caracterizarea bazata pe cunoastere a capacitatii de amortizare

9
Impărţind la x 3/2 , determinăm pe T
2
:
π 1
T2 =
3/2 {2 x (1 − 2 x ) − (1 − 2 x )arccos(1 − 2 x ) . (1.19)
8 x
Din (1.19), (1.12) şi (1.10) obţinem deformaţia în direcţia axei z în afara ariei de contact,
adică pentru r≥ a:
2
3θF
⎧⎪ 2 2 2 2
⎛ a ⎞⎫⎪
wr ( ) = 2 a r a (2 a r )arccos 1 2
2 ⎨ − + − ⎜ −
2 ⎟⎬. (1.20)
πa
⎪⎩
⎝ r ⎠⎪⎭
Pentru r = a avem
3πθF
wa ( ) = . (1.21)
8a
Deformaţia în originea coordonatelor r = z= 0 se determină din (1.8)
3πθF
w(0) = = 2 wa ( ) . (1.22)
4a
Daca z
0
este coordonata unui punct de pe sferă înainte de deformatie, pentru orice punct de
pe suprafaţa deformată este valabilă relaţia
cu
z = z0
+ w−α, (1.23)
2
r
z0
= . (1.24)
2R
De aici apare că, în originea coordonatelor z = z0 = 0 , avem w (0) =α, adică
în timp ce pe perimetrul ariei de contact avem r
α
(1.22), wa ( ) = , şi găsim din (1.23) relaţia cunoscută
2
3πθF
α= , (1.25)
4a
= a, z = 0 şi
z
0
2
a
= . Se observă că, potrivit cu
2R
2
2
a α
a
+ −α= 0 ⇒ α= . (1.26)
2R
2
R
3θ F 1
Comparând (1.25) cu (1.26) avem
3 = , şi după substituirea acestei expresii în
4a
π R
(1.20) avem
wr
1 ⎧⎪
a r a a r
⎩
2
2 2 2 2
( ) = ⎨2 − + (2 − )arccos⎜1−2
2 ⎟⎬
2πR⎪ r ⎪
Acum, substituind în (1.23) pe z
0
, α şi w din (1.24), (1.26) şi (1.27) găsim
⎛
⎝
a
⎞⎫⎪
. (1.27)
⎠⎭