Ringar och Kroppar: Grundvalarna

Ringar och Kroppar:
Grundvalarna
Karl-Heinz Fieseler
Uppsala 2012
1

Contents
1 Översikt 3
2 Heltalsaritmetik 3
3 Restklassaritmetik 7
4 Ringar 11
5 Homomorfismer 20
6 Br˚akräkning 25
7 Polynomringen 28
8 Kvadratiska kroppar 35
9 Enkla kroppsutvidgningar 40
10 Faktoriella ringar 51
11 Kvadratiska heltal 55
12 Faktorringar 65
13 Fr˚an N till C 71
14 p-adiska talkroppar 76
2

1 Översikt
Följande tv˚a punkter tas som huvudmotivation för v˚art studium av ringteori:
1. fr˚agan om entydig primfaktorisering i olika sammanhang
2. konstruktionen av kroppar.
Vi börjar med en kortfattad repris av heltalsaritmetiken, varvid vi redan
inför begreppet av ett ideal i heltalsringen. Sedan blir det restklassringarna
Zn som är de första ringarna utöver Z, Q, R, C vi bekantar oss med. Därefter
är det dags för begreppet ring och homomorfism och allt som tillhör, i synnerhet
kinesiska restsatsen och RSA-kryptering.
Med kvotkroppen och polynomringen möter vi de första utvidgningsringarna
till en given ring (resp. integritetsomr˚ade). Faktorringar till polynomringen
införs som homomorfa bilder av polynomringen i en större ring,
komplexa talkroppen eller ringen av kvadratiska matriser.
Kvadratiska utvidgningar till Q realiseras som delkroppar till C, medan
för en godtycklig kropp K adjungeras en 2 × 2-matris. För konkreta exemplens
skull undersöker vi en ändlig kropps enhetsgrupp, visar att den är
cyklisk, och kan sedan komma fram till ”komplexa tal med Zp-koefficienter”.
Slutligen studerar vi generellt strukturen till en enkel utvidgning och ser
att polynomringens PID-egenskap är avgörande, visar att en ändlig kropps
ordning är en primtalspotens och att det finns bara en kropp med p 2 element.
Sambandet mellan PID-egenskapen och entydig primfaktorisering är ämnet
i avsnittet därp˚a; ringarna av d-kvadratiska heltal figurerar som intressanta
exempel där geometrin som gitter i det komplexa planet spelar en viktig roll.
Vi slutar med faktorringar som ett slags sensmoral: Med dem slipper vi
de ”omgivande ringarna” C och K n,n .
Det finns tv˚a avsnitt till som inte tillhör ordinarie kursen: En kortfattad
diskussion av reella tal som Dedekindsnitt samt Argands bevis av Algebrans
fundamentalsats, och till sist p-adiska talkroppar som lite exotiska analoga
till reella talen, där dessförutom restklassaritmetik visar sig vara av intresse.
2 Heltalsaritmetik
Vi börjar med lite repetition: Euklidiska algoritmen tjänar till att hitta
största gemensamma delaren till tv˚a heltal. Här diskuterar vi först dess
egenskaper och förklarar sedan hur man hittar den i praktiken.
3

Definition 2.1. För heltal a, b ∈ Z inte samtidigt = 0 definieras deras största
gemensamma delare genom
sgd(a, b) := max{q ∈ N>0; q|a, q|b}.
Följande egenskap av den största gemensamma delaren är avgörande för
heltalsaritmetiken:
Theorem 2.2. Den största gemensamma delaren av heltal a, b ∈ Z med ab =
0 kan skrivas som en linjärkombination i a och b med heltalskoefficienter, dvs.
sgd(a, b) = ra + sb
med lämpliga heltal r, s ∈ Z. I synnerhet gäller
q|a, q|b =⇒ q|sgd(a, b).
Den viktigaste följdsatsen till v˚art teorem är väl:
Corollary 2.3. För ett primtal p ∈ N>0 gäller
p|ab =⇒ p|a ∨ p|b.
Proof. Vi antar att p inte delar a och visar p|b. Eftersom primtalet p bara
har p och 1 som positiva delare, har vi
1 = sgd(p, a) = rp + sa
med lämpliga heltal r, s ∈ Z. Men sedan är
delbart med p.
b = brp + s(ab)
För att visa Th. 2.2 tittar vi p˚a mängden
Za + Zb := {ka + ℓb; k, ℓ ∈ Z}
av alla linjärkombinationer med heltalskoefficienter i a och b. Den utgör ett
”ideal”:
Definition 2.4. En icke-tom delmängd a ⊂ Z kallas ett
4

1. ideal om den är sluten b˚ade
(a) m.a.p. additionen:
a + a ⊂ a,
eller med andra ord: x, y ∈ a =⇒ x + y ∈ a,
(b) och m.a.p. godtycklig heltalsmultiplikation:
Z · a ⊂ a,
eller med andra ord: k ∈ Z, x ∈ a =⇒ kx ∈ a.
2. principalideal (eller huvudideal) om
för n˚agot heltal n ∈ Z.
a = Zn
Remark 2.5. 1. En icke-tom delmängd a ⊂ Z är ett ideal omm den är
sluten m.a.p. subtraktionen:
dvs. x, y ∈ a =⇒ x − y ∈ a.
2. 0 ∈ a för varje ideal a ⊂ Z.
a − a := a + (−a) ⊂ a,
3. En icke-tom additivt sluten delmängd a ⊂ Z är ett ideal omm den
ligger symmetriskt m.a.p. origo, dvs. omm
−a = a.
Theorem 2.6. Varje ideal a ⊂ Z är ett principalideal:
a = Zn
med ett entydigt bestämt naturligt tal n ∈ N.
Proof. Om a = {0}, s˚a ta n = 0. Om inte, s˚a har vi
pga. a = −a och tar
a>0 := {a ∈ a; a > 0} = ∅
n := min a>0.
5

Eftersom n ∈ a och a är sluten m.a.p. godtycklig heltalsmultiplikation, f˚ar
vi Zn ⊂ a. Ta nu ett tal a ∈ a och använd divisionsalgoritmen
Sedan har vi tv˚a möjligheter:
1. r = 0 och s˚aledes a ∈ Zn, eller
a = qn + r, 0 ≤ r < n.
2. r = a − qn ∈ a>0. Men d˚a följer r ≥ min a>0 = n, en motsägelse.
Till sist avslutas beviset till Teorem 2.2 med
Proposition 2.7. Om
där ab = 0 och n ∈ N, s˚a gäller
Za + Zb = Zn,
n = sgd(a, b).
Proof. Vi har q := sgd(a, b) ≥ n, eftersom n delar b˚ade a och b. ˚A andra
sidan delar q i sin tur s˚aväl a som b, s˚aledes ocks˚a talet n = ra + sb. Men
Det ˚aterst˚ar att hitta
q|n ∧ q ≥ n =⇒ q = n.
sgd(a, b) = min(Za + Zb)>0.
Men den här beskrivningen har man inte mycket glädje av: Man kan ju inte
pröva sig igenom alla k, ℓ ∈ Z med ka + ℓb > 0. Här hjälper nu Euklides’
algoritm med vilken vi kan reducera talen a och b. Den bygger p˚a följande
enkel, men nyttig anmärkning:
Remark 2.8. Om a = qn + r, s˚a gäller
Za + Zb = Zb + Zr.
Euklides’ algoritm är nu en iteration av detta steg:
6

1. Vi f˚ar anta a ≥ b ≥ 0.
2. Om a = b eller b = 0, s˚a blir sgd(a, b) = a.
3. Om däremot a > b > 0, skriver vi a = qb + r och ovanst˚aende
anmärkning ger oss
sgd(a, b) = sgd(b, r).
4. Och sedan börjar hela proceduren p˚a nytt med paret (b, r) i stället för
(a, b). Eftersom a > b > r ≥ 0, hamnar vi n˚agon g˚ang i situationen,
där en division g˚ar jämnt ut. D˚a är det sista positiva talet i följden
a, b, r, .... den största gemensamma delaren till a och b.
3 Restklassaritmetik
L˚at n ∈ N>1 vara ett heltal > 1.
Definition 3.1. Tv˚a heltal a, b ∈ Z kallas kongruent modulo n, skrivet som:
eller
omm n delar differensen b − a.
a ≡ b mod (n)
a n ≡ b,
Remark 3.2. 1. .. n ≡ .. är en ekvivalensrelation.
2. Ekvivalensklassen
till ett heltal a ∈ Z uppfyller
3. Vi p˚aminner om att
Rn(a) := {b ∈ Z; b n ≡ a}
Rn(a) = a + Zn := {a + kn; k ∈ Z}.
Rn(a) = Rn(b) ⇐⇒ a n ≡ b.
7

4. För 0 ≤ r < n best˚ar Rn(r) av alla de heltal som lämnar resten r efter
division med n, dvs. a = qn + r. Därför kallas ekvivalensklasserna
ocks˚a för restklasser (eller n-restklasser). Vi f˚ar s˚aledes en partition
Z =
n−1
i=0
Rn(i).
5. Mängden av alla n-restklasser skrivs s˚a här:
Zn := {Rn(i); i = 0, ..., n − 1} .
Aritmetiska operationer för n-restklasser: Vi vill nu införa en addition
och en multiplikation
Zn × Zn −→ Zn
för restklasser. Vi börjar med den elementvisa additionen och multiplikationen
av delmängder A, B ⊂ Z, nämligen
och
A + B := {a + b; a ∈ A, b ∈ B}
AB := {ab; a ∈ A, b ∈ B}.
Proposition 3.3. 1. Rn(a) + Rn(b) = Rn(a + b),
2. Rn(a) · Rn(b) ⊂ Rn(ab), där
3. Rn(ab) = Rn(a) · Rn(b) + Zn.
Proof. Vi tittar p˚a summan resp. produkten av tv˚a godtyckliga tal a + kn ∈
Rn(a) och b + ℓn ∈ Rn(b) och ser att
och
(a + kn) + (b + ℓn) = (a + b) + (k + ℓ)n
(a + kn)(b + ℓn) = ab + (kb + ℓa + kℓn)n.
Eftersom alla element i den elementvisa produkten ligger i samma n-restklass
Rn(ab), kan vi helt enkelt ”fylla p˚a” med Zn och erh˚aller hela n-restklassen
Rn(ab).
8

Remark 3.4. I själva verket är den elementvisa produkten av n-restklasser
inte nödvändigtvis igen en n-restklass, t.ex. har vi
Som addition tar vi nu
Rn(0) · Rn(0) = Zn · Zn = Zn 2 = R n 2(0).
α : Zn × Zn −→ Zn, (Rn(a), Rn(b)) ↦→ Rn(a + b) = Rn(a) + Rn(b),
den elementvisa summan, medan vid multiplikationen m˚aste vi ”fylla p˚a”
den elementvisa produkten:
µ : Zn × Zn −→ Zn, (Rn(a), Rn(b)) ↦→ Rn(ab) = Rn(a) · Rn(b) + Zn.
En enklare notation: För att underlätta livet inför vi en enklare notation,
där ”moduln” n är underförst˚add: Vi skriver
s˚adant att
a := Rn(a) = a + Zn,
Zn = {0, 1, ...., n − 1}.
Sedan tar additionen och multiplikationen av n-restklasser följande enkel
form:
a + b = a + b
och
a · b = ab.
Observera: Fr˚an och med nu använder vi konventionen, att i strecknotationen
.. · .. betecknar inte den elementvisa produkten av tv˚a n-restklasser,
utan den entydiga n-restklassen den är inkluderad i, dvs:
a · b = Rn(a) · Rn(b) + Zn = ab.
Exempel: L˚at oss till sist ange n˚agra additions- och multiplikationstabeller:
9

1. Additionstabellen för Z2 blir
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
medan multiplikationstabellen ser s˚a här ut
2. Additionstabellen för Z3 blir
· 0 1
0 0 0
1 0 1
+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
medan multiplikationstabellen ser s˚a här ut
3. Additionstabellen för Z4 blir
· 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
medan multiplikationstabellen ser s˚a här ut
· 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
10
.
,
.
,
.
,

Vi avslutar avsnittet med en liten
Räkneövning: Vi vill beräkna a 162 för a = 3 ∈ Z121. Receptet är följande:
Vi löser upp hela räkningen i en rad steg best˚aende antingen
1. av en kvadrering b ↦→ b 2 eller
2. en multiplikation c ↦→ ca.
Man börjar ovanifr˚an och skriver ner de exponenter n ∈ N, för vilka man
m˚aste beräkna potenser a n . Efter det beräknar man potenserna nedifr˚an.
Idén är helt enkelt att
1. för n = 2k vi har a n = b 2 med b = a k , eller
2. för n = 2k + 1 vi har a n = b 2 a med b = a k ,
där man redan har kommit fram till b.
n 162 81 80 40 20 10 5 4 2 1
3 n
9 3 1 1 1 1 1 −40 9 3
Vi ska se senare att a 110 = 1 för alla a = ℓ, där ℓ inte är delbar med 11. Det
skulle ha gett
a 162 = a 110+52 = a 110 a 52 = a 52
och sedan har vi tabellen
4 Ringar
n 52 26 13 12 6 3 2 1
3 n
9 3 27 9 3 27 9 3
Vi har diskuterat restklassaritmetik för att förbereda nästa definition:
Definition 4.1. En ring är en trippel (R, α, µ) best˚aende av en mängd R
och tv˚a avbildningar
“additionen”, och
“multiplikationen”, s˚adant att
α : R × R −→ R, (a, b) ↦→ a + b := α(a, b) ,
µ : R × R −→ R, (a, b) ↦→ ab := µ(a, b) ,
11
.
.

