Ringar och Kroppar: Grundvalarna

More documents

Recommendations

Info

Vi f˚ar sedan en isomorfism R × R ∼ = −→ R[A], (x, y) ↦→ xP + yQ. I synnerhet är allts˚a ringen R[A] inte ett integritetsomr˚ade: Vi har ju P Q = 0. Till sist sammanställer vi n˚agra grundläggande egenskaper av polynomringar. Vi behöver gradfunktionen: Definition 7.4. L˚at R vara en ring. Gradfunktionen definieras för f ∈ R[X] genom deg(f) := Remark 7.5. 1. Man har samt deg : R[X] −→ N ∪ {−∞} n , if f = n ν=0 aνX ν , an = 0 −∞ , if f = 0 deg(f + g) ≤ max(deg(f), deg(g)) , deg(fg) ≤ deg(f) + deg(g) deg(fg) = deg(f) + deg(g) om ett av polynomen f, g är normerat eller R är ett inegritetsomr˚ade. 2. Polynomringen R[X] över ett integritetsomr˚ade är igen ett integritetsomr˚ade. 3. För ett integritetsomr˚ade gäller R[X] ∗ = R ∗ . 4. Ett polynom f ∈ R[X] över ett integritetsomr˚ade R her högst deg f nollställen. 34 .
8 Kvadratiska kroppar I det här avsnittet generaliserar vi med hjälp av 2×2-matriser konstruktionen √d av de kvadratiska talkropparna Q till en godtycklig kropp K i stället för Q. Proposition 8.1. För d ∈ K l˚at 0 1 A = d 0 Sedan gäller 1. A 2 = dE 2. och ∈ K 2,2 . K[A] = KE + KA ⊂ K 2,2 är en kropp om d ∈ K inte är en kvadrat. Remark 8.2. 1. Vi har √ Q d ∼= Q[A]. 2. För konkreta räkningar är det kanske enklast att göra som i fallet K = Q, dvs. vi ersätter matriserna med en symbolisk notation: Vi skriver ocks˚a K Example 8.3. R[ √ −1] ∼ = C. xE + yA ←→ x + y √ d. √ d := x + y √ d; x, y ∈ K . Proof. Första delen kollas med det samma och den innebär att K[A] = KE + KA. I själva verket är K[A] en kropp, eftersom (xE + yA)(x − yA) = (x 2 − dy 2 )E och x 2 − dy 2 = 0 för (x, y) = 0 pga. att d ∈ K inte är en kvadrat. 35
Page 1 and 2: Ringar och Kroppar: Grundvalarna Ka
Page 3 and 4: 1 Översikt Följande tv˚a punkter
Page 5 and 6: 1. ideal om den är sluten b˚ade (
Page 7 and 8: 1. Vi f˚ar anta a ≥ b ≥ 0. 2.
Page 9 and 10: Remark 3.4. I själva verket är de
Page 11 and 12: Vi avslutar avsnittet med en liten
Page 13 and 14: och multipliceras a b c d · ã
Page 15 and 16: Definition 4.7. 1. Ett element a
Page 17 and 18: där vi använder oss av ”skalär
Page 19 and 20: Example 4.16. 1. 0, 1 är idempoten
Page 21 and 22: Att det är en ringhomomorfism, fö
Page 23 and 24: eftersom binomialkoefficienterna
Page 25 and 26: 6 Br˚akräkning Injektiva ringhomo
Page 27 and 28: Example 6.6. 1. Om S = R \ {0}, är
Page 29 and 30: Remark 7.2. 1. Polynom ”bestäms
Page 31 and 32: Proposition 7.3. L˚at R vara ett i
Page 33: 2. Matrisringar: Vi tar en godtyckl
Page 37 and 38: För en närmare undersökning av f
Page 39 and 40: vara primfaktorsuppdelningen: För
Page 41 and 42: Example 9.1. Relevanta K-algebror
Page 43 and 44: Beviset bygger som i fall av heltal
Page 45 and 46: 7. L˚at A ∈ K n,n ⊃ KE ∼ = K
Page 47 and 48: T.ex. om a = √ d, ta b = − √
Page 49 and 50: 2. Ringen K[a] är ett integritetso
Page 51 and 52: 10 Faktoriella ringar I det här av
Page 53 and 54: 1. en positiv konvergensradie och 2
Page 55 and 56: Börja med n˚agot icke-faktoriserb
Page 57 and 58: Remark 11.2. 1. Ad är uppenbarlige
Page 59 and 60: 9. En varning: Mängden av alla kva
Page 61 and 62: ˚Aterst˚ar fr˚agan vilka ringar
Page 63 and 64: Theorem 11.11. Ringen Ad är ett pr
Page 65 and 66: Example 11.14. Vi primfaktoriserar
Page 67 and 68: för µ ≥ 2. S˚aledes f(A) = 0.
Page 69 and 70: 1. För en icke-kvadrat d ∈ K gä
Page 71 and 72: 13 Fr˚an N till C ”Die ganzen Za
Page 73 and 74: medan mulitiplikationen definieras
Page 75 and 76: Klammeruttrycket K(z) uppfyller lim
Page 77 and 78: nytt konvergensbegrepp som ing˚ar.
Page 79 and 80: 5. Enhetsbollen Z(p) ⊂ Qp är en
Page 81 and 82: 3. Z(p) är ett principalidealomr˚
Page 83 and 84: kallas summerbar om för varje ν
Page 85:
Proof. Beviset är som i fall av po
show all

Ringar och Kroppar: Grundvalarna

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?