proprietati superioare acestora? Teoretic, raspunsul este afirmativ. Iar experimentele la scara
nanometrica au reusit sa creieze un material stratificat diamant-cBN mult mai rezistent si care are
o buna amnortizare decat oricare din aceste doua substante. Rezistenta mare se explica prin
dislocatiile la interfetele fazice. Aceste rezultate arata ca, prin reducerea scarii structurale la nivel
nanometric, proprietatile fizice si mecanice ale materialelor pot depasi cu mult granitele
ingineresti cunoscute pana in present. Prin cunoasterea completa a fenomenelor de amortizare si
deformatie plastica la nivel nanometric se pot produce materiale noi care combina perfect
proprietati ca disiparea de energie, ductibilitate, rezistenta, nu prin schimbarea compozitiei
chimice cum se procedeaza in prezent, ci prin controlul atomic al dimensiunilor, locatiei si al
formei constituientilor. Controlul acestor fenomene sta la baza strategiei de control optimal
al disiparii energiei, pentru obtinerea de materiale cu o capacitate inalta de amortizare,
combinata cu proprietati mecanice foarte bune.
Comportarea mecanica a nanostructurilor se poate simula pe supercomputere, si aceste
simulari pot avea o relevanta deosebita in aprofundarea cunostintelor in stiintele fundamentale si
in tehnologiile aplicate, cu perspective certe de implementare industriala. Aplicatii ale
nanotehnologiei sunt deja evidente in programele tehnologice existente: materiale
magnetorezistente, materiale nanostructurate pe baza de nanotuburi de carbon, polimeri,
nanosisteme DNA cu relevanta in proiectul genomului uman, procesoare bazate pe principiile
mecanicii cuantice, aerogeli, etc.
Obiectivele cercetarii nanostiintifice si nanotehnologice in urmatorii 5-10 ani cuprind
intelegerea proprietatilor nanostructurilor izolate, cunoasterea precisa la nivel atomic a
structurilor arbitrare, simularea producerii acestor structuri in numar mare, ieftin si rapid, crearea
de noi structuri cu proprietati dorite si controlate, simularea producerii lor, si in final
tehnologizarea lor. In prezent se pot realiza simulari de dinamica moleculara 3D pana la 100
milioane de atomi prin diferite metode, si aceasta realizare deschide posibilitati fara precedent in
compararea teoriei cu experimentul si in intelegerea fenomenelor fizice aflate la limita teoretica.
Disiparea energiei (amortizarea) contribuie la reducerea nivelului amplitudinilor de
rezonanta sau zgomot in structuri si materiale, imbunatatind astfel integritatea si durata lor de
viata. La scara macrometrica, se poate obtine o amortizare semnificativa prin echipamente

70
externe. La scara micrometrica nivelul de amortizare este mai mic, iar la scara nanometrica si mai
mic. La scara nanometrica, insa, putem controla fenomenul disiparii energiei prin exploatarea si
controlul proprietatilor si fenomenelor caracteristice acestor dimensiuni (Teodorescu, Chiroiu si
Munteanu 2005a,b). Domeniul de interes sunt nanostructurile si materialele nanostructurate cu
caracteristici foarte bune de amortizare, prin controlul materiei si a mecanismelor de disipare a
energiei in gama (1-100 nm). La scara nanometrica sunt accesibile noi mecanisme de disipare a
energiei cum sunt: vascozitate si histerezis atomic, dependenta frecarii interne de amplitudinea
deformatiilor, interactiunea spin-orbita, variatia conductivitatii, mobilitatea interfetelor deformate
initial, chiralitate, generare de unde spin, magnoni, fractoni si phononi, generarea dilatonilor
energetici, etc. Prin cunoasterea completa a fenomenelor de amortizare la nivel nanometric se pot
produce materiale noi care combina perfect proprietati ca disiparea de energie, ductibilitatea si
rezistenta, nu prin schimbarea compozitiei chimice cum se procedeaza in prezent, ci prin
controlul dimensiunii, a formei constituientior si a unui aranjament precis al atomilor in material
Metale ca aluminiul, aliajele de titan si otel au o capacitate de disipare a energiei extrem de
redusa (in jurul a 10 −3 ). Vibratiile pot influenta siguranta, rezistenta si durata de viata a
structurilor alcatuite din aceste materiale. Doua treimi din erorile descoperite la rachete si sateliti
sunt legate de vibratii si zgomot. Aceleasi materiale insa, combinate prin tehnici nanometrice pot
avea alte caracteristici de amortizare. In aceasta lucrare, s-a simulat la nivel molecular producerea
unei folii stratificate periodice Cu-Ni, 66% Cu. Aceasta folie manifesta proprietati situate in afara
limitelor ingineresti obtinute prin simpla regula a mixturii. De exemplu, folia raporteaza un
modul de elasticitate Y[100] de 18.9 TPa (Y[100] pentru un aliaj omogen Cu-Ni cu aceeasi
compozitie este 0.14 TPa) si o capacitate de disipare a energiei de 75 ori mai mare decat a
structurii omogene. De asemenea, nanostructurile feromagnetice pot avea proprietati extrem de
diferite fata de proprietatile materialelor constituente, iar capacitatea de amortizare poate fi
imbunatatita substantial prin control la scara nanometrica (Olkhovets 2001).
Nanostructurile au o dimensiune intermediară între structurile moleculare (dimensiunea
−10
7
unei molecule 10 m ) şi structurile microscopice măsurate în microni ( 10 − m ), adică de la
0.1−
100nm . Ele conţin un număr foarte mare de atomi. Privite ca molecule, nanostructurile sunt
prea mari pentru a putea fi modelate cu metodele mecanicii cuantice. Privite ca materiale, sunt
mult prea mici şi prezintă caracteristici care nu sunt observabile la structurile macroscopice (chiar
în jur de 0,1µm ). Noţiunea de nanostructură combină concepte diferite: dimensiune mică,
organizare complexă, raport dintre arie (interfeţe) şi volum, mare, densitate mare şi interacţiuni
electromecanice puternice. Caracteristicile electronice şi magnetice ale acestor structuri sunt
dominate de un comportament cuantic.
O posibilă definiţie a unui material nanostructurat, bazată pe observaţiile asupra unui
număr mare de fenomene fizice şi mecanice a fost propus de Krishna, Prasad şi Srinivasan
(2004). Aceşti autori sugerează că înafară de stările materiei solidă, lichidă şi gazoasă, nanofaza
poate fi considerată ca o stare distinctă a materiei.
Pentru valori ale raportului dintre volumul V al materialului şi volumul celulei unitare V
c
5 6
(blocul reprezentativ constructiv al materiei) mai mici decât 10 sau 10 , materialul se comportă
ca o nanostructură. Sau, putem spune, pentru valori ale raportului dintre numărul de particule N
ale materialului şi numărul de particule din celula unitară N mai mici decât 10 5 sau 10 6 ,
materialul se comportă ca o nanostructură. Aici, V şi N tind către infinit, iar raportul N V
este
finit. Faza nanometrică poate fi obţinută prin transformări din faza solidă, lichidă sau gazoasă şi
trebuie studiată ca atare cu ajutorul mecanicii cuantice ca o fază distinctă a materiei.
c

71
Dimensiunea este un factor important, şi prin urmare raportul dintre arie şi volum creşte
2/3
V 1
pentru sisteme de dimensiune mică, asta însemnând că = devine mic şi mai mic pe
1/ 3
V V
măsură ce V creşte. Ca rezultat, efectele de suprafată domină faza nanometrică spre deosebire de
faza macrometrica ă materiei. Experimente recente efectuate pe apă în domeniul nanometric arată
că de la 10 K la 300 K , deplasarea în medie pătratică a hidrogenului (parametrul fizic utilizat în
experiment) nu suferă schimbări majore, în timp ce în domeniul macrometric în procesul de
transformare al gheţii în apă, acest parametru suferă variaţii puternice (Krishna, Prasad and
V
Srinivasan 2004). Dacă
V este mai mare decât 5 6
10 or 10 , faza nanometrică se poate transforma
c
în oricare altă fază în funcţie de temperatură. Potenţialul chimic µˆ este nul pentru faza
nanometrică şi diferit de zero pentru faza macrometrică. Energia liberă a lui Gibbs are variaţii
V
puternice atunci când
V este mai mare decât 6
10 . Această valoare pare să capete o importanţă
c
deosebită şi de aceea poate fi asociată unei mulţimi canonice critice. Energia liberă a lui Gibbs
este în general o funcţie de de temperatură T , presiune P şi numărul mwdiu de particule N .
Potenţialul chimic µˆ , per particulă nu este zero pentru mulţimea canonică critică. Pentru o
nanostructură descrisă numai de mecanica cuantică, µˆ este nul. Prin urmare, considerente
termodinamice pun în evidenţă o variaţie puternică a funcţiei lui Gibbs în raport cu N , atunci
când N
c
creşte.
Un fenomen fizic poate fi examinat la diferite scări de lungime şi scări de timp. De
exemplu, mişcarea undelor în ocean poate fi observată cu ochiul liber sau vizualizând cu ochii
minţii mişcarea moleculelor de apă. Depinzând de scara care interesează, modelarea are nevoie
de analize diferite, în cazul acesta dinamica fluidului continuu pentru a descrie propagarea
undelor şi dinamica moleculară pentru a descrie mişcarea moleculelor.
La dimensiuni mici, materialele au proprietăţi diferite de cele la scară macroscopică. De
exemplu, la scară nanometrică materialele au o rezistenţă mecanică mai mare decât probele
macroscopice ale aceluiaşi material. Abilitatea unui material de a se deforma (întindere,
compresiune, încovoiere, torsiune) fără să se rupă depinde de legăturile chimice care ţin atomii
împreună. În principiu, legăturile chimice sunt aceleaşi atât în scara nanometrică cât şi în scara
macroscopică. Dar probele macroscopice includ multe defecte, cavităţi, atomi lipsă, etc., care
limitează proprietăţile mecanice. Densitatea acestor defecte poate fi mult mai mică la scară
nanometrică, şi ca rezultat nanomaterialele devin mai rezistente. Cercetătorii au în vedere
exploatarea proprietăţilor superioare ale materiei la scară nanometrică şi combinarea unor piese
sau blocuri nanometrice în construirea unor materiale nanostructurate, care pot fi considerate ca
fiind compuse din blocuri nanometrice (Jackson 2004, Chiroiu, Munteanu si Stiuca 2005).
Modelarea şi simularea proprietăţilor materiei sunt legate de determinarea scării de
reprezentare. Această determinare trebuie realizată bidimensional. Axa spaţială are un interval de
la dimensiunea unui atom ( ≈ 1A) la dimensiunea unei nanoparticule ( ≈ 1µm ). Axa temporală este
liniară în raport cu numărul de particule. Mişcarea atomică este mult prea rapidă decât multe
procese macrospcopice, fiind caracterizată de intervale temporale de ordinul 1fsec , ceace
înseamnă că avem nevoie de 15 ordine de mărime pentru a atinge o secundă.
Microscopia electronică este capabilă să vizualizeze atomii individuali din nanonstructuri
cu precizie angstromială. În cazul fascicolului de electroni vizualizarea se obţine din informaţii
privind energia pierdută de electron, sau din măsurători de emisie de raze X. Pentru fascicolul de
ioni avem o rezoluţie de 10nm, iar pentru fascicol de fotoni în jur de un micron.
În general, putem vorbi de patru scări de lungime, proprii unor fenomene fizice distincte.
−8
Cea la mică lungime de interes practic este de ordinul a câţiva amgstromi ( 10 cm ) şi se asociază

72
electronilor individuali din atom. Sistemul este reprezentat printr-o colecţie de atomi (nuclee sau
ioni), şi electroni, iar metodele de calcul potrivite sunt din mecanica cuantică.
Următoarea scară, incluzând sute de angstromi, este scara atomică. Aici sistemul este
reprezentat printr-o colecţie de atomi, şi analiza se realizează cu dinamica moleculară şi metoda
Monte-Carlo. Aceste metode necesită de asemenea cunoaşterea funcţiei potenţial atomic
U ( r1, r2,..., r
n
) , pentru determinarea căreia se folosesc metodele inverse bazate pe date
experimentale şi pe metode de optimizare cu funcţii multi-obictiv şi algoritmi genetici (Chiroiu şi
Chiroiu 2004). Simularea atomică este mai simplă decât simularea electronică, deoarece structura
9
electronică este ignorată. Aici putem modela un număr mai mare de particule (în jur de 10 ).
Evaluarea amortizarii si a energiei disipate se realizeaza cu ajutorul teoriei neliniare a
propagarii undelor in materiale cu dimensiune mica (

73
relaxează deoarece diferenţa dintre energiile celor două stări se pierde (Iordache et al. 1998,
Iordache, Scalerandi si Iordache 2000, Zener 1947, 1949).
Pentru a descrie matematic fenomenul de relaxare a tensiunilor utilizăm modelele
reologice. În fig.2.2.1 sunt reprezentate câteva modele reologice, şi anume un element elastic
Hooke care descrie comportarea elastică (fig.2.2.1a), un element Newton pentru a descrie
comportarea vâscoasă (fig.2.2.1b), un element St. Venant pentru descrierea amortizării
coulombiene (fig.2.2.1c), şi un element Zener pentru descrierea relaxării tensiunilor (fig.2.2.1d).
Elementul Zener constă dintr-un element Hooke legat în paralel cu un element Newton, şi un
element adiţional Hooke legat în serie (Chiroiu, Stiuca, Munteanu si Donescu 2005).
Fig. 2.2.1. Modele reologice, a) element Hooke; b) element Newton ; c) element St. Venant;
d) element Zener.
Fig. 2.2.2. Dependenţa calitativă a rapoartelor 1 şi ∆ E
Q E
, de temperatură.
În fig.2.2.2 se reprezintă grafic dependenţa rapoartelor 1 Q şi ∆ E , de temperatură
E
(Duemling 2002). Relaxarea termoelastică care a fost confirmată experimental de câtre Zener, a
fost luată şi ea în considerare.
Analiza capacitatii de disipare a energiei si proprietatile de amortizare sunt descrise de
functia Titeica, care depinde de curbura Gaussiana a suprafetei Titeiica asociata modelului de

74
defomatie. Din aceasta functie putem determina cu usurinta si alti evaluatori ai amortizarii
precum: energia disipata pe ciclu, energia disipata pe unitatea de greutate, energia potentiala
maxima, factorul de pierdere, rigiditatea secanta si amortizarea vascoasa echivalenta. Energia
disipata pe ciclu este evaluata ca aria medie a buclei histeretice pentru aceeasi amplitudine.
Energia disipata pe unitatea de greutate se obtine impartind energia disipata pe ciclu la greutatea
probei. Ea exprima eficienta probei in ceeace priveste capacitatea de amortizare. Energia
1
potentiala maxima pentru un material liniar vascoelastic este U = εmaxσmax
unde σ max
si ε max
2
reprezinta tensiune si deformatia maxima. Pentru un material neliniar, o definitie mai precisa este
1
1
data de U = W − ∆W unde W este energia potentiala de deformatie maxima la ε max
, si ∆
2
2 W
este energia disipata pana la acest punct. Factorul de pierdere este definit prin relatia
12∆W
η= . Valoarea 2 de la numitor se justifica prin faptul ca la incarcarea ciclica energia
2 π U
disipata total este de doua ori energia disipata doar la intindere. Rigiditatea secanta se calculeaza
din Ks
= ( Fmax −Fmin )/( δmax − δmin
) , unde F ax
si F in
sunt fortele corespunzatoare deplasarilor
ciclice maxime δ ax
si δ in
. Amortizarea vascoasa echivalenta caracterizeaza eficienta in
2
amortizarea vibratiilor. Ea se calculeaza din ζ
eq
= WD )(2 πKsδ
) , unde W D
este energia
disipata pe ciclu si δ este deplasarea maxima ciclica. Parametrii de control care apoar in
simulare se rezolva cu probleme inverse si algoritmi genetici (Chiroiu si Chiroiu 2003)
Nanostructurile sunt gândite ca sisteme materiale care prezintă abilitatea de a-si adapta
propria functionalitate. Aceste structuri realizează acest concept prin integrarea in sistem a
nanoactuatorilor, nanosenzorilor si a nanocontrolelor, confectionate din materiale functionale.
Pentru a reduce vibratiile unei structuri, parametrii structurali sunt modificati prin activitati si
actiuni de control. Structurile active si semiactive (adaptive) sunt mai eficiente decât structurile
pasive deoarece pot controla variaţii ale structurii prin acţiuni feedback (Chiroiu, Munteanu si
Rugina 2003, Chiroiu, Mihailescu si Munteanu 2006). Studiile noastre teoretice pe nanofire
(nanotuburi de carbon) la incarcari ciclice au avut drept scop studiul influentei vitezei de
deformatie a incarcarii, a deformatiei, a temperaturii, a tensiunii critice care induce trasformarea
de faza si invers, a interfetelor, a frecventei de incarcare, a numarului de ciclii de incarcare asupra
raspunsului histeretic al materialului, asupra energiei disipate, asupra factorului de pierdere,
asupra cantitatii de deformatie reziduala, asupra deformatiei care se poate recupera dupa
eliminarea incarcarii exterioare, asupra rezistentei materialului, etc. Rezultatele noastre principale
se refera la faptul ca, la.Incarcari ciclice intindere-compresiune pentru nanotuburi de carbon cu un
singur perete de diametru de cativa nm, cu deformatie maxima prescrisa, apare un efect puternic
de ecruisare, deformatiile reziduale se acumuleaza si energia histeretica creste progresiv dupa
multi ciclii de incarcare. Amortizarea este o functie de amplitudinea deformatiei si tinde sa se
stabilizeze la deformatii mari. Pentru trei nivele de deformatie 2,3 si 4%, cresterea temperaturii
cauzeaza o crestere a buclelor histeretice ale tensiunii. Pentru frecvente mici si o valoare fixa a
deformatiei de 4%, se produce o crestere a buclelor histeretice ale tensiunii si deci a energiei
disipate. La frecvente mai mari buclele histerezis se reduc. Frecventa interactioneaza cu
amplitudinea deformatiei. In particular, la o deformatie de 2 % exista o variatie usoara a energiei
disipate cu frecventa, in timp ce pentru o deformatie de 4%, variatia este mai importanta. Pentru
valori mai mari ale frecventei, energia disipata descreste. Factorul de pierdere descreste cu
cresterea temperaturii, care oricum nu are un efecet semnificativ asupra energiei dissipate.
Deformatia reziduala descreste cu numarul de ciclii. .
Controlul inteligent al amortizarii in nanostructuri se bazeaza pe functia Titeica. Parametrii
de control caracterizeaza structura interna a materialului (pozitia si dimensiunile atomilor),

75
numarul de straturi si proprietatile interfetelor. Functia Titeica caracterizeaza in termeni
geometrici structura interna a materialului, iar curbura sa Gaussiana, capacitatea de amortizare
(energia disipata). Astfel, functia Titeica asociata problemei de deformatie sta la baza controlului
inteligent al amortizarii prin alegerea optima a parametrilor de control, astfel incat disiparea de
energie sa fie maxima. Din functia Titeica putem determina cu usurinta si alti evaluatori ai
amortizarii precum: energia disipata pe ciclu, energia disipata pe unitatea de greutate, energia
potentiala maxima, factorul de pierdere, rigiditatea secanta si amortizarea vascoasa echivalenta.
Metale ca aluminiul, aliajele de titan si otel au o capacitate de disipare a energiei extrem de
3
redusa (in jurul a 10 − ). Vibratiile pot influenta siguranta, rezistenta si durata de viata a
structurilor alcatuite din aceste materiale. Doua treimi din erorile descoperite la rachete si sateliti
sunt legate de vibratii si zgomot. Aceleasi materiale insa, combinate prin tehnici nanometrice pot
avea alte caracteristici de amortizare.
Am simulat la nivel molecular producerea unor folii metalice bistratificate periodice (Au-
Ni, Cu-Pd, Cu-Ni, Ag-Pd) (Chiroiu 1999) de grosime h = Nλ . Parametrii de control sunt raportul
r al razelor celor doua tipuri de atomi, distanta d dintre atomi, lungimea de unda λ a modularii
si amplitudinea A a modularii (fig.2.2.3).
Fig. 2.2.3.Geometria foliei bistratificate.
Aceste folii se pot arhitectura astfel incat sa manifeste proprietati situate in afara limitelor
ingineresti obtinute prin simpla regula a mixturii. De exemplu, pentru o lege de modulare
2πz
Asin( ) , folia Cu-Ni cu 66% Cu, de grosime h=1.5µm , λ = 7.2nm, si A = 0,22, raporteaza
λ

76
la o solicitare biaxiala in directia [111] un modul de elasticitate Y[100] de 0.23TPa (Y[100]
pentru un aliaj omogen Cu-Ni cu aceeasi compozitie este 0.14 TPa) si o capacitate de disipare a
energiei de 75 ori mai mare decat a structurii omogene. De asemenea, nanostructurile
feromagnetice pot avea proprietati extrem de diferite fata de proprietatile materialelor
constituente, iar capacitatea de amortizare poate fi imbunatatita substantial prin control la scara
nanometrica.
Am analizat functia Titeica pentru aceste folii bistratificate periodic. Variatia functiei
Titeica asociata problemei de deformatie biaxiala in directia [1,1,1] este reprezentata in fig. 2.16
pentru folii Cu-Ni, in fig. 2.17 pentru folii Au-Ni, in raport cu lungimea de unda λ a modularii si
amplitudinea A a modularii. Functia reprezinta o masura a capacitatii de amortizare a structurii
(energia disipata pe ciclu), in sensul ca putem alege acesti parametrii astfel oincat functia Titeica
sa fie maxima.. Pentru fire dintr-un aliaj cu memoria formei (Ni-Ti) functia Titeica este
reprezentata in fig. 2.17.
Fig. 2.2.4. Variatia Titeica asociata problemei de deformatie biaxiala [111] pentru folii Cu-
Ni.

77
Fig.2.2.5. Variatia functiei Titeica asociata problemei de deformatie biaxiala [111] pentru
folii Au-Ni.
Fig. 2.2.6. Variatia functiei Titeica asociata problemei de deformatie biaxiala [111] pentru
fire diintr-un aliaj cu memoria formei SMA (Ni-Ti).
In tabelul 2.2.1. sunt prezentate propriatatile mecanice ale foliei Au-Ni, cu A=0.03 si
λ = 2,9nm ( σ m
tensiunea limita la rupere si ε m
deformatia la rupere).
Tabel 2.2.1. Proprietati mecanice ale foliei Au-Ni
(% Ni) h( µ m) λ (nm) σ m
(GPa)
ε m
(%)
52 2,21 7,10 0,65 0,65
51 2,07 6,70 0,69 0,68
64 0,99 4,32 0,64 0,79
50 1,29 2,54 0,59 0,48
55 1,06 2,40 0,75 0,60
59 1,32 2,34 0,79 1,17
59 1,32 2,37 0,80 0,77
56 0,75 2,10 0,78 0,60
61 1,62 2,07 0,.97 1,37
62 2,23 1,84 0,64 0,36
65 1,68 1,50 0,60 0,56
S-au analizat pe baza metodei de reducere pseudosferica, o serie de nanostructuri
(Munteanu si Chiroiu 2005). De exemplu s-a considerat o nanobara alcatuita din 3 straturi
aluminiu-spuma auxetica-aluminiu (fig. 2.2.7 sus) si o nanobara in care stratul din mijloc este un
cristal cu proeminente atomice distribuite aaleator (fig. 2.2.7 jos).

78
Fig. 2.2.7. Bara compozita aluminiu-spuma auxetica.
Structurile sunt solicitate la incovoiere. Reducerea amplitudinilor vibratiilor capatului barei
in raport cu timpul este reprezentata in fig. 2.2.8 pentru ambele structuri.Se observa ca
proeminentele atomice introduse in structura cristalina a materialului introduce o cantitate
semnificativa de amortizare.
Fig. 2.2.8. Variatia amplitudinii in raport cu timpul pentru structurile din fig.2.19.
7
Rezonatorii se caracterizează printr-un factor de calitate foarte mare (de aproximativ 10 ),
pentru a putea reduce cât se poate de mult semnalele de interferenţă. Pentru a modela astfel de

79
rezonatori trebuie înţelese mecanismele de disipare a energiei şi de relaxare a tensiunilor la scară
nanometrică. Structurile micro-electromecanice (MEMS) se utilizează în industria senzorilor şi în
comunicaţiile fără fir. Litografia electronică permite reducerea dimensiunilor acestor structuri
până la 100nm, şi fabricarea de sisteme nano-electromecanice (NEMS), care consumă foarte
puţină energie. Prin analogie cu biosistemele, oamenii au construit o serie de structuri
electromecanice la scară nanometrică, cum ar fi rezonatorii (Chiroiu, Stiuca, Munteanu si
Donescu 2005).
Reducerea dimensiunii unui rezonator creşte frecvenţa sa de rezonanţă în domeniul GHz.
Sistemele nano-electromecanice se caracterizează printr-un factor de calitate foarte înalt. Cele
mai multe studii privind mecanismele de disipare a energiei au fost realizate pe sisteme oscilante
cu dimensiuni mari, şi la frecvenţă mică de aproximativ 1Hz. Pentru a ridica factorul de calitate a
NEMS înspre valoarea 10 7 , trebuie să înţelegem cum funcţionează cele mai importante
mecanisme de disipare a energiei la scară nanometrică.
Inversul factorului de calitate Q este prin definiţie raportul dintre energia disipată pe ciclu
W
c
şi energia elastică totală
W
e
1 1 Wc
= . (2.2.1)
Q 2 π We
De exemplu, în cazul amortizării coulombiene, introducem un modul de elasticitate
complex. Presupunând că tensiunea este de forma
σ=σ exp(i t)
0
ω , (2.2.2)
datorită modulului complex, deformaţia se scrie la fel
ε=ε exp(i t )
0
ω +φ . (2.2.3)
Energia elastică a oscilatorului, şi respectiv, energia disipată pe ciclu devin
1 2
2
W = Eσ 0
, ∆ W =πEησ 0
. (2.2.4)
2
Factorul de calitate (2.2.1) se exprimă astfel
1 ∆W
= = tan φ =η, (2.2.5)
Q 2πW
unde η , care este capacitatea specifică de amortizare pe radian şi pe ciclu de mişcare, se numeşte
şi factor de pierdere. Sub altă formă, factorul de calitate se mai scrie şi sub forma
1 Im( ω)
= 2 | |
Q Re( ω )
. (2.2.6)
Ca un exemplu, factorul de pierdere ia valori în intervalul 2× 10 −5 – 2× 10 −3 pentru
aluminiu, în intervalul 0,02 – 0,06 pentru beton, 0,001 – 0,002 pentru sticlă, şi în intervalul 0,002
– 0,01pentru oţel. În general, diferitele mecanisme de disipare a energiei contribuie împreună la
descrierea factorului de calitate. În consecinţă, putem spune că factorul de calitate total este suma
factorilor de calitate individuali
1 1
= ∑ . (2.2.7)
Qtot
i Qi
este aproximativ aceeaşi ca cea a unui oscillator neamortizat.

80
De4 exemplu, un rezonator nanomecanic poate fi paleta rezonantă, care prezintă două
moduri fundamentale de rezonanţă, unul la mişcarea de translaţie şi celălalt la mişcarea de
torsiune. Geometria rezonatorului şi cele două moduri de rezonanţă sunt reprezentate în fig. 2.2.9.
Grosimea paletei este notată cu θ (0, t) = 0
Oscilatorii torsionali micromecanici pot detecta deformaţii foarte mici, fapt pentru care sunt
ideali pentru studiul proprietăţilor electromagnetice ale materialelor. Pentru mişcarea de
translaţie, se poate considera un model simplificat în care se presupune că paleta rămâne
nedeformată în timpul mişcării, datorită rigidităţii sale relativ mari (Olkhovets 2001). Fiecare bară
poate fi considerată încastrată la ambele capete. Datorită simetriei, secţiunea din mijlocul fiecărei
bare nu suferă deformaţii de încovoiere. Modelul lui Olkhovets pentru mişcarea de translaţie al
paletei este reprezentat în fig. 2.2.10. Experimental, acest model prezintă o comportare neliniară
la vibraţii. De aceea, în ecuaţia care descrie mişcarea acestui sistem se introduce o forţă elastică
neliniară.
Fig. 2.2.9. Geometria paletei rezonante.

81
Fig. 2.2.10. Model pentru mişcarea de translaţie a paletei.
Fig. 2.2.11. Modelul pentru mişcarea de torsiune a paletei.
Revenind la paletă, notăm momentul de inerţie cu I
p
, şi presupunem că barele suport sunt
modelate ca resoarte elastice fără masă, de constantă elastică κ
b
. Pentru modelul din fig. 2.2.11,
putem aplica aceeasi teorie daca adaugam un termen de amortizare şi un moment de torsiune
exterior τθ ( , t)
.

82
Fig. 2.2.12. Modelul pentru mişcarea de torsiune a paletei.
Fig.2.2.13. Frecvenţa de rezonanţă la mişcarea de translaţie.
Pentru o paletă (fig.2.2.12) cu dimensiunile a = 200nm, b = 175nm, L = 2,5µm , w = 2µm ,
3
d = 3,5µm , modulul lui Young pentru silicon E =150GPa, densitatea ρ= 2330kg/m şi
coeficientul Poisson ν = 0,17, se obţine pentru prima frecvenţă de rezonanţă valoarea 1,235 MHz,
aşa cum se observă din fig. 2.2.13. Pentru aceleaşi dimensiuni ale paletei, se obţine frecvenţa de
rezonanţă la mişcarea de torsiune, egală cu 3,34 MHz.
Descriem în continuare un motor celular cu două stări (ataşat şi detaşat) (fig.2.2.14). O
masă liberă este ancorată pe o magistrală ca un pendul, şi magistrala este ataşată unei căi
moleculare cu o viteză de ataşare t − . Deplasarea masei se descrie cu ajutorul unui potenţial
1
d

83
2
kξ
armonic U ( ξ ) = , unde ξ este deplasarea relativă a masei, şi k o constantă elastică. Masa se
2
detaşează la timpul t d
, şi trece într-o nouă stare la timpul t a
, când se ataşează din nou. În acest
moment ea se deplasează şi generează forţă între cale şi magistrală. După un timp masa se
detaşează, şi ciclul se repetă.
Acest model se poate generaliza la N mase independente, rigide, poziţionate pe o
magistrală care se poate ataşa unei căi moleculare (fig. 2.2.15). Notăm cu x poziţia masei care
poate fi liberă sau legată, şi cu y poziţia capătului pendulului pe magistrală. Deplasarea masei
este ξ = y− x. Aceste deplasări se pot descrie cu ajutorul unui potenţial armonic Η= U ( ξ − ξ
d
),
2
kξ
cu U ( ξ ) = . După ataşare sau detaşare are loc o deviaţie a potenţialului cu distanţa d , adică
2
ξ
d
= 0 în starea ataşată şi ξ
d
= d în starea detaşată. Apariţia acestei asimetrii spaţiale constituie
baza mecanisimului de generare a mişcării direcţionale.
Presupunem că tranziţia dintre stări apare stocastic cu timpii caracteristici t d
şi t
a
, şi cu
viteza de ataşare a masei t − constantă. Există trei scenarii microscopice posibile de ataşare a
1
d
masei la calea microscopică. În primele două, se presupune că are loc o reacţie de întârziere
înainte ca masa să se ataşeze (fig.2.2.16).
Masa are o mişcare aleatoare tridimensională înainte de ataşare. În primul scenariu, tendinţa
masei de a se ataşa creşte gradat (fig. 2.2.16a). În al doilea scenariu, masa se ataşează parţial la
început, are o mişcare aleatoare unidimensională şi apoi se ataşează total. În al treilea scenariu,
ataşarea are loc imediat. Alegem primul scenariu care este propriu motorului actin-miosin din
muşchi. Conform cu Svoboda şi Schmidt (1993) se obţine pentru a două valori, a = 5,5nm
pentru actin şi a = 8nm, pentru microtuburi. Finer, Mehta şi. Spudich (1995) au determinat
experimental valorile k = 0,4pN/nm, d = 10nm.
Fig. 2.2.14. Diagrama unui motor molecular cu două stări.

84
Fig. 2.2.15. Diagrama unui motor molecular cu masa care se deplasează pe o cale
moleculară..
Fig. 2.2.16. Trei scenarii de ataşare a masei la calea moleculară..
Până acum am vorbit de magistrale şi căi rigide. O cuplare elastică a motoarelor moleculare
se poate realiza considerând că magistrala sau calea moileculară este elastică. În continuare
−1
considerăm că magistrala este elastică, fiind modelată ca un resort elastic de complianţă γ pe
unitatea de lungime. Presupunem că timpii de ataşare t
a
şi respectiv, de detaşare t
d
sunt
constanţi. Un număr de N motoare (motorul este un pendul cu masă ataşată la capăt) sunt fixate
echidistant pe magistrala elastică, la distanţă L (fig.2.2.17). Poziţia iniţială la t = 0 a capătului
pendulului i pe magistrala nedeformată este z i
, iar poziţia sa la timpul t este yi
() t , relativ cu
z
i
. Poziţia iniţială a masei relativ cu capătul pendulului este d (fig. 2.29), iar poziţia sa la
momentul t este este xi
() t (fig. 2.2.18).

85
Fig. 2.2.17. Model cu magistrală elastică.
Fig. 2.2.18. Modelul mişcării magistralei elastice.
Generalizând acest motor celular, problema construirii unui nanomotor cu rezoluţie atomică
fără sistem de amortizare a vibraţiilor, cu dimensiuni de aproximativ 500nm (de 300 de ori mai
mic decât grosimea unui fir de păr uman), utilizând un rotor de aur montat pe un arbore alcătuit
dintr-un singur nanotub de carbon de grosime în jur de la 5 la 10nm, nu a fost greu de rezolvat
(Noid şi Sumpter 2000, Stiuca, Chiroiu si Nicolescu 2004). Arborele de carbon încărcat electric
se roteşte sub acţiunea unui câmp oscilant generat de un laser. Cu mai puţin de 5V aplicat
statorului, nanomotorul se poate roti mii de ciclii fără degradare. Funcţionarea motorului este
modelată cu metode inteligente de tip neuronal. Nanomotorul este suficient de mic pentru a putea
fi montat în cordul uman pentru contracţia activă a muşchiului cardiac, sau într-un dispozitiv care
să agite lichidul într-un echipament microfluidic, sau poate funcţiona ca un întrerupător optic de
redirecţionare a luminii, sau poate fi montat în cel mai mic microscop (scanning tunneling
microscop SMT) care există în prezent. Acest minimicroscop se poate folosi de exemplu, pentru
inscriţionarea unor structuri pe un superconductor aflat la temperatură mare.
In cadrul proiectului s-a realizat controlul amortizării în cateva nanostructuri, cu aplicaţii la
reducerea vibraţiilor (Chiroiu et al. 2001, Chiroiu, Stiuca, Munteanu si Donescu 2005) dintre
care:
Mecanism de amortizare cu nanostraturi vâscoelastice (fig. 2.2.19)
Fig. 2.2.19. Mecanism de amortizare cu nanostraturi vâscoelastice.
Mecanism de acţiune cu elemente PZT la întindere şi alunecare (fig. 2.2.20).

86
Fig. 2.2.20. Mecanisme de acţiune PZT la întindere şi alunecare (dimensiuni in nm).
3. Nanobară stratificată alcătuită din materiale vâscoelastice (fig. 2.2.21).
Fig. 2.2.21. Bară stratificată din materiale vâscoelastice.
4. Placă sandwich alcătuită din nanostraturi vâscoelastice supusă la solicitări complexe fig.
2.34 sunt reprezentate câteva moduri de deformaţie controlate. Functia Titeica adimensionala
pentru primele trei moduri controlate ale plăcii sandwich sunt prezentate in fig. 2.2.22.

Fig. 2.2.22. Functia Titeica adimensionala pentru primele trei moduri controlate ale plăcii
sandwich
87

55
3. Metoda noua de caracterizare a amortizarii prin nanoindentare. Realizarea virtuala a
instrumentului de nanoindentare (etapa I-metoda)
Metodele clasice cunoscute nu sunt adecvate la scara nano, amortizarea nu se poate estima
cu aceste tehnici. Evaluarea amortizarii la nivel nano este o problema deschisa. Apar aspecte
neelucidate legate de efecte cuantice (zgomot Johnson datorita temperaturii, forta Casimir), legate
de tribologie (originea frecarii, aria reala de contact, adeziune moleculara, efecte electronice,
superlubricitate), si alte fenomene precum energia discontinua de legatura adeziva, histerezis,
difuzie, fluaj, dislocatii, forfecarea atomica, curgere plastica, relaxare, gradienti termici. Prin
urmare, limitarile metodelor si a instrumentatiei existente (nanoindentare) se refera la calculul
modulului de elasticitate care se face doar pentru materiale izotrope si liniare, fara sa se obtina
informatii privind proprietatile elasto-vascoase si de amortizare .
In present, din analiza dinamica se obtin informatii limitate privind amortizarea pentru
materialele cu amortizare redusa. Un rezultat incorect privind capacitatea de amortizare a
materialelor poate cauza schimbari de design cu reduceri nedorite ale rezistentei si rigiditatii.
Noul concept propus de noi consta intr-un nou experiment. Acest experiment este justificat prin
teoria pe care am construit-o si care evidentiaza capabilitatile acestui experiment.
Este vorba de construirea unei linii de indentere care se misca cu viteza v , unele din ele
actionand pe o parte a suprafatei probei, altele pe cealalta suprafata in aceeasi directie sau directii
opuse. Indenterele pot actiona pe o parte a probei, cealalata parte fiind incastrata. In fig.3.1 este
prezentat schematic acest indenter multiplu.
In acest fel este posibila evaluarea nu numai a proprietatilor elastice dar si a capacitatii de
amortizare, libere de efectul de substrat. Principalele rezultate ale echipei de cercetare care stau la
baza prezentei cercetari sunt: (Teodorescu, Munteanu, Chiroiu, Dumitriu si.Beldiman 2008,
Chiroiu, Munteanu, D.Dumitriu, Beldiman si.Secara 2008, Munteanu, Chiroiu, Dumitriu, si
Beldiman 2008, Chiroiu 2008, Munteanu, Dumitriu, Donescu si.Chiroiu 2008).
:
● Modelarea locala a contactului fara frecare
● Modelarea locala a contactului cu frecare
● Modelarea nelocala a contactului fara frecare
● Modelarea relocala a contactului cu frecare
● Dezvoltarea de modele ale suprafetelor in contact la scara continua macroscopica. Modelul
Derjaguin, Muller si Toporov ,
● Teoria nelocala de tip Eringen,
● Modelarea nelocala a contactului elastic,
● Problema lui Boussinesq. Solutia lui Sneddon,
● Ecuatiile integrale duale ale lui Sneddon. Solutii exacte ale stantei plane de forma arbitrara
● Dezvoltarea de modele la scara mezoscopica si la scara nanoscopica
● Teorii cuplate atomistic-continue. Potentiali atomici
● Analiza fenomenului de adsorbtie
● Rezolvarea numerica a problemei indentarii cu ajutorul elementelor finite.
Scopul lucrarii este de a construi o teorie adecvata pentru un procedeu de nanoindentare
prezentat in fig.3.3.1.

56
Fig. 3.1. Reprezentarea schematica a conceptului a doua inedentere care se misca cu aceeasi
viteza in aceeasi directie pe suprafata probei.
Construirea relatiilor constitutive pentru stari de tensiune multiaxiale si complexe se
bazeaza pe studiul geometriei diferenţiale afine, care a fost iniţiat de Ţiţeica în 1910, cu o lucrare
remarcabilă asupra unei clase particulare de suprafeţe hiperbolice invariante la o transformare
Bächlund. Suprafeţele sale sunt cunoscute sub numele de sfere afine (Affinsphäaren), deoarece
ele sunt analogul sferelor din geometria diferenţială afină.
Din aceasta teorie cuplata cu o metoda de optimizare si rezultate experimentale, se
construiesc teorii constitutive care se verifica experimental pentru materialele nanostructurate
(Munteanu si Donescu 2002, 2004).
Dezvoltarea teoriei optimizarii a condus la aparitia unei teorii a dualitatii si la o multitudine
de metode de rezolvare. Optimizarea matematica are doua surse principale, prima constituita de
teoria echilibrului economic al lui Edgeworth (1881) si teoria bunastarii a lui Pareto (1906), si a
doua constituită de fundamentele matematice ale teoriei spatiilor ordonate ale lui Cantor (1897) si
Hausdorf (1906). Acest domeniu incepe sa se dezvolte in perioada 1920-1930 odata cu incercarile
de rezolvare a unei probleme economice fundamentale, si anume alocarea optima a unor resurse
limitate. Lucrarea de baza este cea a lui Kantorovici (1939).
Pentru optimizarea matematica o mare importanta au avut-o teoria jocurilor initiata de Borel
(1921) si von Neumann (1926) si teoria productiei al lui Koopmans (1951). Optimizarea
matematica a fost recunoscuta ca disciplina abia dupa publicarea lucrarii lui Kuhn si Tucker
(1951) care stabileste conditii de optimalitate pentru probleme de optimizare neliniara cu restrictii
inegalitati.
Problema determinarii relatiilor constitutive din rezultate experimentale a condus la
generalizarea si extinderea rezultatelor din analiza convexa. Asa au luat nastere domenii noi ale
matematicii cum ar fi convexitatea generalizata şi analiza convexa abstracta.
Considerăm o suprafată Σ scrisă parametric sub forma Monge

57
r = xe + ye + z( x, y)
e . (3.1)
1 2 3
Se ştie că prima şi a doua formă fudamentală sunt date de
I = + z dx + z z dxdy+ + z dy
2 2 2 2
(1
x) 2
x y
(1
y) ,
1
II = z dx + z dxdy + z dy
1+ z +
2 2
(
xx
2
xy yy
).
2 2
x
zy
(3.2)
Aici, indicii xy , reprezintă derivate parţiale
gaussiană a suprafeţei Σ se scriu sub forma
∂ z = z
∂x
x
etc. Curbura medie şi curbura
Η=
+ z z − z z z + + z z
2 2
(1
x
)
yy
2
x y xy
(1
y
)
xx
2 2 3/2
2(1 + zx
+ zy)
,
(3.3a)
z z − z
Κ=
(1 )
2
xx yy xy
2 2 2
+ zx
+ zy
. (3.3b)
Introducem variabilele independente p şi ψ
p= z x
, ψ = zy
, (3.4)
şi variabila dependentă ξ
ξ = x , ξ
p
= y . (3.5)
p
ψ
Avem
ξ
σσ
=
z
z z
yy
2
xx yy
− zxy
ξ =
xx
,
ψψ
2
zxxzyy − zxy
z
ξ =
xy
,
pψ
2
zxxzyy − zxy
z
. (3.6)
Din (3.3b) obţinem
2 1
ξppξψψ
−ξ
pψ
= . (3.7)
Κ
2 2 2
(1 + p +ψ )
Mişcarea gazului într-un sistem de coordonate lagrangian ( Xt , ) este descrisă de ecuaţiile
împreună cu legea constitutivă
ε = , (3.8a)
t
vX
ρ
0vt =σ
X
, (3.8b)
σ=− p =−p( ρ , X)
.
ρ0 În ecuaţiile de mai sus, p,
ρ sunt presiunea şi respectiv densitatea materialului, ε= −1
ρ
deformaţia uniaxială, ρ
0
densitatea mediului în starea nedeformată, v( X , t ) viteza materială.
Indicii t şi X reprezintă derivate parţiale.
Dacă ataşăm sistemului lagrangian (3.8) o lege constitutivă care descrie deformaţia
uniaxială a unui mediu elastic nelinear

58
σ=σ( ε , X ) , (3.9)
obţinem o problemă de propagare a undelor într-un mediu elastic neliniar şi neomogen. Dacă
introducem coordonatele euleriene x = x( X, t)
dx = ( ε+ 1) dX = vdt , (3.10)
astfel încât
obţinem ecuaţia Monge-Ampère
ρ 0dX = ρ dx − ρ vdt , (3.11)
ξ ξ − ξ =ε , (3.12)
2
pp ψψ pψ
p
unde
t = ξ
p
, v = ξ
ψ
, dx = ξξ
ψ pp
+ ( ξξ
ψ pψ
+ε)
dψ , 0 < | ξ
ppε 0
|
X
a
∂ε
∂ε
, σ> 0 . (3.20)

59
Integrând (3.16) cu p →−σ şi
ψ → X avem
2 2
a
σ σ 1+
X
ε= [arctan( ) + ] +α( X ) , (3.21)
2 3/2 2 2 2
2(1 + X ) 1+ X 1+σ + X
cu α( X ) arbitrar. Dacă impunerm condiţia σ |
ε= 0
= 0, rezultă α ( X ) =0.
Relaţia (3.18) descrie comportarea unui material elastic neliniar şi neomogen. Pentru
simplificare, introducem în (3.21)
Obţinem
2
2 1+
X
σ= 1+ X tan[ ( c− c0
)] . (3.22)
a
2 2
a c− c0
1 2 1+
X
ε= [ + ]sin( ( c −c
2 0))]
. (3.23)
2(1 + X ) a
2
1+
X a
Relaţiile (3.22) si (3.23) sunt o reprezentare parametrică a legii constitutive pentru care
ecuaţiile de mişcare Lagrange sunt asociate cu o suprafată pseudosferică. Aceste ecuaţii conduc la
σ =ε , (3.24)
XX
sau prin utilizarea relaţiei (3.16)
2
σ = [ a σ ] . (3.25)
XX 2 2 2
(1 +σ + X )
t t
Se poate arăta că ecuaţia (3.25) admite soluţii de tip soliton, fiind legată de ecuaţia sine-
Gordon. Curbura medie Η a suprafeţei Σ a cărui expresie este un invariant, de unde rezultă
expresia
2 2
(1 +σ ) Xv −2 σXσv − (1 + X ) σt
cot ω=−a
. (3.26)
2 2 3/2
2(1 +σ + X )
tt
Întroducând transformarea
( Xt ,) → ( X′ = vt ,′
→ t), 0 < | v X
|

60
la care atasăm condiţia de compatibilitate
Dacă utilizăm relaţiile
−σ = . (3.32)
v
X
t
vt
|
X
σ
X
|
t= vX |
t
σ
v
|
t, Xt |
v=− , (3.33)
v |
şi 0 < | v X
|

61
unde
dz =−σ dt + Xdv,
dz′ =−σ ′ dt′ + X ′ dv′
.
Transformata Bäcklund (3.39) lasă prin construcţie invariantă ecuaţia Monge-Ampère
2 1 2 2 2
ztt zvv − ztv =−
2 (1 + zt + zv
) . (3.40)
a
Menţionăm că transformata Bäcklund (3.39) admite o interpretare importantă în raport cu
ecuaţiile caracteristice ale ecuaţiei Monge-Ampère (3.40), şi anume
aX
aX
α
β
tα = , t
2 2 β
=− ,
2 2
1+σ + X 1+σ + X
aσ
aσ
α
β
vα = , v
2 2 β
=− , (3.41)
2 2
1+σ + X 1+σ + X
z +σt − Xv = 0
α α α .
Dacă ( t, vzXσ , , , ) este o soluţie a acestui sistem de ecuaţii, atunci o soluţie a ecuaţiei
Monge-Ampère (3.40) este dată de
din care rezultă că Jacobianul
∂( t, v)
∂αβ ( , )
z = z( α (, t v), β (, t v))
,
nu se anulează.
Transformata Bäcklund (2.39) reprezintă o discretizare integrabilă a ecuaţiilor caracteristice
neliniare (2.41) ale ecuaţiei Monge-Ampère.
Utilizăm acelaşi procedeu de a construi ecuaţii discrete integrabile sugerat mai sus pentru
ecuaţia sine-Gordon. Aşa încât introducem variabilele continue ˆα şi ˆβ
α=ε ˆ
1n1, β ˆ =ε
2n2,
pentru ε , i = 1, 2 suficient de mici ca să putem aplica dezvoltarea în serie Taylor
i
ω =ω+ε ω + O( ε ),
2
1 1 αˆ
1
ω =ω+ε ω + O( ε ),
2
2 2 βˆ
2
ω =ω+εω +εω +εεω + O( ε , ε ) .
ˆ
2 2
12 1 αˆ 2 βˆ 1 2 αβˆ
1 2
Dacă introducem şi dezvoltarea
µ εε
2 2
= + O( ε1 , ε2
) , (2.42)
µ
1 1 2
2
2
4aˆ
avem la limită ( εi
→ 0 ) la ecuaţia sine-Gordon
1
ω
ˆ ˆ =
αβ 2 sin ω.
â

62
şi
Transformata Bäcklund induce următoarele ecuaţii discrete în variabile fizice
a cos ζ1( X1
− X)
t1
− t =
1+σσ + XX
1 1
acos ζ1( σ1
−σ)
v1
− v=
1+σσ + XX
1 1
a cos ζ ( X − X)
,
2 2
, t2
− t =
1+σσ 2
+ XX
2
a cos ζ ( σ −σ)
,
2 2
, v2
− v=
1+σσ 2
+ XX
2
z1− z ==−σ( t1 − t) + X( v1
− v)
, z2 − z ==−σ( t2 − t) + X( v2
− v)
, (3.43)
1+σσ + XX
1 1
1+σ + X 1+σ + X
2 2 2 2
1 1
= cosζ
1+σσ + XX
2 2
1
,
2 2 2 2
1+σ + X 1+σ 2
+ X2
= cosζ
.
2
Dezvoltările
ζ =εκ + O( ε ),
2
1 1 1 1
ζ =π+ε κ + O( ε ),
2
2 2 2 2
sunt consistente cu (3.42) deoarece
1
µ
i
= tan( ζ
i
) .
2
Chiar dacă parametrii transformării ζ
1
şi ζ
2
sunt constanţi în raport cu α şi β, ei trebuie
priviţi ca funcţii de n
1
şi respectiv n
2
.
Astfel, ecuaţiile discrete (3.43) se scriu sub forma
t
αˆ
aX
aX
= =−
1+σ + X 1+σ + X
αˆ
βˆ
, t
2 2 βˆ
2 2
,
si
v
αˆ
aσ
aσ
= =−
1+σ + X 1+σ + X
αˆ αˆ αˆ 0
αˆ
βˆ
, v
2 2 βˆ
2 2
z +σt − Xv = , zˆ +σtˆ − Xvˆ = 0 .
β β β
.
In final avem
σ + X + ( σX − Xσ
)
2 2 2
αˆ αˆ αˆ αˆ
2 2 2
(1 +σ + X )
=κ ( αˆ
),
2
1
σ + X + ( σX − Xσ
)
2 2 2
βˆ βˆ βˆ βˆ 2
2 2 2
2
(1 +σ + X )
=κ ( βˆ
).
Parametri necunoscuti din aceste ecuatii se determina prun probleme inverse cu ajutorul
algoritmilor genetici, utilizand date experimentale.
Prin urmare, ecuaţiile (3.43) pot fi privite ca discretizarea integrabilă a ecuaţiilor
caracteristice (3.41). Incheiem paragraful cu exemple de legi constitutive determinate aplicând
aceasta teorie (fig.3.1 pulbere carbune, fig. 3.2 roci Kayenta, fig.3.3 ciment ranforsat cu fibre de
polietilenă).

