Ringar och Kroppar: Grundvalarna

Definition 6.4. L˚at R vara ett integritetsomr˚ade. En delmängd S ⊂ R\{0}
kallas multiplikativ, om följande tv˚a villkor är uppfyllda:
1. s, t ∈ S =⇒ st ∈ S, samt
2. 1 ∈ S.
Example 6.5. 1. S := R \ {0} är en multiplikativ delmängd.
2. L˚at a ∈ R \ {0}. Sedan är
en multiplikativ delmängd.
S := a N = {a n ; n ∈ N}
3. L˚at p ∈ N vara ett primtal. Sedan är
en multiplikativ delmängd till Z.
S(p) := {a ∈ Z; p |a}
P˚a den kartesiska produkten R × S definierar vi ekvivalensrelationen ∼
p˚a följande sätt
(a, s) ∼ (b, t) :⇐⇒ at = bs .
Symmetri och reflexivitet är klara, anta nu (a, s) ∼ (b, t) ∼ (c, u). Det
innebär at = bs och bu = ct. Multiplikation med u resp. s leder till atu =
bsu = cts resp. au = cs, eftersom R inte har nolldelare = 0. S˚aledes
(a, s) ∼ (c, u). Mängden
S −1 R := (R × S)/∼
av dess ekvivalensklasser utgör en ring: Beteckna med
a
s := [(a, s)] ∈ S−1 R
ekvivalensklassen av paret (a, s). Sedan är additionen och multiplikationen
a b
+
s t
:= at + bs
st
, a b
·
s t
:= ab
st
väldefinierade ringoperationer; den resulterande ringen S −1 R kallas lokaliseringen
av R m.a.p. den multiplikativa delmängden S. I själva verket är
R −→ S −1 R, a ↦→ a
1 ,
en injektiv ringhomomorfism och vi har s˚aledes rätt till att se p˚a R som en
delring till S −1 R.
26