Ringar och Kroppar: Grundvalarna

4. För 0 ≤ r < n best˚ar Rn(r) av alla de heltal som lämnar resten r efter
division med n, dvs. a = qn + r. Därför kallas ekvivalensklasserna
ocks˚a för restklasser (eller n-restklasser). Vi f˚ar s˚aledes en partition
Z =
n−1
i=0
Rn(i).
5. Mängden av alla n-restklasser skrivs s˚a här:
Zn := {Rn(i); i = 0, ..., n − 1} .
Aritmetiska operationer för n-restklasser: Vi vill nu införa en addition
och en multiplikation
Zn × Zn −→ Zn
för restklasser. Vi börjar med den elementvisa additionen och multiplikationen
av delmängder A, B ⊂ Z, nämligen
och
A + B := {a + b; a ∈ A, b ∈ B}
AB := {ab; a ∈ A, b ∈ B}.
Proposition 3.3. 1. Rn(a) + Rn(b) = Rn(a + b),
2. Rn(a) · Rn(b) ⊂ Rn(ab), där
3. Rn(ab) = Rn(a) · Rn(b) + Zn.
Proof. Vi tittar p˚a summan resp. produkten av tv˚a godtyckliga tal a + kn ∈
Rn(a) och b + ℓn ∈ Rn(b) och ser att
och
(a + kn) + (b + ℓn) = (a + b) + (k + ℓ)n
(a + kn)(b + ℓn) = ab + (kb + ℓa + kℓn)n.
Eftersom alla element i den elementvisa produkten ligger i samma n-restklass
Rn(ab), kan vi helt enkelt ”fylla p˚a” med Zn och erh˚aller hela n-restklassen
Rn(ab).
8