1. den associativa lagen
(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc)
gäller för b˚ade addition och multiplikation,
2. den kommutativa lagen
gäller för additionen,
3. de “distributiva” lagarna
gäller för alla a, b, c ∈ R,
a + b = b + a
a(b + c) = ab + ac , (a + b)c = ac + bc
4. det finns ett element 0 ∈ R, s˚adant att
för alla a ∈ R,
a + 0 = 0
5. det finns ett element 1 ∈ R, s˚adant att
1 · a = a = a · 1 , ∀a ∈ R ,
6. för varje a ∈ R finns det ett element b ∈ R med
Example 4.2. 1. Z, Q, R, C, Zn.
a + b = 0.
2. En 2 × 2-matris med koefficienter i den kommutativa ringen R är en
tableau
a
A :=
c
b
; a, b, c, d ∈ R.
d
Tv˚a matriser kan adderas enligt
a
c
b ã
+
d ˜c
˜b d˜
12
:=
a + ã b + ˜ b
c + ˜c d + ˜ d

och multipliceras
a b
c d
·
ã ˜ b
˜c ˜ d
Elementet 0 blir nollmatrisen
och elementet 1 enhetsmatrisen
Mängden
utgör d˚a en ring.
R 2,2 :=
E :=
:=
0 0
0 0
aã + b˜c a ˜ b + b ˜ d
cã + d˜c c ˜ b + d ˜ d
1 0
0 1
a b
A :=
c d
.
; a, b, c, d ∈ R
Remark 4.3. 1. Elementen 0, 1 är entydiga och kallas för ringens nolla
och ringens etta. Om nämligen ˜0 resp. ˜1 skulle ha samma egenskap,
fick vi
˜0 = ˜0 + 0 = 0 + ˜0 = 0
och
˜1 = ˜1 · 1 = 1.
2. Elementet b ∈ R med a + b = 0 är entydig: Om ˜ b är ett element med
samma egenskap, s˚a har vi
.
b = 0 + b = (a + ˜ b) + b = ( ˜ b + a) + b = ˜ b + (a + b) = ˜ b + 0 = ˜ b.
Elementet b skrivs vanligtvis som −a.
3. Nollan uppfyller
0 · a = 0 = a · 0
för alla a ∈ R: Vi har a = 1 · a = (1 + 0)a = a + 0 · a och adderar −a
till b˚ada led.
13

4. P˚a samma sätt följer
(−1)a = a(−1) = −a
fr˚an 0 = 0 · a = (1 + (−1))a = a + (−1)a.
5. Vi har inte krävt 1 = 0 - men om s˚a är fallet gäller R = {0}. Vi kallar
R d˚a för nollringen.
Example 4.4. Vi tittar p˚a trippeln (R 3 , +, ×), där ”×” är vektorprodukten.
Med additionen g˚ar allt bra, men vektorprodukten orsakar problem:
Det finns ingen etta, den är inte kommutativ (fast det är till˚atet), utan “antikommutativ”,
dvs.
u × v = −v × u.
Det värsta är väl att den inte ens är associativ:
medan
(e1 × e2) × e2 = e3 × e2 = −e1,
e1 × (e2 × e2) = e1 × 0 = 0.
Men, konstigt nog finns det ocks˚a en algebraisk struktur som generaliserar
(R 3 , +, ×) - trippeln utgör en “Lie-algebra“.
Definition 4.5. En ring R kallas kommutativ om
gäller för alla a, b ∈ R.
ab = ba
Example 4.6. Matrisringen R 2,2 är inte kommutativ.
Vi ska nu diskutera olika slags element i en ring R: I fall implikationen
kan omvändas:
b = 0 =⇒ ab = 0
ab = 0 =⇒ b = 0
har elementet a ∈ R äran att f˚a ett särskilt namn:
14

Definition 4.7. 1. Ett element a ∈ R i en kommutativ ring R kallas för
en icke-nolldelare omm ab = 0 =⇒ b = 0.
2. En icke-trivial ring (inte nollringen), där alla element a = 0 är ickenolldelare
kallas för ett integritetsomr˚ade (integral domain).
Example 4.8. 1. Ringarna Z, Q, R, C är integritetsomr˚aden.
2. Icke-nolldelare kan strykas i en ekvation: ax = ay =⇒ x = y.
3. En n-restklass a ∈ Zn är en icke-nolldelare omm sgd(a, n) = 1. Vi har
a · b = ab = 0 ⇐⇒ ∃k ∈ Z : ab = kn.
Om sgd(a, n) = 1 innebär detta att n|b, dvs. b = 0. ˚A andra sidan om
sgd(a, n) = d > 1, har vi n = n0d och n|an0, dvs.
fast n0 = 0.
a · n0 = 0,
4. Restklassringen Zn är ett integritetsomr˚ade omm n = p är ett primtal,
eftersom ett naturligt tal är ett primtal omm alla tal k, 1 ≤ k < n är
relativ prima till n.
Definition 4.9. 1. Ett element a ∈ R i en icke-trivial ring R kallas inverterbart
eller en enhet omm det finns ett element b ∈ R med ab = ba = 1.
2. Mängden
R ∗ := {a ∈ R; ∃b ∈ R : ab = ba = 1}
av alla inverterbara element kallas för ringens enhetsgrupp.
Example 4.10. 1. Talet b med ab = ba = 1 är entydigt bestämt, vi
skriver a −1 := b.
2. Enhetsgruppen är sluten m.a.p. multiplikation och inversion. I själva
verket gäller
(ab) −1 = b −1 a −1 , (a −1 ) −1 = a.
3. Enheter är icke-nolldelare: Om a ∈ R ∗ och ab = 0, hittar vi 0 =
a −1 (ab) = (a −1 a)b = 1b = b.
15

4. I en ändlig (kommutativ) ring är icke-nolldelare redan enheter, eftersom
multiplikationen med a, avbildningen µa : R −→ R, x ↦→ ax, är injektiv
och en injektiv självavbildning av en ändlig mängd är ocks˚a surjektiv.
I synnerhet finns det b ∈ R med µa(b) = 1.
5. Z ∗ = {±1}.
6. Z ∗ n = {a ∈ Zn; sgd(a, n) = 1}.
7. Vi beräknar 70 −1 ∈ Z101, dvs. vi vill ha 70 · b = 1, dvs. 70b = 1 + 101k
med n˚agot heltal k ∈ Z. Euklides’ algoritm ger
och s˚aledes
101 = 1 · 70 + 31, 70 = 2 · 31 + 8, 31 = 4 · 8 − 1
1 = 4 · 8 − 31 = 4 · (70 − 2 · 31) − 31 = 4 · 70 − 9 · 31
= 4 · 70 − 9 · (101 − 70) = 13 · 70 − 9 · 101.
Med andra ord: 70 −1 = 13 ∈ Z101.
8. För en kommutativ ring är determinanten
det : R 2,2
a b
−→ R, A = ↦→ det(A) := ad − bc,
c d
en multiplikativ avbildning, dvs.
Om vi nu för
det(AB) = det(A) · det(B).
A =
a b
c d
definierar den till A adjungerade matrisen som
s˚a visar en liten räkning
A ∗ :=
d −b
−c a
,
AA ∗ = A ∗ A = det(A)E,
16

där vi använder oss av ”skalärmultiplikationen”
a
λ
c
b λa
:=
d λc
λb
λd
för λ ∈ R. Sedan följer
Bevis: Övning!
(R 2,2 ) ∗ = {A ∈ R 2,2 , det(A) ∈ R ∗ }.
Definition 4.11. Funktionen ϕ : N>0 −→ N definierad som
1
ϕ(n) :=
|Z
, om n = 1
∗ n| , om n ≥ 2
kallas för Eulers ϕ-funktion.
Lemma 4.12. För en primtalspotens n = p k , k ≥ 1, f˚ar vi:
ϕ(p k ) = p k−1 (p − 1) .
Proof. Komplementet till Z ∗
p k utgörs av nolldelarna
S˚aledes
0, p, 2p, ...., (p k−1 − 1)p.
|Z ∗
p k| = |Z p k| − antalet nolldelare = p k − p k−1 = p k−1 (p − 1).
Definition 4.13. 1. En ring R kallas en divisionsring om R ∗ = R \ {0}.
2. En kommutativ divisionsring kallas en kropp.
3. En icke-kommutativ divisionsring kallas ocks˚a för en skevkropp.
Example 4.14. Matriserna i mängden
H :=
z w
−w z
; z, w ∈ C
17
⊂ C 2,2

utgör en skevkropp. De kallas för kvaternioner. (Bokstaven H p˚aminner
om den irländska matematikern William Rowan Hamilton, som ”uppfann”
kvaternionerna - men först˚as inte som matriser!) De utgör ett reellt (men
inte ett komplext) vektorrum med
en bas är
dim H = 4;
E, I, J, K,
med enhetsmatrisen E ∈ C2,2 och matriserna
i
I :=
0
0
0
, J :=
−i
−1
1
0
, K :=
0 i
i 0
Multiplikationen av ”basmatriserna” K, I, J bestäms av relationerna
I 2 = J 2 = K 2 = −E, IJ = K = −JI, JK = I = −KJ, KI = J = −IK.
En rolig iakttagelse: Om vi tar
och definierar
U = RE, V = RI + RJ + RK,
P : H = U ⊕ V −→ V
som projektion p˚a V med kärna U, s˚a blir avbildningen
V × V −→ V, (A, B) −→ P (AB)
vektorprodukten p˚a V ∼ = R 3 (där matriserna I, J, K ∈ V motsvarar enhetsvektorerna
e1, e2, e3 ∈ R 3 ).
Tillbaka till plikten!
Definition 4.15. Ett element
1. e ∈ R kallas för idempotent omm e 2 = e.
2. u ∈ R kallas för nilpotent omm det finns n ∈ N>0 med u n = 0.
18
.