63
Fig. 3.1. Lege constitutiva pentru roci Berea.
Fig. 3.2. Lege constitutiva pentru 3 tipuri de roca Kayenta. .

64
Fig. 3.3. Lege constitutiva pentru doua tipuri de ciment ranforsat cu fibre de polietilenă.
3.1. Descrierea metodei. Studiul capacitatii de amortizare a materialelor la diferite scari
metrice. Metode macroscopice de caracterizare a amortizarii
Pentru a descrie un experiment virtual prin indentare utilizand echipamentul din fig. 3.1,
consideram ca exemplu un film subtire de material si o pereche de indentere care patrund in
material pana la o adancime ht () si se deplaseaza pe distanta d zgariind suprafata filmului, cu
viteza vt () in intervalul de timp t ∈ [0, t1]
(fig.3.1.1)
Fig.3.1.1. Cazul unui indenter sferic.
Consideram doua cazuri :
(i) un indenter actioneaza pe o parte a filmului iar celalalt indenter pe partea opusa,
deplasandu-se in directii opuse,
(ii) ambele indentere actioneaza pe o singura parte a filmului, celalata parte a filmului fiind
incastrata.
Fie Oxyz un system rectangular de coordinate, si w( xyt , , ) componenta transversala a
deplasarii. Lungimea filmului este foarte mare comparativ cu grosimea sa H , astfel incat se
poate considera infinita

65
Ecuatia de miscare a filmului este
−∞ < x < ∞ , − H < y < H , t ∈ [0, t1]
. (3.1.1)
1
w, xx
+ w, yy
= w
2 , tt
, V
V
µ
= ρ
,
(3.1.2)
unde V este viteza de propagare a undei de forfecare, µ este modulul de forfecare si ρ
densitatea materialului. Indenterele se misca cu viteza vt () pe suprafata filmului
v=
4v
Facem schimbarea de variabila
exp( kt)
0
0 2
(1 + exp( k0t))
.
ξ = x − v t ,
0
2
ρv0
y
η= 1− , t = t.
µ
Viteza indenterelor indeplineste conditia v0
< V . Inlocuind schimbarea de variabila in
(3.1.1) si (3.1.2), obtinem
−∞ < ξ

66
reduc problemele (3.1.4), (3.1.5) si respective (3.1.4)-(3.1.6) la probleme specifice pentru
semiplanul η> 0 , si anume la problema determinarii unei functii armonice in semiplanul
superior care satisface anumite conditii. Astfel, conditiile (3.1.5) si (3.1.6) devin
w( ξ ,0) = 0 , | ξ | > 1, (3.1.8a)
w, η
(,0) ξ
= 0, − 1α, − 1

67
si
a
2 2
AC( ξ)
⎧
⎪ Ct () p,
t
() t B( a) − B()
t ⎫
⎪
σ
ηz
= ⎨
dt
D
2 2 ∫
− ⎬
π B ( a) −B
( ξ)
Bt () −B( ξ)
⎩⎪ −a
⎭⎪
⎛ ⎛ ρv
A= µπ/ 2H
1−
⎜ ⎜
⎝
µ
⎝
2
0
⎞⎞
,
⎟⎟
⎠⎠
(3.1.12)
(3.1.13a)
⎛⎛
⎛ ρv
C( ξ ) = sech ⎜
ξπ/ 2H
1−
⎜⎜
⎜
⎝
µ
⎝⎝
⎛ ⎛ ρv
B( θ ) = tanh θπ/ 2H
1−
⎜ ⎜
⎝
µ
⎝
2
0
2
0
⎞⎞⎞
⎟,
⎟⎟
⎠
⎟
⎠⎠
⎞⎞
,
⎟⎟
⎠⎠
(3.1.13b)
(3.1.13c)
2S0 0S
D λ −λ
1
=
λ
Formula (3.1.12) rezulta derivand (3.1.10)
α
1 ⎧ pˆ , τ() τ R()
τ ⎫
Ω
, ω
= ⎨
dτ+
D1
⎬
πR( ω)
∫ ,
⎩ τ−ω
−α
⎭
0
.
(3.1.13d)
si trecand la limita η→ 0 pentru | ξ | < a . Pentru p= p0
, expresia tensiunii (3.1.12) se reduce la
Deoarece
−AC( ξ)
σ
ηz
= , | ξ | < a .
π
2 2
B ( a) − B ( ξ )
rezulta
p
ξ
w( ξ ,0) =− χ dξ ,
∫
= 1
, η
−α
D dξ
0
= π
∫
2 2 2
−1
(1 − ξ
)( ξ
−α )
,
si constanta D devine
cu K( k)
si K( k ) integrale eliptice
D
1
=
πp0
, K ′[ Ba ( )]

68
Kk ( ) =
π2
du
∫ , K′ ( k) K( k′
)
2 2
0 1−
k sin u
= ,
2 2
k + k′ = 1.
In cadrul problemei (ii), o solutie marginita pentru (1.4) si (1.9) este data de
−α
β
−β
R( ω) ⎧⎪
Ωω ( ) =χ + i w= ⎨ gˆ
() τQ(, τω)d τ+ fˆ
() τQ(, τω)dτ−i C1
Q(, τω)dτ−
π ⎪
∫ ∫ ∫
⎩ −β α −1
(3.1.14)
α
1
⎫⎪
-i C2 ∫ Q( τω , )dτ-i C3∫Q( τω , )dτ⎬ −α
β ⎪ ⎭
cu α si Q(, τω)
date de (3.1.11a) si (3.1.11b), iar R()
τ are expresia
⎛ ⎛ ρv
β= tanh bπ/ 2H
1−
⎜ ⎜
⎝
µ
⎝
2
0
⎞⎞
,
⎟⎟
⎠⎠
(3.1.15a)
2 2 2 2 2
R( τ ) = ( τ −1)( τ −α )( τ −β ), (3.1.15b)
1
C + C − 2 C = ( G −F
)
1 2 3 0 0
λ0
1 − C + C = ( G −F)
,
,
1 3 1 1
λ1
π 1
C + C −2(1 − ) C = ( G −F
),
1 3 2 2 2
2λ2 λ2
(3.1.15c)
G
i
−α
i
τ gˆ( τ)dτ
= ∫ , i = 0,1, 2...
2 2 2 2 2
(1 −τ )( β −τ )( τ −α )
−β
(3.1.15d)
F
i
β
i
τ fˆ( τ )d τ
= ∫ , i = 0,1,2...
2 2 2 2 2
(1 −τ )( β −τ )( τ −α )
α
(3.1.15e)
1
i
τdτ
λ
i
= ∫ , i = 0,1,2...
2 2 2 2 2
(1 −τ )( τ −α )( τ −β )
β
(3.1.15f)
Pentru α≠β ≠ 1 , determinantul ecuatiilor (3.1.15c) este diferit de zero. Pentru
se obtine
cu F
2
dat de
C C C
f ( )
0
1
=
3
=
2
− , λ
0
( ξ ) =− ,
ξ = p0
, g p0
F
C
2λ
⎛ F F ⎞
⎟,
⎝ ⎠
2 2 0
2
=− ⎜ −
π λ2 λ0

69
Tensiunea
F
2
β
τ
i p0dτ
2 2 2 2 2
= ∫ , i = 0,1,2...
(1 −τ )( β −τ )( τ −α )
α
σ
ηξ
pentru a< ξ < b are expresia
EAC( ξ)
σ
ηξ
=−
(3.1.16)
π
2 2 2 2
B ( b) − B ( ξ ) B ( ξ ) − B ( a)
cu A , C( ξ ) si B date de (3.1.13a), (3.1.13b) si respectiv (3.1.13c).Constanta E are expresia
cu
E
π p cosh( ) cosh( ) ⎛sinh( ac ) ⎞
sinh( bc) ⎝sinh( bc)
⎠
0
= K⎜ ⎟
⎛ ⎛ ρv
c= π/ 2H
1−
⎜ ⎜
⎝
µ
⎝
2
0
⎞⎞
.
⎟⎟
⎠⎠
Formula (3.1.16) rezulta prin derivarea solutiei (3.1.14)
β
1 ⎧−α
⎪ gˆ ˆ
, τ() τ R() τ f,
τ() τ R()
τ
⎫⎪
Ω
, ω
= ⎨
dτ+ dτ+ D2 + D3ω⎬
πR( ω)
⎪⎩
τ−ω τ−ω
−β
α
⎪⎭
∫ ∫ ,
si trecand la limita η→ 0 pentru | ξ | < a . Constantele D
1
si D
2
au expresiile
α
4
τ dτ
D2 = 2 ( G4 −F4 − ( C1+ C3)
λ
4
+ C2∫ ,
2 2 2 2 2
(1 −τ )( β −τ )( α −τ )
Din (3.1.19) avem
−α
( )
D = 2 G − F + ( C −C
λ .
3 3 3 1 3 3
E R
, ω
(3.1.17)
(3.1.18)
(3.1.19)
=−π ( ωΩ ) ( ω ) , (3.1.20)
unde Ω este data de (3.1.14) iar R se calculeaza din (3.1.15b). Deoarece
urmeaza
ξ
w( ξ ,0) =− χ dξ ,
∫
= 1
, η
p
0
−β
E
dτ
= π
∫ ,
2 2 2 2 2
(1 −τ )( τ −β )( τ −α )
−1
si din (1.20) se obtine (1.17).
Forta cu care actioneaza indenterul asupra suprafetei de contact Γ se scrie astfel

70
Ft ( ) = ∫ σηξdξdη
.
Γ
(3.1.21)
Energia potentiala de deformatie maxima W
pmax
este
1
Wpmax
= Wp + Wamort
, (3.1.22)
2
unde W
p
este energia potentiala iar W
amort
energia de amortizare.
Factorul de pierdere este definit prin
1 Wamort
η= . (3.1.23)
π W
pmax
Filmele DLC sunt policristaline in natura lor, avand grosimi in jurul a 200-300nm, si au
proprietati asemanatoare diamantului. Filmul suporta tensiuni de compresiune mari, are coeficient
de frecare redusa si rezistenta mare la uzura.
In tabelul 3.1.1 se prezinta cateva proprietati ale filmului DCL obtinute cu noua metoda de
indentare.
Tabel.3.1.1. Proprietati: diamant, grafit si film DCL
Material Densitate
[gm cm -3 ]
Duritate
[GPa]
Modul
Young
[GPa]
diamant 3.515 100 1050–1200
film DCL 1.6–2.2 10 –20 200–320
Fenomenele de avalansa ale discontinuitatilor energiei de contact, comportamentul
histeretic si difuzia atomica locala sunt consecinte ale faptului ca frecarea dintre suprafete
depinde de viteza relativa, timp, incarcare, admite memorie si comportament de tip stick-slip.
Componenta adezivă a frecării se datorează forţelor de legătură între suprafeţele aflate în
contact. Rezistenţa la alunecare (forfecare) a unei legături adezive, care depinde de fapt de aria
reală de contact, determină forţa de frecare. Forţa de frecare este astfel proporţională cu aria reală
de contact. Mişcarea relativă apare atunci când forţele externe sunt suficient de mari ca să
depăşească rezistenţa de adeziune a suprafeţelor. O teorie mai grosieră a frecării presupune că
forţa de frecare apare datorită solidarizării asperităţilor care oferă rezistenţă la mişcarea relativă.
Mişcarea relativă apare atunci când asperităţile cedează. Acest lucru este ilustrat în
fig.3.1.2 (Kondepudi 2003).
Potrivit cu teoria deformării, forţa de frecare rezultă din săparea asperităţii mai moale a unei
suprafeţe de către asperitatea mai dură a celeilalte suprafeţe, aşa cum rezultă din fig.3.1.3.
Componenta dominantă a frecării depinde de proprietăţile materiale ale suprafeţelor în contact.

71
Fig. 3.1.2. Suprafeţe aflate în contact.
Fig. 3.1.3. Componenta de deformare a frecării.
Ca urmare a componentelor frecării, coeficientul de frecare se poate scrie ca o sumă dintre
trei termeni
S yy
tanα
µ= + tan θ+ . (3.1.24)
H
π
In (3.1.24)
yy
S şi H sunt rezistenţa la rupere şi ecruisarea materialului mai slab, θ unghiul
asperităţii şi α unghiul asperităţii conice. Tolstoi, Borisova si Grigorova (1971) au găsit că
tranziţia de la lipire la alunecare este însoţită de o mişcare cu un singur grad de libertate. Oden si
Martins (1985) au analizat această problemă considerând şi gradele de liberate ale mişcării
normale, tangenţiale şi de torsiune. Dieterich (1978) şi Rice, Ruina (1983) au obţinut legi de
frecare variabile care permit introducerea memoriei frecării. Feeni şi Guran (1998) au pus în
evidenţă haosul în fenomenul stick-slip în sisteme oscilatorii simple cu neliniaritate dată de

72
frecarea uscată. Un model de frecare cu 7 parametri a fost introdus de Armstrong et al. (1994).
Cei mai importanţi parametri care influenţează frecarea sunt viteza de alunecare, timpul şi
încărcarea. Detalii privind efectul acestor parametri asupra frecării şi asupra comportării
sistemelor dinamice se vor da în paragrafele următoare şi pot fi găsite în Ibrahim (1992). In
literatura de specialitate au fost propuse diferite modele în care forţa de frecare este o funcţie
exponenţială de viteza de alunecare V rel
= V − X , unde V şi X sunt vitezele suprafeţelor care
alunecă una în raport cu cealaltă. Dependenţa frecării de viteza relativă este unul din factorii care
cauzează mişcarea stick-slip. Panta negativă a curbei forţă de frecare - viteză relativă cauzează
vibraţii (fig.3.1.4).
Acest fenomen se manifestă ca o “amortizare vâscoasă negativă”. Relaţia dintre forţa de
frecare şi viteză a fost observat experimental de mulţi autori dintre care amintim Sampson et al
(1943). Frecarea poate avea mai mult decât o singură valoare pentru aceeaşi viteză relativă,
depinzând dacă viteza creşte sau descreşte. Aceasta înseamnă că frecarea depinde de acceleraţie
sau de deceleraţie. Natura nebijectiva a frecării a fost observată prima data de Sampson et al. in
1943. Alţi autori au continuat experimentările pe o varietate largă de materiale inginereşti, cu
diferite condiţii de lubrifiere, punând în evidenţă acest fenomen (fig.3.1.5).
Partea de sus a curbei corespunde acceleraţiei, iar cea de jos deceleraţiei. Acest efect poate
fi explicat prin răspunsul întârziat în timp al frecării la schimbarea vitezei, fiind cunoscut sub
numele de memorie a frecării.
Fig. 3.1.4. Dependenţa de viteză a frecării arătând o pantă negativă.

73
Fig. 3.1.5. Variaţia coeficientului de frecare în raport cu viteza relativă.
Stribeck (1902) a propus un alt model pentru suprafeţe lubrifiate (fig.3.1.6). In grafic apar
patru regiuni: (a) frecare statică, (b) condiţie de lubrificare, (c) lubrificare parţială cu fluid, şi (d)
lubrificare totală cu fluid.
Prima regiune (frecare statică (a)) nu depinde de viteză. Aceste regiuni sunt importante in
dinamica structurilor care sunt accelerate pornind de la o viteză nulă. Blok (1940) a arătat că
descreşterea valorii coeficientului de frecare în curba Stribeck nu înseamnă că forţa de frecare
descreşte de asemenea, dacă apar fluctuaţii de încărcare. Potrivit cu Berger (2001), panta negativă
în curba frecării este necesară dar nu suficientă pentru apariţia instabilităţilor în comportarea unui
sistem dinamic.
Dependenţa coeficientului static de frecare de timp a fost observată de Dieterich (1978) si
Berger (2001). S-a observat că µ
s
creşte cu timpul pentru un contact staţionar (fig.3.1.7). Când se
iniţiază lipirea (stick), coeficientul static de frecare este echivalent cu coeficientul dinamic (sau
cinetic) de frecare. Coeficientul static de frecare creşte în raport cu timpul la lipire datorită
creşterii ariei reale de contact prin deformaţii vâscoplastice ale asperităţilor si a fluajului. Factorii
responsabili pentru acest efect sunt:
1. Aria reală a contactului dintre suprafeţe poate creşte datorită unui fluaj localizat, care
rezultă din reducerea rezistenţei suprafeţei în timp.
2. Creşterea rezistenţei la forfecare a legăturilor datorită existenţei efectului de sudare la
rece.

74
Fig. 3.1.6. Curba Stribeck cu 4 regiuni.
Dependenţa coeficientului static de frecare de încărcare este complicată căci depinde de
tipul suprafeţelor în contact şi de natura materialelor. Valoarea coeficientului static de frecare
depinde de variaţia forţei tangenţiale. In general această valoare descreşte cu creşterea forţei
tangenţiale (Courtney-Pratt şi Eisner 1957). Coeficientul static de frecare descreşte cu creşterea
forţei normale (Bowden şi Tabor 1950). Deşi µ
s
descreşte, forţa de frecare încă creşte datorită
creşterii forţei normale. Dependenţa frecării statice de încărcare are influenţă asupra frecării
dinamice. Aceasta datorită schimbării coeficientului cinetic în prezenţa oscilaţiilor normale.
Coeficientul cinetic descreşte când coeficientul static descreşte cu forţa normală. Coeficientul de
frecare al interfeţei nu depinde explicit de viteza de alunecare, şi diferenţa dintre coeficientul
static şi coeficientul cinetic este o consecinţă a vibraţiilor normale care acompaniază alunecarea
cu frecare.

75
Fig. 3.1.6. Variaţia coeficientului static de frecare în raport cu timpul.
D’Souza si Dweib (1990) au efectuat experienţe pe discuri şi au găsit că forţa de frecare
depinde de încărcarea normală pentru o viteză constantă de alunecare. Au fost puse în evidenţă
patru regimuri diferite (fig.3.1.8):
1. regiune staţionară de frecare unde forţa de frecare creşte liniar cu încărcarea normală.
2. regiune de frecare neliniară în care forţa creşte neliniar cu forţa normală şi coeficientul de
frecare nu mai este constant dar creşte cu încărcarea normală.
3. regiune de tranziţie, în care forţa de frecare creşte şi descreşte intermitent fără nici o
excitaţie externă.
4. regiune de autovibraţii în care forţa de frecare medie capătă o valoare foarte scăzută şi
este însoţită de autovibraţii periodice cu amplitudini mari.
Rice şi Ruina (1983) au dezvoltat un model în care frecarea depinde nu numai de viteza de
alunecare dar şi de istoria alunecării.
Modelele clasice în care frecarea induce vibraţii consideră un element masă-resort care
alunecă pe o curea mobilă, pe un disc care se roteşte, lame de turbină, lagăre lubrifiate cu apă,
sisteme roată-cale rulantă, frâne auto. Vibraţiile stick-slip apar datorită energiei care intră în
sistem. De exemplu, pentru un sistem cu un singur grad de libertate condiţia necesară este panta
negativă în curba frecare-viteză, care este responsabilă pentru furnizarea de energie care provoacă
vibraţii. Fenomenul stick-slip apare pe două căi - suprafeţele se lipesc şi asperităţile se
deformează elastic, sau suprafeţele alunecă una în raport cu alta şi deformaţiile sunt plastice.
Acest fenomen a fost observat prima dată de Wells în 1929 în timp ce încerca să determine
coeficientul dinamic de frecare. Alte lucrări interesante care analizează acest fenomen sunt Kato
şi Matsubayashi (1978), Chiroiu si Chiroiu (2003), Badea şi Nicolescu (2003), Donescu şi
Munteanu (2002, 2004).

76
Fig. 3.1.8. Dependenţa forţei de frecare de încărcarea normală.
Raspunsul unui material cu nanostructura, care contine defecte, microfisuri, goluri si care
este solicitat atat termic cat si mecanic, se masoara in raport cu tensorul macroscopic al ratei
deformatiei D si tensorul tensiunii σ .
Prezentam la inceput modelarea matematica a contactului elasto-plastic. Ecuatia de miscare
si ecuatia caldurii sunt date de
divσ = ρv
, (3.1.25)
si
2 p
, (3.1.26)
v
ρ c T = k∇ T +σD
unde v = u
este viteza, u ,ρ,cv
si k noteaza vectorul deplasarii, densitatea de masa, caldura
p
specifica si respectiv conductivitatea termica. D reprezintra partea plastica a tensorului de
deformatie D. D este definit ca partea simetrica a gradientului vitezei de deformatie
1
Dij = ( vi, j
+ vj,
i ) . (3.1.27)
2
e
In comportarea elasto-viscoplastica, D se descompune intr-o parte elastica D si o parte
p
plastica D
D +
e p
= D D . (3.1.28)
Spinul asociat W este definit ca partea antisimetrica a gradientului vitezelor, intr-un mod
analog cu vartejul in mecanica fluidelor

77
1
Wij = ( vi, j
− vj,
i ) . (3.1.29)
2
e
p
W se descompune, intr-un mod asemanator, intr-o parte elastica W si alta plastica W
W +
e p
= W W . (3.1.30)
1
Este util sa scriem si tensorul deformatie ε
ij
= ( ui, j
+ u
j,
i ) ca o suma dintre o parte elastica
2
e
p
ε si una plastica ε .
Pentru cele mai multe materiale raspunsul elastic este liniar, putand fi exprimat prin legea
lui Hooke scrisa sub forma incrementala, pentru deformatii mari
T , (3.1.31)
e
σ= C ⋅D
−γ∆
unde γ este coeficientul termic al tensiunii la deformatie constanta, σ este tensorul rate al
tensiunilor Cauchy σ, si C tensorul constantelor elastice. Exista cateva alegeri pentru σ . Cea mai
des utilizata este tensorul Jaumann de tip rate al tensiunilor Cauchy scris sub forma
σ=σ+ω⋅σ−σ⋅ω
, (3.1.32)
unde ω este spinul definit ca diferenta dintre spinul de material W si spinul plastic W
ω= W − W p . (3.1.33)
Combinand (3.1.31) cu (3.1.28) avem
σ= C( D−D p ) −γ∆T
. (3.1.34)
p p
Avem nevoie de legi constitutive pentru D si W . Deformatia macroplastica si spinul
plastic sunt produse de miscarea dislocatiilor. Aceste legi se bazeaza pe cunoasterea
microstructurii si a proprietatilor mecanice ale materialului. Ne intereseaza modul in care putem
determina aceste proprietati prin teste de indentare si de nanoindentare.
Tensiunea indusa de o dislocatie arbitrara de tip loop intr-un punct arbitrar P( x ) se poate
calcula cu ecuatia Peach-Koehler
µ ∂
2
µ ∂
2
σ
αβ( P)
=− bmεim α
∇′ Rdx′ β
− bmεim
β
∇′ Rdx′
α
−
8π∫
∂x′ i
8π∫
∂x′
C
C
i
(3.1.35)
3
µ ∂ R ∂
2
− bmεimk( −δ
αβ
∇′ R)
dx′
k
4 π(1 −ν)
∫
∂x′ ∂x′ ∂x′ ∂x′
C
i
unde b
i
este vectorul lui Burgers, ε
ijk
este tensorul de permutare, µ este modulul de forfecare, ν
este coeficientul lui Poisson si R = || x− x′ || este raza definita ca o norma dintre punctul P si curba
dislocatiei. Aceasta integrala se poate calcula numeric. O metoda de integrare consta in divizarea
curbei in puncte nodale si integrarea pe portiuni liniare
m−1
j+ 1 j+
1
µ ∂
2
µ ∂
2
σ
αβ( P) = ∑∑[
− bkεikα ∇′ Rdx′ β
− bkεikβ ∇′ Rdx′
α
−
all loops j = 1 8π ∫
∂x′ i
8π ∫
∂x′
j
j
i
(3.1.36)
j+
1 3
µ ∂ R ∂
2
− bkεikl( −δ
αβ
∇′ R) dx′
l]
4 π(1 −ν)
∫
∂x′ ∂x′ ∂x′ ∂x′
j
i
α
unde m este numarul total de puncte nodale. Integrala pe intervalul de la j la j+1 se poate evalua
explicit. Astfel, (3.1.36) se reduce la
β
α
β
i
i
p

78
N
P
j, j+
1
j=
1
σ ( ) = ∑ σ , (3.1.37)
unde N este numarul total de noduri pentru toate dislocatiile si σ
j, j+ 1
=σj+
1
−σ
j
.
Utilizand (3.1.37), putem calcula forta Peach-Kohler pe nodul “i”
N −1
a
i
= [ σ
j, j+
1( ) +σ ( )]
i×ξi
j=
1
F ∑ P P b , (3.1.38)
unde ξ
i
indica sensul.
Consideram ca un numar de N noduri ale dislocatiilor (2×N grade de libertate) se misca
simultan prin alunecare. Ecuatiile de miscare sunt
1
mivi + v i
= Fi
, i= 1, 2... N , (3.1.39)
M
unde vi
sunt vitezele de alunecare, m este masa efectiva pe unitatea de dislocatii si M este
mobilitatea dislocatiei. In (3.1.39), F
i
este data de (3.1.38). Pentru m avem formula pentru o
dislocatie de tip screw
W0
1 1
m = ( − + )
(3.1.40)
v
2 3
γ γ
si pentru o dislocatie de tip edge
unde
2
P
Wv 40 8 50 22 6
m = ( −16γ − + + 14 γ+ − + ) , (3.1.41)
2
0 P
4 l
3 3 5
v
γl
γl
γ γ γ
2
2
v v
γ
l
= 1− , γ= 1− , v
2 P
este viteza longitudinala si v
S
viteza transversala a undelor,
v v
S
iar W
0
este energia in stare de echilibru pentru dislocatia screw.
Cand un indenter (stanta) este presat pe suprafata unei probe aflata la o anumita
temperatura, atunci el patrunde in material si deformatia depinde de temperatura si de fluaj.
Presupunem in continuare ca legea constitutiva este data de
n q
c b ⎛ Qc
⎞
ε = A σ
1 ( ) ( ) exp −
E d ⎜ RT ⎟ ,
⎝ ⎠
n q
F b ⎛ Qc
⎞
u = Au
2 ( 2 ) ( ) exp −
Eu d ⎜ RT ⎟ ,
⎝ ⎠
c
unde ε este rata deformatiei efective la fluaj, u este viteza indenterului, A1,
A
2
sunt constante,
σ este tensiunea de curgere von Mises, u este deplasarea indenterului, F forta de apasare a
indenterului, E modulul lui Young la temperatura probei, b magnitudinea vectorului lui
Burgers, d dimensiunea granulelor materialului, R constanta gazelor si T temperatura
(Mukherjee et al. 1969, Cadek 1988).
Atunci cand T si d sunt constante in timpul indentarii pentru o forta F data, exponentul n si
K sunt dati de (Fujiwara si Otsuka 1999)
sau
1 ⎛ ∂(ln u
) ⎞
n = ⎜ 1 − ⎟
2 ⎝ ∂(ln u) ⎠ Td ,
2
, K = Eu
( )
F
n
u
u

79
q
b Qc
( ) ⎛
⎜
⎞
K = A2 exp − d RT ⎟
⎝ ⎠ .
Pentru d constant, energia de activare la fluaj este
⎛∂(ln K ) ⎞
Qc
=−R⎜ (1/ T )
⎟
⎝ ∂ ⎠ .
d
Daca notam cu A aria de contact, ea este proportionala cu u 2 . La echilibru presiunea de
indentare p este p = F (duritate Meyer). Atunci cand frecarea dintre indenter si material este
A
foarte mica si poate fi neglijata, tensiunea de curgere reprezentativa σ poate fi aproximata in
zona plastica prin (Tabor 1951, Johnson 1970, Bolshakov si Pharr 1998)
p
σ≈ α F .
2
3 u
In final avem
n q
u d(ln u)
b ⎛ Qc
⎞
ε
ind
=
= = A σ
3 ( ) ( ) exp −
u dt E d ⎜ RT ⎟ ,
⎝ ⎠
⎛ ∂(ln ε
ind
) ⎞
n = ⎜ [ln( / E)] ⎟ ,
⎝∂
σ ⎠ T , d
unde σ este masura tensiunilor von Mises in zona plastica, ε
ind
este rata deformatiei la indentare,
A
3
este o constanta si n masoara senzivitatea la tensiune a ratei deformatiei de indentare ε
ind
.
Takagi si Dao (2003) au testat experimental la indentare un aliaj Al–5.3 mol% Mg, la
temperatura 573–773K, cu un indenter conic de inaltime 120 mm (fig.3.1.9) cu forta de indentare
F = 0.39 N si timpul total de indentare 1200 s.
Fig. 3.1.9. Indenter conic.
Aplicand teoria descrisa mai sus, Takagi si Dao (2003) au modelat comportamentul
materialului sub stanta la fluaj. Fig. 3.1.10 reprezenta atat rezultatele experimentale (linie solida)
cat si valorile corespunzatoare ale deplasarilor (linie intrerupta, valori calculate la temperatura T =
773K, cu ajutorul metodei elementelor finite). Conturul tensiunilor principale maxime in timpul
indentarii la diferiti timpi, este reprezentat in fig.3.1.11. Rezultatele experimentale arata ca fluajul
este controlat de propagarea vascoasa a dislocatiilor in material pentru n = 3,2 si energia de
-1
activare Q = 123kJmol .
c

80
Fig. 3.1.10. Rezultate experimentale si calculate pentru variatia in timp a deplasarilor pentru un
aliaj Al–5.3 mol%Mg.
Mecanismul de relaxare în solide cu comportament vâscoelastic poate fi explicat prin
variaţia câmpului de tensiune în material.
Considerăm două stări ale unui sistem mecanic, caracterizate prin două valori diferite ale
energiei, separate printr-un potenţial barieră sau energie de activare, de amplitudine H
(fig.3.1.12). În figură, α este coeficientul de expansiune termică şi T temperatura absolută.
Înainte de aplicarea forţei exterioare, sistemul se află în starea sa de energie minimă. Prin
aplicarea unei forţe exterioare, energia sistemului creşte. Dacă sistemul poate depăşi potenţialul
barieră, atunci este posibilă tranziţia de la prima stare la starea a doua, şi sistemul se relaxează
deoarece diferenţa dintre energiile celor două stări se pierde.

81
Fig. 3.1.11. Conturul tensiunilor principale maxime in timpul indentarii la diferite valori de timp.
Fig. 3.1.12. Influenţa unei forţe exterioare asupra energiei unui sistem mecanic.
Pentru a descrie matematic fenomenul de relaxare a tensiunilor utilizăm modelele reologice
prezentate in fig. 2.2.1. In aceasta figyra sunt prezentate un element elastic Hooke care descrie
comportarea elastică, un element Newton pentru a descrie comportarea vâscoasă, un element St.
Venant pentru descrierea amortizării coulombiene, şi un element Zener pentru descrierea relaxării
tensiunilor). Elementul Zener constă dintr-un element Hooke legat în paralel cu un element
Newton, şi un element adiţional Hooke legat în serie.
Ecuaţia constitutivă a modelului lui Zener este

82
ηd
d σ()
t EE
s p
Epηd
d() ε t
σ () t + = ε () t +
, (3.1.40)
E + E dt E + E E + E dt
s p s p s p
sau într-o formă mai simplă
d σ()
t
d() ε t
aσ () t + b = cε () t + d . (3.1.41)
dt
dt
Semnificaţia fizică a constantelor din (3.1.41) se poate obţine analizând fenomenele de
relaxare şi de fluaj. La o deformaţie constantă ε
0
la t = 0 , ecuaţia constitutivă (3.1.41) devine
d σ( t)
aσ () t + b = cε 0
, (3.1.42)
dt
cu soluţia
c c a
σ () t = ε
0
+ ⎛ ⎜σ ⎞ 0
− ε0⎟exp
⎛ ⎜−
t
⎞
⎟
a ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ . (3.1.43)
c
Tensiunea atinge o valoare de echilibru constantă σ= ε
0
. Se pot introduce un modul de
a
c
b
elasticitate Young relaxat E R
= , şi un timp de relaxare τ
σ
= . Pentru t =τ
σ
, tensiunea se
a
a
reduce la 36% din valoarea sa iniţială.
La o tensiune constantă σ
0
la t = 0 , ecuaţia constitutivă (3.1.42) se scrie sub forma
cu soluţia
d d ε( t)
σ
0
= ERε () t + ER
, (3.1.44)
c d t
1 1 c
ε () t = σ
0
+ ⎛ ⎜ε0 − σ ⎞ 0⎟exp
⎛ ⎜−
t
⎞
⎟. (3.1.45)
ER
⎝ ER
⎠ ⎝ d ⎠
1
Deformaţia atinge o valoare de echilibru constantă ε= σ
0
. Timpul de fluaj devine
c
τ
ε
= . Dacă σ ( t) =σ0
exp(i ω t)
, modulul de elasticitate în starea nerelaxată se defineşte astfel
d
E
u
R
E R
τσ
= E . (3.1.46)
τ
ε
Neglijând diferenţa de fază, avem pentru deformaţie expresia ε ( t) =ε0
exp(i ω t)
, şi ecuaţia
constitutivă (3.1.41) devine
(1+ωτ i ) σ = (1+ωτ i ) ε. (3.1.47)
ε
0
E R
σ 0
Din (3.1.47) se poate determina modulul complex de elasticitate Ê
2
1+ω τ τ + i( τ −τ )
R
2 2
1+ω τε
Eˆ
σ ε σ ε
= E . (3.1.48)

83
Partea imaginară a modulului elastic Ê este echivalenta cu factorul de amortizare, şi prin
urmare
1 ωτ (
σ
−τε)
Eu
−ER
ωτ ωτ
=η= = = 2η
2 2 2 max 2 2
Q 1+ω τ τ E 1+ω τ 1+ω τ , (3.1.49)
unde
η
max
este coeficientul maxim de amortizare şi
σ
ε
τ= τστ ε
,
0
0
E
= EE . (3.1.50)
Se observă că amortizarea este maximă pentru ωτ = 1. Dacă perioada de vibraţie este mult
1
mai mare decât timpul de relaxare ( ω> ), sistemul mecanic nu are timp să se relaxeze şi nu se disipă prea multă energie.
τ
Din (3.1.49) rezistenţa la relaxare
∆
E
se defineşte astfel
E
− E
σ
ε
u R
∆
E
= . (3.1.51)
E0
Partea reală a modulului de elasticitate complex Ê depinde de frecvenţă şi de timpul de
relaxare la deformaţie
2
1+ω τστε
Eu −ER Eu −ER
1
E = ER
= E
2
2 2 u
− ≈ = η
2 2 2 2 max 2 2
1+ωτ 1+ωτ 1+ωτ 1+ωτ . (3.1.52)
ε
De multe ori se consideră τε
≈τ. Pentru variaţia modulului de elasticitate avem
∆ E 1
= 2 η
max 2 2
E 1+ω τ . (3.1.53)
ε
Dependenţa calitativă a inversului factorului de calitate 1 Q
(dependenţa relaxării Debye de
frecarea internă) în raport cu ωτ , şi respectiv dependenţa calitativă a modulului de elasticitate
∆E
în raport cu ωτ , sunt reprezentate grafic în fig.3.1.13.
E

84
Fig. 3.1.13. Dependenţa calitativă a rapoartelor 1 Q şi
∆E
E
de ωτ .
Pentru cele mai multe fenomene de relaxare, timpul de relaxare este o funcţie exponenţială
de temperatură şi poate fi descris de legea lui Arrhenius
⎛
( T ) exp H ⎞
⎝kT
⎠ , (3.1.54)
τ =τ0
⎜ ⎟
unde H este energia de activare şi τ
0
conţine dependenţa lui H de temperatură.
În fig.3.1.14 se reprezintă grafic dependenţa rapoartelor 1 Q şi ∆E
de temperatură.
E
Fig. 3.1.14. Dependenţa calitativă a rapoartelor 1 Q şi
∆E
E
de temperatură.
Relaxarea termoelastică a fost confirmată experimental de câtre Zener în 1937. Pornind de
la această lucrare, Lifshitz şi Roukes au dezvoltat un model de relaxare termoelastică pentru bara
Euler-Bernoulli (2000). Prezentăm în continuare acest model.
Legea constitutivă a barei se consideră de forma
1
ν
ε
z
= σ
z
+α T , ε
x
=ε
y
=− σ
x
+α∆ T , (3.1.55)
E
E
unde α este coeficientul de expansiune termică, E modulul de elasticitate a lui Young, ν
coeficientul lui Poisson şi T temperatura absolută.
Ecuaţia de mişcare devine
unde inerţia termică I
T
este definită astfel
∂ u ∂ ⎛ ∂ u ⎞
ρ A + EI + Eα I =
∂t ∂z ⎝ ∂z
⎠
2 2
x
x
0
2 2 ⎜ y 2 T ⎟
,
I
T
= ∫ x∆Tdxdy
.
A

85
Ecuaţia de transfer termic în prezenţa cuplării termoelastice în direcţia y se scrie
2 2
⎛ 1+ν ⎞∂∆ E
1 2
T ∂ ∆ T ∆ ∂
⎜ + ∆ u
E ⎟ = Dth
+ y ,
2 2
⎝ 1−2ν⎠
∂t ∂x α ∂x
unde ∆E
este rezistenţa la relaxare
Eα
T
2
0
∆
E
= ,
CP
unde C
P
este capacitatea calorică pe unitatea de volum la presiune constantă, D
th
constanta de
difuzie dependentă de temperatură şi T
0
temperatura iniţială.
Presupunem că transferul termic se realizează fără timp de întârziere. Frecvenţa devine
ω=ω
0
1 +∆
E
(1 + f ( ω )) ,
unde ω
0
este frecvenţa de rezonanţă a barei fără pierderi termoelastice, iar f ( ω ) este dat de
unde h este grosimea barei şi
24 ⎡ hk ⎛hk
⎞⎤
f ( ω ) = tan
3 3
hk
⎢ − ⎜ ⎟
2 2
⎥
⎣ ⎝ ⎠⎦ ,
ω
k = (1 + i) .
2D
Constanta de difuzie D
th
este definită astfel
⎛ H ⎞
Dth
= D0 exp ⎜ − ⎟
⎝ kT ⎠ .
Relaţia de dispersie cu neglijarea termenilor superiori devine
th
Factorul de calitate ia forma
⎡ ∆
0
1 E ⎤
ω=ω ⎢ + (1 + f ( ω))
2 ⎥
⎣ ⎦ .
cu
2
1 Im( ) E T0
6 6 sinh sin
= 2| | = −
2 3
Q
ω α ⎛ ξ + ξ ⎞
⎜
⎟
Re( ω) C ⎝ξ ξ cosh ξ+ cosξ
⎠ ,
ω
ξ= h .
0
2D
th
Se observă că factorul de calitate depinde puternic de grosimea barei. Pornind de la ecuaţia
(3.1.55) Zener a calculat factorul de calitate pentru bara cu secţiune dreptunghiulară
cu
2
1 Ead
−E ωτ Eα
T0
ωτ
≈ =
2 2 2 2
Q E 1+ω τ c σ
1+ω τ ,

86
2
a
τ= . π
2
D
Cavităţile, impurităţile, granulele cu orientări diferite, dislocaţiile, introduc o stare
neuniformă de tensiune în material, chiar în absenţa forţelor exterioare. Această stare neuniformă
de tensiune creşte pierderile termoelastice. Însă, dacă lungimea barei este mai mică decât pasul
liber al fotonului termal, conceptul de relaxare termică nu mai este valabil.
În cazul cristalului cu defecte, putem asocia o simetrie fiecărui defect. Dacă simetria
defectului este mai slabă decât a cristalului, apare un dipol elastic care va interacţiona cu câmpul
de tensiune. Dacă se atinge valoarea energiei de activare, se obţine o rearanjare a dipolilor, şi ca
urmare apare o relaxare a tensiunilor în cristal.
Granulele produc disipare de energie datorită mişcării lor relative. Granulele actionează ca
unităţi rigide sau elastice, în timp ce interfeţele dintre granule formează un sistem de interfeţe
care controlează comportarea dinamică a materialului. Aceste interfeţe sunt heterogene ca formă,
sunt nano- sau mezoscopice ca dimensiune, şi reprezintă o fabrică de defecte, fisuri, dislocaţii,
goluri, etc. care participă la răspunsul temoelastic al materialului. Aceste interfeţe absorb energie
şi, în anumite condiţii, sunt apte să formeze dilatoni.
Conceptul de dilaton a fost utilizat de Zhurkov si Petrov în 1983 pentru a explica ruperea
dinamică a materialelor. Acelaşi concept a fost utilizat de Engelbrecht şi Khamidullin în 1988, şi
apoi de Engelbrecht în 1991, pentru a explica fenomenul de amplificare a undelor seismice
observat experimental. Ipotezele de lucru ale modelului lui Engelbrecht sunt următoarele:
dilatonii absorb sau genereaza energie; energia maximă a unui dilaton este finită; procesul prin
care dilatonul absoarbe sau generează energie este controlat de intensitatea undelor care se
propagă în mediu; undele cedează o parte din energia lor dilatonilor şi ca rezultat apare atenuarea
undelor. Când energia dilatonului este maximă, dilatonul se rupe eliberând energie şi ca rezultat
apare amplificarea undelor. La nivel nanometric acest dilaton se numeşte nanodilaton şi este
responsabil de ruperea materialului.
Dilatonul se poate defini ca o fluctuaţie localizată a densităţii energiei interne datorată
slăbirii unor legături structurale dintre atomi.
th

87
3.2. Analiza capacitatii de amortizare a nanotuburilor de carbon. Caracterizarea
amortizarii unei franghii alcatuite din nanotuburi de carbon
Inainte de a analiza capacitatea de amortizare a compozitelor pe baza de nanotuburi,
prezentam o metoda imbunatatita a grinzilor cu zabrele pentru modelarea nanotuburilor de carbon
.
Energia potenţială a câmpului de forţe care există între atomii individuali din nanostructura
unui material se poate descrie ca o contribuţie aditivă a mai multor energii (Odegard et al. 2001)
m ρ θ τ ω νdW el
E = E + E + E + E + E + E , (3.2.1)
ρ θ τ
unde E , E , E şi E ω sunt energiile potenţiale de legătură atomică asociate deformaţiei de
alungire, a variaţiei unghiului, a torsiunii şi respectiv a inversiei.
dW
Energiile care nu sunt de tip legătură atomică sunt energia Van der Waals, E ν şi energia
el
electrostatică E . Expresiile acestor energii depind de material şi de condiţiile de încărcare.
Pentru determinarea parametrilor câmpului de forţe atomice se utilizează atât date experimentale
cât şi metodele mecanicii cuantice.
Pentru reprezentarea expresiilor termenilor din (3.2.1) se poate utiliza modelul grinzilor cu
zăbrele, în care fiecare bară din reţea reprezintă forţa dintre doi atomi. Modelul grinzilor cu
zăbrele poate descrie comportarea mecanică a unui nanosistem mecanic în raport cu deplasările
atomilor, şi poate servi ca un pas intermediar dintre potenţialul de vibraţie şi modelul echivalenţei
continue. În acest model fiecare bară corespunde unei legături chimice sau unei interacţiuni de alt
tip.
Potenţialul elastic al deformaţiei la întindere sau compresiune corespunde întinderii sau
compresiunii elementului corespunzător din grinda cu zăbrele. Atomii dintr-o reţea atomică pot fi
priviţi, tradiţional. ca mase concentrate asupra cărora acţionează forţe atomice reprezentate prin
resort elastic (Born şi Huang 1954). De aceea, elementele din grindă care sunt supuse încovoierii
nu trebuie să simuleze legături chimice, şi nodurile de legătură dintre barele grinzii cu zăbrele
sunt îmbinări care nu sunt fixe. Presupunem că grinda cu zăbrele are un număr de celule şi fiecare
celulă conţine mai multe bare.
Energia potenţială de deformaţie
t
∆ a unei grinzi cu zăbrele este dată de
AE r R
j j
t i i j j 2
∑∑ (
i
−
i
) , (3.2.2)
j
j i 2Ri
∆ =
j j
unde A
i
şi E
i
sunt aria secţiunii transversale şi modulul elastic al lui Young al barei i din
j j
celula j . Termenul ( ri
− Ri
) reprezintă întinderea sau compresiunea barei i din celula j ,
j j
unde R
i
şi r
i
sunt lungimile nedeformate şi respectiv, lungimile deformate ale grinzii.
Menţionăm că în (3.2.2) nu se utilizează convenţia sumării indicilor care se repetă.
Prin compararea ecuaţiilor (3.2.1) şi (3.2.2), se observă că (3.2.2) conţine numai termeni de tip
deformaţie de alungire, iar (3.2.1) conţine şi termeni de variaţie a unghiului şi termeni de
torsiune. Totuşi, prin egalarea acestor ecuaţii se poate obţine un model rudimentar pentru
descrierea legăturilor chimice ale nanostructurii, căci fiecare atom are mai multe grade de
libertate pentru a descrie alungirea, variaţia unghiului, etc.
În anumite condiţii, modelul grinzii cu zăbrele se poate dezvolta sub forma unui model echivalent
continuu (Noor et al. 1978, Sun şi Leibbe 1990, Lee 1994).
Pentru aceasta, introducem noţiunea de element de volum reprezentativ (celula din grinda
cu zăbrele), in spiritul metodei elementelor finite FEM. Notăm acest element de volum
reprezentativ cu RVE (Fig. 3.2.1). RVE permite ca fiecare grad de libertate a atomului de carbon
să poată fi modelat cu metoda grinzilor cu zăbrele şi metoda elementului finit, în care gradele de

88
libertate sunt deplasările nodale. RVE permite definirea unei corespondenţe biunivoce între
deplasările reţelei chimice şi modelul continuu. Condiţiile de încărcare macroscopice aplicate
asupra foii de grafit continuă, se pot reduce la condiţii pe frontieră periodice aplicate volumului
RVE.
Modelul grinzii cu zăbrele cu noduri de tip îmbinare se poate înlocui cu un model
echivalent de placă continuă bazat pe teoria clasică a mediului continuu (Eringen 1967), dacă se
îndeplinesc următoarele condiţii :
1. Modelele au aceleaşi grade de libertate.
2. Deplasările asociate volumului RVE sunt identice pentru cele două modele pentru
aceleaşi condiţii statice de încărcare.
3. Energia de deformaţie termoelastică asociată celor două modele trebuie să fie aceeaşi
pentru aceleaşi condiţii statice de încărcare.
Fig.3.2.1. Elementul de volum reprezentativ (REV) pentru foaia de grafit.
4.4. Modelarea foii de grafit
Acest paragraf utilizează valorile constantelor pentru câmpul de forţe date de Allinger et al.
1989, Lii şi Allinger (1989) şi Odegard et al. (2001). În cazul micilor deformaţii putem neglija
torsiunea, inversia şi interacţiunile care nu sunt de tip legătură chimică. Energia cinetică a foii de
grafit cu legătură de tip carbon-carbon se poate reprezenta ca o sumă de funcţii armonice
∑ ∑ , (3.2.3)
g
E = K ( ρ − P) + K ( θ −Θ )
i
ρ
2 θ
2
i i i i i i
i
unde ρ
i
şi θ
i
sunt distanţele şi unghiurile după deformaţie ale legăturii chimice i , P
i
şi Θi
, sunt
distanţele interatomice nedeformate ale legăturii chimice i şi respectiv ale unghiului nedeformat
i , iar K ρ i
şi K θ
i
sunt forţele constante asociate defomaţiei de alungire şi deformaţiei unghiurilor
t
legăturii chimice i . Este destul de complicat să exprimăm energia potenţială de deformaţie ∆
pentru grinda cu zăbrele, în funcţie de ( θ−Θ
i i
).
Pentru simplitate, se pot considera doar grade de libertate de tip alungire, prin încorporarea
în RVE a două tipuri de bare elastice, bare de tip a şi bare de tip b pentru a reprezenta
interacţiunea dintre atomii de carbon (fig. 3.2.2).
Scopul nostru este de a lega modelul molecular de modelul continuu. Pentru aceasta trebuie
să discutăm condiţiile pe care trebuie să le îndeplinim pentru a înlocui modelul grinzii cu zăbrele

89
cu o placă continuă echivalentă. Va trebui să determinăm şi să egalăm expresiile energiile
potenţiale de deformaţie ale grinzii şi ale plăcii pentru o încărcare exterioară dată.
Conform cu Allinger et al. (1989), Lii şi Allinger (1989), Odegard et al. (2001) avem
următoarele constante în cazul foii de grafit
K ρ
i
K θ
i
= × = × ×
= 63 kcal/(mole × rad ) = 4.38× 10 nJ/(unghi × nm )
2 7 2
46900 kcal/(mole nm ) 3.27 10 − nJ/(legatura nm )
2 − 10 2
P = 0.14nm
i
Fig. 3.2.2. Elementul de volum semnificativ (REV) pentru modelul chimic, modelul grinzii cu
zăbrele şi modelul continuu).
Energia potenţială de deformaţie se obţine din (3.2.3) şi este de forma
AE
AE
∆ = − + −
a a b b
t i i a a 2 i i b b 2
( ri Ri ) ( ri Ri
)
a
b
i 2Ri
i 2Ri
∑ ∑ , (3.2.4)
unde indicii a şi b se referă la barele de tip a şi b .
Comparând între ele expresiile (3.2.3) şi (3.2.4), se observă că termenul de alungire din
(4.4.1) se poate lega de primul termen din (3.2.4) pentru barele de tip a
a a
Ai
Ei
K
ρ = , (3.2.5)
a
2R
a
a
unde se presupune că ρ
i
= ri
şi Pi
= Ri
. Oricum, cel de-al doilea termen din (3.2.3) şi din
(4.4.2) nu pot fi legaţi direct. Variaţia unghiului din legătura chimică poate fi exprimat în raport
cu alungirea elastică a barelor de tip b .
Se poate presupune că încărcarea se poate prescrie astfel încât să avem numai mici
deformaţii. În acest caz putem exprima modulul elastic al lui Young al barei de tip b în funcţie
de unghiul de legătură constant (fig.3.2.3). Pentru deformaţii mici ale RVE, variaţiile unghiurilor
i

90
sunt mici. În acest caz, putem presupune că r
(3.2.4). Avem
a
i
= R în termenii secunzi din ecuaţiile (3.2.3) şi
b b
ri
− Ri
θ−Θ=
i i a
2Ri
(3.2.6)
Substituind (3.2.6) în (3.2.3) şi (3.2.4), rezultă
2 b b b
K
i
= RAE
i i i
.
3
(3.2.7)
Ca urmare, modulul lui Young pentru cele două bare, devine
ρ a
θ
a 2Ki Ri
b 3Ki
Ei
= , E
a i
=
b b
Ai
2Ri
Ai
. (3.2.8)
Expresia (3.2.4) energiei potenţiale a grinzii se poate scrie sub forma
θ
t ρ a a 2 3K
b b 2
∆ = ∑K ( ri − Ri ) + ∑ ( r )
b 2 i
−Ri
.
i i 4( Ri
)
(3.2.9)
Pentru înlocuirea modelului grinzii cu zăbrele cu modelul unei plăci continue, avem nevoie
c
de expresia energiei potenţiale a plăcii continue echivalente ∆ în funcţie de deplasări, ceeace
este dificil de obţinut. O soluţie ar fi aplicarea metodei elementelor finite (FEM) pentru a
determina energia potenţială asociată celor două modele, pentru un set dat de condiţii de
încărcare.
a
i
Fig. 3.2.3. Schema deformaţiei volumului REV (Odegard et al.).
Modelul grinzii cu zăbrele se poate înlocui cu un model echivalent de placă continuă dacă
se îndeplinesc condiţiile expuse în secţiunea 4.3. Pentru aceasta se presupune că placa echivalentă
poate fi modelată utilizând elemente finite de tip placă. Presupunem că nodurile corespunzătoare
celor două modele sunt poziţionate în aceleaşi puncte şi avem aceleaşi grade de libertate (fig.
3.2.2).
Originea sistemului de coordonate se află în centrul volumului RVE. Nodurile pot avea o
mişcare de translaţie numai în direcţiile x
1
şi x
2
. Gradele de libertate ale celor două modele sunt
identice. Ne situăm în cazul unei teorii liniare în care gradienţii deplasărilor sunt liniari. Cele

91
două modele de element finit sunt supuse la condiţii identice de încărcare şi energia de deformaţie
este calculată în raport cu deplasările nodale. Grosimea plăcii echivalente este considerată a fi
g
g
grosimea efectivă a foii de grafit. Valorile modulului lui Young E şi coeficientul lui Poisson ν
pentru foaia de grafit sunt măsurate microscopic (Kelly 1981, Harris 1999)
g
g
E = 1030GPa ν = 0,17 .
Pentru a determina grosimea efectivă a plăcii, grinda cu zăbrele şi placa continuă sunt
încărcate cu trei seturi de încărcări exterioare aplicate unei foi de grafit macroscopice, cu
dimensiuni la scară macroscopică, şi anume întindere axială în direcţia axei x
1, întindere axială în
direcţia axei x
2
, şi forfecare pură.
Datorită dimensiunii macroscopice a foii de grafit, vom avea un număr foarte mare de
volume RVE conţinute în structură. Condiţiile în deplasări periodice pentru RVE sunt
( α) ( α) ( α) ( α) ∂uˆ
k
k
(
m
+
m
) =
k
(
m) +
l l
u x d u x d , k, lm= , 1,2 , (3.2.10)
∂x
( )
unde u α
( )
k
sunt deplasările unei feţe a RVE, d α (1)
k
este vectorul de periodicitate ( dk
este paralel cu
(3)
a
2
, dk
este paralel cu a 1
), u ˆk
sunt deplasările macroscopice mediate pe volum, x l
sunt
coordonatele centrului volumului RVE. Indicele α este faţa volumului RVE. Repetarea unui
indice înseamnă sumare după acel indice. Vectorul de periodicitate este orice vector care leagă
două puncte echivalente într-o reţea periodică şi este reprezentat în fig.3.2.4.
Vectorii de periodicitate pentru fiecare faţă sunt definiţi în raport cu coordonatele x
k
a
a
a
a
⎛
(1) Ri
3 3R
⎞ ⎛
,
i (1) Ri
3 3R
⎞
dk
= ⎜
,
,
i (1) a
d
2 2 ⎟
k
= −
, d
⎜
⎝ ⎠
2 2 ⎟
k
= ( Ri
3,0)
. (3.2.11)
⎝
⎠
Substituind (3.2.11) în (3.2.10) obţinem constrângerile care reprezintă condiţiile periodice
pe frontieră pentru fiecare grup de feţe opuse ale RVE
a
a
⎛
(1) Ri
3 3R
⎞
i
uk
− 3 x2 − , x2
+ =
⎜
2 2 ⎟
⎝
⎠
a
a
(1)
a Ri 3 3Ri
= u ( 3
2
3 ,
2 ) ˆ ˆ
k
− x − Ri x + uk,1 + uk,2,
2 2
a
a
⎛
(2) Ri
3 3R
⎞
i
uk
3 x2 + , x2
+ =
⎜
2 2 ⎟
⎝
⎠
a
a
(2)
a Ri 3 3Ri
= u ( 3
2
3 ,
2 ) ˆ ˆ
k
x + Ri x − uk,1 + uk,2,
2 2
⎛R
3 ⎞ ⎛ R 3 ⎞
u x u x R u
⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
a
a
(3) i
(3) i
a
k ⎜ ,
2 ⎟= k ⎜− ,
2 ⎟+
i
3ˆk,1
(3.2.12)

92
Fig. 3.2.4. Vectorii de periodicitate pentru volumul RVE.
Considerăm primul caz de încărcare şi anume, condiţia de încărcare uniaxială în direcţia
( n
1,0)
, reprezentată în fig.3.2.5. Presupunem că se prescrie o deplasare axială ∆ pe latura de
sus, în timp ce partea inferioară este fixată. Deplasarea este relativ mică şi placa de dimensiuni
h× w este perfect elastică.
Dacă se presupune că deplasările û şi 1
û
2
variază liniar în raport cu coordonatele globale
ˆx
1
şi ˆx
2
, atunci aceste deplasări se pot scrie astfel
uˆ1 ( xˆ ˆ
k
) = B1x1+ B2
, uˆ2 ( xˆ ˆ
k
) = B3x2 + B4
, (3.2.13)
unde B
i
, i = 1, 2, 3, 4 , sunt constante care depind de geometria elementului şi de tipul încărcării.
Condiţiile pe frontieră devin
uˆ
⎛ h ⎞
⎜xˆ , ⎟ =∆
⎝ 2 ⎠
2 1
⎛ h ⎞
ˆ ⎜ ˆ , − ⎟=
0
⎝ 2 ⎠
, u2 x1
, ˆ ( ˆ )
u 0, x = 0 . (3.2.14)
1 2
Ecuaţiile constitutive care leagă deformaţiile ε
11
şi ε22
de tensiunile ο
11, σ
22
sunt date de
ε = 1
g
11
uˆ = 1,1ˆ
(
11 22)
g
E
σ −ν σ , 1
g
ε
22
= uˆ = ( σ
2,2 ˆ
22
−ν σ
11)
. (3.2.15)
g
E
Substituind (3.2.14) şi (3.2.15) în (3.2.13) şi rezolvând sistemul pentru determinarea
g
ν ∆
∆ ∆
constantelor B
i
, i = 1, 2, 3, 4 , obţinem B1
=− , B
2
= 0 , B3
= , B4
= .
h
h 2
Prin urmare, (3.2.13) se reduce la
g
ν ∆
∆ ∆
uˆ ˆ ˆ
1( xk
) =− x1, uˆ ˆ ˆ
2( xk
) = x2
+ . (3.2.16)
h
h 2
Legătura dintre coordonatele globale şi coordonatele RVE este dată de
xˆk = x k
+ f k
, (3.2.17)

