Ringar och Kroppar: Grundvalarna

4. P˚a samma sätt följer
(−1)a = a(−1) = −a
fr˚an 0 = 0 · a = (1 + (−1))a = a + (−1)a.
5. Vi har inte krävt 1 = 0 - men om s˚a är fallet gäller R = {0}. Vi kallar
R d˚a för nollringen.
Example 4.4. Vi tittar p˚a trippeln (R 3 , +, ×), där ”×” är vektorprodukten.
Med additionen g˚ar allt bra, men vektorprodukten orsakar problem:
Det finns ingen etta, den är inte kommutativ (fast det är till˚atet), utan “antikommutativ”,
dvs.
u × v = −v × u.
Det värsta är väl att den inte ens är associativ:
medan
(e1 × e2) × e2 = e3 × e2 = −e1,
e1 × (e2 × e2) = e1 × 0 = 0.
Men, konstigt nog finns det ocks˚a en algebraisk struktur som generaliserar
(R 3 , +, ×) - trippeln utgör en “Lie-algebra“.
Definition 4.5. En ring R kallas kommutativ om
gäller för alla a, b ∈ R.
ab = ba
Example 4.6. Matrisringen R 2,2 är inte kommutativ.
Vi ska nu diskutera olika slags element i en ring R: I fall implikationen
kan omvändas:
b = 0 =⇒ ab = 0
ab = 0 =⇒ b = 0
har elementet a ∈ R äran att f˚a ett särskilt namn:
14