Example 4.16. 1. 0, 1 är idempotenta. Restklasserna 3, 4 ∈ Z6 är idempotenta.
2. Om e ∈ R är idempotent, s˚a är det 1 − e likas˚a.
3. I ett integritetsomr˚ade är 0, 1 de enda idempotenta, eftersom 0 = e 2 −
e = e(1 − e) innebär e = 0 eller e = 1.
4. Restklassen 3 ∈ Z9 är nilpotent.
Definition 4.17. En delgrupp G ⊂ R ∗ till enhetsgruppen R ∗ är en icke-tom
delmängd som är sluten m.a.p. multiplikation och inversion.
Example 4.18. 1. Mängden
G := 1 + pZp n
utgör en delgrupp till enhetsgruppen Z ∗ p n med |G| = pn−1 .
2. För en kommutativ ring R är
Cn(R) := {x ∈ R; x n = 1}
en delgrupp. I själva verket handlar det redan om alla ändliga delgrupper
för ett integritetsomr˚ade R,
3. ∞
n=1 Cn(R)
4. S 1 ⊂ C ∗ .
Theorem 4.19 (Lagrange). L˚at R vara en kommutativ ring. Om G ⊂ R ∗
är en ändlig delgrupp, s˚a gäller a |G| = 1 för alla a ∈ G.
Proof. Avbildningen µa : G −→ G, x ↦→ ax, är bijektiv, s˚aledes
x =
µa(x) =
|G|
(ax) = a x.
x∈G
x∈G
x∈G
x∈G
Eftersom
x∈G x ∈ R∗ är en icke-nolldelare, följer 1 = a |G| .
Corollary 4.20 (Fermat’s lilla sats). För en restklass a ∈ Z ∗ n har vi
a ϕ(n) = 1.
19

5 Homomorfismer
För att först˚a relationen mellan olika slags ringar behövs det ”ringhomomorfismer”:
Definition 5.1. L˚at R, S vara ringar. En avbildning ϕ : R −→ S kallas en
ringhomomorfism omm
1.
2.
för alla a, b ∈ R,
ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) , ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b)
ϕ(1) = 1 ,
där 1 betecknar ettan i respektive ring R och S.
Den kallas en ringisomorfism omm den ytterligare är bijektiv, och R är
isomorf med S, skrivet som: R ∼ = S, omm det finns en ring isomorfism
ϕ : R −→ S.
Remark 5.2. 1. För en ringhomomorfism ϕ : R −→ S gäller
ϕ(0) = 0, ϕ(−a) = −ϕ(a)
pga. ϕ(a) = ϕ(a + 0) = ϕ(a) + ϕ(0) och 0 = ϕ(0) = ϕ(a + (−a)) =
ϕ(a) + ϕ(−a).
2. Villkoret ϕ(1) = 1 är alltid uppfyllt om ϕ(1) = 0 och S är ett integritetsomr˚ade,
eftersom idempotenta element = 1 är nolldelare.
Example 5.3. 1. För varje ring R finns precis en ringhomomorfism
χ : Z −→ R.
Nödvändigtvis har vi
⎧
n×
⎪⎨ 1 + ...... + 1 , om n > 0
χ(n) = 0
⎪⎩
(−1) + ...... + (−1)
m×
,
,
om n = 0
om n = −m < 0
20
.

Att det är en ringhomomorfism, följer fr˚an distributiva lagen. Vanligtvis
skriver man inte χ(n) ∈ R, utan bara
n := χ(n),
men man skulle inte glömma, att n = 0 kan gälla i R fast det inte är
fallet i Z. Till exempel ta R = Zn!
2. För m|n definierar
en ringhomomorfism.
3. Komplexa konjugationen
är en ringisomorfism.
Zn −→ Zm, Rn(a) ↦→ Rm(a) = Rn(a) + Zm
C −→ C, z ↦→ z,
Definition 5.4. Kärnan till en ringhomomorfism ϕ : R −→ S är mängden
ker(ϕ) := ϕ −1 (0) = {x ∈ R; ϕ(x) = 0}.
Remark 5.5. En ringhomomorfism ϕ : R −→ S är injektiv omm ker(ϕ) =
{0}. Villkoret är uppenbarligen nödvändigt pga. ϕ(0) = 0, men det är ocks˚a
tillräckligt: Om ϕ(x) = ϕ(y), s˚a följer ϕ(x − y) = ϕ(x) − ϕ(y) = 0, i.e.
x − y ∈ ker(ϕ) = {0} och s˚aledes x − y = 0, dvs. y = x.
Kärnan utgör ett ideal:
Definition 5.6. En icke-tom delmängd a ⊂ R av en kommutativ ring kallas
ett
1. ideal om den är sluten b˚ade
(a) m.a.p. additionen:
a + a ⊂ a,
eller med andra ord: x, y ∈ a =⇒ x + y ∈ a,
(b) och m.a.p. multiplikation med ett godtyckligt element i R:
R · a ⊂ a,
eller med andra ord: a ∈ R, x ∈ a =⇒ ax ∈ a.
21

2. principalideal (eller huvudideal) om
för n˚agot element b ∈ R.
a = Rb
Ett integritetsomr˚ade, där varje ideal är ett principalideal, kallas ett principalidealomr˚ade
(PID=principal ideal domain).
Remark 5.7. 1. a = {0} kallas nollidealet, a = R enhetsidealet.
2. En kommutativ ring R är en kropp, omm noll- och enhetsidealet är de
enda idealen.
3. En ringhomomorfism ϕ : K −→ R fr˚an en kropp till en icke-trivial
ring är alltid injektiv: Pga. ϕ(1) = 1, gäller ker(ϕ) = K, s˚aledes
ker(ϕ) = {0}.
Definition 5.8. L˚at R vara en ring och χ : Z −→ R den naturliga ringhomomorfismen.
Karakteristiken char(R) ∈ N av ringen R definieras som
det naturliga tal n ∈ N, s˚adant att
ker(χ) = χ −1 (0) = Zn .
Med andra ord: Antingen char(R) = 0 - i s˚a fall är χ : Z −→ R injektiv -
eller
char(R) = min{k ∈ N>0; k = 0 i R}.
Remark 5.9. För ett integritetsomr˚ade R är char(R) = 0 eller ett primtal
char(R) = p.
Example 5.10. För en kropp K av char(K) = p > 0 definieras Frobeniushomomorfismen
som
K −→ K, x ↦→ x p .
Uppenbarligen gäller (xy) p = x p y p och 1 p = 1, men ocks˚a
(x + y) p = x p p−1
+
k=1
p
x
k
k y p−k + y p = x p + y p ,
22

eftersom binomialkoefficienterna
p
=
k
p!
k!(p − k)!
∈ N
är delbara med p för k = 1, ..., p − 1 - primtalet p ing˚ar ju i täljaren, men
inte i nämnaren - och s˚aledes
p
= 0 ∈ K, 1 ≤ k ≤ p − 1.
k
Bara - för K = Zp har vi x p = x enligt Lagrange. S˚a det verkar inte särskilt
intressant. I själva verket spelar Frobeniushomomorfismen en central roll i
teorin om kroppar av karaktäristik p > 0, och den är lika med identiteten
bara för K = Zp.
Definition 5.11. L˚at R1, ..., Rs vara ringar. Den direkta produkten R1 ×
.... × Rs är den kartesiska produkten av mängderna R1, ..., Rs tillsammans
med den komponentvisa additionen och multiplikationen.
Theorem 5.12 (Kinesiska restsatsen). L˚at n = n1 · ... · ns med parvis relativ
prima tal n1, ..., ns. Sedan är
en ringisomorfism.
ψ : Zn −→ Zn1 × ... × Zns, a ↦→ (a + Zn1, ..., a + Zns)
Proof. Eftersom ”start”- och m˚alringen har samma antal element, räcker det
att visa ker(ψ) = {0}. Men ψ(a) = 0 innebär ni|a för i = 1, ..., s. Eftersom
talen n1, ..., ns är parvis relativ prima innebär detta n|a resp. a = 0.
Remark 5.13. För att invertera kinesiska isomorfismen letar vi efter inversa
bilderna till enhetsvektorerna ei ∈ Zn1×...×Zns, Välj heltal xi, yi ∈ Z. s˚adant
att
xiˆni + yini = 1
var ˆni · ni = n. Sedan är zi ∈ Zn med zi := 1 − yini den inversa bilden till
ei ∈ Zn1 ×...×Zns. Till sist, inversa bilden till (a1, ..., as) är a1·z1+...+as·zs.
Corollary 5.14. L˚at n = n1 · ... · ns med parvis relativ prima tal n1, ..., ns.
Sedan
ϕ(n) = ϕ(n1) · ... · ϕ(ns)
23

Proof. Kinesiska isomorfismen
inducerar en bijektion
Zn −→ Zn1 × ... × Zns
Z ∗ n −→ Z ∗ n1 × ... × Z∗ ns .
RSA-kryptering: Vi ska förklara hur det g˚ar till att kryptera budskap med
en offentlig kodning, medan det kodade budskapet kan avkodas praktiskt
taget bara med lite information till. Den offentliga nyckeln best˚ar av ett
talpar (n, e), där n = pq är produkten av tv˚a olika primtal, men faktorerna
är inte offentliga och eftersom faktorisering är en mycket krävande process
g˚ar det i praktiken inte att beräkna talen p, q. Ta e ∈ N relativ prim till
ϕ(n) = (p − 1)(q − 1). B˚ade okrypterade och krypterade budskap representeras
av restklasser a ∈ Zn. Sedan krypteras och avkodas med hjälp av
potensavbildningar. Avbildningen
är kodningen och
a ↦→ a e = b
b ↦→ b d
är avkodningen, där e · d = 1 ∈ Z∗ ϕ(n) eller med andra ord: d ∈ N uppfyller
Det skulle gälla
de = 1 + mϕ(n).
a ed = a
för alla a ∈ Zn ∼ = Zp × Zq. S˚a vi m˚aste visa för c ∈ Zp och c ∈ Zq likheten
c ed = c. Anta t.ex. c ∈ Zp. För c = 0 är det ingenting att visa, medan för
c = 0 f˚ar vi med Fermats lilla sats c p−1 = 1 och s˚aledes
c ed = c 1+m(p−1)(q−1) = c · (c p−1 ) m(q−1) = c · 1 = c.
Problemet för en ovälkommen avkodare är att hitta ϕ(n) = (p − 1)(q − 1).
Och det g˚ar bara om man kan faktorisera n, men detta är som sagt ett rejält
problem, när moduln n är stor.
24

6 Br˚akräkning
Injektiva ringhomomorfismer tolkas ofta som inklusioner - vi kommer s˚a till
begreppet av en delring resp. en ringutvidgning.
Definition 6.1. L˚at R vara en ring. En delring R0 ⊂ R är en delmängd som
1. är sluten m.a.p. addition och multiplikation och
2. med dessa operationer själv är en ring,
3. till sist krävs 1 ∈ R0, där 1 ∈ R är den givna ringens etta.
En ringutvidgning S ⊃ R till ringen R är en ring S som har R som delring.
Den kallas en R-algebra, om elementen i R kommuterar med elementen i S,
dvs. xy = yx gäller för alla element x ∈ R och y ∈ S.
Example 6.2. 1. Om ϕ : R −→ S är en ringhomomorfism, s˚a är ϕ(R) ⊂
S en delring.
2. L˚at χ : Z −→ R vara den naturliga ringhomomorfismen. R0 := χ(Z) ⊂
R är d˚a den minsta delringen till R. Vi anmärker att χ(Z) ∼ = Z för
char(R) = 0 och χ(Z) ∼ = Zn för char(R) = n.
3. Om vi identifierar R med RE ⊂ R 2,2 , blir ringen R 2,2 av alla 2 × 2matriser
med element i R en R-algebra.
4. Q ⊂ R, R ⊂ C är delringar.
Remark 6.3. Skillnaden mellan ett ideal a ⊂ R och en delring R0 ⊂ R är
följande:
1. En delring R0 ⊂ R skulle vara multiplikativt sluten, medan för ideal
krävs mer: R · a ⊂ a.
2. För ett ideal krävs inte 1 ∈ a. I själva verket, om det gäller, handlar
det redan om enhetsidealet a = R.
3. Om R = R1 × R2 är den direkta produkten av ringarna R1 och R2, s˚a
är a1 := R1 × {0} och a2 := {0} × R2 ideal, men inte delringar.
I det här avsnittet och nästa presenterar vi tv˚a viktiga ringutvidgningar
till en given ring R, dess kvotkropp Q(R) och dess polynomring R[X].
25