93
unde f k
este un vector care indică poziţia relativă a sistemului de două coordonate, unul în raport
cu celălalt. Din (3.2.12), (3.2.16) şi (3.2.17), rezultă condiţiile pe frontieră în deplasări pentru
volumul RVE
a a g a
⎛
(1) Ri 3 3R ⎞
i (1)
a ν Ri
3∆
u1 − 3 x2 − , x2 + = u1 ( − 3x2 − 3 Ri
, x2)
− ,
⎜
2 2 ⎟
⎝
⎠
2h
a a a
⎛
(1) Ri 3 3R ⎞
i (1)
a 3Ri
∆
u2 − 3 x2 − , x2 + = u2 ( − 3x2 − 3 Ri
, x2)
+ ,
⎜
2 2 ⎟
⎝
⎠
2h
,
a a g a
⎛
(2) Ri 3 3R ⎞
i (2)
a ν Ri
3∆
u1 3 x2 + , x2 + = u1 ( 3x2 + 3 Ri
, x2)
+
⎜
2 2 ⎟
⎝
⎠
2h
a a a
⎛
(2) Ri 3 3R ⎞
i (2)
a 3Ri
∆
u2 3 x2 + , x2 + = u2 ( 3x2 + 3 Ri
, x2)
+ , (3.2.18)
⎜ 2 2 ⎟
⎝
⎠
2h
a a g a
⎛
(3) R 3 ⎞ ⎛
i (3) R 3 ⎞
i
ν Ri
3∆
u1 , x2 = u1 − , x2
−
⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ h
.
a
a
⎛
(3) R 3 ⎞ ⎛
i
(3) R 3 ⎞
i
u2 , x2 = u2 − , x
⎜ 2
2 ⎟ ⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
,
Fig. 3.2.5. Primul caz de încărcare.
Considerăm în continuare cel de-al doilea caz de încărcare şi anume condiţia de încărcare
uniaxială în direcţia (0, n
1)
, reprezentată în fig. 3.2.6.
Condiţiile pe frontieră sunt

94
⎛ w ⎞ ⎛ w ⎞
uˆ
ˆ
1⎜
, x2⎟
=∆ , uˆ
ˆ
1⎜− , x2⎟=
0, uˆ2( x ˆ
1,0)
= 0 . (3.2.19)
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Din (3.2.13), (3.2.15) şi (3.2.19), rezultă deplasările globale
g
∆ ∆
ν ∆
uˆ ˆ ˆ
1( xk
) = x1
+ , uˆ ˆ ˆ
2( xk
) =− x2. (3.2.20)
w 2
w
Utilizând (4.4.10), (4.4.15), şi (4.4.18), condiţiile pe frontieră în deplasări pentru volumul
RVE, devin
a a a
⎛
(1) Ri 3 3R ⎞
i (1)
a Ri
3∆
u1 − 3 x2 − , x2 + = u1 ( − 3x2 − 3 Ri
, x2)
+ ,
⎜
2 2 ⎟
⎝
⎠
2w
a a g a
⎛
(1) Ri 3 3R ⎞
i (1)
a 3ν Ri
∆
u2 − 3 x2 − , x2 + = u2 ( − 3x2 − 3 Ri
, x2)
− ,
⎜
2 2 ⎟
⎝
⎠
2w
,
a a a
⎛
(2) Ri 3 3R ⎞
i (2)
a Ri
3∆
u1 3 x2 + , x2 + = u1 ( 3x2 + 3 Ri
, x2)
−
⎜
2 2 ⎟
⎝
⎠
2w
a a h a
⎛
(2) Ri 3 3R ⎞
i (2)
a 3ν Ri
∆
u2 3 x2 + , x2 + = u2 ( 3x2 + 3 Ri
, x2)
− , (3.2.21)
⎜ 2 2 ⎟
⎝
⎠
2w
a a a
⎛
(3) R 3 ⎞ ⎛
i (3) R 3 ⎞
i
Ri
3∆
u1 , x2 = u1 − , x2
+
⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ w
.
a
a
⎛
(3) R 3 ⎞ ⎛
i
(3) R 3 ⎞
i
u2 , x2 = u2 − , x
⎜ 2
2 ⎟ ⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
,

95
Fig.3.2.6. Al doilea caz de încărcare.
Cazul de încărcare forfecare pură este reprezentat în fig. 3.2.7. Deplasările sunt mici şi
placa de dimensiuni h× w este perfect elastică. Se presupune că deplasările globale û 1
şi û
2
variază liniar în raport cu coordonatele globale ˆx şi 1
ˆx
2
. Aceste deplasări se pot scrie astfel
uˆ1 ( xˆ ˆ ˆ
k
) = B5x1+ B6x2+ B7
, uˆ2 ( xˆ ˆ ˆ
k
) = B8x1+ B9x2+ B10
, (3.2.22)
Condiţiile pe frontieră în deplasări pentru volumul RVE, sunt
⎛ w ⎞ ⎛ w ⎞
u ˆ
1 ⎜− , x2⎟=
0 u ˆ
1 ⎜ , x2⎟
= 0
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛ w ⎞
u ˆ
2⎜− , x2⎟=
0
⎝ 2 ⎠
⎛w
⎞
⎜ , ˆ ⎟ =∆ , (3.2.23)
⎝ 2 ⎠
, u2 x2
⎛ h ⎞ ⎛ h ⎞
u ˆ ˆ
1 ⎜ x1, ⎟= u1 ⎜ x1,
− ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
.
⎛ h ⎞ ⎛ h ⎞
u ˆ ˆ
2⎜ x1, ⎟= u2⎜ x1,
− ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Substituind (3.2.23) în (3.2.22) avem
∆ ∆
uˆ
ˆ
1( x
k
) = 0 , uˆ ˆ ˆ
2( xk
) = x1+ . (3.2.24)
w 2
Din (3.2.12), (3.2.17) şi (3.2.24) deplasările pe frontieră pentru RVE sunt date de
a
a
⎛
(1) Ri
3 3R
⎞
i (1)
a
u1 − 3 x2 − , x2 + = u1 ( − 3x2 − 3 Ri
, x
⎜
2)
2 2 ⎟
⎝
⎠

96
a a a
⎛
(1) Ri 3 3R ⎞
i (1)
a 3Ri
∆
u2 − 3 x2 − , x2 + = u2 ( − 3x2 − 3 Ri
, x2)
+ ,
⎜
2 2 ⎟
⎝
⎠
2w
,
⎛ R 3 3R
⎞
u x x u x R x
⎜ 2 2 ⎟
⎝
⎠
a
( i )
a
a
(2) i
i (2)
1 ⎜ 3
2
+ ,
2
+ ⎟= 1
3
2
+ 3 ,
2
a a a
⎛
(2) Ri 3 3R ⎞
i (2)
a 3Ri
∆
u2 3 x2 + , x2 + = u2 ( 3x2 + 3 Ri
, x2)
− , (3.2.25)
⎜ 2 2 ⎟
⎝
⎠
2w
,
a
a
⎛
(3) R 3 ⎞ ⎛
i
(3) R 3 ⎞
i
u1 , x2 = u1 − , x
⎜ 2
2 ⎟ ⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
a a a
⎛
(3) R 3 ⎞ ⎛
i (3) R 3 ⎞
i
3Ri
∆
u2 , x2 = u2 − , x2
+
⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ w
Pentru simplificare, presupunem fără a pierde generalitatea
uˆ
x + d =− uˆ
x . (3.2.26)
( α)
k
(
m m
)
k( m)
Fig. 3.2.7. Al treilea caz de încărcare.
Pentru a aplica FEM folosim un element de tip grindă cu două grade de libertate pe fiecare
nod (deplasările paralele direcţiilor x
1
şi x
2
).
Presupunem că barele de tip a şi b au aceeaşi secţiune transversală, dar au moduli de
elasticitate Young diferiţi. Volumului RVE i se poate asocia o arie a secţiunii transversale de tipul
barei a împărţită la 2, deoarece aceste bare au în comun cu RVE aria lor totală. Elementul
echivalent de placă RVE se poate modela cu elemente dreptunghiulare cu 4 noduri, având o
variaţie liniară a deplasărilor pe laturi (fig. 3.2.2). Condiţiile pe frontieră descrise mai sus se
6
6
aplică fiecărui nod al foii de grafit macroscopice de înălţime 1× 10 nm , lăţime 1× 10 nm şi

97
deplasare 100nm (corespunzătoare unei deformaţii globale uniaxiale şi de forfecare 0,01% ). S-
au calculat pentru ambele modele, valorile energiilor de deformaţie pentru fiecare element, pentru
condiţiile pe frontieră considerate, apoi s-au însumat energiile rezultate pentru a se obţine energia
totală pentru volumul RVE.
S-a utilizat o variaţie sistematică a grosimii pentru a calcula energia de deformaţie a plăcii
echivalente şi un algoritm genetic pentru a determina grosimea efectivă a peretelui h ef
(cu o
precizie de 0,01nm) din condiţia ca diferenţa dintre energia grinzii şi energia plăcii să fie minimă
∑ (
t c 2
j j) min . (3.2.27)
j
F = ∆ −∆ →
Pentru cazurile de încărcare I şi II, după 302 iteraţii s-a obţinut h
ef
= 0.28nm . Pentru cazul
III de încărcare s-a obţinut h
ef
= 0.24nm , după 234 iteraţii. Aceste valori sunt apropiate între ele
şi sunt mai mici decât valoarea acceptată , 0.34nm care reprezintă spaţiul interatomic, şi sunt mai
mari decât valoarea 0.066 nm, sugerată de Yakobson et al. Fig. 3.2.9 reprezintă legea tensiunedeformaţie
a foii de grafit întinsă conform cazului I de încărcare. Pentru deformaţii mici această
nt
lege este liniară, aşa ca putem scrie σ= E ε, unde σ este tensiunea normală în direcţia de
întindere şi ε este deformaţia corespunzătoare. Acest rezultat obţinut în urma apolicării
algoritmului genetic este apropiat de rezultatul experimental obţinut de Lourie şi Wagner (1998)
prin metoda spectroscopică micro- Raman, pentru acelaşi tip de încărcare.
Fig. 3.2.8. Legea constitutivă corespunzătoare primului caz de încărcare.
Se presupune că modulul lui Young pentru nanotubul de carbon se calculează din
nt 1
E = nt
A
, (3.2.28)
nt
unde A este aria secţiunii transversale a unui cilindru continuu, gol, cu o rază a planului
median constantă r′ . Raza interioară r′′ şi raza exterioară r′′′ a tubului sunt date de

98
t t
r′′ = r′
− , r′′′ = r′
+ , (3.2.29)
2 2
unde t este grosimea peretelui. Aria secţiunii transversale a cilindrului gol este
nt
A = 2π tr′ . (3.2.30)
În tabelul 3.2.1 sunt prezentate grosimea plăcii echivalente, aria secţiunii transversale şi
valorile modulului elastic E nt lui Young pentru trei cazuri de încărcare. Rezultatele arată că
valorile măsurate şi calculate ale proprietăţilor fizice şi mecanice ale nanotuburilor de carbon sunt
dependente de dimensiunile tubului continuu şi pot diferi semnificativ în raport cu geometria
considerată.
Tabel 3.2.11. Valorile grosimii peretelui, a ariei secţiunii transversale şi a modulului lui
Young.
Cazuri de
încărcare I şi II
Cazul de
încărcare III
Spaţiu
interatomic
Grosimea efectivă a Aria secţiunii Modulul lui
peretelui h
ef
[nm] transversale Young [TPa]
2
[ nm ]
0,28 1,76 r′ 3,388
0,24 1,51 r′ 3,976
0,34 2,14 r′ 2,8
Nanotuburile de carbonincorporate in compozite ridica capacitatea de amortizare a
materialului compozit. De exemplu, am studiat experimental capacitatea de amortizare a unui
compozit alcatuit din nanotuburi de carbon cu mai multi pereti incorporate intr-o matrice de
2024Al, pentru frecvente de 0,5; 1; 5; 10; 30 Hz, si la temperature de 25–400 °C. rezultatele au
aratat ca pentru o temperature mai mare decat 230 °C, frecventa influenteaza semnificativ
capacitatea de amortizare (Chiroiu, Munteanu si Dumitriu 2008, Chiroiu, Munteanu si Beldiman
2008, Dumitriu, Pop si Baldovin 2008, Donescu, Chiroiu si Munteanu 2008).
. Capacitatea de amortizare a compozitului la o frecventa de 0.5 Hz atinge 975×10−3, si
modulul storage de elasticitate atinge valoarea 82.3 GPa la o temperatura de 400 °C.
Acest fapt arata ca nanotuburile de carbon pot arma matrici de metal si se pot obtine astfel
proprietati de amortizare superioare la temperature mari fara sa se piarda rezistenta mecanica a
structurii composite.
Pentru a studia capacitatea de amortizare a unui material nanostructurat, consideram o
franghie alcatuita din nanotuburi de carbon cu un singur perete. Franghia contine mai multe
grupuri de nanotuburi incorporate intr-o matrice polimerica. Fiecare grup, un anumit numar de
nanotuburi cu diferite chiralitati si raze (fig.3.2.9).

99
Fig. 3.2.9. Structura nanofranghiei.
La scara macroscopica, nanotubul de carbon este modelat ca o bara de lungime l, cu
sectiunea transversala circulara avand raza mult mai mica decat lungimea tubului r

100
I ( A) AxstU ( , , ) ( xhx ) ( )d x A ( st , )
1
( k) * ( k)
= ∫
k
=
0
, (3) cu k ∈Ν
0
. (3.2.33)
a
In modelarea atomistica, energia totala atomica E se scrie ca suma energiilor individuale
ale atomilor. Energia unui atom este
a 1
Ei = Fi( ρ
i) + ∑αiVij( rij)
, (3.2.34)
2 j≠i
unde F
i
este energia electronica dependenta de densitatea electronului, V
ij
potentialul
interatomic care depinde de distanta interatomica r ij
, si
αi
constante. Densitatea ρ
i
a atomului i,
se scrie ca o suma a contributiilor atomilor din vecinatate ρ = ρ ( r ). Forta van der Waals
∑
i j ij
j≠i
intre atomii i si j se exprima sub forma potentialului Lennard-Jones de tip 6-12
⎛
6
1 d0
1 ⎞
Vij
( rij
) = A
−
12 6
, (3.2.35)
⎜2
rij
r ⎟
⎝
ij ⎠
−79 6
a
unde A = 24.3× 10 Jm si d 0
= 0.383nm . Pentru E ( x, s ) se considera dezvoltarea de forma
(3.2.31)
E xs E sU x , (3.2.36)
∞
a
a( k) *
( , ) = ∑ ( )
k
( )
k = 0
ak (
unde xa
∈ [0,1] , sa
∈ [0, l]
reprezinta regiunea modelata atomistic. In (3.2.26), E
) () s se
calculeaza cu (3). Parametrizarea regiunii de tranzitie xtr
∈ [0,1] , str
∈ [0, l]
se construieste astfel
incat .
tr
Energia E ( x, s ) din regiunea de tranzitie indeplineste conditiile
si
unde
cu xtr
∈ [0,1] , str
∈ [0, l]
.
tr( k
Coeficientii E
) () s se calculeaza astfel
tr
c
E ( xs , ) → E( xs , ) pentru xtr → xc
, str → sc
, (3.2.37)
tr
a
E ( xs , ) → E( xs , ) pentru xtr → xa
, str → sa
, (3.2.38)
E xs E sU x , (3.2.39)
∞
tr
tr( k ) *
( , ) = ∑ ( )
k
( )
k=
0
si
E ( s) E ( x, s) U ( x) h ( x)dx
1
( k) tr
a
*
→ ∫
k
0
E ( s) E ( x, s) U ( x) h ( x)dx
1
( k) tr
c
*
→ ∫
k
0
c
a
,
0
k ∈Ν , pentru xtr
→ xa
, str → sa
, (3.2.40)
,
0
k ∈Ν , pentru xtr
→ xc
, str → sc
, (3.2.41)
cu functiile necunoscute ha
( x ) si hc
( x)
determinate dintr-o problema inversa, astfel incat (3.2.37)
si (3.2.38) sa fie verificate.
Energia potentiala totala pentru modelul cuplat atomistic-continuubtine prin sumarea
energiilor asociate regiunilor atomistice, continue si de tranzitie

101
Energia totala de deformatieU
c a tr
E( xs , ) = E( x, s) + E ( x, s) + E ( x , s ) , (3.2.42)
c c a a tr tr
( x , s ) ∈ I , ( x , s ) ∈ I , ( x , s ) ∈ I
c c c
a a a
tr tr tr
Ic ∪Ia ∪ Itr
= [0,1] × [0, l]
, Ii ∩ I
j
= O , i, j = a, c,
tr.
def
, energia disipata ∆ U si factorul de pierdere sunt dati de
1
Udef =
ij ijdV
2
∫ σ ε , ∆ 2
U = 4 πτ rl ( ε −ε 0 1)
, arcsin ⎛ ∆U
⎞
η= ⎜ ⎟, (3.2.43)
2 V
⎝ πU
diss ⎠
unde σ
ij
este tensorul tensiune, ε ij
tensorul defromatie, r raza nanofranghiei, l lungimea
nanofranghiei, ε
0
deformatia din matricea de material, τ tensiunea de legatura si ε 1
deformatia
de lagatura suntre nanotuburi si matrice, data de
1 τl
G0
ε
1
= , A
2 E eq
AB
= 2E
ln( R/ r)
, B=
eq
l /2
0
( βl
−z
)
( βl
)
sinh / 2 )
∫ d z, (3.2.44)
sinh / 2
unde R este raza volumului reprezentativ al compozitului, G modulul de forfecare al
polimerului si E modulul echivalent Young, si
eq
β=
πGr
V ϕE
ln( R/ r)
eq
,
cu V volumul matricii de material si ϕ fractiunea volumica a nanotuburilor. S-a considerat
5
r = 10-250nm, l = 2× 10 nm, τ=1.4MPa, V = 90% , ϕ = 65wt% , si G = 20MPa pentru polimer.
Raza nanotuburilor este 10nm cu grosimea peretelui 0.34nm. Fig. 4 reprezinta variatia
modulului efectiv Young a nanofranghiei in raport cu raza r a nanofranghiei.
Fig. 3.2.10. Variatia modulului efectiv Young a nanofranghiei in raport cu raza r a franghiei.
Pentru E
eq
= 50MPa si G eq
= 4.1MPa, variatia factorului de pierdere in raport cu raza
nanofranghiei este prezentata in fig.3.2.11. Factorul de pierdere este maxim pentru r = 100nm si
r = 212nm.

102
Fig. 3.2.11. Variatia factorului de pierdere a nanofranghiei in raport cu raza r a franghiei.
Variatia factorului de pierdere in raport cu frecventa este prezentata in fig.3.2.12, pentru o
tensiune de forfecare de 0.8 MPa intre nanotub si matrice. Rezulta o energie interfaciala mare
care este utilizata ca energie de disipare, si astfel avand un factor de pierdere mare. Rezultatele
demonstreaza o crestere de pana la 200% a amortizarii structurale si cu 30% a rigiditatii.
Fig. 3.2.12. Variatia factorului de pierdere in raport cu frecventa.
Fig. 3.2.13. Sarcina transferata ca functie de unghiul de rasucire.

103
Pentru a cuantifica magnitudibea rasucirii definim unghiul de rasucire ca rasucirea relative
intre capetele franghiei. Sarcina transferata este definita ca forta axiala din centrul nanofranghiei.
Fig.3.2.13 arata variatia sarcinii ca functie de unghiul de rasucire. Observam ca unghiurile mici
au un effect redus. Pentru 0 (nu e rasucire) forta este de 0.18× 10 −19 J/A, iar pentru. 120 sarcina
transferata creste la 3.52× 10 −19 J/A, aproape de 20 de ori mai mult. Acest calcul indica ca se poate
obtine un transfer mai bun de sarcina incadrandu-ne intre anumite limite ale unghiului de
rasucire.
Matricea de material este alcatuita din ceramica, intrucat acest material are proprietati
superioare de rezistenta la rupere (Chiroiu, Munteanu si Dumitriu 2008, Chiroiu, Munteanu si
Beldiman 2008, Dumitriu, Pop si Baldovin 2008, Donescu, Chiroiu si Munteanu 2008).
.
Fig.3.2.14. (stanga) tensiunea medie de contact [GPa] in raport cu forta de indentare [N],
(dreapta) diametrul ariei de contact [nm] ca o functie de forta de indentare [N] in domeniul elastic
pentru un contact de ceramica-nanotub de carbon.
Pentru o sfera neteda elastica de raza R, in contact cu o suprafata unei nanofranghii infinite,
nesolicitate, putem calcula forta necesara pentru separarea nanotuburilor de carbon de ceramica
3
F = πR∆γ , (3.2.45)
2
unde energia de adeziune ∆γ este data de relatia Dupré
∆γ = γ
1
+ γ2 − γ
12
, (3.2.46)
cu γ1, γ2,
γ
12
energiile de suprafata ale nanotubului de carbon, ale ceramicii, precum si energia
interfetei. Daca consideram cazul unui indenter de diametru 250-1000nm, el poate genera
presiuni in suprafata indentata de circa zeci de GPa, fara sa depaseasca limita elastica si fara
separarea suprafetelor.
Fig.3.2.14 prezinta tensiunea medie de contact [GPa] in raport cu forta de indentare [N]
(stanga) si diametrul ariei de contact [nm] ca o functie de forta de indentare [N] in domeniul
elastic (dreapta) pentru un contact de ceramica-nanotub de carbon, cu E = 850GPa, si ν = 0.24.
Indenterul diamant e caracterizat prin E = 1160GPa, si ν = 0.07. Separarea suprafelor apare, in
forma incipienta, pentru o forta de indentare de cca 2200N.
3.3. Adaptarea metodei nelocale Preisach-Titeica la caracterizarea amortizarii prin
nanoindentare

104
Prin construirea de compozite de ceramica in care s-au incorporat nanotuburi de carbon,
rezistenta la rupere creste de la 3 la 5 ori. In compozite, suprafetele materiale au un rol
semnificativ. O suprafata materiala este o interfata intre doua sau mai multe corpuri sau faze, si
are o structura mult mai bogata decat o suprafata geometrica.
Daca privim cu ajutorul unui microscop suprafata unui solid, aceasta este mai rugoasa la
nivel atomic sau molecular, cu diverse neregularitati in toate directiile.
Rugozitatea pare sa fie generata aleator ca o fluctuatie cu lungime de unda mica, iar
arhitectura atomica a suprafetei este caracterizata prin prezenta la scara atomica a unui relief
variat de forme, dimensiune, unghiuri de contact si densitati. Este o structura localizata,
stochastica cu dimensiune nanoscopica, si este compusa din sute de atomi sau molecule.
Asperitatile nanoscopice se formeaza pe suprafata metalelor, a ceramicelor si a
materialelor pe baza de carbon. Distributia lor poate fi directionata sau omogena in toate
directiile, depinzand de natura suprafetei. Din perspectiva nanoscopica, putem spune ca
suprafetele solide, in particular a metalelor, pot avea o morfologie complexa alcatuita dintr-o
multitudine de clustere.
Atributele fizice ale acestor suprafete sunt, prin urmare mult mai bogate decat cele
implicate de o topografie simpla si continua. Cand suprafetele solide cu astfel de proprietati la
nanoscara formeaza o suprafata solida, de contact, sub aplicarea unei forte, atunci aria aparenta de
contact este considerabil diferita de aria reala de contact.
Aria reala de contact se determina din caracteristicile raspunsului puternic localizat al
asperitatilor la sarcini exterioare. Pentru cele mai multe materiale, campul de tensiune este
suficient pentru a determina campul deformatiilor elastice. Daca forta aplicata este suficient de
mare, pot apare deformatii plastice si curgerea plastica in regiunea mai putin coeziva a
asperitatilor materialului, transformand formele conice in suprafete plane si creand astfel
jonctiuni interfaciale.
In portiunile unde asperitatile sufera curgere plastica, se dezvolta dislocatii care se pot
multiplica si creste in raport cu forta aplicata.
Evidentele experimentale au aratat ca la sisteme precum lithium fluoride, dislocatiile de la
suprafata si in regiunile de langa suprafata se pot propaga in interior si coalescenta lor localizata
poate produce zone slabite in material, unde pot nuclea si multiplica fisuri si goluri.
Aceste fisuri se pot propaga iar spre suprafata, transformand asperitatile in particule slabe.
Pe de alta parte, daca, sub o forta aplicata, o asperitate dura ca cea de tungsten (W) intra in
contact solid cu o suprafata moale si plata cum ar fi plumbul (Pb), materialul se afla in echilibru
numai daca aria de contact suporta sarcina aplicata.
In aceste conditii, daca asperitatea se misca tangential, apare fenomenul de forfecare in
zonele de slaba coeziune, in timp ce asperitatea dura in contact cu o suprafata dura produce fisuri
de suprafata
Aplicand, pentru franghia din fig. 2.2.9, metoda reducerii pseudosferice (paragraf 2.2 si 3),
obtinem urmatoarele rezultate:
1. coeficient de amortizare 0.35,
2. modul Young 1100 GPa.
Fig. 3.3.1 prezinta functia Titeica in raport cu raza franghiei si unghiul de rasucire. Se observa
ca maximile apar pentru raze mari si pentru unghiuri de rasucire mici. Aceste maxime sunt
proprotionale cu capacitatea de amortizare a franghiei.

105
Fig.3.3.1. Functia lui Titeica.
4. O ideie noua: auxeticitatea aplicata nanocompozitelor in scopul cresterii capacitatii de
amortizare
Evans a numit aceste materiale "auxetice" din cuvantul grec auxetos, care înseamnă
“creştere”. Primul material auxetic sintetic a fost fabricat în anul 1987 de Roderick Lakes de la
Universitatea din Iowa. Roderick Lakes a fabricat spume poliuretane ordinare, care constau din
celule de tip fagure de miere de formă hexagonală, umplute cu aer şi având dimensiunea în jur de
1mm (fig.4.1).
De cele mai multe ori un coeficient Poisson negativ conduce la constante elastice şi
rigidităţi negative, în acest ultim caz materiulul fiind instabil. Coeficientul lui Poisson poate fi
negativ iar constantele elastice pot să fie totuşi pozitive. Acesta este cazul considerat în această
parte a lucrării.
În laboratul lui Ken Evans de la Universitatea din Exeter a fost descoperit în anul 2000
un alt material auxetic cu microstructură care se gaseşte sub formă comercială şi anume un
polimer polytetrafluorethylene (PTFE). Anumiţi polimeri sintetici foarte bine cunoscuţi sunt de
asemenea auxetici.
Oamenii de ştiinţă cunosc acest material de peste 100 de ani, dar nu i-au dat atenţie,
considerându-l ca un accident sau o curiozitate. Acest material există în mod natural: ugerul
vacii, anumite roci şi minerale, polimeri, spume, oase ale animalelor şi ale omului. Pentru un
material izotrop, coeficientul lui Poisson ia valori de la -1.0 la +0.5, conform consideraţiilor
termodinamice asupra energiei de deformaţie din teoria elasticităţii. Love a prezentat în 1926 un
exemplu de cristal cubic de pirită cu coeficientul lui Poisson negativ -0.14 (fig. 4.1).
Comportamentul dinamic al materialului auxetic se distinge de comportamentul unui
material tradiţional prin aceea că la întindere el expandează în loc să se subţieze. Comparativ cu
materialele tradiţionale, materialul auxetic este mai rezistent, are capacitate de amortizare mai
mare (Rosakis, Ruina şi Lakes 1993), Munteanu et al. (2007a).

106
.
Fig. 4.1. Un material auxetic compus din celule de tip hexagon sau sferă.
Fig.4.2. Materialul auxetic se înconvoaie în două direcţii fără ca integritatea structurii să fie
afectată (Lakes 1991).
Fig.4.3. Prezentarea schematică a materialului neauxetic şi a materialului auxetic (Lakes
1987).

107
Materialul auxetic se poate deforma prin încovoiere în două direcţii, având forme cu
curbură dublă de mare interes în aeronautică, autovehicule şi construcţii (fig.4.2).
În diagrama 4.3 se prezintă schematic o bandă elastică neauxetică cu coeficientul Poisson
pozitiv, care se subţiază la întindere. În schimb, banda auxetică cu structură fagure de miere sau
solid celular expandează lateral la întindere.
Proprietatile mecanice ale spumelor se pot descrie in prima aproximatie prin prisma
proprietatilor solidelor celulare.erialel auxetice termoplastice PU–PE se obtin din spume
3
polyurethane cu celule deschise avand 30–35 pores/in. si densitatea 0.027 gr/cm (Bezazi si
Scarpa 2007).
Figs. 4.3-4.5 se prezinta microstructura diferitelor tipuri de spume. Fotografiile au fost
facute cu un microscop optic (Torino 2008). Spuma conventionala (fig. 4.3) are pori cu un
diametru de circa 900 µ m. Procedeul tehnologic prin care o spuma neauxetica poate fi
transformata in spuma auxetica, se bazeaza pe reducerea dimensiunilor porilor (a celulelor) prin
compresiune in diferite directii. Se poate obtine astfel o spuma cu aceeasi densitate (fig.4.4).
Versiunea auxetica a spumei este prezentata in fig.4.5. Variatia coeficientului Poisson in
raport cu deformatia la compresiunepentru spumele analizate este prezentata in fig. 4.6. Spuma
conventionala are un coeficient Poisson egal cu 0.25, pentru o deformatie la compresiune de 10%.
Coeficientul Poisson descreste rapid cu cresterea deformatiei la compresiune de la 60% la 80%,
ajungand negativ. Spuma cu aceeasi densitate are un coeficient Poisson aproape nul pentru o
deformatie de circa 80%. La randul ei, spuma auxetica admite un coeficient Poisson negativ egal
cu -0.185 pentru o deformatie de la 10% la 25% , si admite un un coeficient Poisson aproape nul
pentru o deformatie de 55%, si un coeficient Poisson pozitiv egal cu 1.33 pentru o deformatie de
80%. Curbele constitutive pentru spumele analizate sunt prezentate in fig. 4.7 (Chiroiu, Munteanu
si Dumitriu 2008, Chiroiu, Munteanu si Beldiman 2008, Dumitriu, Pop si Baldovin 2008,
Donescu, Chiroiu si Munteanu 2008).
.
Fig. 4.3. Spuma conventionala.

108
Fig. 4.4. Spuma cu aceeasi densitate.
Fig. 4.5. Spuma auxetica.

109
Fig.4.6. Variatia coeficientului Poisson in raport cu deformatia la compresiunepentru
spumele analizate.
Fig. 4.7. Curbele constitutive pentru spumele analizate.

110
4.1. Modelarea materialelor auxetice. Legi constitutive nelocale
Analizam comportarea materialelor auxetice cu ajutorul teoriei elasticitatii de tip Cosserat
(paragraf 1.2) care introduce grade de libertate care nu exista in teoria clasica a elasticitatii, si
anume rotatiile particulelor si cuplele de tensiune pe unitatea de arie. Scopul nostru este se a
evalua modulul de elasticitate al lui Young pentru o placa sandwich de tip figure de miere realizat
dintr-un material auxetic (Munteanu 2006, Munteanu si Mosnegutu 2006).
Consideram o placa sandwich cu miez figure de miere alcatuit dintr-un material auxetic
supus la intindere si compresiune, avand modulul lui Young 1.55 GPa, densitare = 837 kg/m 3 ,
si coeficientul Poisson = - 0.25. Matricea este din aluminiu cu modulul de elasticitate 109 GPa,
densitate = 2700 kg/m3 , si coeficient Poisson 0.34 (fig.4.1.1).
Materialul auxetic este are o structura de tip network constituita din celule re-entrant sau
hexagoane auxetice (fig.4.1.2).
Teoria clasica a elasticitatii nu permite analiza deformatiei unui material auxetic. Materialul
auxetic este un materialc chiral (noncentrosimetric) care se comporta izotrop la o rotatie a axelor
de coordonate dar nu si in raport cu o inversie. De aceea, aceste materiale se comporta calitativ
diferit in comparatie cu solidele izotrope (Chiroiu, Munteanu si Dumitriu 2008, Chiroiu,
Munteanu si Beldiman 2008, Dumitriu, Pop si Baldovin 2008, Donescu, Chiroiu si Munteanu
2008).
.
Fig. 4.1.1.Placa sandwich de tip facure de miere cu miez auxetic.
Fig.4.1.2. Structura auxetica.

111
Efectele chirale nu se pot modela in cadrul elasticitatii clasice deoarece tensorul
constantelor elastice care este de ordinul patru nu se schimba la o conversie. Legile constitutive
ale unui material anizotrop non-centrosimetric Cosserat sunt date de (1.2.8) and (1.2.9)
σ = λe δ + (2 µ + κ) e + κε ( r − ϕ ) + Cϕ δ + C ϕ + Cϕ
, (4.1.1)
kl rr kl kl klm m m 1 r, r kl 2 k, l 3 l,
k
m = αϕ δ + βϕ + γϕ + Ce δ + ( C + C ) e + ( C −C ) ε ( r − ϕ ), (4.1.2)
kl r, r kl k , l l, k 1 rr kl 2 3 kl 3 2 klm m m
1
unde ekl = ( uk. l
+ ul,
k ) este vectorul macrodeformatie, λ si µ sunt constantele elastice ale lui
2
Lamé, κ este modulul de rotatie Cosserat, α, βγ, , modulii gradient de rotatie Cosserat, si
Ci
, i= 1, 2,3 sunt constantele chirale asociate cu non-centrosimetria. Pentru C
i
= 0 se regasec
ecuatiile elasticitatii micropolare izotrope. Pentru α = β = γ = κ = 0 , (4.1) se reduce la ecuatiile
constitutive ale elasticitatii liniare isotrope.Din considerente termomecanice avem restrictiile
0≤ 3λ + 2µ + κ , 0≤ 2µ + κ , 0 ≤ κ , 0≤ 3α + β + γ , −γ ≤β ≤ γ , 0 ≤ γ , siC1, C2,
C
3
negatice sau
pozitive. In (4.1) σ
kl
este tensorul tensiune, m
kl
este tensorul cuple de tensiune, u este vectorul
deplasare, ϕ
k
este vectorul de microrotatie, care in elasticitatea Cosserat este cinematic distinct
1
de vectorul macrorotatie rk = ε
klmum,
l
, si ε
klm
este simbolul de permutare. Reamintim ca ϕ
k
se
2
refera la rotatia punctelor, iar r k
la rotatia punctelor invecinate.
Legea de miscare este (1.2.11)
σ −ρ = , m
,
+ε σ −ρϕ j = 0 , (4.1.3)
kl, k
ul
0
unde ρ este densitatea si j microinertia.
Conditiile initiale sunt date de
0
i( , , ,0)
i
( , , )
rk r klr lr k
u xyz = u xyz , ϕ ( xyz , , ,0) = 0 , i = 1, 2,3 ,
i
mij
( x, y, z ,0) = 0 , σ
ij
( xyz , , ,0) = 0 , i = j ≠ 3 . (4.1.4)
Fara a pierde generalitatea, analizam cazul 2D in care toate cantitatile depind doar de x si
z . Fie F = { σkl , mkl , uk , ϕ
k
, k, l = 1,2,3} un set de tensori asimetrici σ
kl
, m
kl
, e
kl
, k, l = 1,2,3, si
vectori u
k
, ϕ
k
. Numim F stare elastodinamica care satisface (4.1.1)−(4.1.4).
Se poate demonstra urmatoarea teorema (fara demonstratie) (.Teodorescu, Badea,
.Munteanu si . Onisoru 2005):
TEOREMA. Legea biunivoca
cu
uˆ = K ( u + u − u ),
2
1 10 1 2 3
2
1
K10 1 2 3
ϕ ˆ = ( ϕ + ϕ − ϕ ),
K
2
uˆ = K ( u + u − u ),
uˆ = K ( u + u − u ),
2
2 11 2 3 1
2
2
K11 2 3 1
3 12 3 1 2
2
3
K12 3 1 2
ϕ ˆ = ( ϕ + ϕ − ϕ ),
ϕ ˆ = ( ϕ + ϕ − ϕ ),
( C + C )
( C − C )
4(2 µ +κ)( γ − β )
,
2
2
2 2 3
10
=
4(2 µ +κ)( β + γ )
, 2 2 3
K =
11
2
2 (3 C1 + C2 + C3)
K12
=
4(3λ+ 2 µ +κ)(3 α+β + γ )
,
transforma starea elastodinamica F in alta stare elastodinamica

112
ˆF= { σˆ , ˆ , ˆ , ˆ
kl
mkl uk ϕ
k
, k, l = 1,2,3} , compusa din tensorii simetrici σ ˆ kl
, m ˆ kl
, e ˆkl
, k, l = 1,2,3, si
vectorii u ˆk
, ϕ ˆ k
, care satisfac acelasi set de ecuatii. Starea ˆFse poate descompune in
Fˆ = Fˆ ˆ
1
+ F
2, unde F ˆ
1
= { σˆ11, σˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
13, σ33, m22, u1, u3, ϕ2}
, F ˆ
2
= { σˆ 22, mˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
11, m13, m33 , u2, ϕ1, ϕ3}
.
Dupa o aranjare potrivita a termenilor in ecuatiile de miscare se obtin urmatoarele ecuatii
in uˆ = ( uˆ ˆ ˆ
1, u2, u3)
si ϕ ˆ = ( ϕˆ ˆ ˆ
1, ϕ2, ϕ
3)
( λ+ 2 µ +κ) ∇∇uˆ − ( µ +κ) K ∇×∇× uˆ +κ(1 −K ) ∇×ϕ = ρu
ˆ,
2 2
ˆ
0 0
( α+β + γ) ∇∇ϕˆ − γK ∇×∇×ϕ ˆ +κ(1 −K ) ∇× uˆ
−2 κ(1 −K ) ϕ ˆ = ρϕ j ˆ , (4.1.5)
cu un coeficient de cuplare K0
definit astfel
2 2 2
0 0 0
2
2 ( C1 + C2 + C3)
K0
= 1 + . (4.1.6)
( λ+ 2 µ +κ)( α+β + γ )
Observam ca (4.1.5) se pot descompune in doua seturi de ecuatii fiecare pentru ˆF
1
, si
respectiv ˆF
2
.
Acum ne concentram asupra setului de ecuatii pentru ˆF
1
. Introducem cantitatile
adimensionale (Teodorescu,.Munteanu si.Chiroiu 2005)
unde
ω ω ω
x′ = x,
z′ = z , v′ ˆ
i
= ui
, i = 1, 2 ,
c1
c1
c1
2
c1
2 κ(1 −K0
)
m′ ˆ
ij
= m
2 ij
ω =
γω K
ρj
Ecuatiile (4.1.5) devin
λ+µ K
0
2
0
1
=
2
ρc1
s
1
v + (1 − a ) v + a v −s φ = v ,
2 2 *
1, xx 3, xz 1, zz 4 2, z
1
s1 + s2
1
v + (1 − a ) v + a v + s φ = v ,
2 2 *
3, zz 1, xz 3, xx 4 2, x
3
s1 + s2
2
2, xx 2, zz
1
Kω
2
( v
2 1, z
v3, x
)
ωγ
s4
2
2
µ K0
ˆ
1
φ ′
2
= ϕ
*2 2, t′ =ω t , σ ′
ij
= σ
2 ˆ
ij
,
ρω j
µ K0
2 λ+ 2µ +κ
c1
=
i, j = 1,3
ρ
c µ
1
φ + φ − φ + − = φ , (4.1.7)
s
κ(1 − K ) +µ K
2 2
0 0
2
=
2
ρc1
κj(1 −K
) ω
2 *2
0
3
=
2 2
µ Kc
0 1
2 2
c1 κ −K0
ω
=
2 2
ωγK0
s
s
γK
2
0
4
=
ρ
2
jc1
2 s2
* s3
2 (1 )
a = , s4
= , K
.
s1 + s2
s1 + s2
Conditiile initiale (4.1.4) devin
0
v ( xy , ,0) = v , i = 1, 3 , φ ( xy , ,0) = 0 . (4.1.8)
2
i
i
Pentru a rezolva (4.1.7) si (4.1.8) aplicam tehnica transformarilor Laplace si Fourier.

113
Astfel avem
∞
{ v( xzp , , ), φ ( xzp , , )} = { v( xzt , , ), φ ( xzt , , )}exp( − pt)d t, i=
1,3,
i
∫
2 i
2
0
∞
{ v
( ξ, z, p), φ ( ξ , z, p)} = { v ( x, z, p), φ ( x, z, p)}exp(i ξ x)d x, i=
1,3.
i
∫
2 i
2
0
1 p i ξ(1 −a
) s
v v v ,
2 2
*
2 4
′′
1
= [ ξ + ]
2 1
+ ′
2 3
+ φ
′
2 2
a s1 + s2
a a
p
v a v s a v ,
2
2 2 * 2
′′
3
= [ ξ + ]
3
+ iξ 4φ
2
+ i ξ(1 − ) ′
1
s1+
s2
2 2
c1 i c1
φ ′′ 2
= µ v′
ξ µ
2 1
− v 2 3
+Γφ
2
,
ωγ ωγ
2 c κ(1 − K ) µ p
Γ=ξ + +
2 2 2
2 1 0
2 2
ωγK0 s4
. (4.1.9)
Problema de valori propri se obtine considerand solutiile ecuatiilor (4.1.(9) sub forma
W ( ξ , zp , ) = X( ξ , p)exp( qz),
(4.1.10)
W( ξ , z, p) = { v , v
, φ }. Obtinem ecuatia caracteristica
cu
1 3 2
cu
q −λ q +λ q+λ = , (4.1.11)
3 2
1 2 3
0
1
p 2c
µ s
λ = 1+ + 3 ξ + + − ,
2 2 *
⎛ ⎞
2 1 4
1 ⎜ 2 ⎟ ps
Kω
2 2
⎝ a ⎠
s4
ωγa
2
2 *
⎛
2 p ⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞ 2⎞
c1µ
s4
2 1
2 2 2
λ
2
= ⎜ξ + Kω
+ ⎟⎜ ps⎜1+ 2
2 ⎟+ ξ ⎟ −
2 2 ( ps + 2 ξ ) + ( p )( ),
2 s
+ξ ps
+ a ξ
⎝ s4
⎠⎝ ⎝ a ⎠ ⎠ ωγa a
2 * 2
2
1 2 2 2
⎛ p 2
⎞ s4 2 2 c1µ
p
λ
3
=
2 ( ξ + ps )( ps + a ξ ) ⎜ +ξ + Kω
⎟− 2 ( ps +ξ ) ξ
2 , ps
= .
a ⎝ s4 ⎠ a ωγ s1 + s2
Radacinile acestei ecuatii (4.1.11), q i
, i = 1, 2,3 , sunt reale si pozitive. Vectorul propriu
X ( ξ , p)
este dat de
2
aiqi
aiqi
X (, ) i1 ξ p = bi
, X (, ) i 2
ξ p = bq
i i
−ξ
−ξq
2 *
2 2 c1 µ s4ξ
ai∆ i
=ξ( a −1)( Kξ
−qi
) − ω
2 γ
i
, i = 1, 2,3 ,

114
2 2 2 2
i i s ξ i i
( ξ)
i b ∆ = ( ξ + p ) K + a q q −K
2 * 2
2 2 c1µ
s4qi
−( ξ + ps) qi
+ , ωγ
2
2
K
p
2
ξ
=ξ + Kω
+ ,
s4
2
c1
µ 2 2
∆
i
= ( q ( ))
2 i
− ξ + ps
, i = 1, 2,3 . (4.1.12)
ωγ
Astfel, (4.1.10) devine
3
W ( ξ , z, p) = ∑ BiXi( ξ, p)exp( qi( ξ, p) z)
, (4.1.13)
i=
1
unde B i
, i = 1, 2,3 sunt constante arbitrare. Din (4.1.13) rezulta campul transformat al
deplasarilor, microrotatiilor si tensiunilor
v ( ξ , z, p) = aqBexp( q) z) + aqBexp( qz) + aqBexp( qz),
(4.1.14)
1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
v ( ξ , z, p) = bB exp( q ) z) + b B exp( q z) + b B exp( q z)},
(4.1.15)
3 1 1 1 2 2 2 3 3 3
φ ( ξ , z, p) =−ξ { B exp( q z) + B exp( q z) + B exp( q z)}.
(4.1.16)
2 1 1 2 2 3 3
Pentru a obtine necunoscutele B i
, i = 1, 2,3 , aplicam transformarile Laplace si Fourier
ecuatiilor (4.1.8). Functiile transformate depend de z , si de parametri p si ξ , avand forma
f( ξ , z, p)
. Pentru a obtine acesata functie f( x, z, t ) , se aplica transformarea Fourier inversa
∞
∞
1 1
f ( x, z, p) = exp( −i ξx) f ( ξ, z, p)d ξ = {cos( ξx) fe
− isin( ξx) f0}d ξ,
2π∫
π∫
(4.1.17)
−∞
unde f
e
si f 0
sunt partile pare si impare ale functiei f( ξ, z, p)
f ( x, z, p)
poate fi privita ca transformata Laplace ( )
C0
+∞ i
C0
−∞ i
0
. Pentru valori fixate ξ , x si z ,
g p a unei functii gt (), definita astfel
1
g( t) = exp( pt) g( p)dp
2 π i
∫ ,
unde C
0
este un numar real arbitrar, mai mare decat toate partile reale ale singularitatilor
functiei g( p ). Pentru p = C0 + iy
avem
exp( Ct)
g t ty g C y y
π
∫ .
∞
0
( ) = exp(i ) (
0
+ i )d
2
−∞
Pentru modulul de elasticitate al lui Young avem formula clasica pentru un material
izotrop. Suntem interesati sa cunoastem influenta celor 4 constante Cosserat (modul de rotatie, 3
moduli gradient de rotatie) si a celor 3 constante elastice chirale aupra valorii modulului lui
Young. Pentru aceasta utilizam cunoscutul principiu variational al lui Hashin si Shtrikman
(1962). Placa este un material ortotrop fiind caracterizat de doua module de elasticitate E
x
in
directia x si E
y
in directia y, de doi coeficienti Poisson ν xy
si ν
yx
, in directia celui de al doilea
indice la o intindere uniaxiala in directia primului indice Exν
xy
= Eyν
yx
.

115
Pentru a confirma teoria consideram , mai intai, o bara cu sectiune circulara, de diametru
−2
−2
d = 3× 10 m, lungime l = 15× 10 m, alcatuita dintr-un material auxetic (fig. 4.1.2).
Constantele utilizate sunt:
−9 3
Densitate ρ= 0.205× 10 kg/m ,
Coeficient Poisson ν =− 0.12 .
Relatia dintre constantele de material si ν , este extrasa din valorile experimentale privind
modulul lui Young si modulul de forfecare (modul Young E = 259.93MPa , modul forfecare
µ = 149.96MPa ). Introducem, modulii de material redusi
K
K = ,
2
10
1 2
K0
K
K
= ,
2
11
2 2
K0
K
K = , (4.1.18)
2
12
1 2
K0
unde
2
K
10
,
2
K
11
si
2
K
12
sunt dati de
K
2
( C + C )
=
4(2 µ +κ)( β + γ )
,
2 2 3
10
K
K
2
( C − C )
=
4(2 µ +κ)( γ − β )
,
2 2 3
11
2
(3 C + C + C )
=
4(3λ+ 2 µ +κ)(3 α+β + γ )
.
2 1 2 3
12
Dependenta modulilor redusi de material de coeficienul Poisson ν , este reprezentata in
fig.4.1.3. Pentru o valoare data ν , este posibil sa determinam un set de valori permisibile pentru
constantele de material., negative sau positive. Fiecare set de constante poate reprezenta o
posibila structura cu proprietati auxetice demonstrabile {capacitate de amortizare si rezisternta).
Intrebarea care se pune cum anume pot fi aceste matreiale sintetizate.
Fig.4.1.3. Variatia modulilor redusi in raport cu coeficientul Poisson.

116
Coeficientul lui Poisson depinde de deformatie. Variatia coeficientului ν in raport cu
deformatia axiala la intindere si compresiune este reprezentata in fig.4.1.4. Liniile solide sunt
consistente cu rezultatele experimentale. Liniile intrerupte se refera la cazul classic izotrop si
liniar ( α=β = γ =κ= 0 , C1 = C2 = C3 = 0 ) si respective solidului izotrop micropolar
( C1 = C2 = C3 = 0 ).
Variatia deplasarii v ( x ) si a tensiunii 3
σ ( x)
33
pentru t = 1 si z = 1 sunt reprezentate in
fig.4.1.6, si respectiv fig.4.1.7, pentru ν =− 0.12 .
Figs. 4.1.6 si 4.1.7, reporteaza un rezultat surprinzator. Foecare unda este compusa din
doua unde care se propaga cu viteze diferite. Unda rapida este unda uzuala din teoria micropolara
theory. A doua unda este mai lenta. Astfel de unde au fost rarortate experimental (Lake 1983).
Fig.4.1.4. Dependenta coeficientului Poisson in raport cu deformatia axiala.

117
Fig.4.1.6. Variatia deplasrii v
3
in raport cu x .
Fig.4.1.7. Variatia tensiunii σ33
in raport cu x .
In continuare determinam modlul lui Young, utilizand aceeasi teorie pentru structura
reprezentata in fig. 4.1.1. Ca rezultat obtinem valorile maxime si minime ale modulului lui
Young

118
E = F( λ , µ , λ , µ ) + E′ , E = F( λ , µ , λ , µ ) + E′ , (4.1.19)
x a a p p x
y a a p p y
cu
λ
a
si
1 2
1
x(max)
(1 )
2 2
E′ = + p Ex,
E′ x(min)
= (1 − q + p ) Ex, (4.1.20)
16
16
λ , µ constantele Lamé ale materialului auxetic. Functia
µ
a
constantele Lamé, si
p
p
F( λ
a
, µ
a, λ
p, µ
p)
se determina numai numeric.
Valorile maxime si minime ale modulului lui Young sunt prezentate in fig.4.1.8.
Linia 1 ( x− x) reprezinta valoarea maxima a lui E
x
(131 GPa), linia 2 ( y−
y ) reprezinta
valoarea maxima a lui E
y
(123 GPa)), linia 3 ( x− x) este valoarea minima a lui E
x
(3.5 GPa),
linia 4 ( y− y ) reprezinta valoarea minima a lui E
y
(3.4 GPa), linia 5 ( E
maxima a modulului E pentru aluminiu (109 GPa), iar linia 6 ( E
modulului de elasticitate pentru materialul auxetic (1.55 GPa).
− E) este valoarea
− E) este valoarea minima a
Fig.4.1.8. Valorile limita ale modulului lui Young pentru placa sandwich.
Se observa performantele unui astfel de compozit bazat pe un material auxetic- rezistenta
mare la intindere si compresiune. Valorile minime ale modulului de elasticitate sunt mai mari
decat valoarea modulului materialului auxetic, iar valorile maxime depasesc valoarea modulului
pentru aluminiu. Astfel de compozite pot fi utilizae in diferite aplicatii ingineresti precum
industria aerospatiala si aviatica, sisteme microelectromecanice (MEMS) si siteme nanoelectro
mecanice (NEMS), datorita rezitentei mari si a greutatii lor reduse (Chiroiu, Munteanu si
Dumitriu 2008, Chiroiu, Munteanu si Beldiman 2008, Dumitriu, Pop si Baldovin 2008, Donescu,
Chiroiu si Munteanu 2008)
.

119
4.2. Analiza capacitatii de amortizare a materialelor auxetice
Geometriile ideale pentru structura auxetica cu mare capacitate de amortizare sunt prezentate
in fig. 4.2.1. Aceste structuri suporta deformatii mari si au o mare capacitate de disipare a energiei
de deformatie (Teodorescu, Munteanu, Chiroiu, Dumitriu si.Beldiman 2008, Chiroiu, Munteanu,
D.Dumitriu, Beldiman si.Secara 2008, Munteanu, Chiroiu, Dumitriu, si Beldiman 2008, Chiroiu
2008, Munteanu, Dumitriu, Donescu si.Chiroiu 2008).
Asa cum s-a discutat in paragraful 4.1, coeficientul lui Poisson depinde de deformatie.
Variatia coeficientului ν in raport cu deformatia axiala la intindere si compresiune a fost
reprezentata in fig.4.1.4. Liniile solide sunt consistente cu rezultatele experimentale. Liniile
intrerupte se refera la cazul classic izotrop si liniar ( α=β = γ =κ= 0 , C1 = C2 = C3 = 0 ) si
respective solidului izotrop micropolar ( C1 = C2 = C3 = 0 ). In timpul deformatiilor suprafata
probei spumei auxetice se deformeaza neregulat in sensul ca anumite arii se deformeaza mai mult
decat altele, cum reiese din fig. 4.2.2 (Smith, Grima si Evans 2000). In fig.4.2.3 sunt prezentate
distorsionari ale structurii deformate prin torsiune.
Fig.4.2.1. Geometrii ideale pentru structura auxetica.
Fig. 4.2.2. Sectiune prin suprafata unei material auxetic, cu deformatii neregulate.

