Ringar och Kroppar: Grundvalarna

Eftersom n ∈ a och a är sluten m.a.p. godtycklig heltalsmultiplikation, f˚ar
vi Zn ⊂ a. Ta nu ett tal a ∈ a och använd divisionsalgoritmen
Sedan har vi tv˚a möjligheter:
1. r = 0 och s˚aledes a ∈ Zn, eller
a = qn + r, 0 ≤ r < n.
2. r = a − qn ∈ a>0. Men d˚a följer r ≥ min a>0 = n, en motsägelse.
Till sist avslutas beviset till Teorem 2.2 med
Proposition 2.7. Om
där ab = 0 och n ∈ N, s˚a gäller
Za + Zb = Zn,
n = sgd(a, b).
Proof. Vi har q := sgd(a, b) ≥ n, eftersom n delar b˚ade a och b. ˚A andra
sidan delar q i sin tur s˚aväl a som b, s˚aledes ocks˚a talet n = ra + sb. Men
Det ˚aterst˚ar att hitta
q|n ∧ q ≥ n =⇒ q = n.
sgd(a, b) = min(Za + Zb)>0.
Men den här beskrivningen har man inte mycket glädje av: Man kan ju inte
pröva sig igenom alla k, ℓ ∈ Z med ka + ℓb > 0. Här hjälper nu Euklides’
algoritm med vilken vi kan reducera talen a och b. Den bygger p˚a följande
enkel, men nyttig anmärkning:
Remark 2.8. Om a = qn + r, s˚a gäller
Za + Zb = Zb + Zr.
Euklides’ algoritm är nu en iteration av detta steg:
6