Definition 6.4. L˚at R vara ett integritetsomr˚ade. En delmängd S ⊂ R\{0}
kallas multiplikativ, om följande tv˚a villkor är uppfyllda:
1. s, t ∈ S =⇒ st ∈ S, samt
2. 1 ∈ S.
Example 6.5. 1. S := R \ {0} är en multiplikativ delmängd.
2. L˚at a ∈ R \ {0}. Sedan är
en multiplikativ delmängd.
S := a N = {a n ; n ∈ N}
3. L˚at p ∈ N vara ett primtal. Sedan är
en multiplikativ delmängd till Z.
S(p) := {a ∈ Z; p |a}
P˚a den kartesiska produkten R × S definierar vi ekvivalensrelationen ∼
p˚a följande sätt
(a, s) ∼ (b, t) :⇐⇒ at = bs .
Symmetri och reflexivitet är klara, anta nu (a, s) ∼ (b, t) ∼ (c, u). Det
innebär at = bs och bu = ct. Multiplikation med u resp. s leder till atu =
bsu = cts resp. au = cs, eftersom R inte har nolldelare = 0. S˚aledes
(a, s) ∼ (c, u). Mängden
S −1 R := (R × S)/∼
av dess ekvivalensklasser utgör en ring: Beteckna med
a
s := [(a, s)] ∈ S−1 R
ekvivalensklassen av paret (a, s). Sedan är additionen och multiplikationen
a b
+
s t
:= at + bs
st
, a b
·
s t
:= ab
st
väldefinierade ringoperationer; den resulterande ringen S −1 R kallas lokaliseringen
av R m.a.p. den multiplikativa delmängden S. I själva verket är
R −→ S −1 R, a ↦→ a
1 ,
en injektiv ringhomomorfism och vi har s˚aledes rätt till att se p˚a R som en
delring till S −1 R.
26

Example 6.6. 1. Om S = R \ {0}, är lokaliseringen S −1 R en kropp; den
kallas kvotkroppen
Q(R) := (R \ {0}) −1 R
till integritetsomr˚adet R.
2. Och s˚a vet vi vad de rationella talen är för n˚agonting:
Q := Q(Z).
3. L˚at p ∈ N vara ett primtal. För S = pN f˚ar vi
S −1
a
Z = ; a ∈ Z, n ∈ N
pn medan
S(p) −1 Z =
a
; a, b ∈ Z, p |a .
b
M˚anga algebraiska konstruktioner karakteriseras av en ”universell egenskap”:
Proposition 6.7. L˚at S ⊂ R \ {0} vara en multiplikativ delmängd till integritetsomr˚adet
R. Sedan har varje ringhomomorfism
ϕ : R −→ T
med ϕ(S) ⊂ T ∗ till en ring T en entydig utvidgning till en ringhomomorfism
Proof. Övning!
ˆϕ : S −1 R −→ T.
Corollary 6.8. Varje kropp K har en minsta delkropp P (K), dess primkropp.
1. Om char(K) = 0, s˚a är
2. om char(K) = p, s˚a är
P (K) ∼ = Q,
P (K) = χ(Z) ∼ = Zp
med den entydiga ringhomomorfismen χ : Z −→ K.
27

För fullständighetens skull nämner vi:
Definition 6.9. En kommutativ ring R kallas lokal om icke-enheterna
m := R \ R ∗
utgör ett ideal. Idealet kallas d˚a den lokala ringens maximala ideal.
Example 6.10. 1. En kropp är en lokal ring med m = {0}.
2. Restklassringen Zn är en lokal ring omm n = p r är en primtalspotens.
I s˚afall är m = Zn · p.
3. Ringen R := S(p) −1 Z är en lokal ring med det maximala idealet m =
Rp.
7 Polynomringen
Följande definition är lite heuristisk, men suggestiv:
Definition 7.1. Ett polynom med koefficienter i den kommutativa ringen R
(eller över R) är ett ”formellt uttryck”
f =
n
ν=0
aνX ν , a0, ...., an ∈ R,
som kan användas för att definiera en funktion
fS : S −→ S, x ↦→ f(x) :=
n
aνx ν ,
ν=0
för varje R-algebra S. Mängden av alla polynom betecknas
n
R[X] := aνX ν
; a0, ..., an ∈ R, n ∈ N .
ν=0
28

Remark 7.2. 1. Polynom ”bestäms av sina koefficienter”, dvs.
f =
n
aνX ν = 0 ⇐⇒ a0 = ... = an = 0,
ν=0
de adderas och multipliceras p˚a det sedvanliga sättet. Mängden R[X]
blir s˚aledes en kommutativ ring.
2. OBS: Trots notationen f(x) är polynomet f inte samma sak som funktionen
fR : R −→ R, jfr. Prop: 7.3.
3. Utvärdering (eller evaluering?) i ett element a ∈ S definierar en ringhomomorfism
εa : K[X] −→ S, f ↦→ f(a).
Ibland kallas den ocks˚a en substitutionshomomorfism.
4. Om vi utrustar mängden S S av alla funktioner S −→ S med den
argumentvisa additionen och multiplikationen, blir den en ring och
en ringhomomorfism.
Φ : R[X] −→ S S , f ↦→ fS,
0.) En exakt definition av polynom för pedanter som vill veta vad ett
”formellt uttryck” är för n˚agonting: Eftersom ett polynom bestäms av sina
koefficienter är det helt enkelt en följd
f = (a0, a1, ..., an, 0, .......)
av element i ringen R med bara ändligt m˚anga element = 0. Additionen är
komponentvis
(a0, a1, ....) + (b0, b1, ...) := (a0 + b0, a1 + b1, ....),
och multiplikationen ges av Cauchyprodukten:
(a0, a1, ....) · (b0, b1, ...) := (a0b0, a0b1 + a1b0, a0b2 + a1b1 + a2b0, .....).
Uppenbarligen är
(1, 0, 0, .......) ∈ R[X]
29

ettan och avbildningen
R ↩→ R[X], a ↦→ (a, 0, .....),
en injektiv ringhomomorfism. Vi förenklar notationen genom att skriva
s˚adant att
Om vi nu ytterligare definierar
s˚a f˚ar vi
a := (a, 0, 0, ...),
R ⊂ R[X].
X := (0, 1, 0, ........),
X n = (0, ...., 0, 1
n
, 0, ....),
och en godtycklig följd tar formen av en summa
(a0, a1, ....., an, 0, .....) =
n
aνX ν .
En liten rolig anmärkning för folk som tycker om lek: För att definiera
ovanst˚aende ringoperationer behövs egentligen inte att följderna har bara
ändligt m˚anga nollskilda element. Vi f˚ar s˚aledes en ringstruktur p˚a mängden
ν=0
R N := {(a0, a1, ......); ∀ ν ∈ N : aν ∈ R}
av alla R-värda följder. De resulterande objekten kallas ocks˚a ”formella
potensserier med koefficienter i R”; de utgör en utvidgningsring
R[[X]] ⊃ R[X].
Nyfikna hänvisas till sista delen av avsnitt 14 om p-adiska tal.
1.) Polynom och polynomfunktioner: Nästa proposition jämför polynom
och polynomfunktioner: Vi undersöker homomorfismen
Φ : R[X] −→ R R , f ↦→ fR,
som avbildar varje polynom f p˚a den tillhörande funktionen fR : R −→ R.
30

Proposition 7.3. L˚at R vara ett integritetsomr˚ade.
1. Om a ∈ R är ett nollställe till polynomet f ∈ R[X], allts˚a f(a) = 0,
kan vi faktorisera f = (X − a)g med ett polynom g ∈ R[X].
2. Ett polynom
f =
har högst n nollställen i R.
3. Ringhomomorfimen
är injektiv för |R| = ∞.
n
aνX ν ∈ R[X] \ {0}
ν=0
Φ : R[X] −→ R R
4. Om |R| = q < ∞ (dvs. R = F är en ändlig kropp), s˚a gäller
med polynomet
Proof. 1. Vi skriver
ker(Φ) = F[X]h
h :=
(X − a) = X q − X ∈ F[X].
a∈F
f = f((X − a) + a) =
n
cν(X − a) ν = (X − a)g,
ν=1
med g = n
ν=1 cν(X − a) ν−1 – vi har ju c0 = f(a) = 0.
2. Vi gör induktion följande n, tar ett nollställe a ∈ R av f och använder
oss av faktoriseringen f = (X − a)g. Eftersom R är ett integritetsomr˚ade
är alla nollställen = a till f nollställen till g och vi kan använda
oss av induktionshypotesen med n − 1 i stället för n.
3. Följer omedelbart med 2.).
4. Inses med successiv faktorisering för f ∈ R[X] med fR ≡ 0. Lilla
Fermat säger att X q − X ∈ ker(Φ) = F[X]h, men h och X q − X är
normerade av samma grad – d˚a m˚aste de ju vara lika!
31

2.) P˚a jakt efter nya kroppar: Given en kropp K letar vi efter utvidgningskroppar
L ⊃ K. Strategin är följande: Vi tar en K-algebra S och
plockar fram ett element a ∈ S. Bilden av utvärderingshomomorfismen
εa : K[X] −→ S, f ↦→ f(a),
är en delring till S och betecknas s˚a här:
K[a] := {f(a); f ∈ K[X]} ⊂ S.
Vi vill veta om det kan hända att L = K[a] är en kropp. Vi tittar först p˚a
n˚agra exempel:
1. Kvadratiska talkroppar: Vi tar K = Q och S = C samt
a := √ d,
där d ∈ Q inte är en kvadrat i Q. För d > 0 är √ d ∈ R>0 ett
väldefinierat tal; för d < 0 bestämmer vi
√ d := |d| · i ∈ C.
Sedan kallas
√
Q d ⊂ C
en kvadratisk talkropp. I själva verket har vi
√
Q d = Q + Q √ d ⊂ C
Uppenbarligen gäller Q + Q √ √d d ⊂ Q , medan den omvända inklu-
sionen följer pga. ( √ d) 2ν = d ν , ( √ d) 2ν+1 = d ν√ d. Att det verkligen
handlar om en kropp ser man s˚a här:
C ∋
1
a + b √ d = a − b√d a2 √
∈ Q d ,
− db2 där nämnaren inte försvinner om bara a = 0 eller b = 0. I en kvadratisk
talkropp finns det ocks˚a ”heltal”: De utgör en delring
√
Ad ⊂ Q d
och kommer att undersökas i avsnittet 11.
32

2. Matrisringar: Vi tar en godtycklig kropp K och identifierar
K ∼ = KE ⊂ K n,n =: S
med delringen av K n,n best˚aende av alla multiplar till enhetsmatrisen
E. Elementet a ∈ S blir nu en kvadratisk matris
och
A ∈ K n,n ,
K[A] := {f(A); f ∈ K[X]}
är även en kommutativ delring till K n,n . T.ex. ta K = R och
Sedan är
pga. J 2 = −E, och
A := J :=
0 1
−1 0
R[J] = RE + RJ
.
C ∼ =
−→ R[J], x + iy ↦→ xE + yJ,
är en ringisomorfism! I själva verket är det m˚anga nya kroppar som
kan konstrueras p˚a det här sättet. Men hur kan man avgöra om det
verkligen handlar om en kropp? Om vi tar i stället
f˚ar vi A 2 = E och
A :=
med de idempotenta matriserna
och
1 0
0 −1
,
R[A] = RE + RA = RP + RQ
P :=
Q :=
E + A
2 =
E − A
2
33
=
1 0
0 0
0 0
0 1
.