120
Fig. 4.2.3. Sectiune prin suprafata unei material auxetic cu deformatii neregulate.
Am studiat probe conventionale neauxetice cu sectiune transversala patrata de
dimensiuni 25 mm pe 25 mm, si lungime 75 mm. Probele auxetice au dimensiunile 35 mm pe 35
mm si 105 mm lungime. Aceste probe au fost supuse la compresiune 28,6 % in fiecare directie
pana s-au obtinut dimensiunile 25mmpe 25mm si lungime 75mm. S-au incalzit apoi probele la
200°C timp de 10 min intr-un cuptor, apoi s-au racit si framantat cu mana cateva momente, dupa
care s-au incalzit din nou in cuptor timp de 10 min. Proba s-a racit si apoi a fost incalzita din nou
la 100°C timp de o ora (conform procedeului tehnologic Chan si Evans 1997). Spuma a fost
examinata cu un microscop stereo. Ambele probe “conventionala” si “auxetica”, au aceleasi
dimensiuni. Au fost supuse la teste pe o masina universala de incercari (Shimadzu AGS-10kN D).
Toate probele au aratat un comportament viscoelastic.
Deformatiile au fost masurate cu un extensometer video (Videoextensometer, Messphysik
GmbH, Austria).
S-au studiat aceste probe teoretic, conform teoriilor prezentate inainte (materialele au fost
modelate cu teoria noncentrosimetrica de tip Cosserat) (Chiroiu, Munteanu si Dumitriu 2008,
Chiroiu, Munteanu si Beldiman 2008, Dumitriu, Pop si Baldovin 2008, Donescu, Chiroiu si
Munteanu 2008). Rezultatele sunt prezentate in fig. 4.2.4. Se observa o buna concordanta intre
teorie si experiment.
La incarcari ciclice de intindere si compresiune se obtine o comportare histeretica, asa cum
reiese din fig. 4.2.5. Se observa cresterea capacitaii de amortizare la materialul auxetic, fata de cel
conventional.
O analiza a capacitatii de amortizare a nanocompozitelor arata ca atat nanotuburile de carbon
cat si materialele auxetice, inglobate in matricea de material, conduc la o crestere semnificativa a
amortizarii. Aceste compozite au mare aplicabilitate in controlul vibratiilor si a zgomotului.

121
Fig. 4.2.4. Curba tensiune-deformatie pentru proba conventionala si auxetica (teorie si
exeperiment).
Fig. 4.2.5. Comportarea histeretica a probelor conventionala si auxetica.

122
5. Nanocompozite pe baza de nanotuburi de carbon
În acest paragraf prezentăm o metodă cuasi-continuă QC-GFG (secţiunea 3.4) pentru
determinarea unor legi constitutive pentru compozitele cu nanotuburile de carbon (Munteanu şi
Chiroiu 2005). Ne oprim asupra nanotuburilor de carbon, cu secţiune perfect circulară şi cu un
singur perete de grosime 0,34nm. Presupunem că nanotubul este supus la întindere. Aplicăm o
metodă inversă în încercarea de a lega nanoscara metrică de scara macroscopică a corpului
continuu, cu ajutorul FEM şi a unui algoritm genetic.
La scară atomică, comportarea nanotubului de ccarbon este descrisă de mecanica cuantică
(Wang, Tomanek and Bertsch 1991, Curtin şi Miller 2003). Energia totală este o funcţie de
coordonatele atomilor care reprezintă gradele de libertate electronice. Funcţionala energiei este
minimizată în raport cu aceste grade de libertate pentru coordonate fixate.
a
Considerăm că energia totală atomică E se exprimă ca în teoria Stillinger–Weber SW
(Stillinger şi Weber (1985), ca o sumă a energiilor tuturor atomilor, care într-o formulare a
interacţiunilor dintre 2 şi 3 corpuri este dată de (3.3.4)
a
⎡1 1
⎤
E = ∑ Ei = ∑ ⎢ w ∑ 1
V2( rij) + w ∑ 2
V3( rij, rik,cos θijk)
⎥
i i 2 j≠i 6
, (5.1)
⎣
j≠i, k≠( i, j)
⎦
unde w
1
şi w
2
sunt ponderi necunoscute, r ij
este distanţa dintre atomii i şi j , iar θ ijk
este
unghiul definit de tripleta de atomi i , j şi k . Forţele corespunzătoare fiecărui atom, în absenţa
a
forţelor externe, sunt date de fi
=− E, r i
. Cantităţile necunoscute w
1
şi w
2
se determină mai târsiu
din rezultate experimentale.
a
Energia de deformaţie W se obţine prin normalizarea funcţiei E în raport cu volumul
atomic Ω
W
1 a
= E . (5.2)
Ω
Presupunem că regiunile continue din material nu conţin deformaţii mari şi nici efecte
inelastice. De asemenea, presupunem că există o funcţie densitate de energie de deformaţie W ,
astfel încât în volumul dV care înconjoară un punct material X , este dată de W ( X )dV . În
consecinţă, energia potenţială a materialului se calculează ca o integrală pe volumul Ω corpului
este dată de
Gradientul deformaţiei devine
c
E = ∫ W( X)dV
. (5.3)
Ω
dx
F( X) = = I+∇u( X)
, (5.4)
dX
unde ∇ este calculat în raport cu X . Deformaţia lagrangiană
deformaţiilor infinitezimale devine
1 (
T
e = F F − I ) , în cazul
2
1 ( ( )
T
ε= ∇ u + ∇ u ) . (5.5)
2
Pentru a determina starea de deformaţie şi de deplasare a nanotubului de carbon, în condiţii
de încărcare cu forţe exterioare, minimizăm energia E c , cu ajutorul metodei elementelor finite

123
(FEM). Elementele finite (FE) se bazează pe introducerea unui set de puncte X
j
(noduri j ) în
care se calculează deplasările U
j
= uX (
j)
. Deplasările în alte poziţii ale corpului decât în aceste
noduri, se calculează prin interpolarea deplasărilor nodale în poziţiile dorite.
Dacă gradele de libertate sunt deplasările nodale, FEM impune o constrângere cinematică a
deformaţiei materialului. Energia totală în regiunea continuă a materialului se scrie ca o sumă a
energiilor elementelor µ , cu N numărul de elemente din regiunea Ω
µ
e
N e
c
E ∫ WV d E µ
, Eµ
= ∫ W( X)dV
, W ( X) = W( F( X))
, (5.6)
= =∑
cu W date de (5.3). Deplasările elementelor se pot scrie sub forma
Ω
µ
N
u( X) = ∑ U S ( X)
,
j=
1
j
j
Ωµ
N
F( X) = I + ∑ U
j
⊗∇Sj( X)
. (5.7)
c
∂E
unde S
j
( X ) sunt funcţiile de formă. Forţa din nodul i se calculează din − . ∂ Ui
În metoda QC, ca şi în alte metode cuplate, se face o descriere atomistică pentru anumite
regiuni din material şi o descriere continuă pentru alte regiuni din material. Regiunea de tranziţie
sau frontiera dintre regiunea atomică şi regiunea continuă (interfaţa tampon, sau pad) necesită o
atenţie deosebită. Această interfaţă este modelată în aşa fel încât interacţiunile nelocale dintre
atomi să fie luate în consideraţie. O astfel de interfaţă tampon este reprezentată în fig. 5.1 (Curtin
şi Miller). Atomii gri din partea dreaptă a interfeţei din figură coincid cu un set de noduri FE din
zona continuă. Atomii din interfaţa atomică formează o zonă care desparte regiunea atomică de
cea continuă. Se poate ca o parte din aceşti atomi să coincidă cu nodurile din reţeaua FE. În
continuare folosim indicii A , I şi P pentru a desemna atomii din zona atomistică, din interfaţa
atom-nod şi din interfaţa pad.
Energia potenţială totală E este obţinută prin sumarea energiilor corespunzătoare regiunii
atomistice, padului şi domeniului continuu, conform formulei (5.5) cu contribuţia separată a
interacţiunilor dintre 2 şi 3 corpuri
(2) (3)
∑ i A I P ∑ i A I P ∑ µ µ
, (5.8)
η∈( AI , ) η∈ ( AI , )
µ
j=
1
E = E ( r , r , r ) + E ( r , r , r ) + w E
unde 0< w µ
< 1 este funcţia pondere care este egală cu unitatea pentru toate elementele care nu
1
sunt legate de interfaţă. Pentru elemente tringhiulare, avem w µ
= , pentru un element cu două
3
2
noduri pe interfaţă, şî w µ
= , pentru elemente cu un singur nod pe interfaţă.
3

124
Fig. 5.1 Interfata tampon intre zona continua si zona atomica (Curtin şi Miller).
Energia potenţială QC conduce la un rezultat cu caracter nefizic în regiunea de tranziţie.
Originea acestor forţe fantomă stă în presupunerea de localitate în zona continuă şi de
nepotrivirea conceptelor local/nelocal în zona de tranziţie.
Pentru a remedia această situaţie, utilizăm modelul QC-GFC, în care se introduc nişte
încărcări moarte care sunt aplicate nodurilor şi atomilor din sistem, pentru a anula forţele fantomă
0
g . Modelul QC-GFC consideră următoarea expresie pentru energia totală în domeniul atomistic
′ = −
0
3
⋅
g
E E w∑g u, (5.9)
unde ultimul termen este lucrul mecanic al acestor sarcini moarte în timpul deformaţiei, şi w
3
o
0
pondere necunoscută. Menţionăm că forţele fantomă g , se pot calcula pentru starea iniţială de
referinţă a sistemului.
În cazul încărcărilor uniforme, numărul atomilor reprezentativi nu este unic. De acest număr
depinde totuşi reducerea gradelor de libertate ale sistemului, fără deteriorarea rezultatelor
problemei. Astfel, ne propunem să determinăm numărul optim de atomi reprezentativi R , ale
h
căror poziţii vor constituti gradele de libertate. Poziţiile x
i
unui atom arbitrar pot fi obţinute prin
interpolare
h
x = ∑ N ( X ) x , (5.10)
i
unde Nα ( X i
) sunt funcţiile de formă centrate în atomul reprezentativ α , care este un nod finit
ataşat poziţiei nedeformate X
i
a atomului i .
Energia potenţială E este calculată din (4.6.9), care depinde numai de poziţiile atomilor
reprezentativi. Echilibrul static se obţine prin minimizarea energiei totale
α
α
i
α

125
N R
∑ i ∑ α α
, (5.11)
i= 1 α= 1
E = E = n E
cu n α
ponderi necunoscute, care pot fi interpretate ca fiind numărul de atomi reprezentat de
atomul reprezentativ α .
Desigur, prin problema inversă pe care vrem să o construim dorim să determinăn şi
ponderile necunoscute w
1
, w
2
, w
3
şi n α
, α= 1,...,R .
În consecinţă, necunoscutele problemei sunt numărul atomilor reprezentativi R , şi
ponderile necunoscute n α
, α= 1,...,R , w
i
, i = 1,2,3. Aceste necunoscute sunt determinate din
condiţia ca diferenţa dintre rezultatele teoretice şi rezultatele similare, experimentale, să fie
minimă. Acest minim este determinat cu un algoritm genetic.
Notăm cu p = { Rn ,
1, n2,..., nR
, w1, w2, w3}
necunoscutele în număr de (4 + R)
. Discretizăm
aceste necunoscute cu valorile ∆R, ∆n1 ,..., ∆nR
, ∆w1 ,..., ∆ w3
. Setul de parametrii pentru o soluţie
arbitrară
p= { R , n ,, n ,..., n , w ,... w }, (5.12)
, i 1, i1 2, i2 R, iR
1, j1 3, j3
este caracterizat de numărul (Tanaka and Nakamura 1994)
M = ( i− 1) I ... I J J J + ( i − 1) I ... I J J J + ... + j , (5.13)
ii1 .... iR
1 R 1 2 3 1 2 R 1 2 3 3
unde I, I
1,...
sunt numărul total de valori discrete corspunzător fiecărui parametru. Acest număr
este calculat pornind de la un set de parametrii iniţiali p= p1
.
Ca funcţie obiectiv alegem suma diferenţelor dintre rezultatele măsurate din curba
experimentală tensiune-deformaţie pentru câteva exemple de nanotuburi de carbon cu un singur
perete, cu diferite raze şi chiralitate
W
M
m m 2
∑ (
i i
) , (5.14)
m=
1
= σ −σ
m
unde σ
i
este deformaţia măsurată experimental în punctul m din diagrama experimentală σ−ε,
m
şi σ
i
este deformaţia calculată în acelaşi punct m . M este numărul de puncte din diagrama
σ−ε. Funcţia fitness F este definită sub forma
unde
W 0
F = , (5.15)
W
W
0
M
m 2
∑ (
i
) . (5.16)
m=
1
= σ
Criteriul de convergenţă este definit prin expresia adimensională Z
1 W
Z = log
10
. (5.17)
2 W0
Presupunem că grosimea nanotubului este h = 0,34nm , şi numărul de atomi pe lungimea L
este N = 2πρLR
, unde R este raza tubului şi ρ densitatea. Utilizăm rezultatele experimentale
date de Qian, Wagner şi Liu (2002), Yu et al. (2000), şi Shenoy (1998, 2003).

126
Pentru toate exemplele, numărul populaţiilor este 25, coeficientul de reproducere 1,
numărul de puncte crossovers 1, probabilitatea de mutaţie 0,25, şi numărul maxim de generaţii
300.
Calculăm energia de deformaţie pe atom de carbon în raport cu raza formei sale circulare
relativ la grafit, pentru o structură stabilă pentru formele armchair (10,10) , chiral (12,6) , şi zigzag
(17,0) , care au diametrul secţiunilor transversale comparabile.
Rezultatele sunt arătate în Fig.5.2a,b,c , pentru tubul chiral (12,6) , tubul zigzag (17,0) , şi
respective pentru tubul armchair (10,10) .
Rezultatele experimentale sunt prezentate în aceste figuri prin pătrăţele. Observăm din
figuri o bună potrivire dintre rezultatele teoretice, obţinute în urma aplicării algoritmului genetic
şi rezultatele experimentale date de Qian, Wagner şi Liu (2002), Yu et al. (2000), şi Gao, Cagin
şi Goddard (1998).
Legile constitutive la întindere sunt prezentate în Fig. 4.6.2a,b,c, pentru tuburile zigzag
(17,0) , b) armchair (10,10) , şi respectiv, chiral (12,6) . Rezultatele experimentale sunt prezentate
în aceste figuri prin cerculeţe. Observăm, de asemenea, o bună potrivire dintre rezultatele
teoretice şi rezultatele experimentale date de Qian, Wagner şi Liu, şi Yu et al. Pentru tubul
armchair s-a considerat a = 16,78A
3
, densitatea ρ= 1.34g/cm , pentru tubul chiral a = 16,52A
şi
3
ρ= 1,40g/cm , şi pentru tubul zig-zag a = 16,52A
3
, şiρ= 1,34g/cm (Gao, Cagin and Goddard).
Curbele constitutive obţinute sunt foarte apropiate de rezultatele experimentale. Pentru modulii
elastici Young, în direcţia axei tuburilor, calculaţi din derivata a doua a energiei potenţiale
conform cu relaţia (3.10.11), se obţin valorile E
(10,10)
= 651,33GPa , E
(12,6)
= 688,37GPa
şi E
(17,0)
= 652,43GPa , pentru cele trei exemple considerate.

127
Fig. 5.2. Energia pe atom de carbon pentru nanotuburile a) chiral (12, 6) , b) zigzag (17,0) , si c)
armchair (10,10) .
In paragraful 3.2 s-a studiat nanofranghia alcatuita din nanotuburi de carbon. Matricea de
material este alcatuita din ceramica, intrucat acest material are proprietati superioare de rezistenta
la rupere. Variatia factorului de pierdere in raport cu frecventa este prezentata in fig.3.2.12,
pentru o tensiune de forfecare de 0.8 MPa intre nanotub si matrice. Rezulta o energie interfaciala
mare care este utilizata ca energie de disipare, si astfel avand un factor de pierdere mare.
Rezultatele demonstreaza o crestere de pana la 200% a amortizarii structurale si cu 30% a
rigiditatii (Teodorescu, Munteanu, Chiroiu, Dumitriu si.Beldiman 2008, Chiroiu, Munteanu,
D.Dumitriu, Beldiman si.Secara 2008, Munteanu, Chiroiu, Dumitriu, si Beldiman 2008, Chiroiu
2008, Munteanu, Dumitriu, Donescu si.Chiroiu 2008).
Prin construirea de compozite de ceramica in care s-au incorporat nanotuburi de carbon,
rezistenta la rupere creste de la 3 la 5 ori. In compozite, suprafetele materiale au un rol
semnificativ. O suprafata materiala este o interfata intre doua sau mai multe corpuri sau faze, si
are o structura mult mai bogata decat o suprafata geometrica.
Distributia nanotuburilor de carbon in matricea de ceramica poate fi aleatoare (fig. 5.1) sau
periodica (fig.5.2). Cu alb si negru s-au notat nanotuburi de carbon cu un singur perete si
respective, cu pereti multipli.

128
Interacţiunile care nu sunt de tipul legăturilor atomice se pot modela prin potenţialul
Lennard-Jones care descrie interacţiunile intermoleculare în reţeaua atomică de grafit sau în
moleculele C
60
. Potenţialul de interacţiune total între atomii de carbon în două molecule C
60
, sau
dintre două plane de grafit este datcde (1.1.36)
H
LJ
12 6
⎡⎛ IJ
σ ⎞ ⎛ σ ⎞ ⎤
( rij ) = 4ε ⎢
IJ −
IJ
⎥
i j>
i ⎢⎜r
⎟ ⎜
ij
r ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ij ⎠ ⎥
⎣
⎦
∑∑ ,
unde I şi J reprezintă două molecule sau două plane, r IJ
ij
este distanţa dintre atomul i din
molecula (planul) I şi atomul j din molecula (planul) J . Parametrii acestui potenţial sunt
−2
ε= 0,24127 × 10 eV , σ= 3,4 Å.
Fig. 5.3. Nanotuburi de carbon intr-o matrice de ceramica.
Fig.5.4. Distributie periodica a nanotuburilor de carbon in matricea de ceramica.
Tinandu-se seama de faptul ca curbura Gaussiana a suprafetei Σ este un invariant, rezulta
din (2.2.3) expresia

129
cot ω=−a
2 2
(1 +σ ) Xv −2 σXσv − (1 + X ) σt
2 2 3/2
2(1 +σ + X )
.
conform careia energia disipata este proportionala cu cot ω , si prin urmare cu curbura Gaussiana
a suprafetei Titeica asociata modelului de deformare.
Capacitatea de amortizare este ridicata la ambele tipuri de structura. In fig. 5.5 este
reprezentata functia lui Titeica pentru structura din fig. 5.3.
Fig. 5.5. Functia lui Titeica pentru structura periodica din fig. 5.3.
In continuare studiem din punct de vedere atomistic ruperea nanotuburilor de carbon în
spiritul lucrării lui Belytschko et al. (2002). Nanotuburile de carbon sunt alcătuite din molecule în
care atomii sunt legaţi prin legături atomice identice. Din această cauză, utilizăm un potenţial
interatomic de tip Brenner Tersoff pentru hidrocarbon (paragraf 1.1 formulele 1.1.29 si (1.1.30),
pe care îl scriem sub forma
unde
1
Eij = ∑ VR( rij) −BijVA( rij)]
, (5.18)
2
j=
i
B
ij
este o funcţie de unghiul legăturii atomice (legătură este distanţa dintre nuclee) , şi
e
VR( rij) = f( rij) D exp( − 2 Sβ( r−re))
S −1
e
2
, VA( rij) = f( rij) DS exp( − β( r−re))
, (5.19)
S −1
S
Constantele acestui model sunt
10 -1
−10
β= 2,1× 10 m , S = 1, 22 , r 1
= 1,7× 10 m şi
⎧ 1, r < r1
,
⎪1 1 π( r−r)
f r = + r < r<
r
⎪
⎪
⎩ 0, r > r2
,
1
( ) ⎨ cos ,
1 2,
2 2 r2 − r1
−10
r 0
= 1,4507× 10 m ,
−10
r 2
= 2× 10 m .
(5.20)
−19
D e
= 9,648× 10 Nm ,

130
Pentru comparaţie considerăm şi un potenţial de tip Morse (1.1.43), care aici este exprimat
ca o sumă dintre o energie E 1
a legăturilor atomice la întindere şi o energie E 2
a legăturilor
atomice unghiulare la încovoiere
unde
E = D − −β r−r
− ,
2
1 e
[(1 exp( (
0)) 1]
E = E1 + E2, (5.21)
1
2 4
E1 = kθ( θ−θ
0)[1 + k s
( θ−θ
0)]
, (5.22)
2
unde r este lungimea legăturii, θ unghiul legăturii adiacente. Utilizăm următorii parametrii
corespunzători unei energii de disociaţie (separare) de 124kcal/mole (5,62eV/atom)
−10
r 0
= 1,39×
10 m
D e
= ×
−19
6,03105 10 Nm
10 -1
β= 2,625× 10 m θ
0
= 2,094rad
k = 0,9 ×
θ
10 Nm/rad
−18 2
k = 0,754rad
În fig. 5.6 se prezintă variaţia energiei Brenner şi Morse în raport cu deformaţia in cazul
intinderii, iar in fig. 5.7 se prezinta variatia fortei Brenner si Morse in raport cu deformatia in
cazul întinderii (Belytschko et al.).
l−
l0
Deformaţia este ε= , unde l 0
este lungimea iniţială a legăturii atomice şi l , lungimea
l0
legăturii după deformaţie. În potenţialul Brenner, funcţia f( r
ij
) introduce o creştere
semnificativă a forţei interatomice pentru r = r1
, după cum se vede în fig. 5.7, pentru o deformaţie
de aproximativ 0,3. Acesată comportare se datorează funcţiei f( r
ij
).
s
-4
Fig. 5.6. Variaţia energiei Brenner şi Morse în raport cu deformaţia în cazul întinderii
(Belytschko et al.).

131
Fig. 5.7. Variaţia forţei Brenner şi Morse în raport cu deformaţia în cazul întinderii (Belytschko et
al.).
Modulul lui Young mediu şi coeficientul lui Poisson pentru potenţialul Morse în intervalul
de deformaţie de la 0 la 0,1 este 0,94 TPa, şi respectiv, 0,29. Pentru potenţialul Brenner aceste
valori sunt de 1,07TPa şi respectiv, 0,19.
Energia de disociaţie este pentru potenţialul Morse de 124kcal/mol.
Prezentăm simularea comportării la rupere prin intindere, a unui nanotub de carbon
armchair (12,12), şi a unui nanotub chiral (16,8) de lungime 1,8 µm şi diametru 13nm
(Belytschko et al.). In simulare s-au considerat 840 atomi. Se utilizează potenţialul Morse cu o
energie de separare de 124kcal/mol. Evoluţia fisurii este prezentată în fig. 5.8. Tensunea de
rupere la nanotubul armchair este de 112GPa corespunzător unei deformaţii de 0,187. Nanotubul
chiral este mai puţin rezistent decât nanotubul armchair, tensiunea lui de rupere fiind de 106 GPa
la o deformaţie de 0,171.
La încovoiere, simulăm comportarea unui nanotub zigzag (10,0) de rază 6,26 A , cu un
singur perete de grosime 0,617 A , având un modul Young echivalent de 4,88 TPa, şi un
coefficient Poisson ν = 0,19 . Evoluţia fisurii este prezentată în fig. 5.9. Tensiunea de rupere este
de 96 GPa la o deformaţie de 0,1471.
Fig. 5.8. Evoluţia unei fisuri într-un nanotub la întindere: dreapta nanotub armchair {12,12},
stanga nanotub chiral (16,8) (Belytschko et al.).

132
Fig. 5.9. Evoluţia unei fisuri într-un nanotub zigzag (10,0) la încovoiere.
6. Folii nanocompozite cu incluziuni de materiale auxetice si nanotuburi de carbon (folii
nanosonice)
Dinamica foliilor subtiri cu geometrie constransa a fost studiata cu diferite metode de
simulare. S-au considerat folii alcatuite din materiale anizotrope granulare, cu structura interna.
Structurile stratificate periodic în care două plane atomice formează un strat care se repetă,
au un aranjament de tipul AABBAABB... Atomii A şi B diferă ca dimensiune. Presupunem că
atomul A are dimensiuni mai mari decât atomul B. Interfaţa A/B este deformată deoarece atomii
A sunt supuşi la compresiune iar atomii B la întindere (fig.2.2.3). Efectul deformaţiei asupra
constantelor elastice într-o astfel de structură a fost studiat de către Jankowski, Tsakalakos (1985)
şi de Jankowski (1988). Pentru a explica creşterea valorilor constantelor elastice observată
experimental, autorii au studiat dependenţa constantelor elastice de deformaţia elastică iniţială.
Rezultatele au indicat creşteri mari ale valorilor constantelor elastice C , 11
C
12
şi C
66
precum şi a
2
valorii modulului biaxial Y[100]=C11 + C12 − 2 C13/
C33
pentru un singur strat de Cu, Ag şi Au
supus la tensiune biaxială. Rezultate similare au fost raportate şi pentru Au−Ni, Cu−Pd şi Ag−Pd.
De exemplu, pentru o superlatice Cu−Ni cu 66 % Cu se obţine Y [100]=0,23 TPa . Această
valoare depăşeşte cu 50 % valoarea modulului elastic al unui aliaj Cu−Ni cu aceeaşi concentraţie
de Cu pentru care Y [100]=0,14 TPa (Chiroiu si Chiroiu 2003) .
Delsanto, Provenzano şi Uberall (1992) au studiat cazul structurilor deformate biaxial în
planul (111), utilizând aceeaşi metodă de calcul. Ei au pus în evidenţă sensibilitatea modulului
biaxial Y[111] în raport cu semnul deformaţiei iniţiale. Astfel, pentru o structură ideală având
proprietăţi mediate care să caracterizeze metalele Cu, Au şi Ag, modulul biaxial Y[111] creşte cu
65 % pentru ε = −0.03, iar pentru ε = 0,03 modulul biaxial descreşte cu 40 %.
De asemenea, s-a observat că valoarea maximă a modulului biaxial se obţine pentru o
grosime a stratului de 0,8−1,2 nm şi pentru o lungime de undă a compoziţiei modulate de
1,66−2,5 mm.
Efectul acusto-elastic defineşte dependenţa de tensiune a vitezelor de propagare ale
sunetului într-un mediu elastic deformat.
Prin măsurarea variaţiilor produse în vitezele de propagare ale undelor se pot evalua
tensiunile iniţiale din material. Benson şi Raelson au descris acest fenomen în anul 1959 (Toupin
şi Bernstein 1961) şi au prezentat o metodă de determinare a tensiunilor într-un material elastic
izotrop utilizând polarizarea transversală a undelor sonore.
Daniels şi Smith au determinat în anul 1958 (Toupin şi Bernstein 1961) efectul presiunii
hidrostatice asupra vitezei sunetului în cristale şi alte materiale. Alţi autori au măsurat efectul
tensiunii uniaxiale asupra vitezei sunetului în materiale elastice izotrope, şi au arătat că valorile
constantelor elastice de ordinul trei se pot determina din aceste date.

133
Condiţiile de compatibilitate necesare şi suficiente pentru ca datele privind propagarea
undelor sonore în materiale elastice să fie compatibile cu teoria clasică a elasticităţii au fost
obţinute de Toupin şi Bernstein (1961). Autorii au studiat propagarea undelor plane cu
amplitudine mică într-un material elastic deformat iniţial şi au arătat modul în care măsurarea
efectului acusto-elastic poate fi utilizat pentru determinarea constantelor elastice de ordinul trei
într-un material izotrop.
Pentru astfel de materiale se aplica teoria micilor deformatii elastice suprapuse peste o
deformatie elastica finita. Pentru a scrie ecuaţiile acestei teorii trebuie să introducem trei
configuraţii distincte pentru punctele materiale { P } care alcătuiesc corpul B (Toupin şi Bernstein
1961):
- configuraţia naturală sau liberă de tensiuni C
0
,
- configuraţia iniţială sau deformată (în echilibru) C ,
- configuraţia curentă Ct ().
În aceste configuraţii poziţia particulelor materiale { P } este descrisă de coordonatele
naturale (materiale sau lagrangiene) ξµ
( P ), coordonatele iniţiale X
A
( P ) şi coordonatele curente
(euleriene) xi
( P ). Sistemele de coordonate ( µ ), (A) şi (i) sunt sisteme nedeformate, inerţiale şi
staţionare. Descrierea deformaţiilor finite diferă de descrierea deformaţiilor mici sau
infinitezimale.
Datorită deformaţiilor mari, coordonatele în configuraţia nedeformată nu se pot inlocui cu
coordonatele finale în configuraţia deformată. De asemenea, expresia energiei specifice de
deformaţie se schimbă. Deformaţiile elastice finite pot fi tratate din două puncte de vedere. În
formularea lagrangiană deformaţia este descrisă în configuraţia naturală, şi coordonatele ξ
µ
sunt
luate ca variabile independente. În formularea euleriană deformaţia este descrisă în configuraţia
curentă şi coordonatele x
i
sunt luate ca variabile independente.
Pentru simplificare presupunem că sistemele de coordonate ( µ ), (A) şi (i) sunt
reprezentate într-un sistem cartezian unic (i) pe care îl numim sistem comun de coordonate
(SCC). Vom specifica atunci când ecuaţiile se vor scrie în SCC.
∂⋅ ()
Folosim notaţiile ( ⋅ );
µ
, ( ⋅ );
A
si () ⋅
; i
pentru derivatele care se reduc la
∂ξ , ∂⋅ () ∂⋅ ()
şi în
i
∂X i
∂x i
SCC. Mişcarea unui corp material este reprezentată de o familie de funcţii care depind de timp
x = x ( ξ , t)
, ξ = ξ ( x , t)
. (6.1)
i
i
µ µ
Aceste relaţii reprezintă o legătură biunivocă între coordonatele curente şi coordonatele
naturale ale fiecărui punct material. Vom considera numai mişcările pentru care (6.1) este de
2
clasă C . Configuraţia iniţială este configuraţia curentă la un moment t , astfel încât dacă
cunoaştem relaţia dintre sistemele de coordonate (A) şi (i) putem deduce din (6.1) relaţii de
forma
X ( )
A
= X
A
ξ , ξ = ξ ( X ), xi
= xi( X ,t) , X
A
= X
A( x , t)
. (6.2)
µ µ
Ecuaţiile şi definiţiile teoriei mişcării unui material omogen perfect elastic din care se vor
deduce prin aproximaţie ecuaţiile teoriei micilor deformaţii suprapuse peste o deformaţie iniţială
finită sunt date de
t
ij;
j
= ρ x , (6.3)
i

134
t
ij
−1
⎛x⎞ ∂W
( E) ∂x
∂x
i j
= tji
= ⎜ ⎟
⎝ξ ⎠ ∂Eµν ∂ξµ ∂ξν
, (6.4)
tij
= 0 dac E µν
= 0 , (6.5)
∂x
i
∂xi( ξ,t)
xi = + x i;
jx j,
x i
= , (6.6)
∂t
∂t
1 ∂x
∂x
j
(
i
Eµν = gij
−gµν
) , (6.7)
2 ∂ξ ∂ξ
µ ν
1
⎛ x ⎞
−
0 0
ρ=ρ ⎜ ⎟ , ρ = const. , (6.8)
⎝ξ
⎠
⎛x
⎞ ⎛ ∂x det i
⎞
⎜ ⎟ ≡ ⎜ ⎝ξ⎠ ∂ξ ⎟
⎝ µ ⎠
. (6.9)
În (6.3)-(6.9) am folosit următoarele notaţii:
t tensorul Cauchy al tensiunii în Ct (),
ρ densitatea în poziţia curentă,
ρ
0
densitatea în configuraţia naturală,
x viteza, x acceleraţia,
∂x i
∂ξµ
gradientul de deformaţie corespunzător mişcării (6.1) a configuraţiei curente în raport
cu configuraţia naturală,
E µν
tensorul de deformaţie finită a configuraţiei Ct () relativ la C
0
care se anulează numai
dacă mişcarea de la C
0
la Ct () este rigidă (6.5),
W energia specifică de deformaţie sau energia elastică raportată la unitatea de volum sau
mai pe scurt potenţialul elastic,
g
ij
componentele tensorului metric în sistemul de coordonate (i) ,
g µν
componentele tensorului metric în sistemul de coordonate ( µ ).
Atât g
ij
cât şi g µν
se reduc la δ
ij
în SCC.
Ecuaţia (6.3) reprezintă ecuaţia de mişcare cu neglijarea forţelor de volum, (6.4) legea
constitutivă şi (6.7) legatura geometrică dintre deformaţii şi deplasări. Presupunem că potenţialul
elastic W ( E ) este un polinom în deformaţiile finite
1 1
W( E ) = Cµνλς EµνEλς + Cµνλςρτ EµνEλςEρτ
+ ... , (6.10)
2 6
unde C µνλς
şi C µνλςρτ
sunt constantele elastice de ordinul doi şi de ordinul trei ale materialului.
Pentru un material cu un singur grup de simetrie reprezentat prin transformarea identică
(datorită simetriei tensorilor t ij
şi E µν
), avem C k 5+ k
constante independente de ordinul k .
Dacă sistemul de coordonate (i) este rectangular, atunci forţa rezultantă pe orice porţiune
v a corpului (neglijăm forţele de volum) este dată de

135
F = ∫ t ds
, (6.11)
i ij j
s
unde s este frontiera lui v şi elementul diferenţial ds i
este dat de
∂xl
∂xk
dsi
=± eijk
dp1dp
2, (6.12)
∂p
∂p
unde e[ ijk ]
= eijk
este tensorul axial antisimetric cu e 123
= 1 în orice sistem de coordonate, şi
xk
( p1, p2, t ) ecuaţia parametrică a lui s .
Forţa rezultantă F
i
(v) poate fi exprimată ca o integrală pe imaginea σ a lui s în
configuraţia naturală C
0
, sau pe imaginea S a lui s în configuraţia iniţială C
1 2
cu
F = τ
µ
dσµ
i
∫ i
, Fi TiAdSA
σ
S
= ∫ , (6.13)
unde
∂xi
∂X
A
⎛ x ⎞
dσ µ
= ⎜ ⎟
⎝ξ⎠
−1
∂xi
dsi
, dS
∂ξ
µ
A
⎛x
⎞
= ⎜ ⎟
⎝ξ⎠
−1
∂xi
∂X
A
ds
, (6.14)
este gradientul de deformaţie corespunzător mişcării (6.2) a configuraţiei actuale în
raport cu configuraţia iniţială.
Tensorii tensiune de tip mixt care apar în (6.13) au fost introduşi de Piola în 1833 şi
Kirchhoff în anul 1852, şi sunt definiţi astfel
unde
∂ξ µ
∂
x j
este inversa lui
∂x j
∂ξ , şi
µ
⎛x
⎞∂ξ
⎝ξ⎠∂x
τ
iµ
= ⎜ ⎟
∂X
∂
A
x j
µ
j
t
T
⎛x
⎞∂X
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
A
ij
,
iA
ij
ξ ∂x
j
este inversa lui
∂x j
∂X
A
t
i
, (6.15)
. Primul tensor nesimetric Piola-
Kirchhoff τ
iµ
este convenabil în anumite privinţe, şi anume dacă exprimăm potenţialul elastic ca
∂xi
o funcţie W( gij, gµν
, ) = W( E ) , ceea ce este posibil deoarece E este determinat de
∂ξ
şi
∂x
i
µ
µ
g
ij
, g µν
∂ξ . Avem ∂W
τ
iµ
= , (6.16)
⎛ ∂xi
⎞
∂⎜ ⎜
∂ξ ⎟
⎝ µ ⎠
conform ecuaţiilor constitutive (relaţia tensiune-deformaţie). Utilizând identitatea
⎡⎛x
⎞
⎢⎜
⎟
⎢⎣⎝ξ⎠
−1
∂x
⎤
j
⎥
∂ξµ
⎥⎦
ecuaţia de mişcare (6.3) se poate scrie sub o forma echivalentă
; j
= 0 , (6.17)

136
2
∂ xi
( ξ, t)
τ
iµµ
;
=ρ0 . (6.18)
2
∂t
În mod similar, ecuaţia (6.3) se poate scrie sub altă formă echivalentă
T
∂ x ( X , t)
, (6.19)
∂t
2
i
iA; A
=ρ
2
⎛ x ⎞
unde ρ este densitatea în configuraţia iniţială deformată ρ=ρ ⎜ ⎟ .
⎝X
⎠
Doua modele de folie cu incluziuni de nanotuburi de carbon si material auxetice sunt
reprezentate in fig. 6.1 si respectiv fig. 6.2. Grosimea foliei este de cativa milimetrii, iar celelate
doua dimensiuni sunt de ordinul macroscopic. Aceste folii au fost studiate pentru reducerea
zgomotului in domeniul audibil de frecvente.
In fig.6.1. nabotuburile de carbon au o distributie aleatoare, insa in fig. 6.2 nanotuburile de
carbon sunt aranjate periodic in raport cu raza, in directie perpendiculara pe planul foliei.
grosimii.
Aceste folii se numesc folii sonice deoarece au aceasta proprieatate de a reduce zgomotul.
−1
Fig. 6.1. Model compozit de folie cu incluziuni aleatoare de nanotuburi de carbon si material
auxetic.

137
Fig. 6.2. Model compozit de folie cu incluziuni periodice de nanotuburi de carbon si material
auxetic
6.1. Material cu arhitectura noua cu materiale auxetice si nanotuburi de carbon. Modele de
folii nanocompozite cu incluziuni de materiale auxetice si nanotuburi de carbon
Experimental, a fost demonstrata cresterea capacitatii de amortizare a unui compozit prin
incorporarea nanotuburilor de carbon (Koratkar, Lass, Wei si Ajayan 2003).
Fig. 6.1.1. Microstructura compozitului armat cu nanotuburi de carbon, filmata cu 2500X si
8500X (insertata).

138
In aceasta lucrare am reusit sa explicam si teoretic aceste proprietati atat pentru
incorporarea in compozit a nanotuburilor de carbon cat si a materialelor auxetice (Teodorescu,
Munteanu, Chiroiu, Dumitriu si.Beldiman 2008, Chiroiu, Munteanu, D.Dumitriu, Beldiman
si.Secara 2008, Munteanu, Chiroiu, Dumitriu, si Beldiman 2008, Chiroiu 2008, Munteanu,
Dumitriu, Donescu si.Chiroiu 2008).
Amortizarea in folii subtiri armate cu nanotuburi de carbon este guvernata de frecarea care
apare la nivel atomic, de interfetele dintre nanotuburi de carbon si interfetele dintre matrice si
nanotuburi de carbon. Am utilizat experimente dinamice de forfecare in domeniul 0-50Hz,
realizate pe Silan Elastomer (aflat pe piata comerciala 3M-ISD-112). In fig. 6.1.1 este prezentata
microstructura compozitului armat cu nanotuburi de carbon, filmata cu 2500X si 8500X
(insertata). Rezultatele experimentale la testele de incovoiere sunt prezentate in fig. 6.1.2.
Rezulattele teoretice obtinute de noi sunt prezentate in fig. 6.1.3.
Fig. 6.1.2. Rezultate experimentale ale testelor de incovoiere.
Silane este un material cu un inalt factor de pierdere. Reinforsarea cu nanotuburi de carbon
cu pereti multipli imbunatateste mult capacitatea de amortizare a compozitiului, asa cum reiese
din fig, 6.1.4.

139
Fig. 6.1.3. Rezultate teoretice ale testelor de incovoiere
Fig. 6.1.4. Caracterizarea capacitatii de amortizare a Silanului inarmat cu nanotuburi de carbon cu
pereti multipli.

140
In continuare analizam proprietatile sonice ale unui material alcatuit dintr-un array de
scatere sau rezonatori acustici locali (sfere goale din material piezoelectric PZ) incorporate intr-o
matrice de epoxina (ER) (Beldiman, Munteanu si Chiroiu 2009) (fig.6.1.5). Rezonatorii sunt
alcatuiti din materiale functionale de tip graded, cu polarizare radiala, si care verifica legea
Reddy si legea cosinus. Pentru aceasta structura am arata anterior ca exista doua clase de vibratii
(Chiroiu and Munteanu 2007).
Placa are un numar de 72 resonatori locali de diametru a . Consideram un sistem de axe
rectangular Ox
1x2
x3
. Originea este localizata in partea stanga a placii, in mijlocul planului
median, cu axa Ox
1
in plan si Ox
3
normala pe plan. Lungimea placii este l , latimea d si
grosimea este egala cu diametrul sferei goale a .
In cazul cristalelor sonice uzuale, la care atenuarea sunetului rezulta din superpozitia
multiplelor unde reflectate, este esential sa calculam un numar mare de perioade pentru undele
transmise, pentru a se obtine un coeficient de transmisie corect. In cazul cristalelor sonice
alcatuite din rezonatori locali, putem reduce pasii de timp in simulare, deoarece atenuarea se
datoreaza in primul rand rezonatorilor. Pentru a evita reflexiile undelor (care nu au caracter fizic)
de la marginile probei, e necesar sa implementam conditii absorbante de frontiera in directia x
1
,
pentru x
1
= 0 si x 1
= l . Un transducer si un receiver (observator) sunt localizate la x 1
= b si
x1
= l − b . Rolul transducerului este de a injecta in placa unde plane monochromatice care se
propaga in directia x
1
. Deplasarile sunt inregistrate pe ambele capete ale placii. Coeficientul de
atenuare a sunetului se obtine din raportul dintre deplasarile de la receiver si transducer.
Oricum dureaza pana cand oscilatile devin stationare. Prin urmare calculam pentru fiecare
frecventa in jur de 20 perioade pentru unda transmisa.
Fig. 6.1.5. Schema placii sonice.
Ecuatiile constitutive ale sferei piezoelectrice sunt (Chen, Wang and Lu 2002, Mihailescu si
Chiroiu 2004, Chiroiu si Munteanu 2007)
rσ = C S + C S + C S + f rφ
θθ 11 θθ 12 ϕϕ 13 rr 31
rσ = C S + C S + C S + f rφ
ϕϕ 12 θθ 11 ϕϕ 13 rr 31 , r
rσ = C S + C S + C S + f rφ
r C S f
rr 13 θθ 13 ϕϕ 33 rr 33 , r
σ
rθ = 2
44 rθ +
15
φ
, θ, r
rϕ 2C44Srϕ f15 csc
, ϕ
r
r
σ = + θφ , (6.1.1)
σ
θϕ
= 2C66Sθϕ
rDθ = 2C15Srθ −ζ11 φ,
θ

141
unde
rD = 2f S r
−ζ cscθφ
ϕ 15 ϕ 11 , ϕ
rD = f S + f S + f S −ζ rφ
r 31 θθ 31 ϕϕ 33 rr 33 , r
σ
ij
este tensorul tensiune, φ este potentialul electric,
D
i
este vectorul deplasarii electrice,
C
ij
sunt constantele elastice, si C66 = ( C11 − C12
)/2 , f
ij
sunt constantele piezoelectrice, ζ ij
sunt
constantele dielectrice, si i= r, θ,
ϕ . Constantele elastice, piezoelectrice si dielectrice sunt functii
arbitrare care depind de coordonata radiala r . Notand cu ε ij
tensorul de deformatie, u i
,
i= r, θ,
ϕ , deplasarile, cantitatile S
ij
care sunt legate de ε
ij
, se definesc astfel
S = rε = ru Sθθ = rε θθ
= uθ, θ
+ ur
rr rr r,
r
Sϕϕ = rε ϕϕ
= cscθ uϕ,
ϕ
+ ur
+ uθ
cot θ 2Sr = 2rε r
= ur, + ru
, r
−u
θ θ θ θ θ
2Srϕ = 2rε rϕ = cscθ ur, ϕ
+ ruϕ,
r
− uϕ
2Sθϕ = 2rε θϕ
= cscθ uθ, ϕ
+ uϕ,
θ
−uϕ
cot θ (6.1.2)
Notand cu ρ densitatea materialului, care este o functie arbitrara de r , ecuatia de miscare
devine
rΣ + θΣ +Σ + Σ + Σ −Σ θ=ρ
2
rθ, r
csc
ϕθ, ϕ θθ,
θ
2
rθ (
θθ ϕϕ)cot
r uθ
rΣ + θΣ +Σ + Σ + Σ θ=ρ , (6.1.3)
2
rϕ, r
csc
ϕϕ, ϕ θϕ,
θ
2
rϕ 2
θϕ
cot ruϕ
rΣ + cscθΣ +Σ +Σ −Σ −Σ +Σ cot θ=ρr u
2
rr, r rϕϕ , rθθ , rr θθ ϕϕ rθ
r
Ecuatia de incarcare electrostatica este
r
rr , r
θ , θ ϕ,
ϕ
Λ+Λ+ csc θ( Λsin θ ) + cscθΛ = 0 . (6.1.4)
Functiile Chen F , G si w , precum si functiile tensiune Σ
1
si Σ
2
uθ =−cscθF, ϕ
− G,
θ, uϕ = F, θ
−cscθ G,
ϕ, ur
= w, (6.1.5)
Σ
rθ
=−cscθΣ1, ϕ
−Σ
2, θ, rϕ 1, θ
csc
2, ϕ
Σ =Σ − θΣ . (6.1.6)
sunt utilizate pentru a simplifica (6.1.1)–(6.1.4). Ca urmare, aceste ecuatii pot fi separate in doua
seturi de ecuatii independente rA,r
= MA, rB,r
= PB , unde primul set de ecuatii se leaga de doua
variabile de stare Σ
1
si F , iar cel de al doilea de sase variabile de stare
rA,r
= MA, rB,r
= PB , A =Σ [
1, F] T , B=Σ [ ,
2, , , , ] T
rr
Σ G w Λr
φ , (6.1.7)
M
⎡
∂
−2 −C
( ∇ + 2) + ρ
= ⎢
⎢
∂t
1
⎢⎣C −
44
1
2
2 2
66
r
2
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
∇ = ∂ + θ ∂ + θ
∂
∂θ ∂θ ∂ϕ
2 2
2 2
cot csc
2 2
P
11
= 2β −1
P =∇
12
2
P
= k ∇
13 1
2
∂
P =− k + r ρ ∂ t
2
2
14
2
1 2
2 2 ∂
P15 = 2P25 =− P64
= 2γ P
21
= β P
22
=−2
P = k ∇ − 2C + r ρ ∂ t
23 2 66 2
2

142
P
44
=−2β
unde
P
=− k ,
24 1
P
=α
f
P
−1
45 33
α= C ζ + f
= , P33 = P34 =− P55 = 1,
1
32
C −
44
2
33 33 33
P = C f ∇
−2 2
52 44 15
P
= k ∇
56 3
−1
β=α C13ζ 33
+ f31f33
( )
2
P
P = C f ,
−1
36 44 15
=α
f
−1
61 33
γ=α
−1
−1
P 41 33
P = γ∇
63
=α ζ ,
( C f −C f )
2
13 33 33 31
P
2
P
43
= β∇ ,
=−α
(6.1.8)
C
− 1
65 33
2 1
k1 = 2( C13β+ f31γ) − ( C11 + C12
) , k2 = 0.5k1 − C66
, k3 =ζ
11
+ f15C −
44
. (6.1.9)
Consideram acum doua sfere goale piezoceramice cu raportul dintre raza interioara si cea
exterioara ξ
0
= 0.3 si ξ
0
= 0.5 . Proprietatile de tip graded a materialelor functionale sunt definite
de legea lui Reddy (Reddy 1987, Reddy si Liu 1987, Reddy, Wang si Kitiporncha 1999)
λ
λ
M = M µ + M (1 −µ ) , (6.1.10)
p
z
cu µ = ( b −r)/( b− a)
, λ este un parametru de beomogebitate sau index gradient (Chen, Wang si
Lu 2002), M
p
si M
z
sunt constantele de material ale celor doua materiale, si anume PZT-4 si
ZnO (Dieulesaint si Royer 1980, Tang si Xu 1994). Cazul λ= 0 corespunde unei sfere omogene
PZT-4 si λ→∞, unei sferea omogene ZnO. A doua lege este data de
M = M cos µ + M (1 − cos µ ) . (6.1.11)
p
z
Materialel sonice sunt confectionate prin incorporarea rezonatorilor acustici intr-o
matrice omogena de epoxina, cu impendante diferite. Ecuatiile constitutive pentru epoxina sunt
t
ij
e
= λ ε
unde t ij
este tensorul tensiuner, ε
ij
este tensorul deformatie,
kk
δ
ij
+
e e
e
e 2
2 µ εij
+ A ε
ilε
jl
+ 3B
ε
kkεij
+ C ε
kkδij
, (6.1.12)
e
λ si
iar e e e
A , B si C sunt constante elastice de ordinal doi. The motion equations are
e
ρ ui
=
ij.
j
e
µ constantele elastice Lamé ,
t , (6.1.13)
e
unde ρ este densitatea epoxinei si u vectorul deplasare.
La interfetele dintre sfere si matrice se pun conditii de continuitate ale deplasarilor si
tractiunilor.
Aplicam, metoda cnoidala pentru gasirea solutiilor. ecuatiilor (6.1.7)-(6.1.9) si (6.1.13).
Introducem conditii de frontiera absorbanta cu rezistivitatea σ
e
, pentru x 1
= 0 si x1
= l .
Reflectia se reduce atunci cand rezistivitatea este mare, insa grosimea stratului poros absorbant
trebuie sa fie mic deoarece undele se amortizeaza repede intr-un strat cu rezistivitate mare. Cand
rezistivitatea este redusa, reflectia se reduce de asemenea, insa grosimea stratului absorbent
trebuie sa fie mare pentru a amortiza unda. Altfel unda se reflecta la stratul absorbant si se
intoarce inapoi in mediu.
Selectarea rezistivitatii σ e
trebuie facuta in asa fel incat sa reduca reflexia undelor la
capete. Aratam ca modelarea frintierelor absorbante coexista cu diferite comportari dinamice
incluzand haosul.
Rezultatele numerice au fost obtinute pentru PZT-4
10 2
C
11
= 13.9×
10 N/m
10 2
C
33
= 11.5×
10 N/m
10 2
C
12
= 7.8×
10 N/m
10 2
C
44
= 2.56×
10 N/m
10 2
C
13
= 7.4×
10 N/m
2
f
15
= 12.7C/m
2
f
31
=−5.2C/m

143
2
f
33
= 15.1C/m
ζ = ×
−11
11
650 10 F/m
ζ = ×
−11
33
560 10 F/m
3
ρ=7500kg/m
for ZnO
10 2
C
11
= 20.97× 10 N/m ,
10 2
C
33
= 21.09×
10 N/m
2
f
33
= 1.14C/m
10 2
C
12
= 12.11× 10 N/m ,
10 2
C
44
= 4.25×
10 N/m
ζ = ×
−11
11
7.38 10 F/m
ζ = ×
10 2
C
13
= 10.51× 10 N/m ,
2
f
15
=−0.59C/m
−11
33
7.83 10 F/m
2
f
31
=−0.61C/m
3
ρ=5676kg/m
e
9 2 e
9 2 e
9 2 e
si pentru epoxina λ =42.31× 10 N/m,
µ = 3.76× 10 N/m,
A = 2.8× 10 N/m,
B =
9 2 e
9 2 e
3
9.7× 10 N/m,
C = − 5.7× 10 N/m,
ρ = 1170 kg/m .
Seturile independente de ecuatii (6.2.7) conduc la doua seturi de vibratii libere. Pe masura
ce λ creste, frecventele naturale pentru toate modurile cresc. Pentru λ→∞ variatia frecventelor
naturale in raport cu λ nu este semnificativa.
Figs. 6.1.6 si 6.1.7 prezinta transmiterea sunetului prin compozitul sonic pentru o sfera
de diametru a = 3.7mm, pentru legea lui Reddy (6.1.10) si respective pentru legea cosinus
(6.1.11). Conditiile pe frontiera absorbanta se calculeaza pentru 1

144
Fig. 6.1.7. Transmiterea sunetului prin compozitul sonic pentru a = 3.7mm, si legea
cosinus.
Fig. 6.1.8. Portret de faza stabil pentru 1

145
Fig. 6.1.9. Portret de faza pentru 0≤σe
≤ 1 si 3 ≤σe
≤ 4.5 in cazul legii lui Reddy.
6.2. Studiul proprietatilor elastice si vasco-elastice ale materialelor auxetice si nanotuburilor
de carbon
Modelarea matematica a contactului elasto-plastic a fost prezentata in paragraful 3.1. O
metodă eficientă de determinare a proprietăţilor mecanice de rezistenţă şi amortizare ale
materialelor constă în indentarea unei suprafeţe-eşantion cu un indenter de geometrie cunoscută
(Chiroiu, Munteanu si Dumitriu 2008, Chiroiu, Munteanu si Beldiman 2008, Dumitriu, Pop si
Baldovin 2008, Donescu, Chiroiu si Munteanu 2008).
În cele ce urmează, prezentăm rezolvarea numerică a indentării unui semispaţiu elastic
izotrop cu un indenter rigid cu bază plană, problemă cunoscută şi sub numele de problema ştanţei
cu bază plană (Dumitriu si Chiroiu 2008). Considerăm că indenterul acţionează asupra
semispaţiului cu o forţă normală centrată. Pentru moment ne situăm cu studiul problemei la scară
macroscopică, extensiile la scară nanometrică urmând a fi efectuate în următoarea etapă pe baza
elementelor teoretice enunţate în capitolele anterioare (spre exemplu, aplicarea teoriei nelocale a
lui Eringen.
Pentru o ştanţă cu bază plană eliptică ce acţionează cu o forţă normală asupra unui
semispaţiu elastic, Solomon a obţinut prin calcul analitic soluţii exacte pentru presiunile de
contact şi pentru adâncimea de pătrundere. Soluţiile numerice obţinute folosind elementele finite
vor fi comparate cu aceste soluţii exacte pentru problema ştanţei cu bază plană eliptică.
Prin calcul analitic, s-a reuşit obţinerea unor soluţii exacte ale ştanţei plane de formă
arbitrară, folosind ecuaţiile integrale duale ale lui Sneddon.
Reconsideram problema stantei (fig. 6.2.1) cu bază plană eliptică, acţionată cu o forţă
normală centrată P. Domeniul de contact D este deci o elipsă având semiaxele a şi b. Notăm cu
∂ D frontiera domeniului de contact şi cu δ adâncimea de pătrundere. Semispaţiul elastic izotrop
este caracterizat de modulul de elasticitate E şi de coeficientul Poisson ν.

