caracterizarea bazata pe cunoastere a capacitatii de amortizare

8
π
∫ dϕ
2 ⎛ρ⎞
= K
2 2
⎜ ⎟
ρ + r −2ρrcosϕ
r ⎝ r ⎠
. (1.11)
0
Scriind
2
2
a ρ
x = ≤ 1 , y = , valoarea lui T
2 2
1
din (1.10) devine
r a
( )
1 ρ
a
a
T 2 K a d K xy 1 y d y T
a
2 a
2
⎛ ⎞ 2 2
1
= ⎜ ⎟ −ρ ρ ρ= − =
2
r
0 ⎝ r ⎠
r
0
r
∫ ∫ , (1.12)
şi
unde
∞
π
2
( ) (
n
)
n n
K xy = ∑ C x y , (1.13)
2 n−0
(2n
−1)!!
Cn
= 2 .
n
(1.14)
2 n!
Substituind valoarea lui K ( xy ) din (1.13) în (1.12) avem
( )
1
∞
π
n π
2 n
= − = × ∫ y 1− yd y = ∑( Cn)
anx
, (1.15)
2
1
∞
2 n
T2
∫ K xy 1 yd y ∑( Cn
) x
0
2 n−0
0
⎛3
⎞
1 Γ ( n + 1)
1
3
Γ⎜ ⎟ n+
n
2 2 n!
an
= y 1 yd y B( n 1, )
⎝ ⎠
∫ − = + = = , (1.16)
2 5 (2n
+ 3)!!
0
⎛ ⎞
Γ ⎜n
+ ⎟
⎝ 2 ⎠
unde Γ şi B sunt funcţiile Euleriene. Din (1.14) şi (1.16) avem
n−0
Substituind
n+
1
2 2 n! ⎡(2n−1)!!
⎤ 2
n( n)
= =
n
a C
2
an( C
n)
în (1.15) avem
Cn
(2n+ 3)!! ⎢
⎣ 2 n! ⎥
⎦ (2n+ 3)(2n+
1)
.
∞
n
Cx
n
T2
=π∑ . (1.17)
n=
0 (2n+ 3)(2n+
1)
Avem în continuare din (1.14):
∞
n 1
∑ Cx
n
= . (1.18)
1 − x
n=
0
cu x avem
Înmulţind la stânga şi la dreapta expresia (1.18) cu
1
4 x
şi integrând de două ori în raport
∞
n+
1
Cx
n
1
∑ = {2 x (1 −x ) − (1 − 2 x )arccos(1 − 2 x )} .
(2n+ 3)(2n+
1) 8
n=
0