Ringar och Kroppar: Grundvalarna

Proof. Kinesiska isomorfismen
inducerar en bijektion
Zn −→ Zn1 × ... × Zns
Z ∗ n −→ Z ∗ n1 × ... × Z∗ ns .
RSA-kryptering: Vi ska förklara hur det g˚ar till att kryptera budskap med
en offentlig kodning, medan det kodade budskapet kan avkodas praktiskt
taget bara med lite information till. Den offentliga nyckeln best˚ar av ett
talpar (n, e), där n = pq är produkten av tv˚a olika primtal, men faktorerna
är inte offentliga och eftersom faktorisering är en mycket krävande process
g˚ar det i praktiken inte att beräkna talen p, q. Ta e ∈ N relativ prim till
ϕ(n) = (p − 1)(q − 1). B˚ade okrypterade och krypterade budskap representeras
av restklasser a ∈ Zn. Sedan krypteras och avkodas med hjälp av
potensavbildningar. Avbildningen
är kodningen och
a ↦→ a e = b
b ↦→ b d
är avkodningen, där e · d = 1 ∈ Z∗ ϕ(n) eller med andra ord: d ∈ N uppfyller
Det skulle gälla
de = 1 + mϕ(n).
a ed = a
för alla a ∈ Zn ∼ = Zp × Zq. S˚a vi m˚aste visa för c ∈ Zp och c ∈ Zq likheten
c ed = c. Anta t.ex. c ∈ Zp. För c = 0 är det ingenting att visa, medan för
c = 0 f˚ar vi med Fermats lilla sats c p−1 = 1 och s˚aledes
c ed = c 1+m(p−1)(q−1) = c · (c p−1 ) m(q−1) = c · 1 = c.
Problemet för en ovälkommen avkodare är att hitta ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).
Och det g˚ar bara om man kan faktorisera n, men detta är som sagt ett rejält
problem, när moduln n är stor.
24