146
Fig.6.2.1. Indentarea unui semispaţiu elastic cu un indenter cu bază plană.
Soluţiile exacte ale problemei ştanţei cu bază plană eliptică sunt date de (Solomon 1967)
⎧ P
⎪
2 2
ξ η
⎪ 2 π ab 1 −
p( ξη , )
2 −
2
a b
pentru ( ξη , ) ∈ D
(6.2.1)
= ⎨
⎪⎪
∂ ∉
⎪⎩
0 pe D si pentru ( ξη , )
D
2
1−ν
K( e)
δ = P , (6.2.2)
π E a
unde p( ξ, η ) este presiunea de contact în punctul ( ξ, η ) al domeniului de contact (situat în
2
planul x-y), 1 b
dϕ
e = − reprezintă excentricitatea elipsei de contact şi K( e)
= ∫ 2
a
.
2 2
0 1−e
sin ϕ
Plecând de la expresia potenţialului de simplu strat, Solomon a redus problema ştanţei cu
bază plană acţionată de o forţă normală la rezolvarea următoarei ecuaţii integrale:
π/2
2
1 −ν
p( ξ, η)
δ = dξ dη
π E
∫∫ pentru orice ( x, y)
∈ D ,
2 2
( x− ξ) + ( y−η)
D
(6..2.3)
la care trebuie adăugată următoarea condiţie de echilibru:
P= ∫∫ p( ξ, η)dξ dη
.
D
(6.2.4)
Problema de rezolvat se rezumă astfel: cunoscând P, E şi ν, să se determine presiunile de
contact p( ξ, η ) şi adâncimea de pătrundere δ.
Exprimată sub forma ecuaţiilor integrale (6.2.3) şi a condiţiei de echilibru (6.2.4), problema
ştanţei cu bază plană eliptică a fost rezolvată numeric folosind elementele finite, codul de calcul
fiind scris în limbajul C.
Fig. 6.2.2 ilustrează divizarea în elemente finite a domeniului eliptic de contact D, după
coordonatele polare r i şi θ j : D = ∪ Dij
, unde i = 1,..., Nr
şi j = 1,..., N θ . Am notat cu N r numărul
i,
j

147
de diviziuni elementare radiale şi cu N θ numărul de diviziuni elementare unghiulare. Rezultatele
prezentate mai jos au fost obţinute pentru N r = 500 şi N θ = 360 . Numărul total de domenii
elementare D ij considerate este deci N = NN r θ .
Fig. 6.2.2. Secţiune plană a domeniului de contact D, ilustrând divizarea lui D în elemente
finite.
Presiunea de contact pe fiecare domeniu elementar D ij este considerată constantă şi egală cu
p( ξij, η ij)
, pentru ij = 1,..., N . Coordonatele carteziene ξ ij şi η ij ale centrului lui D ij şi aria
elementară ∆ A Dij
a lui D ij se calculează uşor cunoscând coordonatele polare r i şi θ j . Ecuaţiile
integrale (9.3) şi condiţia de echilibru (9.4) pot fi aproximate după cum urmează:
1−ν
p( ξ , η ) ∆A
− δ + ∑ = 0 pentru orice ( xij
, yij
) ∈ D ,
πE x − + y −
2 N
ij ij Dij
2 2
ij=
1 ( ij ξij ) ( ij ηij
)
N
ij=
1
(6.2.5)
∑ p( ξij , ηij ) ∆ AD
= P . (6.2.6)
ij
Necunoscutele problemei sunt cele N presiuni de contact p( ξij, η ij)
plus adâncimea de
pătrundere δ, deci avem un total de N+1 necunoscute. Pentru a rezolva problema, N+1 ecuaţii
sunt necesare, adică avem nevoie de N ecuaţii (6.2.5), la care se adaugă ecuaţia (6.2.6). După cum
se observă în fig. 6.2.2, cele N puncte ( xij, y ij)
sunt considerate câte unul în fiecare domeniu
elementar D ij , dar de fiecare dată diferite de centrul lui D ij , adică ( xij, yij) ≠ ( ξij, ηij)
pentru a
evita numitori nuli în (6.2.5).
Avem deci N+1 ecuaţii liniare, cu N+1 necunoscute. Rezolvarea acestui sistem algebric este
facilă, chiar dacă N este destul de mare. În practică, problema fiind simetrică, rezolvarea poate fi
redusă la un sfert din domeniul de contact eliptic D.
Simularea numerică a fost obtinuta pentru:
2
P = 10 [kN] , a = 2.5 [mm], b = 1.5 [mm] , E = 15 [GPa] (1GPa = 1kN/mm ) , ν = 0.27 .
Dacă analizăm cu atenţie soluţia exactă (6.2.1), putem remarca simetria radială a presiunii de
contact, adică presiunea de contact este constantă pe fiecare disc eliptic elementar D i a lui D (cf.
fig. 6.2.2):

148
not.
i,1 i,1 = i,2 i,2 = i,3 i,3 = = i, Nθ
i,
Nθ
= = i
p( ξ , η ) p( ξ , η ) p( ξ , η ) … p( ξ , η ) ct. p( a ) ,
unde a
i
i = a este semiaxa mare a discului elementar eliptic D i . În consecinţă, este suficient să
Nr
reprezentăm doar evoluţia presiunii de contact pe segmentul OM, notată cu p( a i ), pentru
i= 1,..., N r = 500 .
Pe lângă rezolvarea propusă mai sus bazată pe elemente finite, am folosit ca termen de
comparaţie şi rezolvarea problemei ştanţei folosind programul de elemente finite ANSYS.
Simularea comparativă folosind ANSYS a fost realizată de către colegul nostru de la IMS, Drd.
Ing. Justin Onişoru.
Fig. 6.2.2 prezintă soluţia exactă
de cele două soluţii numerice: soluţia
formularea (6.2.5) şi (6.2.6) a lui Solomon, respectiv soluţia
p exact ( a i ) dată de (6.2.1) pentru presiunea de contact, lături
p Solomon ( a i ) obţinută rezolvând prin elemente finite
p ANSYS ( a i ) obţinută cu ANSYS.
Presiunile de contact, in [GPa]
8
7
6
5
4
3
2
1
Solutia exacta
Solutia formularii Solomon
Solutia ANSYS
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5
semiaxa mare a i [mm]
Fig. 6.2.3. Compararea soluţiei exacte cu cele două soluţii numerice pentru p(a i ).
În fig. 6.2.3 se observă că soluţiilor numerice obţinute coincid practic cu soluţia exactă. De
asemenea, se observă că presiunile de contact tind spre infinit în imediata vecinătate a frontierei
∂ D . Studiile experimentale şi alte studii teoretice indică însă valori finite pentru câmpul de
tensiune (şi implicit presiunile de contact) în vecinătatea sau pe frontiera domeniului de contact.
Teoria nelocală este cea care permite obţinerea prin calcul a unor presiuni de contact ce admit un
maxim care nu apare pe frontieră ci în imediata vecinătate a frontierei. Teoria nelocală de tip
Eringen a fost prezentata in paragrafele anterioare. În faza următoare, aplicarea acestor formulări
teoretice ne va permite să obţinem rezultate în acord cu studiile experimentale şi să explicăm
fenomenele şi comportările la diferite scari metrice.
Fig. 6.2.4 compară erorile relative obţinute folosind cele două rezolvări numerice
(rezolvarea formulării (6.2.5) şi (6.2.6) a lui Solomon versus rezolvarea folosind ANSYS), adică
Solomon exact
ANSYS exact
p ( a ) ( )
Solomon
i − p ai
p ( a
ANSYS
i ) − p ( ai
)
εi
= şi ε
exact
i = (exprimate în %).
exact
p ( a )
p ( a )
i
i

149
Erorile relative pentru presiunile de
contact, in [%]
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
% eroare rezolv. formularii Solomon
% eroare ANSYS
0 0.5 1 1.5 2 2.5
semiaxa mare a i [mm]
Fig. 6.2.4. Erorile relative ε i Solomon (a i ) şi ε i ANSYS (a i ), în %.
Erorile relative obţinute sunt acceptabile pentru rezolvări folosind elemente finite, fiind mai
bune pentru rezolvarea formulării Solomon, cea propusă de noi ca bază de plecare macroscopică
pentru abordări nanometrice. Pe de altă parte am vrut să demonstrăm că, pentru anumite probleme
specifice, de cercetare, folosirea unor mici programe originale poate da rezultate mai bune decât
programe foarte cunoscute, dar poate prea generale în abordare, precum ANSYS-ul.
În privinţa adâncimii de pătrundere δ, soluţia numerică obţinută prin rezolvarea formulării
Solomon este 0.157954 [mm], în timp ce soluţia exactă este 0.157017 [mm]. Eroarea relativă este
de 0.6%, deci foarte mică.
Deşi mai sus am studiat numeric doar problema ştanţei cu bază plană eliptică, folosirea
elementelor finite permite rezolvarea problemei ştanţei cu formă arbitrară, ceea ce este foarte
dificil de realizat analitic.
În concluzie, la scară nanometrică teoria nelocală a lui Eringen descrie mai bine decât teoria
locală interacţiunile la distanţă dintre particulele unui material, nelimitându-se sa considere doar
interacţiunea cu atomul vecin. Vom continua deci modelizarea nanocontactelor şi a indentării
folosind această teorie nelocală, ca parte a unor noi metode cuplate atomistic-continue.
Consideram acum nanotuburile de carbon cu un singur perete cu diferite raze şi forme
(armchair ( n, n ) , chiral (2 n, n ) , şi zigzag ( n ,0) ) având secţiunea circulară. Studiem vibraţiile
transversale ale acestor tuburi. Presupunem că grosimea peretelui nanotubului este h = 0,34nm ,
şi numărul de atomi de carbon pe lungimea L este N = 2πρ LR , unde R este raza tubului şi ρ
densitatea.
Deoarece diametrul tubului de carbon este de câteva ori mai mare decât ordinul de mărime
al legăturii dintre atomii de carbon, putem utiliza modele continue pentru a descrie comportarea
mecanică a nanotubului.
Cele mai simple modele continue pentru studiul mecanicii nanotubului de carbon considerat
ca un mediu omogen şi izotrop, sunt teoria barei elastice cu deformaţii mici şi teoria plăcii subţiri
pentru deformaţii mari (Qian et al. 2002).
Presupunem că legea lui Hooke care leagă tensiunea σ de deformaţia ε , este liniară
σ= Eε. Pe direcţia perpendiculară axei sale, bara este supusă unei contracţii dată de relaţia

150
ε
p
=−νε, cu ν coeficientul lui Poisson. În cazul de tensiune tridimensională, legea lui Hooke
este dată de
σ
ij
=λεllδ ij
+ 2µε ij
, i, j, l = 1,2,3, (6.2.7)
1 ⎛∂u
∂u
⎞
i j
unde ε
ij
= +
este tensorul deformaţie, u
2 ⎜∂x
j
∂x
⎟
i
vectorul deplasare, σ ij
este tensorul
⎝
i ⎠
tensiune, ε
ii
=ε
11
+ε
22
+ε33
evaluează dilatarea de volum, iar λ şi µ sunt constantele lui Lamé.
În locul constantelor lui Lamé se pot folosi modulul lui Young E , constanta lui Coulomb µ = G
şi coeficientul lui Poisson ν (Solomon 1968)
E
µ= G =
2(1 +ν )
, νE
λ=
(1 +ν)(1−2 ν )
. (6.2.8)
Din sumarea tensiunilor normale se obţine din (6.2.7)
σ
kk
= (3λ+ 2 µ ) ε
kk
= 3Ke
, (6.2.9)
unde K este modulul de compresibilitate.
Lucrul mecanic de deformaţie raportat la unitatea de volum este (Nowacki 1969)
dU
1
Φ= = σε, (6.2.10)
dV
2
unde U este lucrul mecanic de deformaţie corespunzător întregului corp de volum V .
Studiem în continuare vibraţiile transversale ale nanotubului de carbon modelat ca o bară
2
elastică de lungime l in direcţia axei x , aria secţiunii transversale A , ρ
0
densitatea, I = r0
A
momentul de inerţie al secţiunii transversale în raport cu axa neutră de încovoiere care se află în
planul principal al barei (Novacki 1969). Notăm cu w deplasarea transversală a barei.
Aplicând principiul lui Hamilton avem
t1 t1
∫ ∫ , (6.2.11a)
δ ( U − K)dt = δFdt
t0 t0
unde U este lucrul mecanic de deformaţie, K energia cinetică şi δ F este lucrul mecanic al
forţelor exterioare. Dacă încărcarea exterioară este conservativă, atunci există o funcţie potenţial
Π= U −F
care reprezintă energia totală a sistemului, astfel încật să avem
t1 t1
∫ ∫ . (6.2.11b)
δ ( U −K − F)d t =δ ( Π− K)dt
= 0
t0 t0
Din
2
∂ w
ε=−z
, σ= Eε, rezultă
∂
2
x
d
2
2
1 2
⎛∂
w ⎞
U = Ez ⎜ dV
2 ⎟
2
⎝ ∂x
Prin integrare pe lungimea barei şi pe secţiunea transversală se obţine
⎠
, dV
= ddA x . (6.2.12)

151
l 2
2 l 2
2
⎛∂
⎞
2
⎛∂
⎞
⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟
∂x
∂x
0 0
E w EI w
U = dx z dA =
dx
2 ⎝ ⎠ 2 ⎝ ⎠
∫ ∫∫ ∫ . (6.2.13)
Energia cinetică K este compusă din energia mişcării de translaţie şi energia mişcării de
rotaţie a secţiunii transversale
l 2 2
⎛∂w⎞
2
⎛ ∂
0 ⎜ ⎟ 0
∂t
0
1
w⎞
K = ρ A [ r ]dx
2
∫ + ⎜ ⎟ , (6.2.14)
⎝ ⎠ ⎝∂t∂x⎠
2
unde
∂w
este viteza mişcării de translaţie.
∂t
Dacă încărcarea pe unitatea de lungime a barei este Q avem
Principiul lui Hamilton (6.2.11a) conduce la
l
δ F = ∫ Qwx δ d . (6.2.15)
0
t1 l
2
⎛ 2
2 2 t1
l
EI ⎛∂ w ⎞ ρ0
A ⎛⎛∂w ⎞ 2 ⎛∂w
⎞ ⎞⎞
δ dt − r
2
+
0
dx= dt Qdxδw
⎜
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
t0 0
2 ∂x 2 ⎜ ∂t ∂x
⎟⎟
⎝ ⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠⎠
t0
0
∫ ∫ ∫ ∫ . (6.2.16)
Calculând variaţiile şi ţinând seama că pentru t = t0
şi t = t1
avem δ w = 0 , obţinem
t1
l
∫ 4 4 2
EI w w w
dt ∫ ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞
⎜ − ρ
4 0I + ρ −Q dx w 0
2 2 2 ⎟ δ =
2 ∂x ∂x ∂t ∂t
, ρ = ρ A . (6.2.17)
t0
0 ⎝
⎠
0
Din condiţia ca (6.2.16) să fie satisfăcută pentru orice valoare δ w , se obţine ecuaţia
vibraţiilor transversale ale barei
4 4 2
EI ∂ w w w
4 0I
∂ ∂
2 2 2
− ρ + ρ = Q. (6.2.18)
2 ∂x ∂x ∂t ∂t
Studiile lui Rayleygh au arătat că influenţa expresiei ρ0
Iw ,xx
asupra deplasării w este mică
pentru frecvenţe mici şi deformaţii mici, aşa încât ecuaţia (6.2.17) se simplifică (Novacki 1969)
2 4
∂ w EI ∂ w
ρ + =
2 4 Q , (6.2.19)
∂t
2 ∂x
sau
4 2
2 ∂ w ∂ w
2 EI Q
c + = q,
c = , q = .
(6.2.20a)
4 2
∂x
∂t
ρ ρ
Ecuaţiei (4.5.12) îi asociem condiţiile iniţiale pentru t = 0
∂w w( x,0) = f( x)
, ( x ,0) = g ( x ) , (6.2.21)
∂t
ceace arată că la momentul iniţial bara este încovoiată potrivit cu funcţia f ( x ) şi avem o viteză
iniţială gx. ( )
Pentru o bară simplu rezemată la capătul x = 0 condiţiile la limită sunt

152
Dacă bara este este încastrată la capătul x = 0
w(0, t ) = 0 ,
avem
2
∂ w
(0, t ) = 0 . (6.2.22)
2
∂x
∂w
w(0, t ) = 0 , (0, t) = 0 , (6.2.23)
∂x
Sa analizăm acum vibraţiile libere ale unei bare de lungime l ale cărei capete sunt libere
sau simplu rezemate sau încastrate. Presupunem că soluţia ecuaţiei de mişcare (6.2.18a) este de
forma
unde ω este frecvenţa unghiulară.
Ecuaţia (6.2.18a) cu q = 0 devine
w( xt , ) = ux ( )exp(i ω t)
, (6.2.24)
4
∂ u 2
− ku=
0 ,
4
∂x
Aplicând transformata Laplace
∞
u( p) = u( x)exp( −px)dx
∫
0
k
2
2
ω
= . (6.2.25)
2
c
ecuaţiei (6.2.23) , obţinem
Transformata inversă Laplace
aplicată ecuaţiei (6.2.24) conduce la soluţia
2 3
1 3 2 ∂u ∂ u ∂ u
4 2 2 3
u( p) = [ p u(0) + p (0) + p (0) + (0)] . (6.2.26)
p −k ∂x ∂x ∂x
∞
u( x) = ∫u( p)exp( px)dp
0
2 3
1 ∂u 1 ∂ u 1 ∂ u
u( x) = u(0) S( kx) + (0) T ( kx) + (0) U ( kx) + (0) V ( kx)
, (6.2.27)
2 2 3 3
λ∂x λ ∂x λ ∂x
2
3
∂u
∂ u
unde constantele u (0) , (0) ,
2
∂x
∂x
(0) ∂ u
şi (0) reprezintă deplasarea, rotirea secţiunii
3
∂x
transversale a barei, o mărime proporţională cu momentul încovoietor şi o mărime proporţională
cu forţa tăietoare în secţiunea transversală x = 0 , dacă ţinem seama că momentul încovoietor şi
forţa tăietoare sunt date de
2
∂ w
M( x, t)
=−EI
2
∂x
Funcţiile care apar în (6.2.25) sunt
1
S( λ x) = (cosh λ x+ cos λx)
2
3
∂ u
T( x, t)
=−EI
3
∂x
1
T( λ x) = (sinh kx+
sin kx)
2

153
x
= l
1
1
U ( λ x) = (cosh λx−cos λ x)
, V ( λ x) = (sinhkλx− sin kx)
. (6.2.28)
2
2
Presupunem că bara este încastrată în secţiunea x = 0 şi simplu rezemată în secţiunea
2
∂u
∂ u
u (0) = 0 , (0) = 0 , ul ( ) = 0 ,
2
∂x
( l
x
) =
∂
0 . (6.2.29)
2
3
∂u ∂ u
Calculând derivatele ( x ),
2
∂x
( x
∂x
) ∂ u
şi ( ) 3 x din (6.2.25) şi introducând expresiile
∂x
obinute în (6.2.27) obţinem sistemul de două ecuaţii
2 3
1 ∂ u 1 ∂ u
ul ( ) = (0) Ukl ( ) + (0) Vkl ( ) = 0
2 2 3 3
λ ∂x
λ ∂x
3 2 3
∂ u ∂ u 1 ∂ u
( l) = (0) S( kl) + (0) T( kl) = 0
3 2 3
∂x ∂x λ ∂x
Condiţia ca determinatul acestui sistem de ecuaţii să fie nul conduce la ecuaţia
Primele trei rădăcini ale acestei ecuaţii transcendente sunt
β
1
= 3,927 β
2
= 7,069 β
3
= 10,210
Celelalte rădăcini se pot calcula aproximativ din
π
β
r
= (4r
+ 1) r > 5
4
Frecvenţele unghiulare proprii se calculează din formula
2 2
cβr
βr
EI EI
ω
r
= = =
2 2
l l
tanhβ − tanβ = 0 , β = kl . (6.2.30)
2
kr
ρ ρ , A 0
ρ = ρ , r = 1,2,..., ∞ , (6.2.31)
unde k
r
este numărul de undă unghiular corespunzător frecvenţei proprii r .
Modurile proprii corespunzătoare frecvenţelor proprii se calculează din (6.2.25). Dacă bara
este încastrată la ambele capete, condiţiile la limită devin
În mod analog se obţine ecuaţia
∂u
∂u u (0) = 0 , (0) = 0 , ul ( ) = 0 , ( l ) = 0 . (6.2.32)
∂x
∂x
ale cărei primele trei rădăcini sunt
β
1
= 4,730 β
2
= 7,853 β
3
= 10,996
coshβcosβ− 1 = 0 , β = kl , (6.2.33)
Celelalte rădăcini sunt date de (6.2.28).
Pentru o bară încastrată în x = 0 şi liberă în x= l avem condiţiile la limită
u (0) = 0 , u′ (0) = 0 , u′′ ( l) = 0 , u′′′ ( l) = 0 . (6.2.34)

154
Ecuaţia transcendentă este dată de
coshβcosβ+ 1 = 0 , β = kl , (6.2.35)
ale cărei primele trei rădăcini sunt
β
1
= 1,875 β
2
= 4,694 β
3
= 7,855
Celelalte rădăcini sunt date de (6.2.28).
Modurile vibraţionale reprezintă de fapt unde staţionare în bară. Expresia generală a undei
staţionare este dată de (6.2.22). Toate punctele barei vibrează cu o mişcare armonică având
aceeaşi frecvenţă unghiulară ω . Numărul de undă unghiular k (inversul lungimii de undă
2π
k = ) se măsoară în “radiani pe metru” sau “metru la puterea − 1” şi reprezintă pentru
λ
vibraţiile în spaţiu mărimea analogă frecvenţei unghiulare ω din cazul vibraţiilor în timp.
Legătura dintre frecvenţa şi numărul de undă a modurilor vibraţionale este dată de (6.2.28).
Masurătorile experimentale ale frecvenţelor proprii ale nanotuburilor de carbon se pot
utiliza pentru deteminarea modulului lui Young. Astfel, Treacy et al. (1996) a determinat modulul
lui Young pentru 11 nanotuburi cu pereţi multiplii şi a obţinut valori cuprinse între 0,4 TPa şi
4,15 TPa, cu o valoare medie de E = 1,8TPa , pentru un nanotub de grosime 0,34nm. Studii
similare au fost făcute pe 27 tuburi cu un singur perete de către Krishnan et al. (1998) , care a
obţinut o valoare medie E = 1,3TPa .
Lourie şi Wagner (1998) utilizând metoda spectroscopică micro-Raman au măsurat
modulul lui Young pentru un nanotub cu un singur perete, prin deformaţie la compresiune într-o
matrice de epoxină. Au obţinut valori între 2,8–3,6 TPa. Pentru nanotuburi cu pereţi multiplii au
obţinut valori între 1,7– 2,4 TPa.
Studiul experimental al modurilor vibraţionale ale nanotuburilor de carbon au pus în
3 −1
evidenţa trei tipuri de vibraţii proprii: modul Helmholtz pentru k ≥ 3× 10 m , modul forfecare
4 −1
4 −1
pentru k ≥10 m şi modul ciclop pentru k ≥ 2 × 10 m (Gao, Cagin şi Goddard 1998).
Problema inversă este un subiect important în nanomecania ca şi în alte domenii.
Problemele inverse se întâlnesc în multe ramuri ale matematicii şi ingineriei mecanice:
biomecanică, evaluarea nedistructivă, caracterizarea materialelor şi a structurilor prin metode
ultrasonice, raze X, termografie, probleme de identificare ale proprietăţilor necunoscute ale
materialelor (constante elastice, proprietăţi de disipare a energiei, etc.), a geometriei şi a formei, a
surselor sau a condiţiilor pe frontieră nespecificate, a identificării defectelor în materiale şi
structuri, a metodelor experimentale, etc.
În continuare, revenim la problema iniţială şi prezentăm o problemă inversă de determinare
a modulului lui Young pentru trei nanotuburi de carbon cu un singur perete şi anume forma
armchair (10,10), chiral (12,6) şi zig-zag (17,0) pentru care cunoaştem determinări experimentale
ale modurilor vibraţionale (Gao, Cagin şi Goddard 1998).
Ca funcţie obiectiv pentru algorimul genetic introducem suma diferenţelor pătratice dintre
modurile vibraţionale măsurate şi modurile corespunzătoare calculate
N
n n 2
∑ (
i i
) , (6.2.36)
n=
1
W = M −M
n
unde M
i
, n= 1,... N , sunt modurilemăsurate, şi
calculate. Definim funcţia fitness F astfel
M , n= 1,... N , sunt modurile corespunzătoare
n
i
W 0
F = , (6.2.37)
W

155
cu
W
N
n 2
0
= ∑ ( Mi
) . (6.2.38)
n=
1
Necunoscutele sunt N parametrii p= { M1, M2,..., M N
} reprezentând modurile
vibraţionale. Valorile acestor parametrii sunt discretizate într-un şir de valori cu paşii
∆M1, ∆M2,..., ∆ MN
. Setul de parametrii pentru o problemă arbitrară
p= { M , M ,..., M } , (6.2.39)
1, i1 2, i2
N,
i N
este exprimat sub forma unui număr (Tanaka şi Nakamura 1994)
M = ( i− 1) I ... I + ( i − 1) I ... I + ( i − 1) I ... I + ...( i − 1) I + i , (6.2.40)
cu
1 2
ii1 .... iR
1 R 1 2 R 2 3 R R−
1 R R
I , I ,..., I
N
numărul total de valori discrete pentru fiecare parametru p .
Acest număr este contorizat începând cu
p= { M1,1, M2,1 ,..., M N ,1}. (6.2.41)
Utilizăm datele experimentale raportate de Gao, Cagin şi Goddard în 1998. Mai jos se
prezintă rezultatele algoritmului genetic.
Utilizând valorile experimentale ale modurilor de vibraţie (Gao, Cagin şi Goddard 1998),
se obţin în urma aplicării algoritmului genetic, următoarele valori ale modulului lui Young pentru
un tub de grosime 0,34nm: 3,812 TPa pentru armchair (10,10), 3,806 TPa pentru tubul chiral
(12,6) şi 3,832 pentru tubul zig-zag (17,0), valori care sunt mai mari decât valoarea medie care
apare în tabelul 6.2.1.
În tabelele 6.2.1-6.2.3 sunt prezentate modurile de vibraţie pentru aceste nanotuburi,
determinate experimental (Gao, Cagin şi Goddard 1998) şi teoretic, pentru o grosime de 0,34nm.
Tabel 6.2.1. Moduri de vibraţii calculate şi măsurate pentru un nanotub armchair (10,10)
mod
Helmholtz
Teorie
2 1
× 10 m −
Helmholtz
Măsurat
2 1
× 10 m −
Forfecare
Teorie
2 1
× 10 m −
Forfecare
Măsurat
2 1
× 10 m −
Ciclop
Teorie
2 1
× 10 m −
Ciclop
Măsurat
2 1
× 10 m −
1 – – 101 111 244 242
2 59 53 219 223 390 381
3 61 49 332 333 523 524
4 127 127 440 442 670 671
5 148 147 550 549 800 805
6 205 201 651 652 931 924
7 261 262 760 750 – –
8 327 328 834 838 – –
9 374 375 909 909 – –
10 400 402 931 939 – –

156
Tabel 6.2.2. Moduri de vibraţii calculate şi măsurate pentru un nanotub chiral (12,6)
mod
Helmholtz
Teorie
2 1
× 10 m −
Helmholtz
Măsurat
2 1
× 10 m −
Forfecare
Teorie
2 1
× 10 m −
Forfecare
Măsurat
2 1
× 10 m −
Ciclop
Teorie
2 1
× 10 m −
Ciclop
Măsurat
2 1
× 10 m −
1 – – 123 122 267 265
2 61 59 244 243 418 412
3 64 63 361 364 571 566
4 133 137 488 483 719 720
5 168 168 598 600 851 850
6 231 229 707 713 977 976
7 300 299 822 819 1083 1072
8 359 360 908 912 1144 1136
9 398 396 – – 1266 379
10 399 394 – – 1298 434
Tabel 6.2.3. Moduri de vibraţii calculate şi măsurate pentru un nanotub zig-zag (17,0)
mod
Helmholtz
Teorie
2 1
× 10 m −
Helmholtz
Măsurat
2 1
× 10 m −
Forfecare
Teorie
2 1
× 10 m −
Forfecare
Măsurat
2 1
× 10 m −
Ciclop
Teorie
2 1
× 10 m −
Ciclop
Măsurat
2 1
× 10 m −
1 – – 110 113 244 247
2 51 54 226 227 388 386
3 55 50 352 341 527 530
4 127 128 467 456 675 675
5 169 168 571 570 811 806
6 231 229 688 683 920 921
7 300 299 790 794 1019 1017
8 329 327 912 901 – –
9 1007 1002 1156 1140 – –
10 – – – – –

157
7. Un nou concept privind nanoindentarea capabil sa masoare proprietati elastice, vascoelastice
si amortizare
Metoda noua de caracterizare a amortizarii prin nanoindentare pentru realizarea virtuala a
instrumentului de nanoindentare (etapa I-metoda) a fost descrisa in paragraful 3 (Teodorescu,
Munteanu, Chiroiu, Dumitriu si.Beldiman 2008, Chiroiu, Munteanu, D.Dumitriu, Beldiman
si.Secara 2008, Munteanu, Chiroiu, Dumitriu, si Beldiman 2008, Chiroiu 2008, Munteanu,
Dumitriu, Donescu si.Chiroiu 2008).
Evaluarea amortizarii la nivel nano este o problema deschisa. Multe aspecte legate de
efecte cuantice, tribologie, adeziune moleculara, efecte electronice, superlubricitate, si alte
fenomene precum energia discontinua de legatura adeziva, histerezis, difuzie, fluaj, dislocatii,
forfecarea atomica, curgere plastica, relaxare, gradienti termici, nu sunt inca elucidate.. Limitarile
metodelor si a instrumentatiei existente de nanoindentare se refera la calculul modulului de
elasticitate (care se face doar pentru materiale izotrope si liniare), fara sa se obtina informatii
privind proprietatile elasto-vascoase si de amortizare .
Prin urmare, metodele clasice cunoscute nu sunt adecvate la scara nano, amortizarea nu se
poate estima cu aceste tehnici. Un rezultat incorect privind capacitatea de amortizare a
materialelor poate cauza schimbari de design cu reduceri nedorite ale rezistentei si rigiditatii.
Pentru a propune o noua instrumentatie de nanoindentare este necesara mai intai elaborarea
metodelor si a modelelor, pe baza carora s-ar construi softul afferent.
Noul concept propus de noi consta intr-un nou experiment. Acest experiment este justificat
prin teoria pe care am construit-o si care evidentiaza capabilitatile acestui experiment
Este vorba de construirea unei linii de indentere care se misca cu viteza v , unele din ele
actionand pe o parte a suprafatei probei, altele pe cealalta suprafata in aceeasi directie sau directii
opuse. Indenterele pot actiona pe o parte a probei, cealalata parte fiind incastrata.
In fig.3.1 este prezentat schematic acest indenter multiplu. In acest fel este posibila
evaluarea nu numai a proprietatilor elastice dar si a capacitatii de amortizare.
Conceptul noii metodologii se bazeaza pe o serie de rezultate (fig.7.1):
1. Dezvoltarea de modele ale suprafetelor in contact, la scara nano-, micro- si macroscopica.
2. Modelarea nelocala a contactului cu si fara frecare
3. Modelarea nelocala a campului de tensiuni si de deformatii din aria de contact
4. Teorii cuplate atomistic-continue pentru modelarea comportarii mecanice a
nanostructurilor,
5. Modele de reducere pseudosferica pentru determinarea legilor constitutive ale
materialelor nanostructurate pe baza datelor experimentale,
6. Modele de caracterizare a capacitatii de amortizare pe baza metodelor cuplate Preisach-
Titeica.
7. Introducerea functiei lui Titeica pentru caracterizarea capacitatii de amortizare prin
prisma suprafetelor cu curbura negativa.
Acest concept, noua tehnica de masurare si metoda vor face obiectul unui brevet de inventie

158
Fig. 7.1. Schema concept.
Prezentam in continuare un model in care amortizarea este adaugata prin elemente exterioare
atasate. Consideram bara din fig.7.2, de lungime L , la care s-a atasat un numar de k
p
amortizoare
nelocale externe de grosime h
p
. Aceste elemente sunt atasate in ( x1 , x1 +∆ x1),
( x2, x2 +∆ x2).....
( xk, xk +∆ xk),
x ≥ x +∆x
,
2 1 1
x ,
i
≥ xi−
1
+∆ xi−
1
i= 2,..., k,
.
Ecuatia care descrie miscarea unui sistem 1D liniar si cu amortizare este (Lei, Friswell and
Adhikari 2006)
2
∂
∂
ρ ( x) uxt ( , ) + M uxt ( , ) = 0 x ∈Ω , t ∈ [0, T],
(7.1)
2
∂t
∂t
unde u( x, t)
este vectorul deplasarii, x
Operatorul M este definit de
Ω 0
este variabila spatiala, t este timpul, ρ ( x ) este densitatea.
t
∂
∂
M u( x,) t = C(, x ξ, t−τ) u(, ξ τ)dd,
τ ξ
∂t
∫∫ (7.2)
∂t
cu Cx ( , ξ, t−τ ) nucleul de amortizare pentru amortizarea externa, si care este functie de
deplasare. Pentru Cx ( , ξ, t−τ ) se poate scrie forma
Cx ( , ξ, t−τ ) = Hxcx ( ) ( −ξ) gt ( −τ ).
(7.3)

159
Fig. 7.2. Bara cu elemente de amortizare.
Expresia (7.3) reprezinta forma generala a modelului de amortizare viscoelastica nelocala.
Functia H( x ) noteaza prezenta amotizarii nelocale. Avem H ( x)
= H0
(constant) daca x se
gaseste in elementul atasat, si H( x ) = 0 altfel. Un caz particular pentru (7.3) este modelul
amortizarii nelocale viscoase (histerezis spatial), unde nucleul este o functie delta in timp. In acest
caz, forta depinde numai de valoarea instantanee a vitezei sau de rata deformatiei
gt ( −τ ) =δ( t−τ ),
(7.4)
si poate depinde si de distributia spatiala a vitezelor.
Prin (7.4), vitezele din diferite locatii ale corpului pot influenta forta de amortizare intr-un
punct dat. Nucleul spatial cx− ( ξ ) se normalizeaza pentru a satisface conditia ∫ cx ( )dx
= 1, si
−∞
poate fi ales astfel
α
cx ( − ξ ) = exp( −α| x−ξ
|),
2
(7.5a)
α ⎛ 1 2 2⎞
cx ( −ξ ) = exp ⎜− α ( x−ξ) ⎟.
2π ⎝ 2 ⎠
Aici, α este un parametru caracteristic pentru amortizarea materialului. Pentru α→∞
rezulta cx− ( ξ) → 0 . Alte forme pentru cx− ( ξ ) pot fi
1
l0
cx ( −ξ ) = pentru | x −ξ| ≤ , si 0 altfel,
l
2
1 ⎛ | x −ξ|
⎞
cx ( −ξ ) = ⎜1−
⎟ pentru
l0 ⎝ l0
⎠
0
| x − ξ | ≤ l , si 0 altfel,
0
∞
(7.5b)
unde l 0
este un parametru de distanta. Rezulta cx− ( ξ) → 0 pentru | x− ξ | > l0.
Alta forma pentru
cx− ( ξ ) poate fi functia delta Dirac δ( x −ξ ), care reflecta caracterul reactiv al fortei de
amortizare
cx ( − ξ ) =δ( x−ξ ).
(7.6)
In cazul (7.6), avem doua posibilitati pentru of Cx ( , ξ, t−τ ) :
(i) amortizare viscoelastica (histeresis temporal) cu nucleu care depinde de istoria in timp
Cx ( , ξ, t−τ ) = Hx ( ) δ( x−ξ) gt ( −τ ).
(7.7)
(ii) amortizare viscoasa cu forta depinzand numai de valoarea instantanee a vitezei sau de
rata deformatiei
Cx ( , ξ, t−τ ) = Hx ( ) δ( x−ξ) δ( t−τ ).
(7.8)
Modelul (7.8) reprezinta cunoscutul model de amortizare viscoasa. Pentru gt−τ ( ), avem

160
gt ( −τ ) = g0µ exp( −µ ( t−τ )) , (7.9)
cu µ constanta de relaxare si g0
o constanta.
Parametri de design sunt: numarul de elemente k p
, coordonatele x j
, si lungimile
elementelor atasate ∆ x j
, j = 1,2,..., k p
, supuzse conditiilor x 2
≥ x 1
+∆ x 1
, x ,
i
≥ xi−
1
+∆ xi−
1
i = 2,..., k p
. In problema directa acesti parametri sunt cunoscuti. Ecuatia de miscare a barei este
2 2
∂ ⎛ ∂ wxt ( , ) ⎞ ∂ wxt ( , )
EI ( x) A( x) 0,
2 ⎜ 2 ⎟+ ρ +ϒ=
(7.10)
2
∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂t
unde EI ( x)
este rigiditatea la incovoiere ( E este modulul lui Young si I( x)
momentul de
inertie), ρAx
( ) este masa pe unitatea de lungime ( ρ densitatea si A( x ) aria sectiunii
transversale), w( x, t ) este deplasarea transversala. Al treilea termen reprezinta amortizarea
nelocala definita pe ( x , x +∆ x ) , i= 1, 2,..., k , astfel
i i i
x +∆x t
k i i
∂w(,)
ξ τ
ϒ = Cx ( , ξ, t−τ) dτd ξ.
∂t
∑ ∫ ∫
(7.11)
i= 1 xi
−∞
Aici, Cx ( , ξ, t−τ ) este dat de (7.4). Alegem pentru cx− ( ξ ) forma exponentiala si functia
eroare date de (2.5a), precum si forma hat si forma triunghi (7.5b) si functia Dirac delta δ( x −ξ ),
cu ambele forme pentru Cx ( , ξ, t−τ ) , si anume (7.7) si (7.8). Conditiile initiale se scriu
w( x,0) ( ),
∂
w( xt ,)| v().
x
∂t
= w0
x
t=
0=
0
(7.12)
Conditiile pe frontiera se scriu pentru diferite forme de prindere: bara incastrata, simplu
rezemata, cu un capat liber
wxt ( ,) = 0,
∂wxt
( , )
= 0 for
∂x
x = 0, x = L,
(7.13a)
2
∂ wxt ( , )
wxt ( ,) = 0, = 0 for x = 0, x = L,
(7.13b)
2
∂x
2
2
∂ wxt ( , ) ∂ ⎡ ∂ wxt ( , ) ⎤
= 0, EI( x) 0 for
2 ⎢
2 ⎥ = x = 0, x= L.
(7.13c)
∂x
∂x⎣
∂x
⎦
Problema de valori proprii (7.10)-(7.13) este caracterizata de ecuatia integro-diferentiala
(7.10), care poate fi rezolvata analitic cu metoda cnoidala (Munteanu si Donescu 2002, 2004,
Chiroiu si Chiroiu 2003).
Solutia generala se poate cauta sub forma
N
2
( ,) =
jcn( η| j
)
j=
1
w xt ∑ A m , η = kx −ω t +ϕ (7.14)
unde N este numarul functiilor cnoidale (functii Jacobiene eliptice, A j
sunt constante
necunoscute, k numarul de unda, ω frecventa si ϕ faza. Functia Jacobiana eliptica
cn( η | m) = cnη, este definita astfel
η=
ϕ
dθ
∫ , 0 m 1
2
0 1-msin
θ
≤ ≤ ,

161
cu
snη= sinϕ , cnη= cosϕ ,
dn 1 msin
2
η = − ϕ .
Pentru m = 0 , se obtine snη= sinη, cnη = cosη, dnη = 1, si pentru m = 1, snη= tanhη,
cnη= sechη, dnη= sechη. Notand η | m
j
=η
j
si introducand (7.14) in (7.10) obtinem
cu
2 N
2 N
∂ ⎛ ∂ ⎛
2
⎞⎞
∂ ⎛
2
⎞
( )
2 EI x
2 ⎜ Ajcn η
j ⎟ + ρA( x) A
2 ⎜ jcn η
j ⎟+ϒ=
0,
∂x ⎜ x ⎟
⎝ ∂ ⎝ j= 1 ⎠⎠
∂t
⎝ j=
1 ⎠
∑ ∑
(7.15)
⎛ ⎞
ϒ = ξ −τ ζ τ ξ
k xi+∆xi
t
N
∂
2
∑ Cx ( , , t ) ⎜∑Ajcn j ⎟d d .
i= 1 ∂t
x
j=
1
i −∞
⎝ ⎠
∫ ∫
,
j
k
j j j
ζ = ξ −ω τ+ϕ . (7.16)
Avantajul metodei consta in modul simplu de determinare a constantelor A
j
, j = 1,2,..., N
din conditiile (7.4). Valorile proprii se determina prin rezolvarea problemei (7.15), (7.16) si
(7.12), (7.13).
Presupunem bara are sectiune circulara cu diametru variabil
⎛ x ⎞
d( x) = d0⎜2− a ⎟= d0( 2−bx)
. Pentru b = 0 , bara are un diametru 2d
0
. Aria sectiunii
⎝ L ⎠
2
2
πd
( x)
2 πd0
transversale este A( x) = = A0
( 2− bx)
cu A0
= , si momentul de inertie este
4
4
4
4
πd
( x)
4 πd0
I ( x) = = I0
( 2− bx)
cu I0
= .
64
64
In urma calculelor avem
2 N
N
∂ ⎛
2
⎞
2 2 4
2 ⎜∑Ajcn η
j ⎟= 2 k ∑ (1 − mj + Aj(3mj −2)cn ηj −Ajmjcn ηj)
,
∂x ⎝ j= 1 ⎠ j=
1
∂ ⎛ ⎞
∂ ⎝ ⎠
2 N
N
2 2 2 4
2 ⎜ Ajcn η
j ⎟= 2 ω (1 − mj + Aj(3mj −2)cn ηj −Ajmjcn ηj)
t j= 1 j=
1
∑ ∑ ,
∂ ⎛
∂ ⎝
⎞
N
N
2
⎜ Ajcn η
j ⎟= 2ω Ajcnηjsnηjdnηj
t j= 1 j=
1
∑ ∑ ,
⎠
2 2
cn
j
sn
j
1
Problema de valori proprii se reduce la
2 2
η + η = , dn η + msn η = 1,
N
2
( Pj + ρω Qj +ω Rj +ϒ
j) = 0
j=
1
unde P, Q,
R sunt polinoame in cn, sn si dn
k
xi+∆xi
t
j
j
∑ , (7.17)
∑ ∫ ∫
,
j
|
ϒ = 2 ωA C( x, ξ, t−τ)(cnη snη dn η )dτd ξ.
j j j j j
i= 1 xi
−∞
η =η m = kξ −ωτ+ϕ . (7.18)
Egaland termenii cu aceeasi putere in cn, sn si dn, se obtine din (7.17) un numar de
K ecuatii
j

162
λ ( A , m , k, ϕ ) =ω ,
1 j j
1
λ ( A , m , k, ϕ ) =ω , …
2 j j
2
(7.19)
λ ( A , m , k, ϕ ) =ω .
K j j K
Numarul necunoscutelor pM = { Aj, mj, k, ϕ, ω , j = 1,2..., kp}
, M = 2k p
+ 3, este mai mare
decat numarul de ecuatii K < M . Introducem functiile reziduale
λ ( A , m , k, ϕ)
−ω = r , l = 1,2,..., K . (7.20)
l j j l l
Problema se transforma in determinarea necunoscutelor
Functia obiectiv este definite astfel
p
M
din minimizarea reziduurilor.
K
N1 2 6
-1 2 −1 2 2
j l j 1 in
j j j
l= 1 n= 1 i= 1 j=
1
∑ ∑∑ ∑ , (7.21)
I ( p ) = K r ( p ) + (4 N ) δ ( p ) + δ ( p )
unde δ
in( pj
), i= 1,2 , n = 1,2,..., N1
, sunt doi indicatori de control pentru verificarea conditiilor
initiale (7.12) in punctele x , 1,2,...,
n
n=
N1
∂
δ
1n = w( xn,0) − w0( xn),
δ
2n = w( xn,0) −v0( xn).
(7.22)
∂t
Verificarea conditiilor pe frontiera (7.13) este controlata de indicatorii
pentru o bara simplu rezemata
libera sau incastrata
δ
3
= w(0,0)
, δ
4
= w( L,0)
, δ
5
=
δ
3
= w(0,0)
, δ
4
= w( L,0)
,
∂w(0,0)
∂x
∂w( L,0)
δ = , (7.23a)
∂x
,
6
2
2
∂ w(0,0) ∂ wL ( ,0)
δ
5
= , δ
2 6
= . (7.23b)
2
∂x
∂x
2
2
2
∂ w(0,0) ∂ w( L,0)
∂ ⎡ ∂ w(0,0)
⎤
δ
3
= , δ
2 4
= , δ
2 5
= ⎢EI
(0)
2 ⎥ ,
∂x
∂x
∂x⎣
∂x
⎦
(7.23c)
2
∂ ⎡ ∂ wL ( ,0) ⎤
δ
5
= ⎢EI ( L)
2 ⎥ .
∂x⎣
∂x
⎦
Necunoscutele pM = { Aj, mj, k, ϕ, ω , j = 1,2..., kp}
, M = 2k p
+ 3, se determina dintr-un
algoritm genetic.
Exemplul 7.1. Consideram o bara de aluminiu simplu rezemata de lungime L = 2 m, cu
3
diametrul d = 0.005 m. Alte date : modulul lui Young E = 70GPa, densitatea ρ = 2700 kg/m ,
k
p
= 1 , x
1
= 0.2m si ∆ x 1
=0.2m, grosimea h p
= 0.003m. Avem doua cazuri: amortizare
viscoelastica µ = 20 or g( t) = 20exp( − 20 t)
, si amortizare viscoasa µ =∞or g( t) =δ ( t)
). Sunt
luate in seama modelele: (model1) exponential (7.5a), (model2) functia eroare (7.5a), (model3)
functia hat (7.5b) si (model 4) functia triunghi (7.5b). Luam α= 5 si l
0
= 0.8 . Numarul N este 4.
Pentru N > 4 , cresterea acuratetei rezultatelor nu este semnificativa.
Tabel 7.1. Amortizare viscoelastica: primele 5 valori proprii pentru o bara cu un element
atasat.

163
Mode Mod 1 Mod 2 Mod 3 Mod 4 Mod 5
l
1 -4.74 ± 20.15i -0.26 ± 71.42i -0.045 ± 160.98i -0.017 ± 287.31i -0.0050 ± 451.67i
2 -4.91 ± 20.22i -0.29 ± 71.66i -0.051 ± 160.53i -0.019 ± 287.76i -0.0051 ± 451.71i
3 -4.75 ± 20.16i -0.23 ± 71.09i -0.038 ± 160.51i -0.013 ± 287.98i -0.0012 ± 451.70i
4 -4.43 ± 20.3.9i -0.15 ± 71.10i -0.028 ± 160.04i -0.008 ± 287.06i -0.0011 ± 451.74i
Tabel 7.2. Amortizare viscoasa: primele 5 valori proprii pentru o bara cu un element atasat.
Model Mod 1 Mod 2 Mod 3 Mod 4 Mod 5
1 -.97 ± 16.99i -3.79 ± 72.44i -3.03 ± 152.66i -3.57 ± 283.21i -2.59 ± 449.03i
2 -.52 ± 16.94i -4.28 ± 72.44i -3.32 ± 152.77i -4.04 ± 283.23i -2.64 ± 449.47i
3 -.05 ± 16.84i -3.36 ± 72.48i -2.51 ± 152.76i -2.73 ± 283.21i -0.66 ± 449.74i
4 -0.12 ± 16.8i -2.28 ± 72.59i -1.89 ± 152.58i -1.76 ± 283.29i -0.60 ± 449.82i
Tabelul 7.1 prezinta estimarile inferioare a primelor 5 valori proprii pentru baracu
amortizare viscoelastica. Tabelul 7.2 prezinta estimarile inferioare a primelor 5 valori proprii
pentru bara cu amortizare viscoasa. In ambele cazuri se observa ca modelul 2 are cea mai mare
amortizare, iar modelul 4are cea mai mica amortizare.
Exemplul 7.2. Consideram aceeasi bara ca in exemplul anterior cu k = 2 , x
1
= 0.2m ,
∆ x 1
=0.2m, x
2
= 1.6m si ∆ x2
=0.2m. Tabelul 7.2 prezinta estimarile inferioare a primelor 5
valori proprii pentru bara cu amortizare viscoelastica si cu doua elemente atasate.
Exemplul 7.3. Consideram aceeasi bara ca in exemplul anterior cu k = 2 , x
1
= 0.2m ,
∆ x 1
=0.2m, x
2
= 1.6m si ∆ x2
=0.2m. Tabelul 7.3 prezinta estimarile inferioare a primelor 5
valori proprii pentru bara cu amortizare viscoasa si cu doua elemente atasate.
Tabel 7.3. Amortizare viscoelastica: primele 5 valori proprii pentru o bara cu doua elemente
atasate.
Model Mod 1 Mod 2 Mod 3 Mod 4 Mod 5
1 -4.82 ± 14.57i -0.32 ± 63.51i -0.046 ± 143.56i -0.018 ± 280.38i -0.0052 ± 413.33i
2 -4.90 ± 14.99i -0.39 ± 63.60i -0.053 ± 143.63i -0.019 ± 280.42i -0.0054 ± 413.37i
3 -4.91 ± 14.60i -0.33 ± 63.32i -0.039 ± 143.90i -0.015 ± 280.33i -0.0013 ± 413.11i
4 -4.65 ± 13.86i -0.27 ± 63.19i -0.029 ± 143.42i -0.009 ± 280.25i -0.0012 ± 413.30i
Tabelul 7.4 prezinta estimarile inferioare a primelor 5 valori proprii pentru bara cu
amortizare viscoasa si cu doua elemente. Amortizarea pentru modurile 1 si 2 este mai mare decat
in exemplul 7.1 pentru toare cazurile. Modelul 2 are cea mai mare amortizareiar modelul 4 cea
mai mica.
Table 7.4. Amortizare viscoasa: primele 5 valori proprii pentru o bara cu doua elemente
atasate.
Model Mod 1 Mod 2 Mod 3 Mod 4 Mod 5
1 -10.07 ± 15.09i -3.99 ± 70.54i -3.05 ± 142.46i -3.58 ± 270.06i -2.60 ± 423.03i
2 -10.76 ± 15.22i -4.77 ± 70.55i -3.39 ± 142.45i -4.07 ± 270.00i -2.65 ± 423.22i
3 -10.35 ± 15.13i -3.66 ± 70.68i -2.57 ± 142.77i -2.75 ± 270.12i -0.67 ± 423.31i
4 -9.40 ± 15.53i -2.58 ± 70.68i -1.91 ± 142.78i -1.77 ± 270.04i -0.65 ± 423.30i

164
Problema inversa consta in determinarea necunoscutelor x
j
, ∆ x
j
, j = 1,2,..., k p
, astfel incat
toate valorile proprii sa fie deasupra unei constante complexe date C1 + iC2
Sa se determine
x
j
,
∆ x
j
, j = 1,2,..., k p
, din:
max | C
1
| , | C
2
|
conditii : Re| ω≥ | | C1
| , Im| ω≥ | | C2
|
N
2
( Pj + ρω Qj +ω Rj +ϒ
j) = 0
j=
1
k xi+∆xi
t
∑ ,
∑ ∫ ∫
,
ϒ = 2 ωA C( x, ξ, t−τ)(cnη snη dn η )dτd ξ.
j j j j j
i= 1 xi
−∞
η =η | m = kξ −ωτ+ϕ .
j
cu P, Q,
R polinoame in cn, sn si dn.
Daca vrem sa maximizam diferenta intre doua valori proprii consecutive
problema devine
Sa se determine
x
j
,
j
∆ x
j
, j = 1,2,..., k p
, din:
max Re| C4 − C3
| , Im| C4 − C3
|
conditii : Re| ωi
| ≥ Re| C2
| , Re| ωi
+ 1
| ≥ Re| C3
| ,
Im| ωi
| ≥ Im| C2
| , Im| ωi+
1
| ≥ Im| C3
|
N
2
∑ ( Pj + ρω Qj +ω Rj +ϒ
j) = 0 ,
j=
1
k xi+∆xi
t
∑ ∫ ∫
,
ϒ = 2 ωA C( x, ξ, t−τ)(cnη snη dn η )dτd ξ.
j j j j j
i= 1 xi
−∞
η =η | m = kξ −ωτ+ϕ .
j
j
(7.24)
ω i
si
i+ 1
ω ,
(7.25)
Exemplul 7.5. Consideram bara din exemplul 7.1, k = 1, de locatie x 1
[m] necunoscuta,
∆ x 1
=0.2m, h
p
= 0.003m, µ = 20 si µ =∞. Se rezolva problema inversa (7.24) cu
C1 + iC2
= − 0.0050 ± 451.67i pentru cazul 1, si C 1
+ iC
2
= − 2.59 ± 449.03i pentru cel de al
doilea caz.
Tabel 7.7. Caz 1 : locatie element viscoelastic (model 1) si primele valori proprii
Mod 1 Mod 2 Mod 3 Mod 4 Mod 5
-5.87 ± 744.55i -4.96 ± 1493.49i -3.24 ± 1873.57i -2.77 ± 2637.39i -0.52 ± 3553.46i
x 1 1 0.46 si 1.34 0.31 si 1.49 0.22 si 1.58
1
Tabel 7.8. Caz 2 : locatie element viscos (model 1) si primele valori proprii.
Mod 1 Mod 2 Mod 3 Mod 4 Mod 5
1 -1.22 ± 715.1i -6.29 ± 1272.47i -5.01 ± 1622.66i -4.37 ± 2290.11i -3.99 ± 3353.33i
x 1 1 0.19 sid 1.61 0.33 si 1.47 0.12 si 1.68
1

165
S-a studiat si cazul in care elementele atasate sunt alcatuite din material auxetic. In acest caz
amortizarea barei este mai buna decat a materialelor traditionale elastoviscoase si viscoase. Prin
indentare se pot determina direct aceste proprietati.
7.1. Modelarea nanocontactelor si a fenomenului de nanoindentare cu indentere avand
forme diferite
Asa cum s-a atratat in paragrafele anterioare, teoria nelocala de caracterizare a
nanocontactelor si a nanoindentarii este capabila sa descrie tehnica de indentare cu indentere
avand forme diferite. Metoda se bazeaza pe urmatoarele teoreme (Dumitriu si Chiroiu 2007a,
Rauchs, si Dumitriu 2009, Donescu, Chiroiu si Munteanu 2009):
TEOREMA 1 (Eringen 1972). Pentru o teorie liniara nelocala a unui corp, a carei stare
naturala este libera de efecte nelocale, forta de volum nelocala este nula, i.e. f ˆ k
= 0 .
TEOREMA 2 (Eringen 1972). Ecuatiile constitutive pentru un corp elastic liniar
izotrop si omogen si reziduurile de localizare nu violeaza inegalitatea globala a entropiei
ρh
ρη−∇⋅ q − −ρ bˆ + ρη≥ ˆ 0 in V −σ,
θ
unde η este densitatea de entropie, θ este temperature absoluta si ˆb este reziduul entropiei care
verifica conditia
∫ ρ bˆd v=
0 .
daca si numai daca, au urmatoarea forma
V
t =λe δ + 2 µ e + ∫ ( λ′′ e δ + 2 µ ′′ e )dv′, (7.1.1)
kl rr kl kl 1 rr kl 1 kl
V −σ
1 1
Σ=Σ + λ ( e ) +µ ed + ∫ ( λ ′ ee′ +µ ′ ee′ )dv′, ρ ˆ = 0 , f ˆ k
= 0 , (7.1.2)
2
0 kk kl kl 1 kk ll 1 kl kl
2
V −σ
2
unde λ , µ sunt constantele elastice clasice Lamé, λ ′ si µ ′ sunt functiile elastice nelocale Lamé
care depind de | x′ − x | , Σ este o functionala care depinde de x ′ (care ia valori in intreg corpul),
definite de ρψ=Σ
0
( x′ , x ′,
k
) , cu ψ =ε−θη functionala energiei libere, Σ
0
se refera la valoarea in
starea naturala, si ρ0
este densitatea in starea naturala, δ
kl
este simbolul lui Kronecher, e kl
este
tensorul de deformatie in teoria liniara
1
ekl = ( uk, l
+ ul,
k ) . (7.1.3)
2
si u
k
componentele vectorului deplasare.
Semnul prim indica faptul ca aceste cantitati depend de x ′ si t′ ≤ t , unde x ′ ia valori in
intreg corpul, si t′ este orice timp aprioric timpului prezent t . Conditiile ρ ˆ = 0 , f ˆ k
= 0 arata ca
nu exista productie neta de masa si forta nelocala in corp.
Functiile elastice nelocale Lamé λ′ (| x′
−x|)
si µ ′(| x′
− x|)
sunt functii de influenta, care
sunt positive si descrescatoare si depend de | x′ − x | . Alta forma a relatiilor (7.1.1) si (7.1.2) se
obtine prin includerea modulilor λ si µ in λ ′ si µ ′

166
tkl = ∫ [ λ′ (| x′ −x|) e′ rr
( x′ ) δ
kl
+ 2 µ ′(| x′ −x|) e′ kl
( x′ )]d v′ ( x ′)
, (7.1.4)
V −σ
1
Σ=Σ
0
+ ∫ [ λ′ (| x′ − x|) ekk ( x) e′ ll
( x′ ) +µ ′(| x′ −x|) ekl ( x) e′ kl
( x′ )]d v′ ( x ′)
. (7.1.5)
2
V −σ
Nanoindentarea este o tehnica de detreminare a proprietatilor mecanice a materialelor la
scari reduse (micro si nanoscara). Proprietati ca modulul de elasticitate, duritatea se determina
printr-o simpla analiza a curbei forta-deplasare (Kelchner, Plimpton and Hamilton 1998, Bhushan
1995).
Consideram aici un strat de grosime h si lungime 2L asezat pe un plan orizontal. Stratul
este solicitat de un indenter cu baza orizontala de latime 2a (fig.7.1.1). Contavtul este fara
frecare si nu se pot transmite prin interfata tensiuni de tractiune. Stratul este solictat la forte
verticale datorita gravitatiei. Notam cu V volumul stratului si cu S suprafta de contact.
Fig. 7.1.1. Schema indentarii.
Raspunsul oricarui punct din V depinde de starea din intreg volumul. Aceasta dependenta
poate fi descrisa de legile constitutive (7.1.4) care devin
t = ∫[ λ′ (| x′ −x|) e′ ( x′ ) δ + 2 µ ′(| x′ −x|) e′ ( x′ )]d v′ ( x ′)
,
1 1
kl rr kl kl
V1
Constantele Lamé se iau de forma
(7.1.6)
λ′ (| x′ − x|) =α(| x′
−x |) λ , µ (| x′ − x|) =α(| x′
− x |) µ , (7.1.7)
unde λ si µ sunt constantele Lamé pentru cazul nelocal, si α(| x′
−x |) este functia nucleu
nelocal care masoara efectul tensiunii in x ′ asupra tensiunii in x .
Eringen (2002) a aratat ca
t
kl
= ∫ α(| x ′ −x|) σkl
( x ′ )d v ′ ( x ′ ) , (7.1.8)
V

167
unde σ ( x ) este campul local de tensiune.
Pentru functia nucleu folosim reprezentarea lui Artan (1996, 1997, 2001)
kl
′
⎧ ⎧ | x′
− x|
⎫
⎪B
⎨1 − ⎬,| x′
− x| < d,
α(| x′
− x|)
= ⎨ ⎩ d ⎭
(7.1.9)
⎪
⎩ 0, | x′ − x| > d,
−7
cu B= 1/ d , unde d este o distanta atomica. Pentru probleme de indentare d = 4× 10 cm .
Campul local de tensiune este dat de (Civelek, Erdogan and Cakiroglu 1978, Solomon 1969)
σ ( x)
=−ρgh−
a L
1 exp( u)[(1 + u)exp(2 u) + u−1]
u
+ σ( t) cos[( t−x) ]dud t,
π h∫∫
exp(4 u) + 4uexp(2 u) −1
h
−a
−L
a
(7.1.10)
∫ σ ()d t t = P . (7.1.11)
−a
Tensiunea nelocala in aria de contact se calculeaza din (7.1.6)
x+
d
⎛ | x−
x′
| ⎞
t( x) = ∫ ⎜1 − ⎟σ( x)dx′
⎝ d ⎠
, (7.1.12)
x−d
unde σ ( x)
este data de (7.1.10) si (7.1.11).
Trecand la cantitati adimensionale
t x σ( as)
s = , q = , f()
s = , (7.1.13)
a L ρ gh
ecuatiile (7.1.10), (7.1.11) se scriu sub forma
σ( x)
=−1−
ρgh
1 1
aL exp( qL)[(1 + qL)exp(2 qL) + qL −1]
qL
+ f( s) cos[( as−x) ]dqd s,
π h∫∫
exp(4 qL) + 4qLexp(2 qL) −1
h
−1−1
(7.1.14)
a
h
1
P
∫ f()d
s s= .
2
−1
ρ gh
(7.1.15)
Tensiunile de contact se calculeaza pentrur a/ h= 0.5 , L/ h= 15 , utilizand formula de
integrare Gauss. Se obtin urmatoarele rezultate.
Langa frontiera domeniului de contact x/ a→ 1, in teoria locala tensiunea tinde catre infinit.
In cazul teoriei nelocale aceasta tensiune este finita. Tensiunile nelocale sunt aceleasi ca
tensiunile locale in interiorul ariei de contact dar nu si la frontiera ei.
Figs.7.1.2 si 7.1.3 arata diferentele dintre rezultatele teoriei locale si a teoriei nelocale in
campul de tensiune pentru a/ h= 0.5 si respectiv a/ h= 0.3 . Ambele figuri arata ca, daca punctele
sunt situate in vecinatatea frontierei x/ a> 0.95 pentru primul caz, si x/ a> 0.965 pentru cea deal
doilea, sau pe frontiera domeniului de contact x/ a= 1, atunci diferenta dintre teorii nu mai
poate fi ignorata. Tensiunile nelocale sunt finite in toate punctele de frontiera a domeniului de
contact.