Vi f˚ar sedan en isomorfism
R × R ∼ =
−→ R[A], (x, y) ↦→ xP + yQ.
I synnerhet är allts˚a ringen R[A] inte ett integritetsomr˚ade: Vi har ju
P Q = 0.
Till sist sammanställer vi n˚agra grundläggande egenskaper av polynomringar.
Vi behöver gradfunktionen:
Definition 7.4. L˚at R vara en ring. Gradfunktionen
definieras för f ∈ R[X] genom
deg(f) :=
Remark 7.5. 1. Man har
samt
deg : R[X] −→ N ∪ {−∞}
n , if f = n
ν=0 aνX ν , an = 0
−∞ , if f = 0
deg(f + g) ≤ max(deg(f), deg(g)) , deg(fg) ≤ deg(f) + deg(g)
deg(fg) = deg(f) + deg(g)
om ett av polynomen f, g är normerat eller R är ett inegritetsomr˚ade.
2. Polynomringen R[X] över ett integritetsomr˚ade är igen ett integritetsomr˚ade.
3. För ett integritetsomr˚ade gäller
R[X] ∗ = R ∗ .
4. Ett polynom f ∈ R[X] över ett integritetsomr˚ade R her högst deg f
nollställen.
34
.

8 Kvadratiska kroppar
I det här avsnittet generaliserar vi med hjälp av 2×2-matriser konstruktionen
√d
av de kvadratiska talkropparna Q till en godtycklig kropp K i stället
för Q.
Proposition 8.1. För d ∈ K l˚at
0 1
A =
d 0
Sedan gäller
1. A 2 = dE
2. och
∈ K 2,2 .
K[A] = KE + KA ⊂ K 2,2
är en kropp om d ∈ K inte är en kvadrat.
Remark 8.2. 1. Vi har
√
Q d ∼= Q[A].
2. För konkreta räkningar är det kanske enklast att göra som i fallet K =
Q, dvs. vi ersätter matriserna med en symbolisk notation:
Vi skriver ocks˚a
K
Example 8.3. R[ √ −1] ∼ = C.
xE + yA ←→ x + y √ d.
√
d := x + y √
d; x, y ∈ K .
Proof. Första delen kollas med det samma och den innebär att
K[A] = KE + KA.
I själva verket är K[A] en kropp, eftersom
(xE + yA)(x − yA) = (x 2 − dy 2 )E
och x 2 − dy 2 = 0 för (x, y) = 0 pga. att d ∈ K inte är en kvadrat.
35

Vi letar efter fler konkreta exempel av ändliga kroppar och fr˚agar för vilka
primtal p vi kan ta K = Zp, d = −1. Metoden är av mer allmänt intresse, s˚a
det blir avbrott nu och vi först gör en liten sväng:
Vi börjar med n˚agra funderingar om ändliga delgrupper
G ⊂ R ∗
till enhetsgruppen R ∗ . Enligt Lagrange’s sats Th.4.19 vet vi att
a |G| = 1
gäller för alla a ∈ G. Vi visar nu en partiell omvändning:
Proposition 8.4. L˚at G ⊂ R ∗ vara en ändlig delgrupp till enhetsgruppen
R ∗ av ett integritetsomr˚ade R. Om a ℓ = 1 gäller för alla a ∈ G, s˚a gäller
dvs. ℓ är en heltalsmultipel till |G|.
ℓ ∈ Z · |G|,
Proof. Exponenterna ℓ ∈ Z med a ℓ = 1 för alla a ∈ G utgör ett ideal
s˚aledes
e(G) := ℓ ∈ Z; a ℓ = 1 ∀ a ∈ G ,
e(G) = Zn
med n˚agot n ∈ N. Enligt Lagrange gäller |G| ∈ e(G), dvs. n delar |G|.
Polynomet f = X n − 1 ∈ R[X] försvinner allts˚a p˚a G och har högst n
nollställen, s˚aledes |G| ≤ n och därmed nödvändigtvis n = |G|.
Example 8.5. Villkoret att R är ett integritetsomr˚ade kan inte lämnas bort:
1. För
G = Z ∗ 8 = 1, 3, 5, 7
har vi |G| = 4, men redan a 2 = 1 för alla a ∈ G.
2. L˚at p, q vara tv˚a olika udda primtal. Enhetsgruppen
har d˚a (p − 1)(q − 1) element och
G := Z ∗ pq ∼ = Z ∗ p × Z ∗ q
a ℓ = 1
gäller redan för ℓ = (p − 1)(q − 1)/2, eftersom ℓ är b˚ade delbart med
p − 1 och med q − 1.
36

För en närmare undersökning av förh˚allandena behöver vi:
Definition 8.6. För ett element a ∈ R ∗ i enhetsgruppen av en ring R l˚at
e(a) := {ℓ ∈ Z; a ℓ = 1}
vara idealet av alla exponenter ℓ ∈ Z med a ℓ = 1. Elementet a’s ordning
definieras som
ord(a) := min e(a)>0 ∈ N ∪ {∞},
där vi använder oss av konventionen
min ∅ := ∞.
Example 8.7. 1. Elementen 3, 5, 7 ∈ Z ∗ 8 har ordning 2.
2. Elementet 2 ∈ Z11 har ordning 10, eftersom
2 Z = {2, 4, 8, 5, 10 = −1, −2 = 9, −4 = 7, −8 = 3, −5 = 6, 1}
har 10 element. Ytterligare ord(4) = 5 och ord(10) = 2.
3. För ett komplext tal
gäller
I själva verket
om sgd(k, n) = 1.
a = re iϑ ∈ C ∗
ord(a) < ∞ ⇐⇒ r = 1 ∧ ϑ ∈ Q · 2π.
ord(e 2πi(k/n) ) = n
Remark 8.8. 1. Vi har ord(a) = ∞ omm e(a) = {0} omm a m = a n för
m = n. Med andra ord: Vi har en bijektion
Z −→ a Z , k ↦→ a k .
2. Vi har ord(a) = d < ∞ omm e(a) = Zd omm a m = a n ⇐⇒ m ≡ n
mod (d). Med andra ord: Vi har en bijektion
och
Zd −→ a Z , k ↦→ a k
a Z = {1, a, ..., a d−1 }.
37

3. Om a ∈ G med en ändlig delgrupp G ⊂ R ∗ , s˚a är ord(a) < ∞ en delare
till delgruppens ordning |G|.
Proposition 8.9. 1. L˚at ord(a) = m, Sedan gäller
ord(a k ) =
m
sgd(k, m) .
2. Om m = ord(a) och n = ord(b) är relativ prim, s˚a gäller
Proof. Vi har
L˚at
dvs. 1 = 1 och
ord(ab) = mn.
1 = (a k ) ℓ = a kℓ ⇐⇒ m|kℓ ⇐⇒
m
sgd(k, m) |ℓ.
1 = (ab) ℓ =⇒ a ℓ = b −ℓ =⇒ ord(a ℓ ) = ord(b −ℓ )
=⇒
m
sgd(ℓ, m) =
n
sgd(ℓ, n) ,
sgd(ℓ, m) = m, sgd(ℓ, n) = n =⇒ ℓ ∈ Z · mn.
Theorem 8.10. L˚at G ⊂ R ∗ vara en ändlig delgrupp till enhetsgruppen R ∗
av ett integritetsomr˚ade R. Sedan finns det en primitiv rot för G, dvs. ett
element a ∈ G med
ord(a) = |G|
resp.
G = a Z = {1, a, ...., a |G|−1 }.
Proof. Vi m˚aste hitta ett element a ∈ G med ord(a) = |G|. L˚at
|G| = p k1
1 · ... · p ks
s
38

vara primfaktorsuppdelningen: För varje i = 1, ..., s konstruerar vi ett element
ai ∈ G av ordning ord(ai) = p ki
i och sätter
a = a1 · ... · as.
Enligt Lagrange’s sats Th.4.19 delar ordningen ord(c) för varje c ∈ G delgruppens
ordning |G|, dvs.
ord(c) = p k1(c)
1
och med Prop. 8.4 ser vi, att
· ... · p ks(c)
s
med 0 ≤ ki(c) ≤ ki,
ki = max {ki(c); c ∈ G} , i = 1, ....., s.
I synnerhet finns det ett element ci, vars ordning är delbart med p ki
i
ord(ci) = ℓip k1
i . Vi tar nu ai := c ℓi
i .
Vi är nu redo att svara p˚a v˚ar fr˚aga:
, kanske
Corollary 8.11. L˚at p > 2 vara ett udda primtal. Sedan finns det ett element
j ∈ Zp med j 2 = −1 omm p ≡ 1 mod (4).
Proof. ”=⇒”: L˚at p = 4k + 3 och anta j 2 = −1 gäller för n˚agot j ∈ Zp. D˚a
ger Th.4.19
1 = j 4k+2 = (j 2 ) 2k+1 = (−1) 2k+1 = −1,
motsägelse!
”⇐=”: L˚at a ∈ Z ∗ p vara en primitiv rot och ta j := a k . Vi har j 4 = 1, s˚a
polynomet
X 2 − 1 = (X + 1)(X − 1)
har j 2 som nollställe, och eftersom j 2 = a 2k = 1, m˚aste j 2 = −1.
Example 8.12. 1. För p ≡ 3 mod (4) finns det ”komplexa tal med Zpkoefficienter”,
kroppen
F p 2 := {x + yi; x, y ∈ Zp} ,
med p 2 element, där som vanligt bokstaven i menar samma sak som
√ −1.
39

2. För p ≡ 1 mod (4) har vi inget naturligt val av en icke-kvadrat d ∈ Zp,
men de finns alltid: T.ex. varje primitiv rot är en icke-kvadrat.
3. L˚at nu p = 2. Matrisen
uppfyller
A =
och ger upphov till kroppen
1 1
1 0
med 4 element. Jämför med Z4!
A 2 = A + E
∈ (Z2) 2,2
F4 := Z2[A] = Z2E + Z2A
4. Om char(K) = 2 och K[A] med en 2 × 2 matris A ∈ KE är en kropp,
s˚a gäller
K[A] ∼ √
= K d
α
med en icke-kvadrat d ∈ K. Om nämligen A =
γ
β
, s˚a gäller
δ
A 2 = (α + δ)A − (αδ − βγ)E.
Men vi har K[B] = K[A] med B := A − 2 −1 (α + δ)E, eller m.a.o. vi
f˚ar anta α + δ = 0. Ta nu d = −(αδ − βγ) ∈ K, en icke-kvadrat: Om
c 2 = d, vore
0 = (A − cE)(A + cE)
en produkt av tv˚a faktorer = 0.
9 Enkla kroppsutvidgningar
Här är vi intresserade av att skapa nya kroppar utg˚aende fr˚an en given kropp
K. Vi undersöker följande situation: Vi har en K-algebra S och tar fram
ett element a ∈ S och betraktar alla element i S, som är polynom i a med
koefficienter i K, dvs. delringen
K[a] := {f(a); f ∈ K[X]} ⊂ S .
Ringutvidgningar K[a] ⊃ K, som uppst˚ar genom ”adjunktion” (tilläggning)
av ett element a ∈ S ⊃ K kallas ibland ocks˚a enkla.
40

Example 9.1. Relevanta K-algebror är:
1. C ⊃ Q, och
2. K n,n ⊃ KE ∼ = K.
För att först˚a ringen K[a] är det viktigt att veta i vilken m˚an elementet
f(a) bestämmer polynomet f ∈ K[X], dvs. vi fr˚agar vad det betyder att
f(a) = g(a)
gäller för tv˚a polynom f, g ∈ K[X]. S˚a det handlar om att först˚a kärnan
till substitutionshomomorfismen
ker(εa) ⊂ K[X]
εa : K[X] −→ K[a], f ↦→ f(a).
Med andra ord: Vi är intresserade av idealet
ma := {f ∈ K[X]; f(a) = 0} ⊂ K[X]
av alla polynom som annullerar det givna elementet a ∈ S.
Example 9.2. Titta p˚a a ∈ C ⊃ Q resp. A ∈ K n,n ⊃ KE ∼ = K.
1. För a ∈ K har vi
2. Ta nu K = Q ⊂ C ∋ a := i. Vi f˚ar
ma = K[X](X − a).
mi = Q[X](X 2 + 1),
eftersom för f ∈ Q[X] har vi f(i) = 0 =⇒ f(−i) = f(i) = f(i) = 0,
s˚aledes f = (X − i)(X + i)g. Att g ∈ Q[X] följer fr˚an divisionsalgoritmen.
3. För den n-te enhetsroten a = e 2πi/n ∈ C ⊃ Q har vi
X n − 1 ∈ ma.
41

