Ringar och Kroppar: Grundvalarna

2. Imaginära enheten i ∈ C ⊃ Q har minimalpolynom
pi = X 2 + 1 ∈ Q[X].
3. L˚at n > 1. Den n-te enhetsroten a = e 2πi/n ∈ C ⊃ Q annulleras av
X n − 1 = (X − 1)(X n−1 + X n−2 + ... + X + 1) föjdaktligen
X n−1 + X n−2 + ... + X + 1 ∈ ma.
Om n = p är ett primtal har vi t.o.m.
pa = X p−1 + X p−2 + ... + X + 1.
I allmänheten gäller deg(pa) = ϕ(n), polynomet pa kallas det n-te
cyklotomiska polynomet (cirkelskärningspolynomet). Inget bevis.
4. Däremot blir minimalpolynomet av ett icke-reellt tal a ∈ C ⊃ R över
R polynomet
f = X 2 − (a + a)X + |a| 2 ∈ R[X].
5. För en matris A ∈ K 2,2 \ KE har vi
pA = X 2 − (a + d)X + (ad − bc),
eftersom A inte annulleras av ett linjärt polynom, medan vi redan har
kollat A2 − (a + d)A + (ad − bc)E = 0.
0 1
6. För A = J =
f˚ar vi
−1 0
och för A =
0 1
d 0
Slutligen har A =
blir
1 1
1 0
pJ = X 2 + 1,
pA = X 2 − d.
∈ (Z2) 2,2 minimalpolynomet
pA = X 2 + X + 1 ∈ Z2[X].
44