168
Fig. 7.1.2. Tensiuni locale si nelocale la frontiera de contact (primul caz).
Fig. 7.1.3. Tensiuni locale si nelocale pe frontiera de contact (al doilea caz).
Tensiunea nelocala admite un maxim, insa acset maxim nu se gaseste pe frontiera
domeniului de contact.
Tensiunile locale si nelocale sunt practice constante in zona de sub contact pentru
x/ a≤ 0.95 in primul caz, si x/ a≤ 0.965 in al doilea, dare le difera la frontiera x/ a> 0.95 , si
respectiv x/ a> 0.965 . Pentru x/ a> 0.95 si respectiv x/ a> 0.965 ambele solutii depind de
a/
h.

169
In continuare obtinem, utilizand ecuatiile integrale duale ale lui Sneddon, solutii exacte ale
stantei plane de forma arbitrara. Comparam acum aceste rezultate aplicand solutia lui Solutia lui
Sneddon (1965) descrie indentarea unui semispatiu elastic cu un con drept circular rigid (fig.
7.1.2 sus), propusa pentru prima data de Boussinesq in 1885.
Sneddon obtine pentru forma ariei reale de contact urmatoarea formula scrisa in coordonate
cilindrice r - coordonata radiala si z - coordonata axiala :
(7.1.16)
unde ν este coeficientul lui Poisson. Axa z coincide cu axa de simetrie a indenterului. Suprafata
libera a semispatiului are ecuatia z = 0 . Jumatate din unghiul conului indenterului este notat cu
φ . Raza cercului de contact este notata cu a . Pentru deducerea formulei (7.1.16), incepem cu
a= h c
tan φ . (7.1.17)
Adancimea de penetrare este h data de
(7.1.18)
de unde rezulta
(7.1.19)
Expresia pentru sarcina este
(7.1.20)
Conditiile pe frontiera ale lui Sneddon sunt
(7.1.21)
Sneddon obtine urmatoarea formula foarte importanta pentru deplasarea radiala a punctelor
de pe cercul de contact
u
r
(1 −2 ν) r ⎡ r/
a 1−
1 −( r/ a)
= ⎢ln
−
4(1 ) tan 1+ 1 −( r/ a)
( / )
⎣
2
2
−ν φ⎢ r a ⎥
2
⎤
⎥ . (7.1.22)
⎦

170
Fig. 7.1.4. Indentarea semispatiului cu un con rigid. Problema lui Sneddon.
Se vede din (7.1.22) ca deplasarea radiala este negativa si se anuleaza pentru coeficientul lui
Poisson 0,5 (material incompresibil), sau cand unghiul indenterului conic este φ = 90°. Pentru
cazurile de interes practic φ < 90° si ν < 0,5 , deplasarea este finita. Rezulta ca forma ariei de
contact in problema lui Sneddon nu este conica ci este mai complicata (fig. 7.1.4).
Pentru determinarea ariei reale de contact folosim formula (7.1.22) si conditia pe frontiera
(7.1.21) 3
. Punctele care initial se aflau pe semispatiu r = r0
, z = 0 se muta in pozitia data de
r = r0 + ur
, (7.1.23)
(7.1.24)
cu u
r
data de (7.1.22). De aici se obtine formula (7.1.16).
Problema contactului elastic pentru o stanta plana se reduce la integrarea ecuatiilor
p(, ξ η)
δ=θ ∫∫
dξdη
in D ,
2 2
(7.1.25)
( x−ξ ) + ( y−η)
si a conditiei de echilibru
D
Relatia de continuitate este
P= ∫∫ p( ξ, η)dξdη
. (7.1.26)
D
p( ξ, η ) = 0 pe ∂ D , (7.1.27)
1
unde θ= −ν
este o caracteristica de material, D este domeniul de contact, ∂ D frontiera lui D ,
2 πµ
p( ξ, η ) este presiunea in D (tensiunea normala exercitata de stanta in D ), δ este adancimea de
patrundere in semispatiu, P este forta normala aplicata, µ este constanta elastica a lui Coulomb,
ν este coeficientul lui Poisson. Pentru P , µ si ν cunoscute, problema se reduce la determinarea
p( ξ, η ) , δ si D .

171
Un mod de rezolvare a problemei este de a exprima presiunea p( ξ, η ) din (7.1) ca o functie
de δ si de alti parametri geometrici care caracterizeaza domeniul D , apoi de a determina acesti
parametri δ si D din (7.2) si (7.3). In final, se determina presiunea p( ξ, η ) .
Pentru domenii de contact circulare si eliptice, problema a fost rezolvata. Pe de alta parte,
problema contactului se poate reduce la problema stantei parabolice. Pentru o stanta parabolica cu
raze de curbura ρ ′ si ρ ′′ , pot fi calculate semiaxele a si b ale elipsei de contact si deplasarea
verticala δ , cu formulele
⎛3πθ
P⎞ ⎡ 2 E( k)
⎤
a = ⎜ ⎟ ⎢ 2 ⎥
⎝ 4 H ⎠ ⎣π(1 −k
) ⎦
1/3 1/ 3
,
1/3 1/3
⎛3πθ
P⎞ ⎡ 2 E( k)
⎤
b = ⎜ ⎟ ⎢ 1 k
2 ⎥ −
⎝ 4 H ⎠ ⎣π(1 −k
) ⎦
2
, (7.1.28)
2
1/3 2
4(1 − k ) ⎤ ⎡⎛3
⎞
2 ⎢
1/3
⎡
⎤
δ= πθ ⎢ ⎥ ⎜ P ⎟ H⎥
K( k)
, (7.1.29)
⎣ π Ek ( ) ⎦ ⎢⎣⎝4
⎠ ⎥⎦
2
1 ⎛ 1 1 ⎞
unde H = ⎜ + ⎟
2 ⎝ρ′ ρ′′
⎠ este curbura medie, k = 1 − b excentritatea elipsei de contact, iar
a
2
π /2
π\2
2 2
dψ
Ek ( ) = ∫ 1-k
sin ψdψ
si Kk ( ) = ∫ sunt integralele eliptice complete de speta
2 2
0
0 1-k
sin ψ
a doua, si respectiv de prima speta. Presiunea maxima sub stanta p
max
este data de
2/3
2
⎛ π ⎞ ⎡6H P
max 5 2
1/3
⎤
2
1/ 6
p = p(0,0) = ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ( 1−k
)
⎝2 Ek ( ) ⎠ ⎣ πθ ⎦
. (7.1.30)
Pentru baze neeliptice nu exista formule exacte ci doar aproximative. Solomon (1964) a
incercat sa construiasca o teorie universala pentru stanta plana. Teoria sa este exacta pentru cerc
si rezonabila pentru un poligon regulat, dar devine falsa pentru o elipsa cu excentritate mare.
Fabrikant (1986) a plecat de la urmatoarea expresie parametrica pentru frontiera ∂ D a ariei
de contact:
ρ = a( ϕ ), (7.1.31)
si, din ipoteza ca distributia de presiuni sub stanta, datorita unei sarcini P aplicate central, este
p( ρϕ , ) =
unde c este o constanta care se determina din (7.1.26)
2π
a( ϕ)
2π
ca( ϕ)
2
d d ( )d 2
2 2
0 0 a ( ϕ)
−ρ
0
ca( ϕ)
,
2 2
(7.1.32)
a ( ϕ)
− ρ
∫ ϕ ∫ ρ ρ= c∫ a ϕ ϕ= Ac=
P , (7.1.33)
cu A aria bazei, obtine
Pa( ϕ)
p( ρϕ , ) =
2 A a ( ϕ)
− ρ
2 2
. (7.1.34)
Din (7.1.34) si din reprezentarea inversului distantei dintre doua puncte

172
2
⎛ x
λ⎜
ρρ
⎞
, ϕ −ϕ ⎟dx
min( ρ1, ρ2)
2 1
1 2
1 2
=
⎝
⎠
2 2 2 2 2 2
1 2
2
1 2cos( 2 1) π
∫ ,
0 (
1
x )(
2
x )
ρ +ρ − ρρ ϕ −ϕ ρ − ρ −
(7.1.35)
cu
Fabrikant a obtinut formula
2
1−
u
λ ( uv , ) = , (7.1.36)
2
1 + u − 2u cosv
2
θPπ
r
δ= a
, (7.1.37)
2A
unde r a
este raza medie in raport cu centrul de masa.
Dumitriu si Chiroiu (2008) au rezolvat problema (7.1.25)-(7.1.27) utilizand ecuatiile
integrale ale lui Sneddon. Principalul rezultat obtinut in aceasta lucrare consta in obtinerea de
formule exacte pentru presiune si adancimea de patrundere, care s-au dovedit a fi exacte pentru
stantele parabolice, circulare, eliptice si patratice. Avantajele acestor solutii constau in: (1) solutia
p( ξ, η ) a ecuatiei (7.1) este continua si marginita in D ; (2) in vecinatatea oricarui punct regulat
( ξ, η ) langa frontiera ∂ D , se obtine p( ξ, η) → 0 , unde ( ξ, η∈∂ ) D . In continuare
( ξη→ , ) ( ξη , )
prezentam pe scurt aceste rezultate.
Consideram semispatiul z ≥ 0 a carui suprafata z = 0 este solicitata de o stanta rigida de
forma data. Aceasta problema a fost analizata pentru prima data de catre Boussinesq in 1885.
Consideram cazul conditiilor mixte pe frontiera in care corpul elastic B este solicitat pe o parte
S
1
a frontierei sale cu un set de deplasari normale, in timp ce pe alta parte S 2
a suprafetei
tensiunile aplicate sunt nule. Problema consta in determinarea unei functii biarmonice in B care
sa indeplineasca conditiile L 1
ϕ ( r) = f( r)
, r∈ S1
, si L 2
ϕ ( r) = 0 , r∈ S2
, unde L 1
si L 2
sunt
operatori diferentiali cunoscuti, iar functia f () r este data. Analiza unor astfel de probleme
conduce la ecuatii integrale duale.
Utilizam teoria transformatei Hankel Fm
( k ) a unei functii f () t
∞
Fm( k) = f( t) J ( ) d
0
m
kt
∫ t t , (7.1.38)
unde J
m
este functia Bessel de prima speta si de ordin m , cu m ≥− 1/ 2 . Transformata inversa a
lui Hankel F ( k ) este
m
∞
f( t) = F ( ) ( ) d
0
m
k Jm
kt
∫
k k . (7.1.39)
Din (7.1.38), solutia ( uρ, uθ , u z
) a ecuatiilor de echilibru in coordonate cilindrice ( ρ, θ , z)
se
poate exprima, cu ajutorul solutiilor G ( t, z ) ale ecuatiei
sub aceasta forma
m
2 2 2
( ) 0
D − t G m
= ,
d
D = dz
, (7.1.40)

173
∞
1
u = ∑ [ U ( ρ, z) −U ( ρ, z)]cosmθ
, (7.1.41a)
ρ m+ 1 m−1
2 m=
0
∞
1
u = ∑ [ U ( ρ , z) + U ( ρ, z)]sinmθ
, (7.1.41b)
θ m+ 1 m−1
2 m=
0
∞
cos ∞
[(1 2 ) 2 2(1 ) 2
] ( )d
z
= θ − ν
0
m
− −ν
m m
ρ
m=
0
∑ ∫ , (7.1.41c)
u m t D G t G J t t
unde ν este coeficientul lui Poisson, iar U ( ρ , z)
este
m
∞
2
m( ρ , ) = ( )d
0
m m
ρ
U z ∫ t DG J t t . (7.1.42)
Componentele tensiunii se exprima astfel
∞
2 cos ∞
[(1 ) 3 (2 ) 2
] ( )d
zz
0
m m m
m=
0
∑ ∫ , (7.1.43a)
σ = µ mθ t −ν D G − −ν t DG J ρt t
∞
sin ∞
2 [ 2 (1 ) 2
][ ( ) ( )]d
θz 0
m m m− 1 m+
1
m=
0
∑ ∫ , (7.1.43b)
σ =µ mθ t ν D G + −ν t G J ρ t + J ρt t
∞
2 cos ∞
2 [ 2 (1 ) 2
][ ( ) ( )]d
ρ z
0
m m m+ 1 m−1
m=
0
∑ ∫ . (7.1.43c)
σ = µ mθ t ν D G + −ν t G J ρt −J ρt t
In cazul axial simetric in raport cu axa z , campul deplasarilor este dat de
∞
2
uρ = tDGtzJ ( , )
0
1( ρt)dt
∫ , (7.1.44a)
u θ
= 0 , (7..1.44b)
∞
2 2
[(1 2 ) 2(1 ) ]
0
0
( )d
uz
= ∫ t − ν D G− −ν t G J ρt t , (7.1.44c)
unde G este solutia ecuatiei (7.1.40). Pentru tensiuni avem relatiile
∞
3 2
2 [(1 ) (2 ) ]
0
0
( )d
σ
zz
= µ ∫ t −ν DG− −ν t DGJ ρt t , (7.1.45a)
σ = 0 , (7.1.45b)
θz
∞
2 2 2
2 [ (1 ) ]
0
1( )d
σ
ρz = µ ∫ t ν DG+ −ν tGJ ρt t . (7.1.45c)
Consideram acum ca aria de contact este un domeniu convex necunoscut D , descris de o
superelipsa (sau curba Lamé)
n
n
⎛ x⎞ ⎛ y⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1, n > 0 , (7.1.45)
⎝a⎠ ⎝b⎠
unde a si b sunt razele formei ovale. Cazul n = 2 /3 corespunde unui astroid turtit, n = 1
corespunde unui diamant turtit, n = 2 unei elipse, si n →∞ corespunde unui dreptunghi.
Reprezentarea parametrica este data de
2/
x( θ ) = acos n
2/
θ, y( θ ) = bsin n θ. (7.1.46)

174
Calculam si aria superelipsei
1/
11/
1
n
− n ⎛ ⎞
a
n 4 ab πΓ+ 1
⎡ x
⎜ ⎟
⎛ ⎞ ⎤
n
A= 4b 1 dx
⎝ ⎠
∫ ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ =
, (7.1.47)
a
1 1
0 ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎛ ⎞
Γ ⎜ + ⎟
⎝2
n ⎠
z
nn !
unde Γ este functia Gamma Γ () z = lim , ( z ≠0, −1, − 2,...) .
n→∞
z ( z+ 1)...( z+
n )
In coordonate polare x= rcosθ, y= rsin
θ, superelipsa se exprima astfel
n
⎡ cosθ
r( θ ) = ⎢ +
⎢⎣
a
sin θ
b
n
⎤
⎥
⎥⎦
−1/
n
π
, 0 ≤θ< , (7.1.48)
2
1/ n
r
⎡1 unde r = , 0≤r
≤ 1,
(
n n ⎤
r = a + b )
max( a, b)
⎢n
⎥ , lim r = max( ab , ) . Consideram ca
n→∞
⎣ ⎦
deformatiile in D sunt axial simetrice. Conditiile pe frontiera z = 0 sunt urmatoarele
π
σ
rz
=σ
θz
= 0 , r ≥ 0 , 0 ≤θ< , (7.1.49a)
2
π
u
z
=δ, 0≤ r < 1, 0 ≤θ< , (7.1.49b)
2
prθ ( , ) =σ
zz
= 0 , r ≥ 1, 0
π
≤θ< . (7.1.49c)
2
Conditia (7.1.49c) asigura anularea presiunii pe ∂ D . Componentele tensiunilor si ale
deplasarilor trebuie sa se anuleze atunci cand distanta tinde catre ∞ . Rezulta
1
G( tz , ) =− At ( )(2 ν+ tz)exp( − tz)
, t ≥ 0 , (7.1.50)
4
t
unde At () este o functie necunoscuta. Se observa ca (7.1.49a) sunt satisfacute automat. Din
(7.1.44c), (7.1.45a) si z = 0 , rezulta
Avem
z
∞
1
2(1 ) −
( )
0
0( )d
u = −ν ∫ t A t J rt t , (7.1.51)
p( r( θ )) =σ =− 2 µ∫ A( t) J ( rt)dt
. (7.1.52)
zz
∞
1
t − δ
A() t J
0
0
( rt)dt
=
0
∞
0
∫ . (7.1.53)
2(1 −ν)
Restul conditiilor (7.1.59b) si (7.1.49c) sunt satisfacute daca si numai daca At () verifica
ecuatiile
∞
1
t − δ
A() t J
0
0
( rt)dt
=
∫ , 0≤ r < 1, (7.1.54a)
2(1 −ν)

175
∞
A tJ rt t
∫ ( )
0
0
( )d = 0 , 1
r ≥ .
(7.1.54b)
Aceste relatii (7.1.54) se numesc ecuatiile integrale duale ale lui Sneddon. Introducem
operatorii L
1
si L
2
astfel
Ecuatiile (7.1.54) devin
∞
1
0
0
L ( rt ,) At () = ∫ AtJ () ( rt)dt
,
2 0
∞ − 1
2
0
0
L ( rt ,) At () = ∫ t AtJ () ( rt)dt
. (7.1.55)
L (,) rt At () = w, 0≤ r < 1, (7.1.56a)
L 1
( r ,) t A () t = 0 , r ≥ 1,
δ
unde w0
=
2(1 −ν )
. Presupunem ca L
2
admite un operator invers unic
satisface relatia
Forma operatorilor L
1
si L
2
se alege astfel
−1
1 2 0
− 1
2 0
(7.1.56b)
A( t) = L ( r, t)
w care
L ( r,) t L (,) r t w = 0 . (7.1.57)
1
∞
2 s
2
s
∑
s
,
s=
1
L ( rt ,)() ⋅ = sr t F ( ϕ, kr)()
⋅
∞
−1
2
2
−s 2
−s s
s=
1
L ( rt ,)() ⋅ = 1 + ∑ r t E( ϕ, kr)()
⋅ , (7.1.58)
F( ϕ , kr)
=
ϕ
∫ dψ
,
2 2 2
0 1−
k r sin ψ
ϕ
2 2 2
( , ) 1 sin d
E ϕ kr = ∫ −k r ψ ψ, (7.1.59)
0
( ) 1/
n n
π nr
− 2b
unde ϕ = arcsin(1 − r)
, ϕ ≤ , k =
, a = max( ab , ) . F( ϕ , kr)
, E( ϕ , kr)
sunt
2
a
integralele eliptice de prima speta, si respectiv de a doua speta. Aplicam acum operatorul
−1
L1( rtL ,)
2
(,) rt unui polinom Pr ()
3 3 2 2
P( r) = w0 r − w1r + w2r−w3.
Avem
n
( − )
C k r F kr
Pr ( ) =
E( ϕ, kr)
2 3
1 ( ϕ, )
unde C este o constanta. Sa presupunem ca Pr () este o constanta si r → 0
2
( − ) 1/3
, (7.1.60)
⎛ π ⎞
⎜ϕ=
⎟
⎝ 2 ⎠ . Rezulta
C 1 k K( k)
w0 = , (7.1.61)
1/3
E ( k)
unde F( π /2, k) = K( k)
si E( π /2, k) = E( k)
sunt integralele eliptice complete de prima speta, si
respectiv de speta a doua. Din (7.1.56a) si (7.1.59) rezulta
∞
2 2
−
( ) 1 −
= + ∑ s s ( ϕ, )
0
, 0 r 1
s=
1
A t r t E kr w
≤ < . (7.1.62)

176
Pentru presiune se obtine din (7.1.53) formula
sau
∞
∞
∞
⎡
2 2
−
( ( )) 2 ( )
0
0( )d 2
0
0( ) 1 s −
⎤
p r θ =− µ A t J rt t =− µ J rt ⎢ + ∑r t s E s ( ϕ, k ) w0⎥
dt
⎣ s=
1
⎦
∫ ∫ , (7.1.63)
2/3
pr 1
(()) C ⎛ ⎞
θ =
⎜ ⎟ 1−
2 E( ϕ, rk)
rk
⎝ ⎠
2 2
( )
1/ 6
,
(7.1.64)
2
⎡
2
⎛3 ⎞ (1 −ν)
⎤
2
C = ⎢⎜
⎟ P H
2 2 ⎥
⎢⎣⎝2⎠
4πµ
⎥⎦
1/ 3
,
2
1/ 3
3PH
C ⎡ µ ⎤
= ⎢
(1 −ν)
⎥ , (7.1.65)
⎣ ⎦
n n
1 ⎛ 1 1 ⎞
1 ⎛x
y ⎞
unde H = ⎜ + ⎟ este curbura medie a superparaboloidului z = ⎜ + ⎟, si ρ
1
, ρ
2
sunt
n ⎝ρ1 ρ2
⎠
n ⎝ρ1 ρ2
⎠
razele de curbura in origine. Valoarea maxima a presiunii pr () se determina scriind r → 0
⎛ π ⎞
⎜ϕ=
⎟
2
2/3
1
2
max
(0) ⎛ ⎞
= =
⎜ ⎟ ( 1−
)
⎝ ⎠ . Se obtine
⎝2 E( π/2, k)
⎠
Rezultatele obtinute se raporteaza sub forma a doua teoreme:
1/ 6
. (7.1.66)
TEOREMA 7.1.1. Solutia pr () a ecuatiei (7.1.25) este o functie continua si marginita in
orice punct interior al domeniului D
Valoarea maxima a presiunii este data de
In plus, presiunea se anuleaza pe ∂ D .
2
1/3 2/3
3PH
µ 1
⎡ ⎤ ⎛ ⎞
pr (()) θ = ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ 1−
⎣ (1 −ν) ⎦ ⎝2 E( ϕ, rk)
⎠
2
1/3 2/3
3PH
µ 1
2 2
( rk )
⎡ ⎤ ⎛ ⎞
pmax
= p(0) = ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ 1−k
⎣ (1 −ν) ⎦ ⎝2 E( π/ 2, k)
⎠
1/ 6
2
( )
TEOREMA 7.2. Adancimea δ sub stanta se calculeaza din formula
. (7.1.67)
1/ 6
. (7.1.68)
( − k ) 1/3
2
1/3
2
2
−ν ⎤
2
PH
2 2 ⎥
1/3
⎡⎛3 ⎞ (1 ) 1 Kk ( )
δ=⎢⎜
⎟
.
⎢⎣⎝2⎠
4 πµ ⎥⎦
E ( k)
(7.1.69)
Aceste formule se verifica pentru cazul stantei eliptice ( n = 2 , k = k). De asemenea se
verifica si pentru cazul unui patrat de latura l ( n = 4 , k = 0 ) pentru care se obtine
r
a
π /4
4 l 4l
= dθ=
c
π
∫ ,
cosθ π
0
2/3
⎛ Hµ
⎞
A = d⎜ ⎟ P
⎝3(1 −ν)
⎠
1/ 3
, (7.1.70)

177
cu constantele c si d date de
3
c = ⎛ ⎛ π ⎞⎞
ln ⎜ tg ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ 8 ⎠⎠
In final, se observa ca avem
, 1/ 3
⎛ ⎛1 1⎞⎞
⎜ Γ +
2πP
⎜ ⎟
2 4
⎟
= ⎜ ⎝ ⎠⎟
⎜
⎛ 1 ⎞ ⎟
⎜ Γ ⎜1+
⎟ 4
⎟
⎝
⎝ ⎠ ⎠
1/4
d 4 c l
1/3
H ⎛3(1 −ν)
P⎞
δ= ⎜ ⎟
4 ⎝ µ ⎠
2 /3
,
.
(7.1.71)
sau
2 P(1 −ν)
δ=π ra
, (7.1.72)
4πµ
A
care este identica cu formula (7.1.37).
In concluzie, s-au obtinut solutii exacte pentru problema semispatiului z ≥ 0 a carui
frontiera z = 0 este solicitata de o stanta rigida plana cu forma data. Aceste solutii sunt exacte
pentru cazul stantelor parabolice, circulare, eliptice si patratice, si aproximative pentru alte tipuri.
In fig. 7.1.5, se prezinta distributia tensiunilor de forfecare de suprafata si interne la
adancimea de 4.5 nm pentru o probas de aluminiu. In stanga sunt rezultatele masurate (Ma si
Levine 2007) si in dreapta rezultatele calculate (Munteanu 2009).
Fig. 7.1.5. Distributia tensiunilor de forfecare pe o proba de aluminiu (stanga: rezultate masurate
dreapta: calculate)

178
7.2. Includerea in teorie a frecarii care insoteste nanoindentarea la diferite scari metrice
S-a studiat comportamentul histeretic la nivel nanometric si s-a evaluat forta de frecare la
nivel micro si nanometric. S-a aratat ca alura buclei de histerezis depinde de efectele vascoase,
chiar atunci cand acestea sunt foarte mici. Pentru descrierea histeretica a nanocontactului, s-a
definit un nanotraductor HT prezentat schemetic in fig. 7.2, de ecuatie
t
W ut ( ) = ut ( ) sau W ut ( ) = xt ( ) +∫ ut ( )ds
.
0
t0
Fig. 7.2.1. Nanotraductor.
Pentru clarificarea comportarii stick-slip la scara atomica, consideram un sistem cu frecare
2D la scara atomica, compus dintr-un indenter rigid de diamant cu o structura cristalina perfecta,
care aluneca cu viteza V pe o suprafata unui nanotub de carbon modelat ca o bara Euler-Bernoulli
(fig.7.2.2). Modelul din fig. 7.2.2 este bazat pe modelul unui sistem cu frecare prezentat in fig.
2.1.9. Suprafaţa materială, ca interfaţă dintre două medii sau faze materiale, nu este continuă şi
netedă la scara atomică şi moleculară. Arhitectura atomică a suprafeţelor este caracterizată de
prezenţa asperităţilor de diferite dimensiuni, forme, unghiuri de contact şi densităţi. Discutăm
acum câteva modele ale suprafetelor in contact la scara continua macroscopica, tinand seama de
legăturile de tip adeziv pentru contactul solid
Modelarea dinamica permite simularea comportarii unui sistem cu 2N grade de libertate,
iar rezolvarea simultana a sistemului rezultant de 2N ecuatii diferentiale de miscare cuplate se
poate rezolva prin algoritmul Verlet.
Fig.7.2.2. Sistem indenter-nanotub de carbon.
Ecuatiile de miscare a modelului din fig.7.2.2 sunt m( txt ) ( ) = Fx( t) + kx( Vt−xt
( )) ,
m( tzt ) ( ) = Fz( t) + kzt
z
( ) , unde mt () este masa indenterului mobil care variaza ca rezultat al
1
adeziunii particulelor, k x
este constanta elastica a resortului in directia x (20 Nm − ), k
z
este
1
constanta elastica a resortului in directia z (10 Nm − ), V este viteza indenterului mobil, t timpul,
xt () este pozitia in directia orizontala, zt () este pozitia in directia verticala, F () t si F () t sunt
x
z

179
fortele exercitate de indenterul mobil in directiile x si respectiv z. Modelul pentru interfata dintre
indenter si nanotub este prezentat in fig.7.2.3 (bazat pe modelul de interfata dintre doua granule
(fig. 2.1), in care nanotraductorul apare in partea dreapta a figurii..
.
Fig. 7.2.3. Model pentru interfata dintre indenter si nanotub, pe baza de nanotraductor.
In fig.16 este reprezentata forta de interactiune [N] intre atomii de carbon in raport cu distanta
[A].
Fig. 7.2.4. Forta de interactiune C-C [N] in functie de distanta [A].
Nu folosim ecuatiile dinamicii moleculare ci un model de frecare dintre indenter si
nanotub care se va prezenta in continuare. Acest model este prezentat schematic in fig.2.1 şi
reprezintă interfaţa (desenata exagerat) dintre indenter si nanotub, cu o încărcare iniţială n0
= kve
.
Indenterul si nanotubul sunt modelate ca elemente elastice fără masă caracterizate de două
resorturi liniare de lungimi l u
and respectiv l v
, şi modulii k u
= k x
and respectiv k v
= k z
(ce
contorizează proprietaţile de forfecare si intindere). De asemenea punctul de contact respectă
legea de frecare a lui Coulomb cu coeficientul de frecare µ . Fig.7.2.5 ilustreaza fenomenul tipic
de stick-slip in absenta deformatiilor nanotubului de carbon. Se reprezinta pozitia identerului in
* E
raport cu pasii de timp. S-a utilizat o variabila adimensionala de timp dt
= dt
, E energia
2
mr0
de coeziune a atomilor de carbon, r 0
o distanta de referinta.

180
Fig.7.2.5. Variatia pozitiei indenterului in raport cu pasii de timp.
Forta de frecare exercitata in directia x (fara deformarea nanotubului) este prezentata in
fig.7.2.6. Variatia este aproape sinusoidala.
Fig. 7.2.6. Variatia fortei de frecare in directia x in raport cu pasii de timp.
Datorită facilităţii de realizare/prelucrare, am ales acest tip de cap de indentare, şi anume
cel sferic, în detrimentul unora piramidale (Berkovich, Vickers, etc). Prezentăm mai jos
rezolvarea problemei indentării unui semispaţiu elastic cu un indenter având cap sferic (fig.
7.2.7).
Fig. 7.2.7. Indentarea unui semispaţiu elastic cu un indenter având cap sferic.
Indenterul cu cap sferic acţionează asupra semispaţiului elastic cu o forţă P, producând o
adâncime de pătrundere la vărful capului sferic δ
varf
=δ
x= y=
0
. Materialul elastic studiat, izotrop,
este caracterizat de modulul lui Young E mat şi de coeficientul Poisson ν mat .

181
Abordares numerică consta in determinarea presiunilor de contact p( xy , ) şi a adâncimii de
pătrundere δ
varf
a vârfului, pentru o forţă de apăsare dată P şi pentru un material cunoscut
caracterizat de E mat şi ν mat . Plecând de la expresia potenţialului de simplu strat (Solomon 1969),
această problemă se reduce la rezolvarea următoarei ecuaţii integrale:
1 p( ξ, η)
δ ( xy , ) = dξdη
∗
πE 2 2
( x−ξ ) + ( y−η)
∫∫ pentru orice ( x, y)
la care trebuie adăugată următoarea condiţie de echilibru
D
∈ D ,
P= ∫∫ p( ξ, η)dξ dη
. Ecuaţiile integrale
de mai sus se rezolvă numeric prin discretizarea domeniului de contact D în element finite de
frontieră. Rezultatele obţinute sunt prezentate în fig. 16, comparându-se soluţia analitică cu
soluţia numerică. Exemplul prezentat se referă la indentarea unui semispaţiu din plexiglas
( E
plexiglas
= 2380 [MPa] , ν
plexiglas
= 0.35 ) cu o forţă P = 5000 [N] şi pentru un cap sferic al
indenterului cu raza R = 3 [mm] .
D
Fig. 7.2.8. Presiunile de contact la indentarea unui semispaţiu elastic cu un indenter având cap
sferic. Compararea soluţiei numerice cu cea analitică.
Rezultatele obţinute numeric sunt satisfăcătoare, ele putând fi înbunătăţite printr-o mai bună
disctretizare în elemente finite de frontieră a domeniului de contact D. În cazul indentării unei
plăci din plexiglas, am obţinut şi unele rezultate experimentale, ele fiind obţinute în colaborare cu
Laboratoire de Mécanique et Modélisation des Matériaux et Structures du Génie Civil, Egletons,
Université de Limoges, Franţa. Protocolul testelor experimentale efectuate la laboratorul din
Egletons este următorul:
- încercările au fost realizate pe o maşină de încercări Zwick cu o capacitate de 200 [kN];
- deplasările sunt măsurate cu ajutorul unui captor LVDT (marca HBM);
- maşina de încercări Zwick este pilotată în deplasare, viteza de încărcare fiind de 0.01 [mm/s];
- pentru încercări s-au folosit bile din oţel inoxidabil (bile de rulment) cu diametrele de 8.72
[mm], 17.44 [mm] şi respectiv 25.38 [mm] ;
- placa supusă testării este din plexiglas, cu dimensiunile 85.15×40×12 [mm 3 ].
Fig. 7.2.9 prezintă o ilustrare grafică testelor de indentare efectuate cu maşina de încercări
Zwick.

182
Fig. 7.2.9. Indentarea une plăci din plexiglas, folosind o maşină de încercări Zwick.
Curbele forţă-deplasare obţinute prin încercările de indentare ale plăcii din plexiglas
considerate sunt prezentate în fig.18, pentru trei diametre diferite ale bilei sferice cu care s-a
efectuat indentarea: 8.72 [mm], 17.44 [mm] şi 25.38 [mm].
Fig. 7.2.10. Curbele forţă de apăsare-adâncime de pătrundere corespunzătoare indentării plăcii
de plexiglas considerate.
Pentru a aborda şi experimental indentarea prin impact, mai precis pentru realizarea în bune
condiţii a unui pendul de impact („impact hammer”), a fost în prealabil nevoie de o estimare a
nivelului de acceleraţii şi forţe pe care le vom avea de măsurat, pentru a folosi accelerometre şi
traductoare de forţă cât mai adaptate. Acest calcul este prezentat mai jos, menţionând că s-au
folosit ipoteze simplificatoare nu foarte exacte, însă suficiente pentru efectuarea unei estimări în
linii mari. Cele patru relaţii pe care s-a bazat estimarea nivelului de acceleraţii la impact sunt:

183
4 ∗ 3/2
Pi
= E δ
i
3
R , (7.2.1)
Fi ,ext
= mg − Pi = m δi
, (7.2.2)
Fi
,ext
v i 1
v + i
ti
m
(7.2.3)
1 Fi
,ext 2
δ
i+
1
=δ
i
+ vi∆ ti + ( ∆ ti)
,
2 m
(7.2.4)
unde m este masa bilei şi a pendulului ce lovesc placa indentată prin impact, F
i,ext
reprezintă
forţele (exterioare) ce acţionează asupra ansamblului bilă-pendul la momentul de timp t i
,
∆ ti = ti+
1
− ti
este pasul de timp considerat, v i
este viteza la momentul t i
a ansamblului bilăpendul,
iar δ
i
=δ
varf , i
este adâncimea de pătrundere a vârfului bilei la momentul t i
.
Ipotezele simplificatoare considerate pentru a descrie evoluţia procesului de impact sunt
următoarele:
- Relaţia (7.2.1) corespunde unei indentări cvasistatice a unui semispaţiu elastic, şi nu unei
indentări prin impact, impactul fiind un fenomen dinamic foarte accelerat şi necesitând
relaţii de calcul mai elaborate. Am considerat însă că, pentru estimarea în linii mari a
nivelului de acceleraţii (pentru stabilirea accelerometrelor de care este nevoie), putem
folosi relaţia (7.2.1), cu toate inexactităţile ei în descrierea unui fenomen de impact.
- Relaţia (7.2.2) reprezintă principiul fundamental al dinamicii newtoniene.
-
∆vi vi+
1
−vi
Relaţia (7.2.3) aproximează acceleraţia la timpul t i
ca fiind egală cu = , în
∆ti
∆ti
Fi
,ext ∆ti
fine relaţia (7.2.4) provine din aproximaţia δ
i+ 1
=δ
i
+ vi
1∆ t
+ i
, cu v 1 = vi
+ .
2
i+
2 m 2
La timpul t i
se cunosc δ
i
şi v
i
şi se doresc a se calcula δ
i+ 1
şi v
i + 1
la timpul t
i + 1
, fapt posibil
prin rezolvarea sistemului format de ecuaţiile (7.2.1)-(7.2.4). Am simulat această estimare nu
foarte exactă a fenomenului de impact cu ajutorul unui mic program realizat în Matlab/Simulink.
Datele exemplului considerat sunt următoarele: masa ansamblului bilă-pendul m = 10 [kg],
materialul indentat considerat este oţelul ( E
otel
= 200000 [MPa] şi ν
otel
= 0.3 ), raza bilei de
indentare rigide R = 2 [mm] , viteza ansamblului bilă-pendul imediat înainte de impact
v0 = 2ghcadere
≅ 20 [m/s] . Fig.7.2.11 prezintă evoluţia acceleraţiilor δ
i
în cazul unui impact
corespunzător acestui exemplu.

184
Fig.7.2.11. Evoluţia acceleraţiei în timpul impactului pentru exemplul considerat.
Nivelul maxim de acceleraţie obţinut este de circa 30000 m ≅ 3000g
, timpul de impact estimat
s
este ∆timpact ≅ 0.54 [ms], iar adâncimea maximă de pătrundere a vârfului bilei este
δvarf, MAX
≅ 0.81 [mm] . În condiţiile acestor estimări preliminare, am decis achiziţionarea unui
accelerometru de şoc Brüel&Kjaer având capacitatea de a măsura până la un nivel de acceleraţii
de 50000g , arhisuficient chiar şi în cazul unor erori mari introduse în calculul nostru estimativ de
folosirea unor formule cvasistatice simple.
Intorcandu-ne la nanotubul de carbon, Iijima (1991), Iijima şi Ichihashi (1993) au arătat
experimental că nanotubul de carbon se poate încovoia semnificativ până la un unghi critic de
aproximativ de 27,8 , pentru un tub cu un singur perete cu raza de 6 A . La acest unghi, tubul se
flambează local şi apare un comportament post critic de tip kink, cu un model de deformaţie
numit kink. Între pereţii tubului apare un spaţiu de 3,5 A , pentru care forţa van der Waals de
interacţiune devine puternic repulsivă.
Nanotuburile de carbon pot suporta unghiuri de până la 110 , şi prin înlăturarea sarcinii
exterioare, deformaţiile nanotubului sunt complet reversibile, tubul revenind la forma iniţială.
Pentru un unghi de 120 , legăturile atomice se rup şi deformaţiile devin ireversibile.
Mamalis et al. (1989) au observat experimental un mod de rupere plastică a macrotuburilor
circulare supuse la încovoiere, şi anume au observat forme în V, numite şi forme kink, cu regiuni
triunghiulare în peretele comprimat. Acest mecanism de deformaţie a fost asociat cu deformaţia
plastică. În cazul nanotuburilor de carbon, mecanismul de deformaţie kink este asociat cu
deformaţia elastică, şi el explică rezistenţa mare pe care o au la încovoiere.
Fig. 7.2.12. Geometria nanotubului.

185
În acest paragraf modelăm încovoierea elastică a nanotuburilor de carbon, bazându-ne pe
lucrarea autorilor Vodenitcharova, şi Zhang (2004), şi construind un model cuplat
continuu/atomistic pentru deformaţia nanotubului, în raport cu valoarea unghiului critic de
încovoiere. Pentru valori mai mici decât unghiul critic, aplicăm metoda continuă Brazier, iar
pentru valori mai mari ale unghiului de încovoiere, o teorie atomistică.
Considerăm un nanotub de carbon cu un singur perete de tip zigzag (10,0), supus la un
moment de încovoiere exterior M (Fig. 7.2.12). Neglijăm deformaţia circumferenţială şi ne
bazăm pe teoria Brazier a încovoierii elastice a macrotuburilor, pe care o prezentăm pe scurt în
continuare.
Pentru un tub de grosime h , rază R , lungime L , modulul lui Young E , şi coeficientul
Poisson ν , curbura axei în direcţia longitudinală x este dată de
unde c este curbura adimensională definită prin
C =
R
2ch
−ν
2 2
3 (1 )
, (7.2.5)
3ζ
c = , (7.2.6)
2
şi ζ , coeficientul de deformare a secţiunii transversale, unde R este raza secţiunii nedeformate,
şi
R
c
, raza secţiunii deformate, care depinde de unghiul de încovoiere ψ
R − R
ζ= c
. (7.2.7)
R
Energia de deformaţie Π pe unitatea de lungime este egală cu suma dintre energia de
întindere longitudinală şi energia de încovoiere circumferenţială
2 2
1 ˆ
3 2 ⎛ 3 5 2⎞
3πEhh
ζ
Π= πRhCE⎜1− ζ+ ζ ⎟+
, ˆ h
h =
2 ⎝ 2 8 ⎠ 8R
2
1−ν . (7.2.8)
Energia totală a tubului şi respectiv, momentul încovoietor sunt date de
dΠt
Π
t
=Π L , M = .
d ψ
(7.2.9)
Notăm cu N forţa axială. Tensiunea critică la compresiune axială şi respectiv, momentul
critic de încovoiere pentru flambajul local, sunt
N
σ
cr
= =−
h
EhR
2
3(1 )
−ν
,
M
cr
πERhhˆ
= . (7.2.10)
3
În expresia momentului M
r
nu se ţine seama de efectul deformării secţiunii. Deformarea
secţiunii face să descrească valoarea acestui moment critic, astfel
2
M = mM cr
, m = 2 c(1 − 2 c ) . (7.2.11)
Pentru valori mici ale lui ζ , putem calcula raza curburii locale în punctul unde tensiunea
de compresiune este maximă
R
ρ= . (7.2.12)
1 − 3 ζ

186
Tensiunea maximă poate fi exprimată ca o fracţiune din tensiunea de compresiune critică
σ= sσ , (7.2.13)
unde s este tensiunea adimensională a fibrei extreme.
Presupunem că tensiunea de compresiune la flambaj local depinde de curbura locală
cr
cr
R
s = . (7.2.14)
ρ
Deformaţia de compresiune se poate scrie sub forma
ε= CR(1 −ζ ) . (7.2.15)
Formulele de mai sus sunt valabile atâta timp cât tubul nu flambează la sarcina critică. La
flambaj, apar deformaţii de tip kink, care transformă nanotubul într-un mecanism mecanic. Şi
anume, o porţiune a peretelui se deformează, formând două plăci tringhiulare ACF şi ACE, care
se rotesc în jurul liniei AC, numită linie kink. Acest mecanism kink este schiţat în Fig. 7.2.13, cu
o imagine laterală prezentată în fig. 7.2.14, şi o imagine de sus, în fig. 7.2.15. Partea care rămâne
din nanotub se păstrează circulară chiar dacă tubul se deformeză în continuare, şi curbura
descreşte. Frontiera dintre zona triunghiulară şi zona circulară este descrisă de liniile AE, CE, AF
şi CF. Nanotubul continuă să se deformeze elastic, chiar după apariţia deformaţiilor kink.
Din fig. 7,2,12 se obţin deplasările normale şi tangenţiale sub forma
1
w= Rζ cos2θ , v=− Rζsin 2θ . (7.2.16)
2
Când tensiunea de compresiune atinge valoarea critică corespunzătoare unghiului critic de
încovoiere, tubul se va flamba, şi valoarea lui ζ pentru flambajul local este în jur de 0,14.
Fig. 7.2.13. Schiţa mecanismulului de deformaţie kink.

187
Fig. 7.2.14. Imaginea laterală a schiţei din fig. 7.2.13.
Fig. 7.2.15. Imaginea de sus a schiţei din fig. 7.2.13.
Secţiunea transversală se deformează astfel încât arcul circular A′′ C′′ , definit de unghiul φ ′′ 0
se deformează şi produce linia kink AC (fig. 7.2.16 şi fig. 7.2.17).
Această condiţie devine
AC = A′′ C′′ = 2Rφ ′′ . (7.2.17)
Menţionăm că pentru macrotuburi avem altă condiţie, şi anume AC = 2Rφ 0
. Se observă ca
avem
unde R′ este raza arcului ADC din fig.7.2.15.
0
AC = 2AB = 2R′ sinφ ′ , (7.2.18)
0

188
Fig. 7.2.16. Secţiunea transversală I-I din fig. 7.2.13.
Fig. 7.2.17. Secţiunea transversală II-II din fig. 7.2.13.
Ecuaţiile (7.2.17) şi (7.2.18) devin
Rφ ′′ = R′ sin φ ′ , (7.2.19)
0 0
de unde rezultă
R′ sin φ′
′′
R
În continuare, avem pentru arcul AGC
AGC = 2 R′ ( π−φ ′)
. (7.2.21)
sau
Din condiţia C + AGC = 2π R , rezultă
0 0
0
φ
0
= . (7.2.20)
0
2Rφ ′′ + 2 R′ ( π−φ ′ ) = 2π R , (7.2.22a)

189
2Rsin φ ′ + 2 R′ ( π−φ ′ ) = 2π R , (7.2.22b)
0 0
Parametrii R′ şi φ ′ 0
se pot lega de deformaţia din direcţia longitudinală prin parametrul δ
(Fig. 7.2.16)
R′ + R′ cosφ ′
0
= 2R−δ. (7.2.23)
Din (7.2.22a) avem
πR
R′ =
sin φ ′ ′
0
+π−φ . (7.2.24)
0
Coordonatele punctului A sunt
xA
= l yA
= 2Rcosλ− 2Rsin λ(2l−2Rsin λ)
zA
= R′ sin φ′
0
Lungimea formei kink este 2l , şi se presupune că este egală cu 2R . În acest caz
parametrul δ devine
De asemenea, avem
şi pentru lungimea liniilor AE, CE, AT, CF, obţinem
δ= − . (7.2.25)
2R
yB
⎛ 2R
⎞
α= asin⎜l− sin λ⎟
⎝ l ⎠ , (7.2.26)
l l AB
2 2
h
= + . (7.2.27)
Nu uităm că tubul se deformează elastic. Partea cilindrică din forma kink în poziţia
1
nedeformată are o curbură în direcţia circumferenţială, . După flambaj, această parte se
R
1
deformează în zonele triunghiulare ACF şi ACE, având o curbură − . Prin urmare, momentul de
R
încovoiere în direcţia circumferenţială θ , este dat de
3
1 Eh
M = θθ
, (7.2.28)
2
R 12(1 −ν )
Calculăm în continuare energia de deformaţie corespunzătoare
W = 4M Rφ . (7.2.29)
′′
1 θθ 0
În mod similar, partea inferioară a zonei circulare, iniţial cu o curbură în direcţia
1
circumferenţială
R , se deformează într-un arc de curbură 1
. Prin urmare, momentul de
R′
încovoiere M
2
în direcţia circumferenţială şi energia de deformaţie corespunzătoare, sunt date de
M
θθ
3
⎛ 1 1 ⎞ Eh
=−⎜
− ⎟
⎝ R′ R⎠
−ν
2
12(1 )
2 2 0 0 0
, (7.2.30)
W = 4 M R ( π−φ′′ )( φ′ − φ ′′)
. (7.2.31)
Părţile triangulare ale formei kink se rotesc în jurul liniei kink AC cu un unghi relativ de
rotaţie π−2α. Momentul de încovoiere elastic M , în timpul acestei rotaţii, are direcţia x .
xx

190
Pentru a calcula această cantitate, mai întâi evaluăm curbura 1 ρ (fig. 7.2.14). Pentru π
α=
2
care corespunde tubului nedeformat, avem 1 = 0 . Datorită apariţiei deformaţiei kink, curbura
ρ
locală creşte, iar FB şi FE (Fig. 4.7.3) nu se pot apropia mai mult decât distanţa de echilibru
d
eq
= 3,42A
.
Pentru α= 0 (deformaţie maximă), distanţa dintre pereţi este egală cu distanţa de echilibru,
formându-se un arc de curbură 1 =
3,42 A
. Într-o primă aproximaţie, variaţia curburii locale în
ρ 2
π
raport cu α , se poate considera liniară de la la 0. Avem 2
⎛
3
2 π−2α⎞
Eh
M
xx
= , (7.2.32)
⎜
2
d ⎟
⎝ eq
π ⎠12(1 −ν )
cu energia de deformaţie corespunzătoare
W3 = Mxx
( π−2 α ) AC . (7.2.33)
Momentul de încovoiere elastic în direcţia perpendiculară pe AE, CE. AF şi CF , se obţine
sub forma
2 2
Mnn = M
xxcos
ε
x
+ M θθ
sin ε
x
, (7.2.34)
unde ε
x
este unghiul dintre normala la aceste linii şi direcţia longitudinală x
⎛ l ⎞
ε
x
= a tan⎜ ⎟
⎝ AB ⎠ . (7.2.35)
Energia de deformaţie în fiecare linie AE, CE. AF şi CF , este
2
2M nn
l h
φ′
0
W4
= . (7.2.36)
l
În consecinţă, energia totală de deformaţie, în procesul de încovoiere datorită momentului
mecanic exterior, este suma celor patru energii calculate, fiind o funcţie de unghiul de încovoiere
ψ
4
W ( ψ ) =∑ Wi
. (7.2.37)
Momentul de încovoiere extern se calculează din d d
W
ψ .
În cazul nanotubului, în analiza atracţiei dintre pereţii care se apropie în timpul deformaţiei,
trebuie să ţinem seama de forţa de interacţiune van der Waals. Mărimea forţei depinde de
distanţa dintre atomi. Pentru distanţe mari, forţa van der Waals este atractivă, dar când distanţa
dintre atomi este mai mică decât distanţa de echilibru 3,42A , ea devine puternic repulsivă. În
cazul nanotubului, forţa van der Waals acţionează atunci când apare deformaţia kink. Pe măsură
ce unghiul de încovoiere creşte, partea superioară şi partea inferioară a formei kink se apropie
una de alta, până când se atinge distanţa de echilibru. Această distanţă rămâne neschimbată, chiar
i=
1

191
dacă procesul de încovoiere continuă, pentru că nu există forţe normale exterioare care să
acţioneze asupra pereţilor ca să anihileze forţa van der Waals.
Forţa van der Waals dintre atomii i şi j se poate exprima sub forma potenţialului Lennard-
Jones
⎛
12 6
σ σ ⎞
Uij
( rij
) = 4ε −
12 6
, (7.2.38)
⎜ rij
r ⎟
⎝ ij ⎠
−19
unde ε= 4,7483× 10 Nmm , σ= 3,407A
, şi r
ij
este distanţa dintre atomi. Energia potenţială
de deformaţie este suma energiilor tuturor atomilor. Lucrul mecanic al forţei van der Waals
pentru fiecare atom, este produsul dintre forţă şi deplasarea atomului în timpul deformaţiei kink.
Aplicăm această teorie mai întâi pentru un nanotub zigzag (10,0) de rază 6,26 A , cu un
singur perete de grosime 0,617 A , având un modul Young echivalent de 4,88 TPa, şi un
coeficient Poisson ν = 0,19 . Teoria Brazier este valabilă numai pentru valori al unghiului de
încovoiere până la ψ= 25,58
, pentru care energia are o variaţie neliniară. În fig. 7.2.18 este
reprezentată energia totală a nanotubului, cu şi fără forţa van der Waals (vdW).
Fig. 7.2.18. Energia totală de deformaţie a nanotubului.
Variaţia momentului de încovoiere M ( ψ ) este reprezentată în fig. 7.2.19. Se observă că
până la ψ= 20
, momentul creşte aproape liniar (ecuaţia (7.2.9) 2
. Momentul de încovoiere
corespunzător liniilor AC, AE, CE, AF şi CF , după apariţia formei kink este reprezentat în fig.
7.2.20. Se vede că momentul M
xx
asociat liniei kink AC este dominant deoarece curbura aici este
mare.