4. Ett komplext tal a ∈ C kallas transcendent omm ma = {0}, i.e. om ψa :
Q[X] −→ Q[a] är en isomorfism. Talen e, π ∈ R ⊂ C är transcendenta,
ett icke-trivialt resultat, som först har bevisats p˚a 1800-talet.
5. För en matris
visar en liten räkning
A :=
a b
c d
∈ K 2,2
X 2 − (a + d)X + (ad − bc) ∈ mA.
6. För en matris A ∈ K n,n är idealet av alla polynom som annullerar A
icke-trivialt:
mA = {0}.
Ringen K n,n av alla kvadratiska matriser av storlek n×n kan nämligen
uppfattas som K-vektorrum och har d˚a dimension n 2 . S˚aledes är matriserna
E, A, A 2 , ...., A n2
linjärt beroende: Vi f˚ar a0, ......, a n 2 ∈ K inte alla = 0 med
resp.
med polynomet
a0E + a1A + ..... + an2A n2
= 0
f(A) = 0
f = a0 + a1X + ..... + an2X n2
= 0.
Tillbaka till teorin: Först och främst handlar det om polynomringen själv:
Vi m˚aste veta vilka ideal som finns i K[X]:
Proposition 9.3. Polynomringen K[X] över en kropp K är ett principalidealomr˚ade:
För ett icke-trivialt ideal a ⊂ K[X] har vi
a = K[X]f,
där f ∈ K[X] är ett polynom av minsta grad i a \ {0}. Om vi förutsätter f
vara normerat, är f entydigt bestämt.
42

Beviset bygger som i fall av heltalsringen Z p˚a en divisionsalgoritm:
Theorem 9.4 (Divisionsalgoritm för polynom). L˚at g ∈ R[X] vara ett
normerat polynom över den kommutativa ringen R. Varje polynom f ∈ R[X]
skrivs som
f = qg + r
med entydigt bestämda polynom q, r ∈ R[X], deg(r) < n = deg(g).
Proof. Entydighet: L˚at f = qg + r = ˜qg + ˜r. Sedan:
(q − ˜q)g = (˜r − r) .
Polynomet p˚a högra ledet har grad < n, medan för q − ˜q = 0 vänstra ledet
har minst grad n (eftersom g är normerat). S˚aledes q = ˜q och d˚a först˚as
ocks˚a r = ˜r.
Existens: Vi använder induktion följande deg(f): Om deg(f) < n tar vi
q = 0 och r = f.
Om deg(f) =: m ≥ n, kanske f = bmX m + ... + b0, betraktar vi polynomet
˜f := f−bmX m−n g. Eftersom det har grad < deg(f), ger induktionshypotesen
˜q, ˜r med
˜f = ˜qg + ˜r
och deg(˜r) < n. Slutligen ta q := ˜q + bmX m−n , r := ˜r.
Bevis av Prop. 9.3. L˚at a ⊂ K[T ] vara ett ideal. Om a = {0}, kan vi välja
ett polynom polynom f ∈ a \ {0} av minsta grad, och efterrsom K är en
kropp, kan vi anta att f är normerat. Sedan har vi a = (f). Inklusionen
”⊃” är självklart.
”⊂”: Ta ett polynom h ∈ a. Divisionsalgoritmen 9.4 ger h = qf + r, var
deg(r) < deg(f). Men d˚a, pga. r = h − qf ∈ a, nödvändigtvis r = 0 enligt
val av f. S˚aledes h = qf ∈ K[X]f.
Definition 9.5. L˚at a ∈ S ⊃ K med ma = {0}. Det entydiga normerade
polynomet pa ∈ K[X] med
ma = K[X]pa
kallas minimalpolynomet av elementet a ∈ S över K.
Remark 9.6. 1. För ett polynom f ∈ K[X] har vi
f(a) = 0 ⇐⇒ pa|f.
43

2. Imaginära enheten i ∈ C ⊃ Q har minimalpolynom
pi = X 2 + 1 ∈ Q[X].
3. L˚at n > 1. Den n-te enhetsroten a = e 2πi/n ∈ C ⊃ Q annulleras av
X n − 1 = (X − 1)(X n−1 + X n−2 + ... + X + 1) föjdaktligen
X n−1 + X n−2 + ... + X + 1 ∈ ma.
Om n = p är ett primtal har vi t.o.m.
pa = X p−1 + X p−2 + ... + X + 1.
I allmänheten gäller deg(pa) = ϕ(n), polynomet pa kallas det n-te
cyklotomiska polynomet (cirkelskärningspolynomet). Inget bevis.
4. Däremot blir minimalpolynomet av ett icke-reellt tal a ∈ C ⊃ R över
R polynomet
f = X 2 − (a + a)X + |a| 2 ∈ R[X].
5. För en matris A ∈ K 2,2 \ KE har vi
pA = X 2 − (a + d)X + (ad − bc),
eftersom A inte annulleras av ett linjärt polynom, medan vi redan har
kollat A2 − (a + d)A + (ad − bc)E = 0.
0 1
6. För A = J =
f˚ar vi
−1 0
och för A =
0 1
d 0
Slutligen har A =
blir
1 1
1 0
pJ = X 2 + 1,
pA = X 2 − d.
∈ (Z2) 2,2 minimalpolynomet
pA = X 2 + X + 1 ∈ Z2[X].
44

7. L˚at A ∈ K n,n ⊃ KE ∼ = K. Man kan visa att matrisen A’s sekularpolynom
χA := det(XE − A) ∈ K[X]
annullerar A, dvs.
och s˚aledes pA|χA, i synnerhet
χA(A) = 0
deg pA ≤ n.
Vid flera exempel, där deg pa = 2, har vi sett att
K[a] = K + Ka = {x + ya; x, y ∈ K}.
Detta gäller i själva verket alltid och kan ocks˚a generaliseras till godtyckliga
minimalpolynom pa ∈ K]X].
Theorem 9.7. L˚at a ∈ S ⊃ K med ma = {0} och deg pa = m. Sedan gäller
och avbildningen
K[a] = K + Ka + ... + Ka m−1 ,
Φa : K m −→ K[a]
(c1, ...., cm) ↦→ c1 + c2a + .... + cma m−1
är bijektiv. Ytterligare: Om f(a) ∈ K[a] med ett polynom f ∈ K[X], s˚a
gäller
f(a) = c1 + c2a + .... + cma m−1 ,
där
r = c1 + c2X + .... + cmX m−1 ∈ K[X]
är resten vid polynomdivision av f genom pa, dvs:
f = q · pa + r.
Remark 9.8. Ringen K[a] kan allts˚a tänkas som K m , där additionen är
komponentvis - avbildningen Φa är ju additiv - , medan multiplikationen
styrs helt och h˚allet av minimalpolynomet pa s˚a här:
där
(c1, ...., cm) · (d1, ..., dm) := (r1, ..., rm),
(c1+c2X+..+cmX m−1 )·(d1+d2X+..+dmX m−1 ) = q·pa+(r1+r2X+..+rmX m−1 ).
45

Bevis av Prop. 9.7. Om
ger substitution av X med a följande:
f = q · pa + r
f(a) = q(a) · pa(a) + r(a) = r(a),
dvs. v˚ar avbildning K m −→ K[a] är surjektiv. Anta nu att man har tv˚a
s˚adana uttryck med samma värde
med andra ord
för
c1 + c2a + .... + cma m−1 = ˜c1 + ˜c2a + .... + ˜cma m−1 ,
f(a) = 0
f = (˜c1 − c1) + (˜c2 − c2)X + .... + (˜cm − cm)X m−1 .
S˚aledes pa|f, men eftersom deg(pa) = m > deg f, innebär detta f = 0 resp.
˜cµ = cµ för µ = 1, .., m.
Corollary 9.9. L˚at a ∈ S ⊃ K och b ∈ T ⊃ K kommutera med K. Om
pa = pb, definierar
Ψ := Φb ◦ (Φa) −1 : K[a] −→ K m −→ K[b]
en ringisomorfism som avbildar a till b; den är en del till det kommutativa
diagrammet
K[a]
Ψ
−→ K[b]
∪ ∪ .
K
id
−→ K
Proof. Vi har
pga. f = q · pa + r = q · pb + r.
Φb ◦ (Φa) −1 : f(a) = r(a) ↦→ r(b) = f(b)
Remark 9.10. För nyfikna en liten utblick p˚a Galoisteorin: Det kan ju
tänkas att minimalpolynomet pa har fler nollställen i K[a] än bara själva
a ∈ S. Om b ∈ K[a] är ett s˚adant, s˚a finns det allts˚a en ringautomorfism
σ : K[a] ∼ =
−→ K[b] = K[a], a ↦→ b, σ|K = idK.
46

T.ex. om a = √ d, ta b = − √ d, och
σ(x + y √ d) = x − y √ d
blir ”konjugationen”. En annan s˚adan utvidgning, där deg pa = 3, presenteras
i Ex.9.16.2.
I Galoisteorin konstruerar man, givet ett polynom f ∈ K[X], en kroppsutvidgning
L ⊃ K, en sammansättning av ändligt m˚anga enkla utvidgningar,
s˚adant att f ∈ K[X] blir en produkt av linjära polynom i L[X] ⊃ K[X] —
om man väljer L minimal, s˚a kallas L rotkroppen till f. Det man undersöker
är denna utvidgningens automorfismer, dvs. ringautomorfismer σ : L −→ L,
som gör övre delen till diagrammet
K
id
−→ K
∩ ∩
L
σ
−→ L
∪ ∪
N(f)
σ
−→ N(f)
kommutativ. Automorfismerna kan sammansättas och inverteras - de utgör
utvidgningens Galoisgrupp.
För x ∈ L har vi f(σ(x)) = σ(f(x)), eftersom f ∈ K[X]; i synnerhet
gäller
σ(N(f)) = N(f)
för nollställemängden
N(f) := {a ∈ L; f(a) = 0}.
Ifall polynomet f har bara enkla nollställen, kan vi faktiskt identifiera automorfismer
till utvidgningen L ⊃ K med deras restriktion p˚a N(f) ⊂ L – och
p˚a det här sättet var det Galois själv har formulerat sin teori: Vid den tiden
fanns inte än ringar, homomorfismer och liknande saker.
I själva verket är L ⊃ K ofta själv en enkel utvidgning, t.ex. är det alltid
s˚a, om char(K) = 0 eller K = F är en ändlig kropp, men för beräkningar
spelar det inte n˚agon stor roll.
Som en liten belöning för mödan kan vi nu ge en idé om klassifikationen
av alla ändliga kroppar:
47
.

