caracterizarea bazata pe cunoastere a capacitatii de amortizare

30
x = χ ( X , t).
. (1.1.68)
ξ
ξ
Câmpul tensorial χξ
descrie mişcarea constituentului ξ la momentul t . Punctul spaţial x la
momentul t este ocupat simultan conform legii (1.1.68) de către o particulă materială a fiecărui
k
constituent. Se presupune că (1.1.68) este biunivocă şi continuu diferenţiabilă în raport cu X ξ
şi
t . Viteza fiecărui constituent material este definită prin
∂χξ
vξ
= | X
. (1.1.69)
∂
ξ
t
Notând densitatea de masă a constituentului ξ cu ρ
ξ
, densitatea de masă a mediului este
dată de formula
ρ = ∑ ρξ
. (1.1.70)
Derivata materială a funcţiei tensoriale ψ relativ la constituentul ξ este
Dψ dψ ∂ψ
ξ = | = | + v ψ
Dt dt ∂t
ξ
k
X ξ x ξ , k
unde ψ
,k
reprezintă derivata parţială a funcţiei ψ în raport cu
, (1.1.71)
k
x . Înainte de a trece la legile de
bilanţ se dau două formule fundamentale utilizate în stabilirea ecuaţiilor nelocale de bilanţ.
Derivata în raport cu timpul a integralei funcţiei tensoriale ψ considerată pe volumul V ξ
asociat constituentului ξ poate fi scrisă sub forma
d
dt
Vξ
∂ψ
ψ d V = [ + ( ψ v ) ]d V + ψ ⋅( v −u ) nkdσ
∂t
, (1.1.72)
∫ ∫ ∫
*
Vξ
k k k
ξ , k ξ
σ
*
unde V ξ
reprezintă partea din V ξ
care nu conţine vecinătăţi ale suprafeţei de discontinuitate σ , n
vectorul unitar normal la σ în direcţia propagării discontinuităţii, u viteza cu care se propagă
suprafaţa de discontinuitate σ , şi parantezele duble saltul valorii cantităţii respective de-a lungul
suprafeţei de discontinuitate în direcţia de propagare. Interfaţa dintre constituenti o putem defini
ca o astfel de suprafaţă de discontinuitate. A doua formulă este dată de teorema generalizată
Green-Gauss pentru o funcţie vectorială A pe suprafaţa S ξ
a lui V ξ
∫ ∫ ∫
A ndS= AdV+ A ndσ.
k k k
k , k k
S
*
ξ V
σ
ξ
(1.1.73)
În cele ce urmează nu se iau în consideraţie fenomenele electro-magnetice, relativiste sau
cuantice. Legile de bilanţ, în cazul mediului nelocal, includ legile de bilanţ ale masei, energiei,
impulsului, momentului cinetic şi inegalitatea lui Clausius-Duhem.
1. Conservarea masei. Derivata în raport cu timpul a integralei densităţii de masă pentru
constituentul ξ , considerată pe volumul de material V ξ
trebuie să fie nulă
d
ρ
ξdV
= 0
t
∫ . (1.1.74)
d V ξ