192
Fig. 7.2.19. Momentul de încovoiere a nanotubului.
Pentru a calcula lucrul mecanic al forţei van der Waals trebuie să cunoaştem poziţiile
iniţiale şi curente ale poziţiilor atomilor de carbon. În raport cu un sistem de coordonate aşezat în
centrul secţiunii transversale a unuia din capetele tubului, înainte de deformaţie, atomii de pe
circumferinţă au coordonata y fixă 1,42 3A , iar coordonata x are valori de la 0,71A la
1,42A . În timpul deformaţiei tubul rămâne în acelaşi plan ( xy ). Secţiunea longitudinală printr-o
formă kink pentru un unghi de încovoiere de 52,4 este reprezentată în fig. 7.2.21, iar câteva
inele atomice deformate în palnul (yz) a secţiunii transversale a nanotubului în punctul de
maximă curbură (inele atomice), pentru acelaşi unghi de încovoiere, sunt reprezentate în fig.
7.2.22.
Deformaţia iniţială a secţiunilor x = 0 şi x= 2l
se poate lua în considerare pentru flambajul
local, dar calculele au arătat că aceste condiţii au o influenţă neglijabilă.
În timpul deformaţiei se ajunge repede la distanţa de echilibru 3,42A , care rămâne
neschimbată chiar dacă deformaţia creşte în continuare. În Fig. 4.7.12 sunt reprezentate energiile
disipate în mecanismul kink, cu W , energia disipată totală, W
1
, energia de deformaţie în regiunea
tringhiulară, W
2
, energia de deformaţie în zona circulară, W
3
, energia de rotaţie corespunzătoare
liniei kink AC, W
4
, energia de deformaţie de rotaţie corespunzătoare liniilor AE, CE, AF şi CE,
iar
W
vdW
, energia van der Waals.
.

193
Fig. 7.2.20. Momente de încovoiere după apariţia deformaţiei kink.
Fig. 7.2.21. Secţiune longitudinală printr-o formă kink pentru un unghi de încovoiere de
52,4 .
Fig. 7.2.22. Deformaţii ale secţiunii transversale (yz) a nnaotubului în punctul de maximă
curbură (inele atomice), pentru un unghi de încovoiere de 52,4 .
Lucrul mecanic al forţei van der Waals este negativ, şi era de aşteptat acest lucru (fig.
7.2.23) deoarece această forţă acţionează mai degrabă ca o forţă exterioară, care se adună la lucrul
mecanic al momentului de încovoiere exterior M ( ψ ). În calculul forţei van der Waals se

194
consideră numai interacţiounea dintre pereţii formei kink, cu o distanţă minimă de 3A . Se
neglijează interacţiunea dintre părţile aflate la un unghi 2α una în raport cu cealaltă (fig. 7.2.14).
Fig. 7.2.23. Energii disipate în mecanismul kink.
Fig. 4.7.24. Câteva forme ale secţiunii transversale pentru diferite valori ale parametrului de
deformaţie.

195
În final, fig. 7.2.24 prezintă câteva forme ale secţiunii transversale deformate a nanotubului
de carbon, pentru diferite valori ale parametrului ζ , în diferite stadii de deformaţie. În plus, a
fost pusă în evidenţă urme de ondulaţii (încreţire) a părţii inferioare a tubului, aşa cum se observă
din fig. 7.2.25, înainte de apariţia deformaţiilor kink.
Fig. 7.2.25. Urme de încreţire a parţii inferioare a nanotubului, înainte de apariţia deformaţiilor
kink.

196
7.3. Teorii cuplate atomistic-continue de simulare a nanoindentarii
În modelele cuplate atomistic-continue, interfeţele care despart regiunile modelate atomistic
de cele modelate continuu se analizează în mod special.
Fie V volumul regiunii ocupate de un corp deformabil B în configuraţia de referinţă
lagrangiană. Mecanica mediului continuu presupune că pentru un material dat există o funcţională
a densităţii energiei de deformaţie.
Notăm cu W ( X ) densitatea energiei de deformaţie pe unitatea de volum din configuraţia de
referinţă, astfel încât energia asociată unui element de volum dV să fie W( X )dV
. Originea
acestei funcţionale de energie şi dependenţa sa de deformaţia materialului reprezentă date de
c
intrare pentru mecanica mediului continuu. Energia potenţială a materialului E se poate scrie ca
o integrală pe volumul V al corpului
c
E = ∫W ( X )dV
. (7.3.1)
V
În metodele cuplate se utilizează de multe ori presupunerea că regiunile continue din
material nu conţin deformaţii mari şi nici efecte inelastice. De aceea în astfel de regiuni densitatea
energiei de deformaţie W este energia definită de teoria liniară a elasticităţii
1
Wlin( X) = Cijklεij ( X) εkl
( X ) , (7.3.2)
2
unde C
ijkl
este tensorul de ordinul patru al constantelor elastice ale materialului şi ε
ij
sunt
componentele tensorului de deformaţie în punctul X .
Pentru a determina starea de deformaţie şi de deplasare a corpului, în condiţii de încărcare
c
cu forţe exterioare, minimizăm energia E . Această minimizare se realizează cel mai simplu cu
ajutorul metodei elementelor finite (FEM). Elementele finite (FE) se bazează pe introducerea unui
set de puncte X
j
(noduri j ) în care se calculează deplasările U
j
= uX (
j)
. Deplasările în alte
poziţii ale corpului decât în aceste noduri, se calculează prin interpolarea deplasărilor nodale în
poziţiile dorite (interpolare predeterminaţă sau cu funcţii de formă).
Dacă gradele de libertate sunt deplasările nodale, FEM impune o constrângere cinematică a
deformaţiei materialului. Energia totală în regiunea continuă a materialului se scrie ca o sumă a
energiilor elementelor µ , cu N numărul de elemente din regiunea V µ
e
N e
c
E ∫ WV d E µ
, E = µ ∫ W ( X )dV
, W( X) = W( F( X )) , (7.3.3)
= =∑
V
µ
Vµ
unde F este gradientul deformaţiei. Discretizarea şi interpolarea stau la baza calculului
deplasărilor elementelor
N
u( X) = ∑U jSj( X ) ,
j=
1
N
∑
F( X) = I+ U ⊗∇S
( X ) , (7.3.4)
j=
1
j
j
unde N este numărul de noduri din regiunea considerată, ⊗ este produsul tensorial şi S
j
funcţiile de formă asociate nodului j .
Un rezultat important este specificat de Curtin şi Miller (2003): pentru materiale perfect
cristaline fără defecte, proprietatea de localitate a energiei potenţiale W ( X ) implică faptul că
energia în punctul X este egală cu energia pe unitatea de volum a unui cristal infinit şi perfect,
deformat omogen cu un gradient de deformaţie FX ( ).

197
Energia de deformaţie pe unitatea de volum a unui cristal infinit se calculează cu ajutorul
potenţialului interatomic. Şi anume, având gradientul deformaţiei FX ( ), se aplică legea Cauchy-
Born (Tadmor, Ortiz şi Phillips 1996): celula unitate deformată se obţine prin transformarea
vectorilor laticei Bravais primitive nedeformate A i
, i = 1,2,3, în vectorii ataşaţi structurii
deformate ai = FA
i
, unde a i
, i = 1,2,3, sunt poziţiile noi ale nodurilor din reţeaua cristalului.
Vectorii de poziţie R şi r ale nodurilor reţelei nedeformate şi respectiv deformate sunt daţi de
R = lA1 + mA2 + nA 3
, = l
1
+ m
2
+ n
3
r a a a . (7.3.5)
Pentru reţele Bravais simple cu un singur atom în celulă, se calculează destul de greu o
celulă unitate deformată. Dar pentru cristale complexe, cu mai mulţi atomi asociaţi fiecărei
poziţii, procedeul devine eficient. Poziţiile atomilor sunt descrise de vectorii de bază B
k
,
k = 1,2,..., n, în raport cu poziţia nedeformată a reţelei. Poziţiile din laticea nedeformată sunt daţi
de R+
B , k = 1,2,..., n. Poziţiile atomilor în reţeaua deformată se scriu sub forma
k
Energia potenţială W ( FX ( )) devine
rk
= la1 + ma2 + na3
+ b
k
,
k
=
k
unde Ω
0
este volumul unei celule unitare şi
b FB , k = 1,2,..., n. (7.3.6)
Ea ( ( )) ( F
W =
( X
FX )) , (7.3.7)
Ω
E
0
a
= ∑ Ei
este energia totală atomică, cu E i
i
energia atomului i. Legea Cauchy-Born este similară cu ipoteza din FEM, prin care gradele de
libertate atomice interne ale unei celule unitare sunt legate cinematic de poziţiile din reţeaua
Bravais. Prin urmare, pentru deformaţii mici energia se poate calcula conform legii Cauchy-Born.
Pentru a obţine rezultate realistice, se aplică această lege pentru atomii pentru care k = 1, şi se
minimizează energia în raport cu gradele interne de libertate b
k
, k = 2,..., n.
Observăm că proprietatea de localitate a funcţiei W ( X ) permite construirea metodelor
cuplate, deoarece energia atomică reală are un caracter nelocal. Dacă ∇F este mare, caracterul
nelocal joacă un rol important. Într-un model continuu, W ( X)
include interacţiunile atomice
nelocale, datorită presupunerii că deformaţia este omogenă în orice element, şi nu pentru că s-a
luat în considerare deformaţia neomogenă (Curtin şi Miller 2003).
Pentru a obţine echilibrul mecanic, energia se minimizează în raport cu gradele de libertate.
Este util să identificăm consecinţele aproximării funcţiei W ( X ) asupra forţelor din noduri. Forţa
c
∂E
din nodul i se calculează cu formula − , şi corespunde energiei care rezultă din variaţia
∂ Ui
deplasării U
i
nodului i , după ce nodul s-a deplasat cu o cantitate infinitezimală.
În FEM, variaţia deplasării nodului i produce o variaţie a gradientului de deformaţie F
pentru toate elementele care conţin nodul i . Dacă n
e
este numărul elementelor conectate cu
nodul i , variaţia energiei totale este
∂E
∂U
c
i
n c
e
∂Eµ
= ∑ . (7.3.8)
∂U
µ= 1
Energia asociată elementelor care nu sunt conectate la nodul i rămâne neschimbată. În
contrast, când un atom este deplasat sau mutat (într-o simulare atomică), toţi atomii care se află în
vecinătatea sa, să zicem regiunea R , suferă o modificare a energiei.
c
i

198
Într-o formulare atomistică, forţa din nodul i este
∂E
∂r
i
a
=
∂E
ne
j
∑ . (7.3.9)
jr , ij < R ∂r
c i
În metodele cuplate, se face o descriere atomistică pentru anumite regiuni din material şi o
descriere continuă pentru alte regiuni din material. Regiunea de tranziţie sau frontiera dintre
regiunea atomică şi regiunea continuă (interfaţa tampon, sau pad) necesită o atenţie deosebită.
Această interfaţă este modelată în aşa fel încât interacţiunile nelocale dintre atomi să fie
luate în consideraţie.
O altă metodă de a descrie interfaţa dintre domeniul continuu şi domeniul atomistic este
tranziţia prin scara mezoscopică de la microni la milimetri. Această metodă este utilă în
modelarea propagării fisurilor macroscopice. Se presupune că fisura are o mişcare în derivă cu
vârful fisurii executând o mişcare de difuzie, pentru a reflecta efectul vitezei de oscilaţie a fisurii
observată la nivel atomic, în traiectoria fisurii observată macroscopic. Componenta de difuzie este
caracterizată de un process stocastic Wiener. Se utilizează modelul Einstein al dinamicii
Browiane (Rafii-Tabar 2000)
1
D= r t −r
2
∑ | () (0)| , (7.3.10)
2st
t
unde t este timpul de întârziere, s dimensiunea spaţiului difuziv ( s = 2 în cazul prezent), iar r
este coordonata atomului din vârful fisurii. În acest model, propagarea fisurii se modelează în trei
scări metrice diferite. Mai întâi se realizează o tranziţie de la scara macro la scara nanometrică
prin intermediul scării mezoscopice. Se calculează deplasările atomilor la scară macro, şi apoi cu
dinamica moleculară se calculează forţele şi tensiunile la vârful fisurii.
Se calculează viteza critică a fisurii V m
, adică viteza de la care apar oscilaţiile, şi constanta
de difuzie D a atomului din vârful fisurii. Pe urmă se realizează o tranziţie reversă, de la scara
nanometrică la scara continuă, tot prin intermediul scării mezoscopice. Se deplasează atomul din
vârful fisurii, în noua poziţie calculată anterior, şi se calculează traiectoria fisurii, cu metoda
stocastică Ito
d X () t = X( t+ d) t − X() t = A[ X(),]d t t t+ DdW()
t , (7.3.11)
unde Xt () este traiectoria stocastică a fisurii în spaţiul real, A[ Xt (),] t este viteza de mişcare a
fisurii, şi Wt () este Gaussianul stocastic al procesului Wiener.
7.4. Metoda de rezolvare a ecuatiilor neliniare (metoda cnoidala)
Functiile cnoidale sunt mai bogate decat functiile sinus si cosinus, deoarece modulul m al
functiei cnoidale (0 ≤m
≤ 1) poate varia pentru a obtine o functie sinusoidalã ( m ≅ 0) , o vibratie
Stokes ( m ≅ 0.5) sau o vibratie de tip soliton ( m ≅ 1) . Osborne a rezolvat ecuatia neliniara KdV
cu metoda cnoidala, cunoscuta în literaturã si sub numele de metoda împrastierii înverse prin
reprezentari cnoidale sau reprezentari theta ( functia theta).
S-a dovedit ca nu numai ecuatia KdV poate fi rezolvata cu aceasta metoda, ecuatii neliniare
celebre cum ar fi ecuatia sine-Gordon si ecuatia neliniara a lui Schrödinger, precum si alte ecuatii
neliniare au fost rezolvate cu reprezentarea theta (Munteanu si Donescu 2002, 2004)
Consideram functia ℘ () t introdusa de Weierstrass (1815-1897) in 1850 care verifica ecuatia
4 g ℘−g
, (7.4.1)
2 3
℘ = ℘ −
2 3

199
unde punctul noteaza derivata in raport cu t . Daca e 1
, e 2
, e 3
sunt radacinile reale ale ecuatiei
− − = cu e 1
> e 2
> e 3
, atunci (7.4.1) se poate scrie sub forma
3
4y g2y g3
0
cu
4( )( )( ) , (7.4.2)
2
℘ = ℘−e1 ℘−e2 ℘−e3
2 2 2
g2 = 2( e1 + e2 + e3)
, g3 = 4eee
1 2 3
, e 1
+ e 2
+ e 3
= 0 .
Introducem determinantul ∆
∆= g − 27g
. (7.4.3)
3 2
2 3
Pentru ∆> 0 , ecuatia (7.4.2) admite ca solutie particulara functia eliptica Weierstrass care
se reduce, în acest caz, la functia cosinus eliptic jacobian “ cn ” (functie cnoidala)
unde δ ′ este o constanta reala arbitrara.
Daca atasam ecuatiei (7.4.2) conditiile initiale
℘ ( t+δ ′; g , g ) = e −( e −e )cn ( e − e t+δ ′)
, (7.4.4)
2
2 3 2 2 3 1 3
℘ (0) =θ0, ℘ ′(0) =θ
p0, (7.4.5)
atunci o suprapunere lineara (suma) de functii cnoidale de forma (7.4.4) este de asemenea o
solutie a ecuatiei (7.4.2)
n
2
lin
2
kcn [
kt; mk
]
k=
0
θ = ∑ α ω , (7.4.6)
unde 0 ≤ m k
≤ 1, frecventele ω
k
si amplitudinile αk
depind de θ
0
, θ
p0
.
Pentru ∆< 0 solutia ecuatiei (7.4.2) este data de
1+ cn(2 t H2
+δ′ )
℘= e2 + H2
1− cn(2 t H ′
2
+δ )
,
in care avem
1 3e2
2 g2
m = − , H2 = 3e2
− .
2 4H
2
4
Daca ∆= 0 avem e1 = e2
= c , e3 =− 2c
si solutia ecuatiei ( 7.4.2) este data de
℘= c +
3c
ct +δ ′
.
2
sinh ( 3 )
Consideram acum o ecuatie de tip Weierstrass cu polinom de ordinul 5 si ne propunem sa-i
determinam solutiile. Aceasta ecuatie apare in analiza dinamica a pendulului simpatic si se scrie
sub forma
θ = A θ + A θ + A θ + A θ + A θ , (7.4.7)
2 2 3 4 5
1 2 3 4 5
unde , 1, 2...5
i
A i= se exprima cu ajutorul a doua constante R si S care pot fi reale sau pur
imaginare

200
Atasam conditiile initiale
A
1
6
4
1
= S ,
A
A
4
3
4
3
3
2
= RS ,
3
4
= R S ,
A
A
3
2
2 2
3
= RS , (7.4.8a)
1
2
4
5
= R . (7.4.8b)
θ (0) =θ , θ (0) =θp
. (7.4.9)
0 0
Vom arata ca solutia ecuatiei (7.4.7) admite pe langa o solutie de tipul (7.4.6) si o solutie de
interactiune neliniara (o suprapunere neliniara de functii cnoidale). Pentru a arata aceasta,
presupunem ca aceasta solutie este de forma
λ℘( t)
θ
int
() t = , (7.4.10)
1 +µ℘ ( t)
unde ℘()
t este functia eliptic| Weierstrass care satisface ecuatia diferentiala (7.4.1), cu
invariantii g2
si g3
reali ce satisfac ∆> 0 , si λ si µ constante arbitrare.
Inlocuind (7.4.10) în (7.4.7) se obtine un set de 4 ecuaiti pentru necunoscutele λ , µ ,
g2
si g
3
Din ecuatiile (7.4.11a), (7.4.11b) obtinem
Tinand seama de (7.4.8) ecuatia (7.4.12) se reduce la
Astfel, µ si λ se pot exprima sub forma
−2λµ = A µ + Aλµ + Aλ µ + A λ µ + Aλ , (7.4.11a)
2 4 3 2 2 3 4
1 2 3 4 5
4λµ = 4A µ + 3Aλµ + 2Aλ µ + Aλ , (7.4.11b)
3 2 2 3
1 2 3 4
3 2 2 2
6λ+ λµ g2 = 6A1µ + 3A2λµ + A3λ , (7.4.11c)
2
2
λµ g + 2λµ g = Aµ + A λ . (7.4.11d)
2 3 1 2
6Aµ + 5A λµ + 4Aλ µ + 3Aλ µ + 2Aλ = 0 . (7.4.12)
4 3 2 2 3 4
1 2 3 4 5
4
( R S ) 0
λ+ µ = . (7.4.13)
⎛ A ⎞
⎜ ⎟
⎝3A1
⎠
1/4
5
µ =− λ≠
0
, (7.4.14)
Din (7.4.11c) si (7.4.11d) putem calcula necunoscutele g
2
si g
3
g
2
3
2 2 2
3/ 2
λ=− 30(3 AA
1 5}
− . (7.4.15)
A A 2 λA
1
= 4 + 2 + −4
λ µ 3 µ µ ,
1 A1
1 1
g3 = + A
2 2
− g2
. (7.4.16)
2λµ 2µ 2µ

201
Pentru parametrii care intervin in aceasta analiza exista întotdeauna solutii reale pentru λ ,
µ , g2
si g
3
. Termenul de interactiune neliniara al solutiei ecuatiei (7.4.7) devine
λ℘ ( t+ δ′ ; g2, g3)
θ () t =
, (7.4.17)
1 +µ℘ ( t +δ′ ; g , g )
unde λ si µ sunt date de (7.4.14) si (7.4.15) si δ ′ este o constanta de integrare.
Inlocuind functia eliptica Weierstrass cu functia eliptica “ cn ” unde e 1
, e 2
, e 3
sunt r|d|cinile
3
reale ale ecuatiei 4y −g2y− g3
= 0, cu e 1
> e 2
> e 3
obtinem
2 3
λ[ e −( e −e )cn ( e − e t+δ′
)]
θ =
1 + µ [ e −( e −e )cn ( e − e t+δ′
)]
2
2 2 3 1 3
int
() t
2
2 2 3 1 3
. (7.4.18)
Modulul m al functiei eliptice jacobiene este dat de
e2 − e3
m = . (7.4.19)
e − e
Vibratia solitara este o vibratie periodica cu perioada infinita si acest lucru se întâmpla
atunci când m =1 sau e1 = e2. Deoarece e1 , e2 , e
3
sunt radacinile ecuatiei cubice
3
4y −g2y− g3
= 0, solutia de tip vibratie solitara poate fi posibila pentru anumite valori ale
parametrilor λ , µ , g
2
, g
3
, si în acest caz ea se scrie sub forma
1 3
λ[ e −( e −e )sech ( e − e t+δ′
)]
θ =
1 + µ [ e −( e −e )sech ( e − e t+δ′
)]
2
1 1 3 1 3
int
() t
2
1 1 3 1 3
. (7.4.19)
Pentru conditii initiale arbitrare (7.4.9) termenul de interactiune neliniara se poate scrie sub
forma generalizata
θ ( xt , ) =
int
n
2
∑βkcn [ ωktm
;
k]
k = 0
n
2
1+ ∑ γkcn [ ωkt; mk]
k = 0
, (7.4.20)
unde 0 ≤ m k
≤ 1, ω
k
,β si γk
depind de θ
0
, θ
0 p
si A
k
.
Prin urmare, în cazul ecuatiei (7.4.7) s-a obtinut o solutie formata din doi termeni. Primul
termen reprezinta o suprapunere lineara de functii cnoidale (7.4.6) si cel de al doilea un termen
neliniar de interactiune de functii cnoidale (7.4.20).
Ecuaţiile diferentiale care guverneaza miscarea unui sistem dinamic se scriu de obicei sub
forma
dxi
Fi( x1, x2,..., xn), i 1,..., n, n 3
dt = = ≥ , (7.4.21)
t ∈ T , T ∈ R , unde F poate avea diverse forme polinomiale
x∈ R n , [0, ]

202
d
dt
n n n
θ
i = ∑aip θ
p + ∑ bipq θ
p θ
q + ∑ cipqr θ
p θ
q θ
r +
p= 1 pq , = 1 pqr , , = 1
n
∑
+ d θ θ θ θ + e θ θ θ θθ + ....
ipqrl p q r l ipqrlm p q r l m
pqrl , , , = 1 pqrlm , , , , = 1
n
∑
(7.4.22)
i= 1, 2,... n.
Sistemul de ecuatii (7.4.21) sau (7.4.22) are proprietatea remarcabila de a se reduce la
ecuatii polinomiale Weierstrass. In continuare prezentam metoda cnoidala in forma generala
aplicabila sistemelor de ecuatii (7.4.21) sau (7.4.22). Pentru simplitatea scrierii omitem indicele
i si notam solutia sistemului de ecuayii θ .Introducem urmatoarea transformare de functie
unde functia Θ este dezvoltata in serie
unde
Presupunem ca
Pentru n = 1 obtinem
Pentru un n arbitrar avem
2
d
θ= 2 log Θ ( )
2 n
dt
t , (7.4.23)
Θ = +εΘ +ε Θ + (7.4.24)
(1) 2 (2)
n
1
n n
...
n
(1)
Θ
n
= ∑ exp(i ωit)
. (7.4.25)
i=
1
Θ = 1+ exp(i ω t + B ) ,
1 1 11
Θ
2
= 1+ exp(i ω
1t + B11 ) + exp(i ω
2t+ B22) + exp( ω
1
+ω
2
+ B12)
,
Θ
3
= 1+ exp(i ω
1t+ B11) + exp(i ω
2t+ B22)
+
+ exp(i ω
3t+ B33) + exp( ω
1
+ω
2
+ B12)
+
+ exp( ω
1+ω 3
+ B13) + exp( ω
2
+ω
3
+ B23)
+
+ exp( ω +ω +ω + B + B + B ).
1 2 3 12 13 23
1
Θ = exp(i ω +
)
n
n
n
M
i it B
ijMiM
j
M∈−∞∞ ( , ) i= 1 2 i<
j
∑ ∑ ∑ , (7.4.26)
exp B
2
⎛ω−ω
⎞
i j
ij
= ⎜
ω+ω ⎟
i j
⎝
⎠
2
, exp B ii
=ω i
. (7.4.27)
Matricea de interactiune B se poate descompune într-o matrice diagonala D si o matrice
fara| componente pe diagonala, adica
B = D + O .
M = [ MM
1 2... M n
] este un vector de numere Τntregi, ω= [ ωω
1 2... ω
n
] este vectorul frecventa, si
n este un numar finit care reprezinta numa|rul gradelor de libertate ale unei solutii particulare.
Scriem solutia (7.4.23) sub forma.

203
2
∂
θ ( t) = 2 log Θ ( ) ( )
2 n
η =θlin
η +θint
( η)
, (7.4.28)
∂t
unde η= [ ηη
1 2... η
n]
.
Primul termen θlin
reprezinta o suprapunere lineara de functii cnoidale si este dat de
2
∂
θlin
( η ) = 2 log G ( η)
, (7.4.29)
2
∂t
1 T
G( η ) = ∑ exp( iMη+
M DM ) , (7.4.30)
2
M
iar doilea termen
dat de
θ
int
reprezinta o suprapunere (interactiune) neliniara de functii cnoidale si este
2
∂ F ( η, C)
θint ( η ) = 2 log(1 + ) , (7.4.31)
2
∂t
G ( η)
1 T
F ( η , C) = ∑ Cexp( iMη+
M DM)
, (7.4.32)
α
2
1 T
C = exp( M OM) − 1, (7.4.33)
2
Descompunerea (7.4.28) se obtine usor din (7.4.31) si (7.4.32). Vom discuta pe scurt de
ce primul termen θ
lin
poate fi interpretat ca o suprapunere liniara de functii cnoidale.
Vectorul η are forma
Notam
Fazele constante sunt de asemenea vectori
M
η =−ω t +Λ. (7.4.34)
Mη =−Ω t+Λ,
Ω= M ω , Λ= Mβ . (7.4.35)
β = [ ββ ... β ] . (7.4.36)
Consideram acum cazul când nu avem interactiune neliniara. In acest caz termenii care
nu se afla pe diagonala principala din matricea O sunt nuli.
Din (7.4.33) rezulta C = 0 . Functia G( η ) se poate scrie sub forma unui produs
1 2
n
unde
n
G( η ) = ∏ Gm ( Mmηm)
(7.4.37)
m=
1
1
G ∑ iM M D . (7.4.38)
∞
2
m
( η
m) = exp(
mη m
+
m mm)
M
2
m =−∞
Termenul liniar (7.4.29) devine
2π
q
θ = α +
πω t
n
∞ k + 1/ 2
l
l 2
lin l[ [ cos(2k
1) ] ]
2k+
1
l= 1 K k 0 1 ql 2K
l
ml
= +
l
∑ ∑ . (7.4.39)

204
cu
In (7.4.39) recunoastem espresia
q = exp( −π K′
/ K)
,
n
2
lin lcn [
lt; ml
]
l = 1
θ = ∑ α ω , (7.4.40)
π /2
du
K = K( m)
+ ∫ ,
2
1-msin
u
0
K′ ( m ) = K( m), m+ m = 1.
1 1
Acestea sunt solutii cnoidale. Modulii m
l
si vitezele de faza ale functiei eliptice depind
de coeficientii care apar in sistemul de ecuatii. Relatia (7.4.40) justifica interpretarea primului
termen din solutie ca o suprapunere liniara de functii cnoidale.
Cel de al doilea termen θ int
introduce o perturbatie în solutie datorita interactiunii
neliniare ale functiilor cnoidale. Avem din (7.4.31)
2
2
d F()
t βkcn ( ωtm
;
k)
2 log[1 + ] = . (7.4.41)
3 2
dt G( t) 1 +γ cn ( ω t; m )
Daca modulii mk
iau valori 0 sau 1, relatia (7.4.41) se verifica direct. Pentru alte
−7
valori ale modulilor 0≤m k
≤1
relatia se verifica cu o eroare maxima de | e | ≤ 5× 10 . Astfel incat
obtinem
θ ( xt , ) =
int
n
2
∑βkcn [ ωktm
;
k]
k=
0
n
2
1+ ∑λkcn [ ωkt; mk]
k=
0
k
k
. (7.4.42)
In reprezentarea solutiei sub forma functiei Θ , amplitudinea oscilatiei cnoidale pentru
fiecare frecventa constituie un spectru Fourier neliniar. Fiecare frecventa se asociaza cu un indice
j , 1≤ j≤ n. Aceste amplitudini sunt legate de termenii de pe diagonala în matricea B prin
B
jj
relatia q = exp iar termenii din B care nu se afla pe diagonala determina interactiunea
2
j
neliniara dintre componentele θ
int
. Functia Θ se poate scrie sub forma vectoriala
Θ ( t) = ∑ CM
exp(i Mη)
,
M
CM
1 T
= exp( M BM)
. (7.4.43)
2
Combinata cu (7.4.35) ultima expresie seamana cu seria Fourier ordinara.
Fiecare termen din serie corespunde unei alegeri particulare a vectorului
l
un parametru de ordine. Fiecare M
l
genereazã valori particulare pentru coeficientii Fourier
frecventele Ω
M
ai fazele β
M
. Conditiile initiale atasate functiei Θ sunt
Θ (0) =∑ CM
.
M
M , unde l este
C
M
,
Astfel, coeficientii C
M
si spectrul de putere Pθ ( f l
) a functiei Θ este dat de
1 T
CM
= 2 Pθ
( fl)
∆ f , Pθ ( fl
) = exp( M BM)
. (7.4.44)
2

205
Frecventele
Ω
l
sunt multiplii intregi I
l
de ∆ω
unde
si
Ω =
l
Il
∆ω,
I
l
n
= ∑ mM , (7.4.45)
m=
1
2πm
ω
m
= m∆ω= = 2πm∆ f , (7.4.46)
T
l
m
n
l l l l
M l
M
l
[ M1, M2,..., M1][1,2,... n]
mMm
m=
1
Ω ≡Ω = ω= ∆ω=∆ω∑ , (7.4.47)
cu 1≤l ≤ nmax
.
n
Numãrul de frecvente în spectru este dat de nmax = [(2M
+ 1) − 1] . Sumele partiale
corespunzãtoare unui indice M
m
sunt luate in limitele ( − M , M ) , astfel încât −( J −1) ≤ Il
≤ J
pentru
n
1
J = M∑ m= Mn( n+
1) .
m=
1 2
Testele numerice analizate au considerat −2≤M
≤ 2 si n = 3 . Pentru aceste valori avem
3
5 − 1= 124 frecvente in spectru si deci 124 termeni in functia theta. Pentru n = 5 numarul de
132
termeni se ridica la 3124. Pentru M = 10 si n = 100 acest numar devine ≈ 10 .
7
O statie moderna de calcul realizeaza aproximativ 10 operatii pe secunda, deci numarul de
termeni poate fi calculat intr-un interval de timp egal cu viata estimata a universului (aprox.
108
10 s). In concluzie, solutia sistemului de ecuatii (3.22) se scrie, asa cum am specificat, ca o
suma dintre o suprapunere lineara de vibratii cnoidale si un termen de interactiune neliniar| a
vibratiilor cnoidale.
cu θ
lin
si θ
int
dati de (3.40) si respectiv (7.4.42).
Parametrii ω
j
, β
j
si B
ij
de determina din conditiile initiale atasate
θ ( t) =θ ( t) +θ ( t)
, (7.4.48)
i
lin
0
i
int
θ =θ , i= 1, 2,... n, (7.4.49)
si din sistemul de ecuatii obtinut prin echilibrarea termenilor care inmultesc aceeasi exponentiala.
8. Integrare si design tehnologic a nanoinstrumentatiei virtuale pentru masurarea
proprietatilor elastice si vasco-elastice ale materialelor
Prin termenul de Instrumentaţie Virtuală se înţelege utilizarea unui computer, dotat cu
echipamente periferice de intrare şi ieşire specializate, pentru a simula caracteristicile şi
funcţionarea unui instrument sau sistem de măsurare, de testare sau de a înregistrare a datelor.
Instrumentele virtuale fac uz de traductoare şi senzor pentru a intra în contact cu mărimea
fizică măsurată, de eventuale sisteme de condiţionare a semnalelor, precum şi de circuite pentru
conversia analog-digital. Diferenţa în raport cu sistemele de măsurare “clasice” este aceea că de
această dată toate funcţiunile de prelucrare şi analiză a valorilor măsurate, de stocare a acestor

206
informaţii şi de transmitere a lor către utilizatorul uman sunt realizate de către computer şi nu de
către aparatura dedicată. Aplicaţiile software înlocuiesc astfel componente estimate a reprezenta
80% din circuitele unui aparat de măsurare sau testare specializat “clasic”. Software-ul care
realizează aceste funcţiuni posedă în majoritatea cazurilor o interfaţă grafică având acelaşi aspect
ca şi al panoului frontal al unui aparat de măsurare. Acesta este motivul pentru care aplicaţiile
repective sunt numite Instrumente Virtuale.
În urmă cu 25 de ani, NI a introdus conceptul de instrumentaţie virtuală care a revoluţionat
măsurătorile şi automatizările în domeniul industrial, şi nu numai, dezvoltând pentru
instrumentaţia virtuală. In ceeace priveste software, mediile de dezvoltare LabVIEW,
LabWindows/CVI, precum şi produsele add-on sunt recunoscute pentru flexibilitate şi uşurinţă în
utilizare. De peste 20 de ani, mediul de programare grafică NI LabVIEW a revoluţionat
dezvoltarea aplicaţiilor de testare scalabile, măsurare, şi aplicaţiile pentru control de proces. Fără
a dispune de o experienţă deosebită, inginerii şi oamenii de ştiinţă pot realiza în mod rapid şi
eficient interfeţe cu dispozitivele hardware de măsurare şi control, pot realiza analiza datelor,
distribuţia rezultatelor, şi construirea de sisteme distribuite.
Integrarea si design-ul tehnologic a nanoinstrumentatiei virtuale pentru masurarea
proprietatilor elastice si vasco-elastice ale materialelor formeaza continutul unui brevet de
inventie (probabil va fi finalizat la sfarsitul anului 2010).
Se urmareste realizarea unui sistem în care se pot obţine informaţii, în condiţii de eficienţă
maximă şi preţ de cost minim. Acest mod de integrare poate fi folosit atât de utilizatorii de
sisteme prepress, care doresc să îşi realizeze singuri lucrările color necesare desfăşurării
activităţilor lor, cât şi de producătorii sau furnizorii de sisteme prepress la cheie. Sistemul va
putea fi utilizat şi de organismele complexe de tip nanotehnologic, de tip reţea, pentru crearea şi
interogarea bazelor de date specifice domeniului lor de activitate de către specialiştii reţelei,
sistem care elimină barierele geografice prin utilizarea infrastructurii digitale, a reţelelor
ultrarapide şi a tehnologiilor de comunicaţie moderne- internet.
8.1. O problema inversa de identificare a proprietatilor vasco-elastice si de amortizare a
unui material nanostructurat
Consideram un nanocristal monoclinic de grosime h , lungime l si latime d , in raport cu
un sistem de coordonate Cartezian x
1
, x2,
x3
. Sistemul de referinta este orientat in directia axelor
cristalografice a , b,
c (fig.8.1.1). Axele a si c sunt perpendiculare pe axa b . Originea este
localizata la intersectia diagonalelor, iar marginile cristalului sunt x
2
= ± l / 2 si x
1
= ± d / 2 . Fie
Ξ suprafata libera de tensiuni a cristalului. Legea constitutiva este data de
T
kl
= C E + η E
(8.1.1)
klmn
mn
unde T este tensorul tensiune, H = grad u(
x,
t)
gradientul deplasarii, u ( x,
t)
vectorul
1 T
deplasare, x = ( x1,
x2
, x3
) , E = ( H + H ) tensorul de deformatie liniar Lagrangian, C
klmn
2
constantele elastice de ordinal doi si η
klmn
constantele viscoase.
klmn
mn

207
.
Ecuatiile de miscare sunt date de
Utilizam conventia Voigt de sumare
Conform cu aceasta conventie,
Fig. 8.1.1. Nanocristal monoclinic
T = ρ u
,
, k , l = 1,2, 3 . (8.1.2)
kl l
l
( i,
j)
→ iδij
+ (9 − i − j)(1
− δij
)
C klmn
=C
αβ
, η klmn
=ηαβ
1,2,3, in timp ce indicii greci, valorile 11,2,…,6. Componentele T kl
,
E
α
, conform legii
, unde indicii latini iau valorile
E
kl
se inlocuiesc cu T α
,
T kl
= T α
, 2 Ekl (1 + δ
kl
) = Eα
, k , l = 1,2, 3 , α = 1,2,... 6
Conditiile pe frontiera sunt
ux ( , t) = u( t) pentru x = 0, t ≥0
(8.1.3)
0
unde u 0
( t ) este deplasarea data in origine u
0
= U 0
sin ωt
(8.1.4)
Ecuatiile de miscare (8.1.2) admit solutii de forma
u = Re{ aexp[i(k
N ⋅ x − ωt)]}
(8.1.5)
unde a este amplitudinea complexa a vectorului u , k este numarul de unda complex
k = k 1
+ ik 2
, N este vectorul unitary al directiei de propagare a undei u , k = k N , si ω >0
este frecventa unghiulara. Cantitatea complexa k este vectorul complex de unda de cosinusi
directori ( m , n,
l)
. Directia de propagare N ( m,
n,
l)
se presupune cunoscuta. Viteza complexa a
ω ωk1
ωk2
ω
undei este data de v = = + i , cu partea reala V = . Se observa ca
2 2 2 2
k k1
+ k2
k1
+ k
2 2
2
k 1
+ k
2

208
atenuarea influenteaza propagarea undelor in crystal, prin aparitia undelor omogene, evanescente
si heterogene. Inlocuind (8.1.5) in (8.1.2) avem
2
2
k D ~ ( N )a = ρω
(8.1.6)
ik
k
unde D ~ ( N ik
) este D ~ C ~
ik
( N ) ≡
imkn
N
m
N
n
(8.1.7)
este matricea characteristic corespunzatoare directiei de propagare N . Cantitatile D ~ ( N ik
) se
definesc usor, utilizand conventia Voigt pentru C ~
imkn
~ ~ 2 ~ 2 ~ 2 ~
D11
= C11m
+ C66n
+ C55l
+ 2C16mn
~ ~ ~ 2 ~ 2 ~ 2 ~ ~
D12
= D21
= C16m
+ C26n
+ C45l
+ ( C12
+ C66
) mn
~ ~ ~ ~ ~ ~
D = D = ( C + C ) ml + ( C + C ) nl
~
D
~
D
~
D
22
23
33
13
~
= C
~
= D
~
= C
66
32
55
31
13
55
2 ~ 2 ~ 2 ~
m + C22n
+ C44l
+ 2C26mn
~ ~ ~ ~
= ( C36
+ C45
) ml + ( C23
+ C44
) nl
2 ~ 2 ~ 2 ~ ~
m + C n + C l + 2C
mn + ( C
44
33
a i
36
45
45
36
~
+ C
45
) nl
(8.1.8)
~
In (2.7) si (2.8), Cklmn
= Cklmn
+ iωη
klmn
( C ~
αβ
= Cαβ
+ iωη
αβ
reprezinta matricea
rigiditatilor complexe, cu 13 constante independente complexe de ordinal doi
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
C ijkl
= C αβ
= C , C , C , C , C , C , C , C , C , C , C , C , C ,
( )
11
12
13
il
16
cu α = β = 1,2... 6 . Scriem (8.1.6) sub forma
2 ~
ρ v δ a = D a
(8.1.9)
nul
l
22
Pentru ca (8.1.9) sa admita solutii nenule, determinatul complex Christoffel trebuie sa fie
il
23
l
26
33
2 ~
det( ρv δ − D ) = 0
(8.1.10)
il
Partea reala a acestui detreminant nu este identica cu determinantul Christoffel pentru un
mediu fara atenuare. Din (8.1.10) se obtin relatii intre k si matricea complexa a rigiditatilor C ~ ,
2
si ne asigura 3 radacini complexe v pentru orice directie ( m , n,
l)
.
Cunoscand v
i
, se pot determina amplitudinile A
i
. In nanostructura nu exista numai unde
pure longitudinale ( P ) sau transversale ( S ). Exista unde care se propaga in vecinatatea directiei
( m , n,
l)
, cum ar fi unde cvasi-longitudinal ( qP ), cvasi-transversal ( qS ). Daca P este o unda
pura, atunci S
1
si S
2
sunt de asemenea pure. Daca numai S
1
este pura, atunci undele P si S
2
nu
sunt pure, dare se propaga intr-un plan perpendicular pe S
1.
il
36
44
45
55
66

209
Pentru a determina cele 13 constante complexe, se utilizeaza date experimentale de
indentare, din care se evalueaza viteza de faza. Se alege o functie obiectiv I ca masura a
distantei dintre teorie si experiment
I(
C)
=
m
∑
i=
1
e
2 2
{[ vi − v ( C)]
+ δ }, (8.1.11)
i
unde v e
i
sunt vitezele masurate, v i
, evaluari teoretice ale vitezelor, si m numarul masuratorilor
in diferite directii m > n , cu n numarul parametrilor necunoscuti ( 13+13=26).
In (8.1.11), δ estimeaza verificarea conditiilor (8.1.4) cu u ( ) dat de (8.1.10), i.e.
δ = ( u (0, t ) − u 0
( t )) . Vectorul C~ contine 26 necunoscute
~
~
0 t
T
T
C = ( C
αβ`,
) = ( C1,
C2
,... C26
) . (8.1.12)
Problema de optimizare se rezolva cu un algoritm genetic. Rezultate sunt prezentate in
tabelele 8.1.1-8.1.13. Dimensiunile structurii sunt h = 35nm, lungime l = 125nm si latime
d = 40nm. Vitezele se adimensionalizeaza prin impartire la o viteza luminii in vacuum.
Tabel 8.1.1. Unde longitudinals si cvasi-longitudinale in nanostructura.
No. Directia de
propagare
Directie
aproximativa a
deplasarii
Voteza teoretica
adimensionala
Viteza
adimensionala
experimantala
v 100 100 0.3122 0.3047
l1
v 010 010 0.2765 0.2878
l 2
v 001 001 0.4551 0.4540
l 3
v 110 110 0.3045 0.2982
l 4
v 011 011 0.3613 3.622
l 5
v 0.698, 0.588, -0.716 0.698, 0.588, -0.716 0.3143 -
l 6
v
l 7
0.698, 0, -0.716 0.698, 0, -0.716 0.3198 0.3217
v 0.520, 0, -0.854 0.520, 0, -0.854 0.3833 0.3847
l8
v 0.252, 0.588, -0.769 0.252, 0.588, -0.769 0.3743 0.3686
l9
v 0.925, 0, 0.395 0.925, 0, 0.395 0.3155 0.3151
l10
v 0.520, 0, -0.554 0.520, 0, -0.554 0.3265 -
l11
v 0.275, 0.788, -0.769 0.275, 0.788, -0.769 0.3566 -
l12
v 0.698, 0.588, -0.716 0.698, 0.588, -0.716 0.3512 -
l13
v 0.252, 0, -0.769 0.252, 0, -0.769 0.2924 -
l14
v 0.252, 0.788, -0.769 0.252, 0.788, -0.769 0.3629 -
l15
v 0.925, 0.588, 0.395 0.925, 0.588, 0.395 0.3198 -
l16
v 0.252, 0, 0.395 0.252, 0, 0.395 0.3775 -
l17
v 0.655, 0.588, -0.355 0.655, 0.588, -0.355 0.3764 -
l18

210
v 0.252, 0, -0.788 0.252, 0, -0.788 0.3524 -
l19
v 0.552, 0.588, -0.769 0.552, 0.588, -0.769 0.3566 -
l 20
v 0.555, 0.788, 0.595 0.555, 0.588, 0.595 0.3777 -
l 21
v 0.952, 0, 0.795 0.9952, 0, 0.795 0.3655 -
l 22
Tabel 8.1.2. Unde transversals si cvasi-transversale.
No. Directia de
propagare
Directie
aproximativa a
deplasarii
Voteza teoretica
adimensionala
Viteza
adimensionala
experimantala
v 100 010 0.1597 0.1688
t1
v 100 001 0.1087 0.1133
t 2
v 010 100 0.1829 0.1788
t 3
v 010 001 0.1392 0.1416
t 4
v 001 010 0.1618 0.1586
t 5
v 001 100 0.1077 0.1153
t 6
v
t 7
110 001 0.1712 0.1683
v 110 1 10 0.1267 0.1307
t8
v 011 0 1 1 0.1784 0.1980
t9
v 011 100 0.1434 0.1409
t10
v 0.925, 0, 0.395 010 0.1691 0.1520
t11
v 0.925, 0, 0.395 0.395, 0, -0.925 0.1177 0.0830
t12
v 0.698, 0, -0.716 0.716, 0, 0.698 0.1576 -
t13
v 0.698, 0, -0.716 010 0.1855 0.1796
t14
v 0.252, 0, -0.769 0.769, 0, 0.252 0.1734 -
t15
v 0.225, 0.588, -0.769 transversal 1 0.1876 0.2014
t16
v 0.252, 0.588, -0.769 transversal 2 0.1335 0.1219
t17
v 0.698, 0, -0.769 0.769, 0, 0.698 0.1298 -
t18
v 0.520, 0, -0.854 0.854, 0, 0.520 0.0715 0.07605
t19
v 0.520, 0, -0.854 010 0.1743 0.1796
t 20
v 0.925, 0.588, 0.395 transversal 1 0.2145 -
t 21
v 0.925, 0.588, 0.395 transversal 2 0.1421 -
t 22
v 0.698, 0.588, -0.769 transversal 1 0.1834 -
t 23
v 0.698, 0.588, -0.769 transversal 2 0.1517 -
t 24
v 0.520, 0.588, 0.395 transversal 1 0.2143 -
t 25
v 0.520, 0.588, 0.395 transversal 2 0.1544 -
t 26
v 0.395, 0.588, -0.769 transversal 1 0.2189 -
t 27

211
v 0.395, 0.588, -0.769 transversal 2 0.1629 -
t 28
v 0.725, 0, 0.695 0.695, 0, -0.725 0.1656 -
t 29
v 0.725, 0.588, 0.695 transversal 1 0.2653 -
t30
v 0.725, 0.588, 0.695 transversal 2 0.1965 -
t31
v 0.520, 0.788, -0.395 transversal 1 0.2563 -
t32
v 0.520, 0.788, -0.395 transversal 2 0.1897 -
t33
v 0.595, 0.788, -0.769 transversal 1 0.2455 -
t34
v 0.595, 0.788, -0.769 transversal 2 0.1712 -
t35
C
C ~
αβ
αβ
=
+ iωη
αβ
Tabel 8.1.3. Valorile constantelor complexe.
Valori masurate
[GPa]
Prawer et al.
Valori calculate din
algoritm genetic
[GPa]
Valori utilizate in
problema directa
~
11
C 28.78 + 25.5⋅10 −9 i ω 28.83 ± 0.43 28.83+25⋅10 −9 i ω
~
C 12.43 +14⋅ 10 −9 iω 11.40 ± 3.6 11.40+14.5⋅ 10 −9 iω
12
~
C 41.98 +35.4⋅ 10 −9 iω 42.87 ± 1.58 42.87+35.5⋅ 10 −9 iω
13
~
C 5.15 + 7.3⋅10 −9 i ω 5.13 ± 0.67 5.13+ 7.5⋅10 −9 i ω
16
~
C 26.23 + 22.3⋅10 −9 i ω 26.67 ± 0.37 26.67+ 21.5⋅10 −9 i ω
22
~
C 14.33 + 11.7⋅10 −9 i ω 14.50 ± 4.4 14.50+ 12⋅10 −9 i ω
23
~
C 8.15 + 23.5⋅10 −9 i ω 8.40 ± 4.3 8.40+ 25⋅10 −9 i ω
26
~
C 65.24 + 122.5⋅10 −9 i ω 65.45 ± 0.48 65.45+ 125⋅10 −9 i ω
33
~
C 7.33 + 15⋅10 −9 i ω 7.50 ± 0.81 7.50+14.9⋅10 −9 i ω
36
~
C 8.06 + 18⋅10 −9 i ω 8.10 ± 0.15 8.10+17.8⋅10 −9 i ω
44
~
C - 2.32 +5.6⋅ 10 −9 i ω -2.25 ± 0.31 - 2.25+6⋅ 10 −9 iω
45
~
C 5.25 +18.4⋅ 10 −9 iω 5.20 ± 0.24 5.20+19⋅ 10 −9 iω
55
~
C 9.23 +7.8⋅ 10 −9 iω 9.17 ± 0.22 9.17+8⋅ 10 −9 iω
66
8.2. Experimente de nanoindentare simulate realist pe computer (I. Model).
Teste nr.1 si 2. Prezentăm mai jos două teste (T1 şi T2), plecând de la două iniţializări
arbitrare diferite. Testul de indentare uniaxială constă în apăsarea verticală a unui indentor rigid
pe semispaţiul materialului ce se doreşte a fi caracterizat (fig. 7.2.7 si fig. 8.2.1). Nanoindeterul
înregistrează atât forţa de apăsare P cât şi adâncimea de pătrundere h varf a capului sferic al
indenterului în semispaţiul materialului studiat. Capul sferic al indenterului nu este complet rigid,
fiind alcătuit dintr-un material hipoelastic având modulul Young E
varf
= 1016 GPa şi coeficientul
Poisson ν
varf
= 0.07 .