Corollary 9.11. 1. Antalet element i en ändlig kropp F är en primtalspotens:
|F| = p m
med p = char(F).
2. S˚a när som p˚a isomorfi finns det precis en kropp F med
|F| = p 2 .
Proof. 1.) Ta en primitiv rot a ∈ F och l˚at m = deg(pa). Sedan gäller
och s˚aledes
F = Zp[a] = Zp + Zpa + ... + Zpa m−1
|Zp[a]| = |Zp| m = p m .
2.) L˚at först p > 2. Vi har F ∗ = p 2 − 1 = (p − 1)(p + 1) och
Z ∗ p = a (p+1)Z
best˚ar av alla element x ∈ F ∗ med x p−1 = 1. Eftersom p + 1 är jämnt, har
varje element d ∈ Zp en kvadratrot b ∈ F, och om d inte är en kvadrat i Zp,
s˚a följer F = Zp[b] ∼ = Zp[ √ d].
För p = 2 ta a ∈ F\{0, 1}. Eftersom |F ∗ | = 3, har a ordning 3 och s˚aledes
är det ett nollställe till polynomet
(X 3 − 1) = (X − 1)(X 2 + X + 1).
Pga. a = 1 följer a 2 + a + 1 = 0 resp. a 2 = a + 1. Men d˚a är uppenbarligen
F ∼ = F4!
Remark 9.12. I själva verket finns för varje primtalspotens pm en ändlig
kropp Fpm, entydig s˚a när som p˚a isomorfi.
Tillbaka till vardagen: Vi kan nu bedöma, när K[a] blir en kropp.
Theorem 9.13. För ett element a ∈ S i en K-algebra S, s˚adant att ma =
{0}, är följande p˚ast˚aenden ekvivalenta:
1. Ringen K[a] är en kropp.
48

2. Ringen K[a] är ett integritetsomr˚ade.
3. Minimalpolynomet pa till a ∈ S är irreducibelt, i.e. kan inte faktoriseras
pA = gh
med icke-konstanta polynom g, h.
Example 9.14. 1. Ett kvadratiskt eller kubiskt polynom f ∈ K[X] är
irreducibelt omm f inte har n˚agot nollställe i K, eftersom i en eventuell
faktorisering m˚aste en av faktorerna vara linjär.
2. Polynomet X 3 −2 ∈ Q[X] är irreducibelt, eftersom det saknar rationella
nollställen.
3. Alla rationella nollställen till ett polynom f = X n + n−1
ν=0 aνX ν ∈ Z[X]
är heltal, i själva verket är de delare till den konstanta termen a0 ∈ Z.
) = 0 med sgd(p, q) = 0, q > 0, s˚a har vi
Om nämligen f( p
q
p n = −q
n−1
aνp ν · q n−ν−1
,
ν=0
men q|p n innebär q = 1. Och a0 = p −p n−1 − n−1
ν=1 aνp ν−1 är delbart
med p.
4. Polynomet X 3 − 3X + 1 ∈ Q[X] är irreducibelt, eftersom det inte har
n˚agra rationella nollställen pga. f(±1) = 0.
5. Om f(a) = 0 med ett normerat irreducibelt polynom f, s˚a gäller redan
pa = f.
Proof. ”1) =⇒ 2)”: Självklart!
”2) =⇒ 3)”: Om pa är reducibelt (=icke-irreducibelt), dvs. pa = fg, s˚a har
K[a] nolldelare:
0 = pa(a) = f(a)g(a)
med f(a) = 0 = g(a), eftersom pa varken delar f eller g.
”3) =⇒ 1)”: Anta f(a) = 0 för f ∈ K[X]. Betrakta idealet
K[X]f + K[X]pa = K[X]g
49

med ett normerat polynom g ∈ K[X]. Polynomet g delar det irreducibla
polynomet pa; s˚aledes g = pa eller g = 1. Men g delar ocks˚a f och f(a) = 0,
s˚a nödvändigtvis g = 1. Det finns allts˚a polynom h, q ∈ K[X] med
resp.
1 = hf + q · pa
1 = h(a)f(a) + q(a)pa(a) = h(a)f(a).
Corollary 9.15. Om a ∈ S ⊃ K med ett integritetsomr˚ade S, s˚a är antingen
1. K[a] ∼ = K[X] motsvarande ma = {0}, eller
2. K[a] är en kropp motsvarande ma = {0}.
Example 9.16. Vi presenterar tv˚a komplexa tal a ∈ C ⊃ Q med deg pa = 3,
där utvidgningarna
Q[a] = Q + Qa + Qa 2 ⊂ R
skiljer sig i en intressant detalj.
1. L˚at a = 3√ 2 ∈ R. Sedan har minimalpolynomet
pa = X 3 − 2,
talet a som det enda nollstället i Q[a] ⊂ R, de andra tv˚a, εa, ε 2 a ∈ C,
är ju inte reella tal! Här är ε := 1
2 (−1 + i√ 3) tredje enhetsroten.
2. Det finns ett reellt tal a ∈ R med
pa = X 3 − 3X + 1.
Polynomet är irreducibelt och har som polynom av udda grad (minst)
ett reellt nollställe a ∈ R (pga. satsen om de inklämda värdena -
inklämda mellan −∞ och ∞). Men nu finns det ett nollställe till i
Q[a], nämligen b := a 2 − 2 = a och en tredje ocks˚a! Kolla det!
50

10 Faktoriella ringar
I det här avsnittet ska vi inte längre jaga efter kroppar, utan istället generalisera
begreppet ”irreducibelt” till element i ett godtyckligt integritetsomr˚ade
och visa att ett principalidealomr˚ade till˚ater en entydig primfaktorisering.
Vi börjar med den grundläggande definitionen:
Definition 10.1. L˚at R vara ett integritetsomr˚ade.
1. Ett element u ∈ R \ (R ∗ ∪ {0}) kallas irreducibelt, omm
u = ab =⇒ a ∈ R ∗ ∨ b ∈ R ∗ ,
dvs. u kan inte skrivas som en produkt av tv˚a icke-enheter.
2. Tv˚a element u, u ′ ∈ R \ {0} kallas associerade, omm u ′ = eu med en
enhet e ∈ R ∗ .
3. Ett element p ∈ R \ (R ∗ ∪ {0}) kallas prim, omm
p|ab =⇒ p|a ∨ p|b .
Remark 10.2. 1. Primelement är irreducibla: Om p = ab med ickeenheter,
s˚a har vi p|a eller p|b. Säg a = a0p. Men d˚a följer p = (a0b)p
och 1 = a0b, dvs. b är en enhet. Motsägelse!
2. Element u, u ′ ∈ R är associerade omm Ru = Ru ′ (omm u|u ′ och u ′ |u).
Uppenbarligen gäller Ru = Ru ′ för associerade element u, u ′ ∈ R. Om
˚a andra sidan Ru = Ru ′ , kan vi skriva u ′ = eu och u = e ′ u ′ med
element e, e ′ ∈ R, och s˚aledes u = e ′ eu resp. 0 = (1 − e ′ e)u. Eftersom
ringen R är ett integritetsomr˚ade, kan vi dra slutsatsen 1 − e ′ e = 0
resp. e ∈ R ∗ .
Example 10.3. 1. Tv˚a heltal är associerade om de är lika s˚a när som p˚a
tecken.
2. Tv˚a polynom ∈ K[X] är associerade omm de skiljer sig bara om en
konstant faktor = 0.
3. Följdsatsen 13.5 ger, att de irreducibla polynomen ∈ C[X] är s˚a när
som p˚a associering (i.e. s˚a när som p˚a en konstant faktor = 0) de
linjära polynomen
ga = X − a, a ∈ C.
51

4. L˚at K vara en kropp och
=
a0 +
R := K + K[X]X 2
n
aνX ν , a0, a2, ..., an ∈ K
ν=2
mängden av alla polynom utan linjär term, en delring till polynomringen
K[X]. Vi har R∗ = K∗ och elementet X2 är irreducibelt i R (inte
i den större ringen K[X] först˚as). Men det är inte prim, efterrsom
X 2 |X 2 X 4 = X 3 X 3 ,
utan att X 2 |X 3 gäller i R. Exemplet verkar kanske lite konstlat, men
det är det inte - ringen R dyker upp i algebraiska geometrin p˚a ett
naturligt sätt!
Som i ringen Z (se Cor.2.3) av alla heltal f˚ar vi:
Proposition 10.4. Ett irreducibelt element u ∈ R i ett principalidealomr˚ade
R är ett primelement.
Proof. Om u|ab och u |a, skriver vi
Ra + Ru = Rd.
Vi har d˚a d|u resp. u = cd. Sedan är antingen c eller d en enhet. Om c ∈ R ∗ ,
s˚a följer det fr˚an d|a att ocks˚a u|a, en motsägelse. S˚a är allts˚a d ∈ R ∗ och
Ra + Ru = R, vi kan sedan skriva ra + su = 1. Men det innebär att
är delbart med u.
b = r(ab) + (sb)u
Sedan finns det fr˚agan om varje icke-enhet kan skrivas som produkt av
primelement - den fr˚agan har vi hittills inte alls diskuterat, eftersom för
R = Z, K[X] är det en självklarhet. Vid varje icke-trivial faktorisering blir
absolutbeloppen resp. graderna ju mindre och s˚a är det n˚agon g˚ang slut med
ytterligare faktorisering - faktorerna är d˚a primelement.
Example 10.5. L˚at U ⊂ R vara en öppen mängd. En funktion f : U −→ R
kallas reell-analytisk om den har derivator av varje ordning och dess Taylor
serie i vilken som helst punkt a ∈ U har
52

1. en positiv konvergensradie och
2. beskriver funktionen f nära a, i.e.
∞ f
f(x) =
(n) (a)
(x − a)
n!
n
n=0
för alla x ∈ (a − ε, a + ε) ⊂ U, där ε = εa(f) > 0.
Lägg märke till att Taylorserien inte alls behöver konvergera, i själva
verket kan varje serie av koefficienter (an)n∈N ⊂ R realiseras som derivator
av en C ∞ -funktion f i en given punkt a ∈ U, i.e.
an = f (n) (a), ∀ n ∈ N .
Och även om s˚a är fallet behöver den inte beskriva den givna funktionen f:
Ett omtyckt exempel är funktionen f : R −→ R med
−1/x e
f(x) =
2
, if x = 0
.
0 , if x = 0
Den uppfyller ju f (n) (0) = 0 för alla n ∈ N.
Vi anmärker att polynomfunktioner är reell-analytiska, likas˚a rationella
funktioner, exponentialfunktionen, logaritmusfunktionen, de trigonometriska
funktionerna och m˚anga fler. Man betecknar C ω (R) mängden - i själva verket
ringen - av alla reell-analytiska funktioner f : R −→ R. Det handlar faktiskt
om ett integritetsomr˚ade med enhetsgruppen
C ω (R) ∗ = {f ∈ C ω (R); f(x) = 0 ∀x ∈ R} = ±e Cω (R) ,
och polynomfunktionerna
ga(x) = x − a, a ∈ R
utgör s˚a när som p˚a associering de irreducibla elementen. I själva verket
handlar det om primelement, eftersom
Men d˚a har funktionen
ga|f ⇐⇒ f(a) = 0.
f(x) = sin(πx)
oändligt m˚anga primdelare, funktionerna gn, n ∈ Z. I synnerhet kan den inte
faktoriseras som produkt av primelement.
53

Definition 10.6. Ett integritetsomr˚ade R kallas faktoriellt (eller p˚a engelska
en UFD= Unique Factorization Domain), omm varje icke-enhet är en
produkt av primelement.
Nästa teorem, fast viktigt, verkar nästan tautologiskt:
Theorem 10.7. L˚at R vara en faktoriell ring och l˚at P ⊂ R vara en mängd
av primelement, s˚adant att varje primelement i R är associerat till precis ett
element p ∈ P . Varje icke-enhet a ∈ R skrivs d˚a entydigt (s˚a när som p˚a
omkastning av faktorer) som en produkt
a = e · p k1
1 · ... · p kr
r
med en enhet e ∈ R och parvis olika element pi ∈ P och exponenter ki ≥ 1.
Proof. Existens: Varje element a ∈ R har en faktorisering
a = q k1
1 · ... · q kr
r
med irreducibla element q1, ..., qr ∈ R. Skriv nu qi = eipi med pi ∈ P, ei ∈ R∗ ,
och ta
e = e k1
1 · ... · e kr
r .
Entydigheten: Anta
a = e · p k1
1 · ... · p kr
r = ˜e · q ℓ1
1 · ... · q ℓs
s
med p1, ..., pr, q1, ..., qs ∈ P . För varje j, 1 ≤ j ≤ s, hittar vi ett entydigt index
i = π(j) med pπ(j) = qj. Och s˚a kan vi successivt stryka bort faktorerna pπ(j)
och qj, tills det finns p˚a VL och HL inte längre samtidigt ett och samma
element p ∈ P . Men det g˚ar bara om VL och HL är enheter.
Proposition 10.8. Ett principalidealomr˚ade är faktoriellt. I synnerhet är
ringen Z av alla heltal och polynomringen K[X] över en kropp K faktoriella
ringar.
Proof. Enligt Prop.10.4 är irreducibla element prim(a?). Vi m˚aste visa att
varje element är en produkt av primelement. Kalla en icke-enhet u ∈ R \ {0}
icke-faktoriserbar, om den inte är en produkt av primelement. Om det finns
s˚adana element, kan vi konstruera en uppstigande följd av principalideal
ai = Rui med icke-faktoriserbara element ui ∈ R, dvs.
a0 a1 ...... .
54