212
Fig. 8.2.1. Modelare axisimetrică cu elemente finite a testului de indentare.
Modelarea axisimetrică cu elemente finite a capului sferic al indenterului şi a semispaţiului
ce constituie materialul este prezentată în fig. 8.2.1b, fiind folosite 112 elemente finite patrulatere
pentru a modela jumătate din semispaţiul materialului indentat şi 47 elemente finite patrulatere
pentru a modela un sfert din capul sferic al indenterului.
În privinţa contactului dintre capul sferic al indenterului şi materialul indentat, modelarea
acestuia se face împiedicând întrepătrunderea geometrică dintre cele două corpuri în contact, fapt
ce se realizează prin aplicarea unor tracţiuni pe suprafaţa de contact. Aceste tracţiuni introduse de
modelarea contactului se calculează pe baza distanţei locale dintre nodurile semispaţiului
materialului şi proiecţia acestor noduri pe suprafaţa indenterului (Rauchs 2006).
Ecuaţiile constitutive ale materialului supus indentării sunt definite mai jos. Comportarea
plastică a materialului indentat este definită de teoria fluxului J2 izotropic (Rauchs 2006),
curgerea plastică fiind determinată de funcţia de curgere f
f
= P :( σ −α)
−K
y
⎧ f < 0 pentru comportare elastica,
⎪
⎨ f = 0 pentru comportare plastica,
⎪
⎩ f > 0 exclus,
(8.2.1)
y
unde K este limita de curgere, α este aşa-numitul “back-stress”, o variabilă internă de răspuns a
materialului, σ este tensorul Cauchy al tensiunilor, iar P este operatorul deviatoric de proiecţie
S
P = I −1
I⊗I , (8.2.2)
3
unde I S y
este tensorul unitate simetric de ordinul 4. Variaţia limitei de curgere K este descrisă
considerând ecruisarea isotropică:

213
t
2 p
( )d
0
ij
K
,0
{ s
β
}
= 2 σ + [1 −exp( −β )] ,
3
(8.2.3)
y y R
y,0
unde s = ε τ τ
3∫ este lungimea deformaţiei plastice, σ este tensiunea iniţială uniaxială
la curgere, iar R şi β sunt parametrii izotropici de ecruisare. Pentru ecruisarea cinematică, am
folosit formula neliniară Armstrong-Frederick:
p
α = H 2
kinε − Hnls α, (8.2.4)
3
unde H kin şi H nl sunt parametrii de ecruisare cinematică.
Comportarea hipoelastică a materialului indentat este descrisă folosind legea lui Hooke,
exprimând tensorul Cauchy al tensiunilor σ în funcţie de deformaţiile elastice ε el prin
intermediului constantelor Lamé G şi λ:
S
el el
σ = (2 G I +λI⊗ I): ε = C : ε , (8.2.5)
unde C este tensorul de ordinul 4 respectiv.
Pentru a putea caracteriza evoluţia dinamică a procesului de indentare, ecuaţiile constitutive
(8.2.1)-(8.2.5) sunt formulate incremental în cele ce urmează. Variabilele de stare la începutul
pasului incremental de timp sunt notate cu indicele superior ‘ 0 ’, variabilele de stare la sfârşitul
pasului incremental sunt notate cu indicele ‘ 1 ’, în timp ce pentru variabilele de stare la jumătatea
pasului incremental se foloseşte indicele ‘ 1/ 2 ’.
Având de-a face cu deformaţii finite în diferite puncte ale materialului indentat, este necesar
să exprimăm toate variabilele de stare tensoriale în acelaşi sistem de coordonate global care să nu
depindă de rotaţia unui element finit sau a altuia. În acest sistem de coordonate global, evoluţiile
incrementale ale lungimii deformaţiei plastice s, tensorului deformaţiilor plastice ε p , tensorului
Cauchy al tensiunilor şi tensorului α sunt (Rauchs 2006):
s = s + ∆ g , (8.2.6)
3
1 0 2
ˆ ˆ g ˆ
p,1 p,0 1
ε = ε +∆ N , (8.2.7)
ˆ ˆ ˆ
ˆ
1 0 1 2 1
σ = σ + C : ∆ε −2G∆g
N , (8.2.8)
αˆ
= exp( −H ∆ g) αˆ
+ [1 −exp( −H ∆g)] H N ˆ , (8.2.9)
1 0 kin 1
nl
nl
H
nl
unde tensorul normalizat ˆN este dat de:
ˆ1 1 1 ˆ 1 1 1
ˆ 1 P :( σˆ
−α) ˆ P :( σˆ
−α)
ˆ
N = =
.
ˆ 1 1 1
y
P :(ˆ σ − α) ˆ K
Parametrul de vâscozitate plastică
(8.2.1):
∆ g se obţine egalând cu zero funcţia de curgere f dată de

214
H
y
f = P: σˆ
+ 2 GP: ∆εˆ
−exp( −H ∆g) α ˆ −2 G∆g− [1 −exp( −H ∆g)] − K = 0 .
0 1 2 0 kin
nl
H
nl
Această ecuaţie algebrică neliniară se rezolvă folosind o schemă iterativă Newton-Raphson,
determinându-se astfel parametrul ∆ g .
Programul de elemente finite SPPRc implementează ecuaţiile constitutive sub formă
incrementală (8.2.5)-(8.2.9) pentru a descrie comportarea elasto-plastică a materialului indentat.
În practică, parametrii de ecruisare liniari H kin şi R au fost înlocuiţi cu parametrii de ecruisare
* *
H
kin
şi R ce au semnificaţia fizică a unor tensiuni:
* H
kin
* R
H
kin
= şi R = .
H
β
nl
În cadrul acestei probleme inverse, cei şapte parametri elasto-plastici de identificat pe
baza testelor de nanoindentare sunt: modulul lui Young E şi coeficientul Poisson ν pentru
comportarea elastică, respectiv tensiunea iniţială uniaxială la curgere σ y,0 , parametrii izotropici de
*
*
ecruisare R , β şi parametrii de ecruisare cinematică H
kin
, H nl pentru comportarea plastică
neliniară. Notăm cu x vectorul ce regrupează aceşti şapte parametri de identificat:
x y,0 * *
= ⎡
⎣E ν σ R β Hkin
H ⎤
nl ⎦ .
Ideea identificării parametrilor elasto-plastici de material pe baza testelor de indentare
este reprezentată în fig. 20. Pentru un ciclu încărcare-descărcare-reîncărcare-încărcare-descărcare,
curba experimentală forţă-adâncime de pătrundere este reprezentată punctat. Necunoscând apriori
cei şapte parametri de identificat, se dau valori arbitrare acestor parametri (în absenţa unei tehnici
de estimare), după care se simulează cu ajutorul programului SPPRc, obţinându-se curba simulată
forţă-adâncime de pătrundere, reprezentată cu linie continuă în fig. 8.2.2.
T
nl
Fig. 8.2.2. Curba forţă-adâncime de pătrundere (curba experimentală versus cea simulată) pentru
un ciclu încărcare-descărcare-reîncărcare-încărcare-descărcare.

215
După cum se observă, cele două curbe (cea experimentală şi cea simulată considerând
valori iniţiale arbitrare ale parametrilor de identificat) diferă între ele. Se aplică o procedură de
corectare iterativă a acestor parametri, cu scopul de a minimiza (a aduce cât mai aproape de zero)
următoarea funcţie obiectiv ce exprimă diferenţa dintre curba experimentală şi cea simulată:
N
sim k exp k
2
∑ ⎡
⎣hvarf
( P ) hvarf
( P ) ⎤
⎦ , (8.2.10)
k=
1
Ξ= −
sim
unde N este numărul de puncte de comparaţie, ( k
h )
varf
P este valoarea simulată a adâncimii de
k
pătrundere a capului indenterului în material pentru o apăsare cu forţa P , la timpul t k , iar
exp
( k
)
k
hvarf P este valoarea experimentală a adâncimii de pătrundere pentru forţa de apăsare P . De
menţionat că, pe lângă adâncimea de pătrundere, mai pot fi comparate şi valorile simulate şi
experimentale ale amprentei radiale rezultate în urma indentării.
Am ales să minimizăm funcţia obiectiv Ξ prin metode de tip gradient, ce necesită calculul
gradientului funcţiei obiectiv în raport cu vectorul x al variabilelor problemei de optimizare
:
T
⎡∂Ξ ∂Ξ ⎤ ⎡∂Ξ ∂Ξ ∂Ξ ∂Ξ ∂Ξ ∂Ξ ∂Ξ ⎤
∇Ξ = ⎢ … ⎥ = ⎢ y,0 * * ⎥ ,
⎣∂x1 ∂x7 ⎦ ⎣∂E ∂ν ∂σ ∂R ∂β ∂Hkin ∂Hnl⎦
unde derivata funcţiei obiectiv Ξ în raport cu parametrul de material x i (i = 1,…,7) se deduce din
(8.2.10):
N
k
∂Ξ
∂h
( P )
= 2 ∑ ⎡h ( P ) −h ( P )
∂x
⎣
. (8.2.11)
i
k = 1
sim
sim k exp k varf
⎤
varf
varf ⎦ ∂xi
sim k
∂hvarf ( P )
În privinţa derivatelor , deşi pot fi calculate numeric, s-a preferat calculul lor analitic
∂xi
(Rauchs 2006), cu scopul reducerii semnificative a timpului computaţional. Elementele H ij ale
matricei Hessiene H se calculează derivând încă o dată (8.2.11):
2
N sim k sim k 2 sim k
∂Ξ ⎧⎪∂hvarf ( P ) ∂hvarf ( P ) sim k exp k ∂ hvarf
( P ) ⎫⎪
Hij
= = 2 ∑ ⎨
+ ⎡hvarf
( P ) hvarf
( P ) ⎤
xi xj k=
1 xi x ⎣ − ⎦ ⎬.
∂ ∂ ⎪⎩
∂ ∂
j
∂xi∂xj
⎪⎭
Procedura de minimizare folosită constă în aplicarea succesivă a două metode de tip
gradient, şi anume mai întăi metoda Gauss-Newton şi apoi metoda Levenberg-Marquardt
(Nocedal şi Wright 1999, Ponthot şi Kleinermann 2006). Au fost folosite subrutinele Gauss-
Newton şi Levenberg-Marquardt ale librăriei Fortran IMSL (Visual Numerics Inc. 1997).
Metoda Gauss-Newton constă în următoarea corectare iterativă:
[ ] ( )
p 1 p p p 1
x + = x −µ H − ∇Ξ
p , (8.2.12)
p
p
unde p este numărul iteraţiei, H este matricea Hessiană iar µ este un parametru de căutare a
p −1
p
celei mai mici valori a funcţiei obiectiv Ξ de-a lungul direcţiei de căutare [ H ] ( ∇Ξ)
.
Metoda Levenberg-Marquardt constă în următoarea corectare iterativă a vectorului x:
[( ) ] ( )
p 1 p p T p p 1 p T
x + = x − J J +ξ I − J Ξ
p , (8.2.13)
T

216
p
, iar ξ este un parametru de căutare a celei mai mici valori a funcţiei
p
obiectiv de-a lungul direcţiei de căutare. De remarcat faptul că matricele H şi
T 1 T
[( J p ) J p +ξ
p I] − ( J p ) trebuie să fie pozitiv definite pentru ca direcţia de căutare să fie o direcţie
descendentă, de diminuare a funcţiei obiectiv.
Plecând de la diverse iniţializări ale parametrilor de identificat, procedura de corectare
iterativă a parametrilor trebuie să conveargă către minimizarea (chiar anularea, dacă este posibil)
funcţiei obiectiv.
Prezentăm mai jos două teste (T1 şi T2), plecând de la două iniţializări arbitrare diferite.
Tabelul 8.2.1 prezintă valorile iniţiale arbitrar alese în cadrul testului T1, valorile iniţiale arbitrar
alese în cadrul testului T2, valorile căutate (soluţia problemei), limitele inferioare şi cele
superioare ale parametrilor.
unde Jacobianul J = ( ∇Ξ) T
Tabel 8.2.1. Diferite valori ale celor 7 parametri: valorile iniţiale arbitrar alese în cadrul testului
T1, valorile iniţiale arbitrar alese în cadrul testului T2, valorile căutate (soluţia problemei),
limitele inferioare şi cele superioare ale parametrilor
Iniţializar
e test T1
Iniţializar
e test T2
Soluţia
probleme
i
Limite
inferioare
Limite
superioar
e
E [MPa]
ν
σ y,0
[MPa]
*
R
[MPa]
β [-]
*
H
kin
[MPa] H nl [-]
100000 0.2 800 50 200 50 100
261110 0.34 667 46 523 398 74
200000 0.3 400 100 100 200 50
30000 0.05 1 0 10 0 10
600000 0.49 1000 1000 1500 1000 1500
Procedura de minimizare folosită este compusă din următoarele patru etape:
• metoda Gauss-Newton (8.2.12) aplicată variabilelor E şi σ y,0 , celelalte variabile fiind
blocate (denumită G-N1, maximum 8 iteraţii admise);
• metoda Gauss-Newton (8.2.12) aplicată pentru toate cele şapte variabile (denumită G-N2,
maximum 10 iteraţii admise);
• metoda Levenberg-Marquardt (8.2.13) aplicată pentru trei variabile, alese după ordinea de
prioritate: 1) variabilele temporar blocate pe limita inferioară sau superioară, 2) variabilele x i
∂Ξ
corespunzătoare celei mai mici pante ), restul de patru variabile fiind blocate (denumită L-
∂x i
M1, maximum 15 iteraţii admise);
• metoda Levenberg-Marquardt (8.2.13) aplicată pentru toate cele şapte variabile (denumită
L-M2, maximum 30 iteraţii admise).

217
Aplicând procedura de minimizare de mai sus problemei inverse de identificare a celor
şapte parametri elasto-plastici de material, s-a obţinut convergenţa procedurii de minimizare în
cazul celor două teste efectuate. Identificarea parametrilor s-a efectuat deci cu succes, astfel fig.
8.2.3a prezintă diminuarea funcţiei obiectiv cu creşterea numărului de iteraţii, pentru primul test
T1, de la Ξ
initial, T1
= 0.028 [µm 2 -12
] până la valoarea minimizată de Ξ
min,T1
= 1.28⋅ 10 [µm 2 ].
Fig. 8.2.3. Diminuarea funcţiei obiectiv log10
Ξ cu numărul de iteraţii: a) primul test T1; b) al
doilea test T2.
Fig. 8.2.3b prezintă diminuarea funcţiei obiectiv în cazul celui de-al doilea test T2, de la
Ξ
initial, T2
= 0.306 [µm 2 -9
] până la valoarea minimizată de Ξ
min,T2
= 7.16⋅ 10 [µm 2 ]. Liniile punctate

218
verticale indică trecerea de la o metodă la alta (G-N1, G-N2, L-M1, L-M2) în cadrul procedurii de
minimizare.
Rezultatele obţinute sunt satisfăcătoare. Funcţia obiectiv descreşte permanent în cazul
ambelor teste, fără a diverge sau a se bloca în minime locale. Ea descreşte până la valori apropiate
de zero, ceea ce înseamnă că datele simulate şi cele experimentale au fost practic suprapuse.
Procedura de minimizare propusă, bazată pe metodele Gauss-Newton şi Levenberg-
Marquardt, este deci funcţională. Totuşi, metodele de tip gradient precum Gauss-Newton şi
Levenberg-Marquardt sunt metode de minimizare locală, fiind necesară o bună iniţializare a
parametrilor problemei inverse pentru a converge către minimul global dorit şi nu către un minim
local. Astfel, pentru a evita iniţializările arbitrare ale celor şapte parametri de identificat, vom
încerca găsirea unei metode de iniţializare/estimare mai elaborate. De asemenea, în combinaţie cu
metodele de tip gradient s-ar putea folosi şi metode evoluate de căutare, cum ar fi algoritmii
genetici.
Test nr.3. Testul consta in determinarea prin nanoindentare dinamica a proprietatilor
viscoelastice a trei probe: o proba de epoxina, o proba din polymethyl mrthacrylate (PMMA) si o
proba din polydimethyl siloxane (PDMS) (Ferry 1980). Nanoindentarea a fost realizata cu un
Indenter DCM (MTS Systems, Inc.) (Gdansk University of Technology si British University of
Cairo). Schema modelului dinamic (aparat Birnboim) este reprezentata in fig.8.2.4, iar in fig.
8.2.5, se reprezinta schema sistemului de indentare (stanga) pentru modelul dinamic
corespunzator (dreapta).
Domeniul fortelor aplicate este de la to 0.01 la 5 mN, frecventele variaza de la 10 la 300 Hz.
Amplitudinea oscilatiilor se mentine in jur de 5.0 ± 0.5 nm pentru proba PMMA si epoxina, si de
aprox. 50 nm pentru PDMS. Indenterul este de tip Berkovich cu varf piramidal. S-au efectuat
pentru fiecare proba, cate 10 masuratori prin indentare.
Modulul redus de elasticitate E′
r
si modulul pierdut E′′
r
se calculeaza pentru fiecare frecventa
din
S π ωCs
π
E′ r
= , E′′ r
= , (8.2.14)
2 A 2 A
unde S este rigiditatea de contact, C
s
este coeficientul de amortizare a indenterului, A este aria
de contact, si ω este frecventa unghiulara.
Pentru modulul redus E′ avem si formula
r
2 2
(1 −νs
) (1 −νi
)
E′ r
= + , (8.2.15)
E E
s
unde E i
modulul de elasticitate al indenterului, ν i
coeficientul Poisson al indenterului, E s
modulul de elasticitate al probei, ν
s
coeficientul Poisson al probei. Pentru polimer ν = 0.33 si
ν = 0.5 pentru elastomeri.
i

219
Fig. 8.2.4. Schema modelului dynamic (aparat Birnboim).
Fig. 8.2.5. Schema sistemului de indentare (stanga) pentru pentru modelul dinmaic
corespunzator (dreapta).
In fig. 8.2.6. este reprezentata dependenta modulului de elasticitate redus E′
r
pentru proba
de epoxina, la o temperature de referinta de 20 C. Sunt reprezentate si date de nanoindentare,
precum si datele obtinute din analiza dinamica (DMA) mecanice. Pentru DMA se folosesc
formulele
π ⎛ P ⎞
0
π ⎛ P ⎞
0
E′ r
= ⎜ cosδ⎟, E′′ r
= ⎜ sin δ⎟, (8.2.16)
2 A ⎝h0
⎠ 2 A ⎝h0
⎠
unde P0
este forta aplicata, h 0
este amplitudinea deplasarii, δ este unghiul de faza intre forta si
deplasare. Comparam rezultatele obtinute orin indentare cu rezultatele DMA. Din fig. 8.1.3 se
observa ca valorile modulului redus de elasticitate obtinute prin nanoindentare sunt mai reduse
decat cele obtinute prin DMA.

220
Fig. 8.2.6. Dependenta de frecventa a modulului redus de elasticitate pentru epoxina.
Fig. 8.2.7. Dependenta de frecventa a modulului redus de elasticitate pentru PMMA.
In fig. 8.2.7 este reprezentata dependenta modulului de elasticitate redus E′
r
pentru proba
PMMA, la o temperature de referinta de 20 C. Aici se observa ca valorile modulului redus de
elasticitate obtinute prin nanoindentare sunt mai apropiate de cele obtinute prin DMA

221
Fig. 8.2.8. Dependenta de frecventa a modulului redus de elasticitate pentru PDMS.
In fig. 8.2.8 sunt reprezentate rezultatele pentru proba PDMS, la o temperatura de referinta
de 20 C. Se observa ca valorile modulului redus de elasticitate obtinute prin nanoindentare sunt
apropiate de cele obtinute prin DMA. Fig. 8.2.9 prezinta variatia rigiditatii dinamice de contact
[N/m] in raport cu A [ µm ]. Datele corespund pentu adancimi de indentare de 5-20 µm .
Fig. 8.2.9. Dependenta rigiditatii dinamice de contact in raport cu A .

222
Aknowledgement
Multumim CNCSIS, contract PNII idei, nr.106/2007, cod CNCSIS 247/2007 pentru
finantarea cercetarii. Aducem pe aceasta cale multumiri prof. P.P.Delsanto, dr. Antonio Gliozzi
de la Politecnico di Torino, prof.K.Sadowska de la Gdansk University of Technology, Faculty of
Mechanical Engineering, dr. Christos S.Ioakimidis, Gdansk Faculty of Ocean Engineering
and Ship Technology, si prof.Mostafa.El-Ashry, prof.Kareem M.Gouda, prof.Iman
ElMahallawi, de la Centre for Advanced Materials, Faculty of Engineering, the British
University of Egypt, pentru asistenta tehnica si discutii privind interpretarea datelor
experimentale.

Bibliografie
Abrete, S., Optimal design of laminated plates and shells, Composite structures, 29, 269-286,
1994.
Artan, R., Nonlocal elastic half plane loaded by a concentrated force, Int. J. Engng. Sci., 34,
943–950, 1996a.
Artan, R., Rectangular rigid stamp on a nonlocal elastic half plane, Int. J. Solids Structures, 33,
3577–3586, 1996b.
Artan, R., Unsymmetrical rigid stamp on a nonlocal elastic half plane, Int. J. Engng. Sci., 34,
933–941, 1996c.
Artan, R., Unsymetrical elastic stamp on a nonlocal elastic half plane, Computers and Structures,
63, 39–-50, 1997.
Artan, R., Rigid parabolic stamp on a nonlocal elastic half plane, Turk J. Engin Environ. Sci., 25,
611–616, 2001.
Baldovin, D., Delsanto, P.P., Mitu, A.M., Chiroiu, V., On the modal strain energy approach,
Annual Symposium of the Institute of Solid Mechanics SISOM2007, may 2007.
Baldovin, D., Delsanto, P.P., Mitu, A.M., Chiroiu, V., On the modal strain energy approach,
Revue Roumaine des Sciences Techniques, serie de Mecanique Appliquee, vol. 53, nr.2, pp. 221-
226, 2008.
Baldovin, D., Delsanto, P.P., Chiroiu, V., On the rolling contact fatique in railway wheels, Proc.
of the Romanian Academy, Series A: Mathematics, Physics, Technical Sciences, Information
Science, vol.10, 2009.
Baldovin, D., Chiroiu, V., Munteanu, L., Solomon, L., On the double couple radiation pattern for
a slab-track system , Proc. of the Romanian Academy, Series A: Mathematics, Physics,
Technical Sciences, Information Science, vol.10, nr.2, 2009.
Baral, D., Hilliard, J.E., Jetterson, J.B., Miyano, K., Determination of the primary elastic
constants from thin foils having a strong texture, J. Appl., Phys.,53, 5, 1982.
Beldiman, M., Panaitescu, E., Dogaru, L., Approximate quasi efficient solutions in multiobjective
optimization , Bulletin Mathematique de la Societe de Sciences Mathematiques de Roumanie nr.
51(99), 109-121, 2008.
Bendsoe, M..P., Olhoff, N., Taylor, J.E., A variational formulation for multicriteria structural
optimization, Journal of Structural Mechanics, 11, 4, 523-544, 1983.
Berlyand, L.V., Kozlov, S.M., Asymptotic of the homogenized moduli for the elastic chess-board
composite, Arch. Rational Mech., Anal., 118, 95–112, 1992.
Bethune, D.S., Kiang, C.., Devries, M.S., Gorman, G., Savoy, R., Vazquez, J., Beyers, R.,
Cobalt-catalyzed growth of carbon nanotubes with single-atomic-layer walls, Nature (London)
363, 605–607, 1993.
Bezazi, A., F. Scarpa, Mechanical behaviour of conventional and negative Poisson’s ratio
thermoplastic polyurethane foams under compressive cyclic loading International Journal of
Fatigue 29 (2007) 922–930
Bhushan, B., Nanomechanical properties of solid surfaces and this films, in Handbook of
Micro/Nano Tribology, (ed. Bhushan, B.) CRC Press, Inc.: Boca Raton, FL. 321–396, 1995.
Boussinesq, J., Applications des potentiels, Paris, Gauthier-Villars, 1885.

Buracu, V., Alecu, A., Shear traction and torsion on an elastic half-space, Rev. Roum. Sci. Tech. -
Méc. Appl., 51, 1, 3-14, 2006.
Chan, N., Evans, K. E., Fabrication methods for auxetic foams, J. Mater. Sci., 32, 22, 5945-5953,
1997.
Chen, W. Q, Wang, L.Z, Lu, Y., Free vibrations of functionally graded piezoceramic hollow
spheres with radial polarization, Journal of Sound and Vibration, 251, 1, 103–114, 2002.
Chen, W.Q., Vibration theory of non-homogeneous, spherically isotropic piezoelastic bodies,
Journal of Sound and Vibration, 229, 833–860, 2000.
Chiroiu, V., Chiroiu, C., Rugină, C., Delsanto, P.P., Scalerandi, M., Propagation of ultrasonic
waves in nonlinear multilayered media, J. of Comp. Acoustics, 9, 4, 1633–1646, 2001.
Chiroiu, V., Chiroiu, C. , Probleme inverse în Mecanică, Editura Academiei, 2003.
Chiroiu, V., Munteanu, L., Rugina, C., On the Active Control of Damping in Machine Tools,
MMSS’2003, 3 rd International Conference on Machining and Measurement of Sculptured
Surfaces, 24 - 26 September, Kraków, Poland, 2003.
Chiroiu, V., Ştiucă, P., Munteanu, L., Donescu, St., Introducere in nanomecanica, Editura
Academiei, 2005.
Chiroiu, V., L. Munteanu, P. Ştiucă, ch.3, On the modeling of nanostructured materials, in
“Topics in Applied Mechanics”, 3, Ed. Academiei, 2005.
Chiroiu, V., Donescu, St., Munteanu, L., The different effects of damping on dynamic instability,
ASME Fifth International Conference on Multibody Systems, Nonlinear Dynamics and Controls,
IDETC/CIE 2005, 20 th Biennal Conference on Mechanical Vibration and Noise, VIB4 Nonlinear
Dynamics, Optimization and Reliability of Mechanics, Paper DETC2005-84055, Sept. 24-29,
Long Beach, California, 2005.
Chiroiu, V., Mihailescu, M., Munteanu, L. ch. 3, Applications of smart materials in engineering
in “Advanced Engineering in Applied Mechanics”, Editura Academiei, 2006.
Chiroiu, V., Munteanu, L., On the free vibrations of a piezoceramic hollow sphere, Mechanics
Research Communications, Elsevier, 34, 2, 123–129, 2007.
Chiroiu, V., Munteanu, L., Dumitriu, D., Teodorescu, P.P>, On the nonlocal simulation of
nanoindentation, Analele Universitatii Maritime Constanta, anul IX, vol.11, 2008.
Chiroiu, V., Munteanu, L., Beldiman, M., Bucklewaves in piezoelectrics with Cantor like
structure, The International Review of Mechanical Engineering (IREME), 2, 3, 122-133, 2008.
Chiroiu, V., Munteanu, L., Dumitriu, D., Beldiman, M., Secara, C., On the arhitecture of a new
cellular elastic material, Proc. of the Romanian Academy, Series A: Mathematics, Physics,
Technical Sciences, Information Science, 9, 2, 105-115, 2008.
Chiroiu, V., Munteanu, L., Dumitriu, D., The relationship between the behavior of auxetic and
negative stiffness materials. Part I. Theory, The International Review of Mechanical Engineering
(IREME), 2, 1, 73-85, 2008.
Chiroiu, V., On the eigenvalues optimization of beams with damping patches, WSEAS
Transactions on Applied and Theoretical Mechanics, vol.3, issue 6 june, pp. 234-243, 2008.
Chiroiu, V., Poienariu, M., Georgescu, M., The Lagrange inverse problem, Computer and
Experimental Simulations in Engineering and Science (CESES), issue 1, 2009

Chiroiu, V., Munteanu, L., Identification of Hysteretic Behavior of Materials by Using Genetic
Algorithms, 10 th WSEAS International Conference on Automation and Information (ICAI’09),
Prague, March 23-25, 2009.
Chiroiu, V., Munteanu, L., A model for identification of hysteretic behavior of materials, WSEAS
Tenerife, Spain 2009.
Cimmelli, V.A., Starita, G., Nonlocal variational theories for systems with an interface, Int. J.
Engng. Sci., 28, 7, 663–675, 1990.
Civelek, M.B., Erdogan, F., Cakiroglu, A.O., Interface separation for an elastic layer loaded by a
rigid stamp, Int. J. Engng. Sci., 16, 9, 669–679, 1978.
Cosserat, E si F., Theorie des Corps Deformables (Hermann et Fils, Paris, 1909).
Delsanto, P.P., V. Provenzano, H. Uberall, Coherency strain effects in metallic bilayers, J. Phys.:
Condens. Matter, 4, 3915–3928, 1992.
Delsanto, P.P., Munteanu, L., Chiroiu, V., Donescu, St., On the nano torsional pendulum, Proc.
of the Romanian Academy, Series A: Mathematics, Physics, Technical Sciences, Information
Science, vol.10, nr.3, 2009.
Dixon, D., Ch.2 Investigative tools: theory, modelling and simulation, In: Roco, M.C., Alivisatos,
W.P. (eds.) (1999). Vision for nanotechnology research and development in the next decade,
Nanotechnology research directions: IWGN Workshop Report, WTEC Loyola College in
Maryland, 17–30, 1999.
De Visscher, J. et al., Damage evaluation in reinforced concrete using damping measurements,
Proc.2 nd Internat. Conf. "Emerging Technologies in NDT", Athens, Greece, May 24-26, 1999.
Derjaguin, B.V., Muller, V.M., Toporov, Yu,P., Effect of contact deformations on the adhesion of
particles, J. of Colloid and Interface Science, 53, 2, 314-326, 1975.
Donescu, St., V. Chiroiu, L.Munteanu, On the evaluation of the Young’s modulus for a laminated
periodic composite structure based on auxetic materials, Revue Rom. Sci. Techn., 53, 3, 2008.
Donescu, St., .Chiroiu, V., Munteanu, L., On the Young’s modulus of a auxetic composite
structure , Mechanics Research Communications, 36, 2, 294-301, 2009.
Dumitriu, D., Chiroiu, V., Munteanu, I., Badea, T., About focusing in nano elastodynamics, Proc.
of the Romanian Academy, Series A: Mathematics, Physics, Technical Sciences, Information
Science, 7, 3, 2006
Dumitriu, D., Chiroiu, V., Munteanu, L., On the nonlocal continuum mechanics at the atomic
scale, International Workshop “Advanced Researches in Computational Mechanics and Virtual
Engineering”, 18-20 Oct.2006, Brasov, 2006.
Dumitriu, D., Valée, C., Rigid body dynamics using the parametrization of rotations by full
rotation matrices, A XXX-a Conferinta Nationala de Mecanica Solidelor, 15-16 sept. 2006,
Constanta, 2006.
Dumitriu, D., Chiroiu, V., On the elastic contact problem for a flat punch, The 4th International
Colloquium “Mathematics in Engineering and Numerical Physics”, October 6-8 , Bucharest,
2006.
Dumitriu, D., V.Chiroiu, On the dual equations in contact elasticity, Rev. Roum. Sci,. Techn.,
serie Mecanique Appl., 52, 2, 2007
Dumitriu, D., Chiroiu, V., On the modelling of nanocontacts, Rev. Roum. Sci,. Techn., serie
Mecanique Appl., vol.52, nr.1, 2007.

Dumitriu, D., O.Pop, D.Baldovin, On the indentation of an elastic material with a spherical
indenter, Buletinul Institutului Politehnic din Iasi, tom LIV (LVIII) fasc.1 sectia Constructii de
Masini, pp. 297-302, 2008.
Eringen, A,C., Linear Theory of Micropolar Elasticity, J. Math. & Mech., 15, 909–924, 1966.
Eringen, A.C., Theory of micropolar elasticity, Fracture, 2 (ed. R. Liebowitz, Academic Press,
621–729, 1968.
Eringen A.C., Linear theory of nonlocal elasticity and dispersion of plane waves, Int. J. Engng.
Sci., 10, 425–435, 1972.
Eringen A.C., On nonlocal continuum thermodynamics, Modern developments in thermo
dynamics, (ed. B. Gal-Or), New York:John Wiley and Sons, 121–142, 1974.
Eringen A.C., Continuum mechanics at the atomic scale, Crystal Lattice defects, 7, 109–130,
1977.
Eringen, A.C., Nonlocal continuum field theories, Springer, 2002.
Eshelby, J.D., The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion and related
problem, Proc. Royal Soc., Vol.A241, pp.376–396, 1957.
Fabrikant, V.I., Flat punch of arbitrary shape on an elastic half-space, Int. J. Engng. Sci., 24, 11,
1731–1740, 1986.
Finer, J.T., Mehta, A.D., Spudich, J.A., Characterization of single actin-myosin interactions,
Biophys. J.,68, 291, 1995.
Fish, J., Nuggehally, M.A., Shephard, M.S., Picu, C.R., Badia, S., Parks, M.L., Gunzburger, M.,
Concurrent AtC coupling based on a blend of the continuum stress and the atomistic force,
Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 196, 4548–4560, 2007.
Gauthier, R.D., Experimental investigations on micropolar media, Mechanics of Micropolar
Media, CISM Courses and lectures (edited by O. Brulin and R.K.T. Hsieh, World scientific,
1982, pp.395–463).
Guyer, R.A., Hysteresis, discrete memory, and nonlinear wave propagation in rock,
Phys.Rev.Lett., 74, 3491-3494, 1995.
Guyer, R.A., P. A. Johnson, Nonlinear mesoscopic elasticity: Evidence for a new class of
materials, Physics Today, april 1999.
Harding, J.W., Sneddon, I.N., Proc. Cambridge Philos. Soc., 41, 16, 1945.
Hay, J.C., Bolshakov, A., Pharr, G.M., J. Mater. Res., 14, 2296–2305, 1999.
Hertz, H., Uber die Beruhrung fester elastischer Korper, J. F. Reine u. angew. Math., 92, 1882.
Han, K., J.D. Embury, J.R. Sims, L.J. Campbell, J-J. Schneider-Muntau, V.I. Pantsyrnyi, A.
Shikov, A.Nikulin, and A. Vorobieva. 1999. The fabrication, properties and microstructures of
Cu-Ag and Cu-Nb composite conductors, Materials Sci. and Eng. A.
Iijima, S., Helical microtubules of graphitic carbon, Nature, London, 354, 56–58, 1991.
Iijima, S., Ichihashi, T., Single-shell carbon nanotubes of 1 nm diameter, Nature, London, 363,
603–605, 1993.
Jaeger, J.C., Cook, N.G.W., Fundamentals of rock mechanics, Chapman and Hall, London, 1976.
Jankowski, A.F., Modelling the supermodulus effect in metallic multilayers, J. Phys. F: Met.
Phys., Vol.18, pp.413–427, 1988.

Jankowski, A.F., T. Tsakalakos, T., The effect of strain on the elastic constants of noble metals, J.
Phys. F: Met. Phys., 15, 1279–1292, 1985.
Johnson, K. L., Contact Mechanics, Cambridge University Press, New York, 1985.
Johnson, P.A., Sutin, A., Van Den Abeele, K.E.A., Application of Nonlinear Wave Modulation
Spectroscopy to Discern Material Damage, Proc.2 nd Internat. Conf. "Emerging Technologies in
NDT", Athens, Greece, May 24-26, 1999.
Johnson, P.A., Resonance and nonlinear elastic phenomena in rock, J.Geophys. Res.,11553-64,
1996.
Keer, L. M., Miller, G.R., Contact between an elastically supported circular plate and a rigid
indenter, Int. J. Engng. Sci., 21, 6, 681–690, 1983.
Kelchner, C.L., Plimpton, S.J., Hamilton, J.C., Dislocation nucleation and defect structure during
surface indentation. Phys. Rev. B, 58, 17, 1998.
Kostov, M.K., Adsorption of gases in carbon nanotubes, PhD thesis, The Pennsylvania State
Univ., 2003.Krasnoselski, M., A. Pokrovski, Systems with Hysteresis, Nauka, Moscow, 1983.
Krishna, Ghanashyam M., Prasad, Durga M., Srinivasan, V. A possible universal definition for
the nanophase, report School of Physics and of Chemistry, University of Hyderabad, 2004
Lakes, R.S., R. L. Benedict, Noncentrosymmetry in micropolar elasticity, Int. J. Engng. Sci., 20,
10, 1161–1167, 1982.
Lakes, R.S., H.S.Yoon, J.L. Katz, Science, 220, 513–515, 1983.
Lakes, R.S., Experimental Microelasticity of Two Porous Solids, Int. J. Solids, Structures, 22, 55–
63, 1986.
Lakes, R.S., Foam structures with a negative Poisson's ratio, Science, 235, 1038–1040, 1987.
Lakes, R.S., Experimental micro mechanics methods for conventional and negative Poisson's
ratio cellular solids as Cosserat continua, J. Eng. Materials and Technology, 113, 148–155,
1991.
Lakes, R.S., T. Lee, A. Bersie, Y. C. Wang, Extreme damping in composite materials with
negative stiffness inclusions, Nature, 410, 565–567, 2001.
Lakes, R.S., Extreme damping in composite materials with a negative stiffness phase, Phys. Rev.
Lett., .86, 13, 2897–2900, 2001.
Lakes, R.S., W. J. Drugan, Dramatically stiffer elastic composite materials due to a negative
stiffness phase?, J. of the Mechanics and Physics of Solids, 50, 979–1009, 2002.
Lei, Y., Friswell, M.I., Adhikari, S., A Galerkin method for distributed systems with nonlocal
damping, International Journal of Solids and Structures, 43, 3381-3400, 2006.
Love, A.E.H., A treatise on the mathematical theory of elasticity (4 th ed., Dover, New York,
1926).
Lubarda, V.A., D. Sumarac, D. Krajcinovic, Preisach model and hysteretic behaviour of ductile
materials, Eur. J. Mech., A/Solids, 12, no.4, 445-470, 1993.
Lyshevski, S.E., Nano- and microelectromechanical systems, Fundamentals of Nano- and
Microengineering, CRC Press, 2000.

Iordache D., Scalerandi, M., Rugină, C., Iordache, V., Study of the stability and convergence of
FD simulations of ultrasound propagation through nonhomogeneous classical (Zener’s)
attenuative media, Rom. Reports on Physics, 50, 10, 703–716, 1998.
Iordache D.A., Scalerandi M., Iordache V., Study of finite differences simulations of the
ultrasound propagation in Christensen’s media, Rom. Journ. Phys., 45, 9-10, 685–704, 2000.
Jackson, A., Teachers’s guide the (small) world of nanostructured materials, Report, Central
Michigan Univ, 2004.
Ma, L., Levine, L.E., Effect of the spherical indenter tip assumption on nanoindentation, J. Mater.
Res., 22, 6, 1656-1661, Jun 2007.
Mamalis, G., Manolakos, D.E., Baldoukas, K., Viegelahn, G.L., Proc. Inst. Mech. Eng., 203,
411–417, 1989.
Mihailescu, M., Chiroiu, V., Advanced mechanics on shells and intelligent structures, Ed.
Academiei, 2004.
Misra, A., Verdier, M., Lu, Y.C., Kung, H., Mitchell, T.E., Nastasi, M., Embury, J.D., Structure
and mechanical properties of Cu-X (X = Nb, Cr, Ni) nanolayered composites, Scripta Mater. V
39, 555-560, 1998.
Modi, N. Koratkar, E. Lass, B. Wei, and P. Ajayan, “Miniaturized gas ionization sensors
Mayergoyz, I.D., Hysteresis models from the mathematical and control theory points of view, J.
Appl. Phys., 57(1), 3803, 1985.
Mayergoyz, I.D., Mathematical models of hysteresis, Springer-Verlag, New-York, 1991.
Mindlin, R.D., Microstructure in linear elasticity, Arch. Rat. Mech. Anal., 16, 51–78, 1964.
Mindlin, R.D., Stress functions for a Cosserat continuum, Int J. Solids Structures, .1, 265–271,
1965.
Munteanu, L., Donescu, St., Introducere in teoria solitonilor. Aplicatii in mecanica, Editura
Academiei, 2002.
Munteanu, L., Donescu, St., Introduction to Soliton Theory: Applications to Mechanics, Book
Series “Fundamental Theories of Physics”, 143, Kluwer Academic Publishers, 2004.
Munteanu, L., Chiroiu, C., On the mechanical behavior of carbon nanotubes with single- atomiclayer
walls, AMSE: Modelling, Measurement and Control, Series B: Mechanics and Thermics,
74, 2005.
Munteanu, L., Dumitriu, D., Chiroiu, V., Donescu, St., On the complexity of the auxetic systems,
Proceeding of the European Computing Conference, Athens, Springer , 2007.
Munteanu, L., Donescu, St., Delsanto, P.P., Dumitriu, D., Mosnegutu, V., ch.8 On the
characterization of auxetic materials, Research Trends in Mechanics, vol.2, Ed. Academiei,
2008.
Munteanu, L., Chiroiu,V., Dumitriu, D., Baldovin, D., Donescu, St., Chiroiu, C., On the
eigenvalues optimization of Euler-Bernoulli beams with nonlocal damping pathes, Revue Rom.
Sci. Techn.,.53, 3, 2008.
Munteanu, L., D. Dumitriu, Şt. Donescu, V.Chiroiu, On the complexity of the auxetic systems,
sect.15, Advanced Computer and Simulations in Engineering and Science, 2 (eds. N.Mastorakis,
V.Mladenov), 1543-1549, Springer, 2008

Munteanu, L., V.Chiroiu, D.Dumitriu, M.Beldiman, On the characterization of auxetic
composites, Proc. of the Romanian Academy, Series A: Mathematics, Physics, Technical
Sciences, Information Science, 9, 1, 2008.
Munteanu, L., Delsanto, P.P., Dumitriu, D., On the modeling of Euler-Bernoulli beams with
auxetic patches, Revue Roumaine des Sciences Techniques, serie de Mecanique Appliquee, vol.
53, nr.2, pp. 211-220, 2008.
Munteanu, L., On the Bending of Carbon Nanotubes, 10 th WSEAS International Conference on
Mathematics and Computers in Business and Economics (MCBE’09), Prague, March 23-25,
2009.
Myer, L.R., Kemeny, J.M., Zheng, Z., Suarez, R., Ewy, T., Cook, N.G.W., Extensile cracking in
porous rock under differential compressive stress, Applied Mechanics Reviews, 45, 8, 1992.
Noid, D, Sumpter, B., A carbon nanomotor, Oak Ridge National Laboratory, report, 2000.
Olkhovets, A., Nano electro mechanical systems and their applications, Phd.Thesis, Cornell
University, 2001.
Oliver, W.C., Pharr, G.M., J. Mater. Res., 19, 3–20, 2004.
Oliver, W.C., Pharr, G.M., An improved technique for determining hardness and elastic modulus
using load and displacement sensing indentation experiments, J. Mater. Res., 7, 6, 1564–1583,
1992.
Păun, V.P., Munteanu, L., Agop, M., cap.14 “Transport phenomena at nanometer scale“,
Research Trends in Mechanics, vol.3, Ed. Academiei, 2009
Picu, R.C., A nonlocal formulation of rubber elasticity, International Journal for Multiscale
Computational Engineering, 1, 1, 23–32, 2003.
Picu, R.C., Xu, Z., Vacancy concentration in Al–Mg solid solutions, Scripta Materialia, 57, 45–
48, 2007.
Pedersen, N.L., On simultaneous shape and orientational design for eigenfrequency optimisation,
Danish Center for Applied Mathematics and Mechanics, report nr. 714, June 2006.
Pedersen, N.L., Designing plates for minimum internal resonance, Struct. Multidisc. Optim., 28,
1, 1-10, 2004
Pedersen, N.L., Optimization of holes in plates for control of eigenfrequencies, Struct. Multidisc.
Optim., 30, 4, 297-307, 2005
Polizzotto, C., Non-local elasticity and related variational principles, International Journal of
Solids and Structures, 38 (42–43), 7359–7380, 2001.
Preisach, F., Über die magnetische Nachwirkung, Z. Physics, 94, p. 277-302, 1935.
Popa, D., Solomon, L., Chiroiu, V., Stǎnescu, N.D., .Secară, C., cap.13 “On the uniaxial
deformation of nonhomogeneous materials”, Research Trends in Mechanics, vol.3, Ed.
Academiei (eds. D.Popa, V.Chiroiu, L.Munteanu), 2009.
Popa, D., Munteanu, E., Munteanu, L., Chiroiu, V., On the shape reconstruction of D Stokes
flows, Proc. of the Romanian Academy, Series A: Mathematics, Physics, Technical Sciences,
Information Science, vol.10, nr.3, 2009..
Păun, V.P., Munteanu, L., Agop,M>, cap.14 “Transport phenomena at nanometer scale“,
Research Trends in Mechanics, vol.3, Ed. Academiei, 2009

Picu, R.C., A nonlocal formulation of rubber elasticity, International Journal for Multiscale
Computational Engineering, 1, 1, 23–32, 2003.
Picu, R.C., A nonlocal formulation of rubber elasticity, International Journal for Multiscale
Computational Engineering, 1, 1, 23–32, 2003.
Preisach, F., Über die magnetische Nachwirkung, Z. Physics, 94, p. 277-302, 1935.
Rafii-Tabar, H., Modelling the nano-scale phenomena in condensed matter physicsvia computerbased
numerical simulations, Phys. Rep., 325, 239–310, 2000.
Rauchs, G., Dumitriu, D., Indentation testing parameter identification using an optimization
procedure based on genetic algorithms , Proc. of the Romanian Academy, Series A:
Mathematics, Physics, Technical Sciences, Information Science, 10, 2, , 2009.
Reddy, J.N., Liu, C.F., A higher-order theory for geometrically nonlinear analysis of composite
laminates, NASA Contractor Report 4056, 1987.
Reddy, J.N., Wang, C.M., Kitipornchai, S., Axisymmetric bending of functionally graded circular
and annular plates, European Journal of Mechanics, A/Solids 18, 185–199, 1999.
Reddy, J.N., A Generalization of Two-Dimensional Theories of Laminated Composite Laminate,
Communications in Applied Numerical Methods, 3, 173–180, 1987.
Richard E. Goodman, P. N. Sundaram, Fault and System Stiffnesses and Stick-Slip Phenomena,
in: PAGEOPH, vol. 116 (no. 4-5), "Rock Friction and Earthquake Prediction" (James D. Byerlee
and Max Wyss, eds.) Birkhauser Verlag, 1978.
Rogers, C., Schief, W. K., The classical Bäcklund transformation and integrable discretisation of
characteristic equations, Physics Letters A, 232, 217-223,1997.
Rosakis, P., A. Ruina, R. S. Lakes, Microbuckling instability in elastomeric cellular solids, J.
Materials Science, Vol. 28, pp.4667–4672, 1993.
Rosakis, P., Ruina, A., Lakes, R.S., Microbuckling instability in elastomeric cellular solids, J.
Materials Science, 28, 4667–4672, 1993.
Ruoff, R.S., Qian, D., liu, W.K., Mechanical properties of carbon nanotubes : theoretical
predictions and experimental measurements, Comptes Rendus Physique, 4, 993–1008, 2003.
Rauchs, G., Dumitriu, D., Indentation testing parameter identification using an optimization
procedure based on genetic algorithms , Proc. of the Romanian Academy, Series A:
Mathematics, Physics, Technical Sciences, Information Science, 10, 2, , 2009.
Svoboda, K., Schmidt, C.F., Schnapp, B.J., Block, S.M., Direct observation of kinesin stepping
by optical trapping interferometry, Nature, 365, 721, 1993.
Ştiucă, P., Chiroiu, V., Nicolescu, C.M., On the mechanical behavior of nanostructured
materials, in “Topics in Applied Mechanics”, 2, Ed. Academiei, 2004 (eds. V. Chiroiu , T.
Sireteanu), 2004.
Sabin, G.C.W., The impact of a rigid axisymmetric indentor on a viscoelastic half-space, Int. J.
Engng. Sci., 25, 2, 235–251, 1987.
Saito, R., Dresselhaus, G., Dresselhaus, M.S., Physical Properties of Carbon Nanotubes, Imperial
College Press, London, 1998.
Sandler, S., J.P. Wright, Theoretical foundation for large scale computations of nonlinear
material behavior, (eds. S. Nemat Nasser, R. J. Asarom G. A. Hegemier, M. Nijhoff, 1984).

Smith, C.W., Grima, J.N., Evans, K.E., A novel mechanism for generating auxetic behavior in
foams: missing rib foam model, Acta mater. 48, 4349–4356, 2000.
Sneddon, I.N., Dual equations in elasticity, in Applications of the theory of functions in
continuum mechanics, vol.1 Mechanics of Solids (eds. N.I. Muskhelishvili, L.I. Sedov, G.K.
Mikhailov), Nauka Publishing House, 76–94, 1965.
Sneddon, I.N., Fourier Transforms (McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, pp. 450–467,
1951
Sneddon, I.N., Int. J. Eng. Sci. 3, 47, 1965.
Soare, M., Picu, C., Spectral decomposition of random fields defined over the generalized Cantor
set, Chaos, Solitons and Fractals, 37 , 566–573, 2008.
Soare, M., Picu, C., An approach to solving mechanics problems for materials with multiscale
self-similar microstructure, International Journal of Solids and Structures, 44, 7877–7890, 2007.
Solomon, L. Une solution approchée du problème du poinçon rigide à base plane bornée convexe
nonn elliptique, Compt. Rend. Acad. Sc. Paris, 258, 64–66, 1964.
Solomon, L., Elasticitate liniară. Introducere matematică în statica solidului elastic, Editura
Academiei, 1969.
Solomon, L., Elasticité linéaire, Masson, Paris, 1968.
Solomon, L., Upon the geometrical punch-penetration rigidity, Lincei-Rend. Sc. Fis. Mat. E Nat.,
36, 832–835, 1964.
Solomon, L., Zamfirescu, I., Some approximative formulae and solutions in the contact problem
for punches with a plane bounded non-elliptical basis, Applications of the theory of functions in
continuum mechanics, Proc. of the Int. Symp. Tbilisu, sept. 17-23 (eds. Muskhelishvili N.I.,
Sedov L.I., Mikhailov G.K.), 400–409, 1963.
Teodorescu, P.P., L. Munteanu, V. Chiroiu, On the wave propagation in chiral media, New
Trends in Continuum Mechanics, Theta Series in Advanced Mathematics (ed. M.Mihailescu-
Suliciu, Editura Theta Foundation, Bucuresti, 2005, 303–310, 2005.
Teodorescu, P.P., Chiroiu, V., Munteanu, L., Damping across the length scales, Int.
Symp.:”Disiparea energiei, procese acustice, vibratorii si seismice”, Bucharest, 14 nov. 2005.
Teodorescu, P.P., Chiroiu, V., Munteanu, L., On the soliton mechanism of bending for carbon
nanotubes”, Int. Conf. on Advanced Materials - ICSAM 2005, 15-17 sept. 2005, Bucuresti,
p.151-156, 2005.
Teodorescu, P., Chiroiu, V., Munteanu, L., On the uniaxial deformation of the carbon
nanotubes”, A XXIX-a Conferinta nationala de mecanica Solidelor, 4-5 noiembrie, Buletinul
Univ. Petrol si Gaze Ploiesti, 2005. .
Teodorescu, P.P., Chiroiu, V., Munteanu, L., The pseudospherical reduction of an uniaxial
deformation problem for the carbon nanotubes, The 5-th Conference of Balkan Society of
Geometers, August 29-September 2, 2005 Mangalia, 2005.
Teodorescu, P.P., T. Badea, L. Munteanu, J. Onisoru, On the wave propagation in composite
materials with a negative stiffness phase, New Trends in Continuum Mechanics, Theta Series in
Advanced Mathematics (ed. M.Mihailescu-Suliciu Ed. Theta Foundation, Bucharest, 2005, 295–
302, 2005.

Teodorescu, P.P., Chiroiu, V., Munteanu, L., On the soliton mechanism of bending for carbon
nanotub nanotubes, Int. Conf. on Advanced Materials - ICSAM 2005, 15-17 sept. 2005,
Bucuresti.
Teodorescu, P.P., Dumitriu, D., Chiroiu, V.,On the coupled atomistic-continuum methods with
applications to carbon nanotubes dynamics, International Workshop “Advanced Researches in
Computational Mechanics and Virtual Engineering”, 18-20 Oct.2006.
Teodorescu, P.P., Munteanu, L., Chiroiu, V., Dumitriu, D., Beldiman, M., On the application of
Chebyshev polynomials to nanoropes twist, Proc. of the Romanian Academy, Series A:
Mathematics, Physics, Technical Sciences, Information Science, vol. 9, nr.3, 2008.
Teodorescu,P.P., Chiroiu, V., Munteanu, L., On the deformation of carbon nanotubes ropes,
Buletin Universitatea Transilvania din Brasov, 2009.
Toupin, R.A., B. Bernstein, B., Sound waves in deformed perfectly elastic materials,
Acoustoelastic effect, J. Acoust. Soc. Am., Vol.33, n.2, pp.216–225, 1961.
Tuzun, R. E., Noid, D.W., Sumpter B.G., Dynamics of fluid flow inside carbon nanotubes,
Nanotechnology, 2005.
Van Den Abeele, K., Elastic pulsed wave propagation in media with second or higher order
nonlinearity, Part I. Theoretical framework, J.Acoust.Soc.Am., 99,3346-52, 1996, 101,1885-98,
1997.
Van Den Abeele, K.E.A., H.Carmeliet, J.A.Ten Cate, P.A.Johnson, Nonlinear Elastic Wave
Spectroscopy (NEWS) techniques to discern material damage. II: Single Mode Nonlinear
Resonance Acoustic Spectroscopy, Research on Nondestructive Evaluation, 2000.
Van Den Abeele, K.E.A., H.Carmeliet, J.A.Ten Cate, P.A.Johnson, Single Mode Nonlinear
Resonance Acoustic Spectroscopy for Damage Detection in Quasibrittle Materials, Proc.2 nd
Internat. Conf. "Emerging Technologies in NDT", Athens, Greece, May 24-26, 1999.
Vodenitcharova, T., Zhang, L.C., Mechanism of bending with kinking of a single-walled carbon
nanotube, Physical Review B, 69, 115410, 2004.
Walsh, J.B., Stiffness in faulting and in friction experiments, J. Geophys. Res., 76, 8597-8598,
1971.
Wang, Y.C., R. S. Lakes, A. Butenhoff, Cellular Polymers, Vol.20, pp.373–385, 2001.
Zener, C., Relaxation phenomena in metals, Physica, 15, 1-2, 111–118, 1949.
Zener, C. , Mechanical behavior of high damping metals, J. Appl. Phys., 18, 1022, 1947.
Yang, B.D., M. L. Chu, C. H. Menq, Stick-slip-separation analysis and nonlinear stiffness and
damping characterization of friction contacts having variable normal load, J. of Sound and
Vibrations, 210, 4, 461-481, 1998.