Börja med n˚agot icke-faktoriserbart element u0 ∈ R. Om ui har hittats,
skriv det som en produkt av tv˚a icke-enheter - det är ju reducibelt. En av
faktorerna är d˚a inte heller faktoriserbar, ta den som elementet ui+1. Titta
nu p˚a idealet
∞
a := ai = Ru,
i=0
ringen R är ju ett principalidealomr˚ade. D˚a har vi u ∈ an för n˚agot n ∈ N
och s˚aledes
för i ≥ n, en motsägelse.
ai = a = an
Remark 10.9. Vi anmärker att en faktoriell ring inte behöver vara ett principalidealomr˚ade.
I själva verket är polynomringen R[X] över en faktoriell
ring R igen faktoriell, medan R[X] är ett principalidealomr˚ade bara om R
är en kropp. T.ex. är
Z[X]p + Z[X]X
inte ett principalideal!
11 Kvadratiska heltal
För varje kroppsutvidgning L ⊃ Q definierar man
AL := {a ∈ L; ma = {0}, pa ∈ Z[X]},
och kallar elementen i AL för utvidgningens heltal. Talen i AC heter algebraiska
heltal.
De utgör en delring (det m˚aste visas, det är ingen sjävklarhet), s˚adant
att vi har ett diagramm
AL ↩→ L
∪ ∪
Z ↩→ Q
och
Z = AL ∩ Q samt L = Q(AL).
Ringarna AL är i allmänheten inte faktoriella; i själva verket är de faktoriella
omm de är principalidealomr˚aden. Men det kan vi inte visa här, utan istället
55

definierar vi konkret de kvadratiska heltalsringarna
√
Ad := A √
Q[ d] ⊂ Q d ,
där d ∈ Q inte är en kvadrat. Vi beräknar deras enhetsgrupper och grubblar
över fr˚agan, för vilka d ∈ Z de är principalidealomr˚aden. För d = −1 är det
s˚a; talen i
A−1 = Z + Zi
heter Gaußiska heltal: Vi bestämmer alla Gaußiska primtal och förklarar hur
man kommer fram till primtalsfaktoriseringen. √d Eftersom den kvadratiska talkroppen Q inte förändras när man mul-
tiplicerar d med en kvadrat, f˚ar vi anta att d ∈ Z \ {0, 1} är ett kvadratfritt
heltal. För s˚adana d definierar vi Ad explicit:
Definition 11.1. L˚at d ∈ Z \ {0, 1} vara ett kvadratfritt heltal, dvs. alla
primfaktorer till d är enkla. Mängden
√
Ad ⊂ Q d ⊂ C
av (d-)kvadratiska heltal definieras
1. för d ≡ 2, 3 mod (4) som
och
2. för d ≡ 1 mod (4) som
Ad := Z + Z √ d
Ad := Z + Z · η,
där η := 1
2 (1 + √ d), dvs. u + v √ d ∈ Ad omm koefficienterna u, v ∈ Q
antingen är b˚ade heltal eller b˚ade ”halvtal”, i.e. rationella tal med
nämnare 2, men inte heltal.
Med andra ord u + v √ d ∈ Ad omm
(a) antingen u, v ∈ Z
(b) eller u, v ∈ 2Z + 1
2 .
56

Remark 11.2. 1. Ad är uppenbarligen en ring för d ≡ 2, 3 mod (4). För
d ≡ 1 mod (4) anmärker vi att η annulleras av polynomet
och s˚aledes
p := X 2 − X +
η 2 =
d − 1
4
1 − d
4
+ η.
∈ Z[X],
2. För d < 0 utgör Ad ⊂ C ett gitter. Det är rektangulärt för d ≡ 2, 3
mod (4), medan för d ≡ 1 mod (4) erh˚alls det fr˚an det rektangulära
gittret Z + Z √ d genom att lägga till maskornas mittpunkter.
3. För d > 0 utgör Ad ⊂ R en tät delmängd, men man har ibland änd˚a
glädje av planets geometri: Vi tillordnar Ad gittret
Γd := (u, v √ d) ∈ R 2 ; u + v √
d ∈ Ad .
För jämnt d har vi även Γd = A−d m.a.p. standardidentifikationen
R 2 ∼ = C (fast Ad ∼ = A−d), medan för udda d gittren Γd och A−d tillhör
olika klasser. —
Uppenbarligen inducerar avbildningen
en bijektion
π : R 2 −→ R, (x, y) ↦→ x + y,
π|Γd : Γd −→ Ad.
I själva verket f˚as punkten u + v √ d ∈ Ad ⊂ R motsvarande n˚agon
gitterpunkt (u, v √ d) ∈ Γd som snittpunkt av parallelen till R(1, −1)
genom denna punkt med koordinataxeln R × {0} = R.
√d 4. Ringarna Ad är de (entydiga) maximala ringarna A ⊂ Q , som är
diskreta i C (d < 0) resp. s˚adant att den tillhörande mängden
ΓA :=
är diskret i R 2 . Inget bevis.
(u, v √ d) ∈ R 2 ; u + v √
d ∈ A
57

√d 5. Den kvadratiska talkroppen Q är utrustad med en konjugation,
ringautomorfismen
√
σ : Q d
√
−→ Q d , u + v √ d ↦→ u − v √ d,
för d < 0 är det helt enkelt komplexa konjugationen, medan för d > 1
är den inte ens kontinuerlig!
6. Vi har en (talteoretisk, inte funktionalanalytisk) ”norm”
√
N : Q d
−→ Q, a = u + v √ d ↦→ aσ(a) = u 2 − dv 2 ,
den är multiplikativ, dvs. uppfyller N(ab) = N(a)N(b). Vi har uppenbarligen
σ(Ad) ⊂ Ad
och
N(Ad) ⊂ Z,
dvs. normen av ett kvadratiskt heltal är ett vanligt heltal.
7. För d < 0 utvidgas normfunktionen
till
N : Ad −→ Z
ˆN : C −→ R, z = x + iy ↦→ |z| 2 = x 2 + y 2 ,
medan för d > 0 normfunktionen
utvidgas till
N : Γd
π
= Ad −→ Z
ˆN : R 2 −→ R, (x, y) ↦→ x 2 − y 2 .
8. Ett element a = u + v √ d, v = 0, har minimalpolynomet
pa = X 2 − 2uX + (u 2 − dv 2 ) ∈ Q[X].
Sedan gäller
Ad = a = u + v √ d; u, v ∈ Q, s˚adant att 2u, u 2 − dv 2
∈ Z
för alla kvadratfria d = 0, 1. Bevis: Övning!
58

9. En varning: Mängden av alla kvadratiska heltal för olika d utgör inte
en ring, är inte ens sluten m.a.p. additionen!
Vi börjar v˚art studium av ringarna Ad med deras enhetsgrupper:
Proposition 11.3. Enhetsgruppen till ringen Ad av d-kvadratiska heltal är
A ∗ d = {a ∈ Ad; N(a) = ±1}.
Proof. För a ∈ A∗ d är N(a) ∈ Z en enhet pga. N(1) = 1, s˚aledes N(a) = ±1.
˚A andra sidan, om N(a) = ±1, s˚a är a−1 = N(a)σ(a) ∈ Ad.
Theorem 11.4. L˚at d ∈ Z \ {0, 1} vara ett kvadratfritt heltal och
Cn := Cn(C)
vara mängden av alla komplexa n-te enhetsrötter. Sedan har vi:
1. A ∗ d = C2 = {±1} för d < −3 och d = −2,
2. A ∗ −3 = C6,
3. A ∗ −1 = C4,
4. och för d > 1 är
med ”grundenheten”
A ∗ d = ±a Z
a := min(A ∗ d)>1 ∈ R>1.
Bevis till Th.11.4. För d < 0 har vi N(a) = |a| 2 , s˚aledes ligger alla enheter
p˚a enhetscirkeln. Om A∗ d skulle ha fler element än bara ±1 m˚aste d = −1
- d˚a är ocks˚a ±i enheter - eller d ≡ 1 mod (4) och η ∈ A∗ d . Men |η| = 1
innebär η = 1
2 (1 + i√ 3) med d = −3.
L˚at nu d > 1. Vi använder notationen fr˚an Anmärkning 11.2.3: Enheterna
motsvarar via π : R 2 −→ R de punkter i gittret Γd ⊂ R 2 , som ligger
p˚a hyperblerna x 2 − y 2 = ±1. I synnerhet är
med snittet
(A ∗ d)≥1 = π(Γd ∩ H+)
H+ := (x, y) ∈ (R≥0) 2 ; x 2 − y 2 = ±1 .
59

av hyperblerna x 2 − y 2 = ±1 med första kvadranten. Det följer att (A ∗ d )≥1 ⊂
R≥1 är en diskret delmängd, men för att se att (A ∗ d )>1 = ∅ m˚aste vi hänvisa
till teorin om kedjebr˚aksutvecklingen av √ d: Den ger existensen av heltal
u, v ∈ N, v = 0, med u 2 − v 2 d = ±1. S˚aledes är ”grundenheten”
a := min(A ∗ d)>1 ∈ R>1
väldefinierad. ˚Aterst˚ar att visa att varje enhet b ∈ A ∗ d
har formen b = ±an
med n˚agot heltal n ∈ Z. Vi f˚ar anta b = ±1 och även b > 1: Ett av talen
±b ±1 ligger ju i R>0. Vi väljer n ∈ N med a n ≤ b < a n+1 . Sedan gäller
a −n b ∈ A ∗ d , 1 ≤ a−n b < a, s˚aledes a −n b = 1 resp. b = a n .
Remark 11.5. Om a = u + v √ d är grundenheten och u ≥ 1, s˚a är följderna
un, vn med
a n √
= un + vn d
strikt växande pga.
un+1 = uun + dvvn > uun ≥ un, vn+1 = uvn + vun > uvn ≥ vn.
Fallet u < 1 innebär d ≡ 1 mod (4) och u = 1 q
, v = 2 2 med 1 = q2d ± 4,
m.a.o. 5 = q2d, dvs. d = 5, q = 1. S˚aledes behöver man för d = 5 bara leta
efter minsta heltal v resp. halvtal q
2 , s˚adant att för lämpligt teckenval dv2 ±1
resp. dq 2 ± 4 är en heltalskvadrat. Motsvarande a ∈ Ad är d˚a grundenheten.
Example 11.6. 1. ”d = 2”: Vi hittar v = 1 och a = 1 + √ 2.
2. ”d = 3”: Vi hittar v = 1 och a = 2 + √ 3.
3. ”d = 5”: Vi ser att a = 1
2 (1 + √ 5) är en enhet och alla andra enheter
s + t √ d med s, t > 0 är uppenbarligen större.
Stora majoriteten av ringarna Ad är inte faktoriell. Ett exempel är:
Example 11.7. I ringen A−5 finns irreducibla element som inte är prim: De
(−5)-kvadratiska heltalen
2, 3, 1 ± i √ 5 ∈ A−5
är irreducibla och parvis icke-associerade, eftersom de har norm 4, 9, 6, 6 och
det inte finns n˚agra element av norm 2 eller 3 i ringen A−5: Ekvationerna
x 2 + 5y 2 = 2, 3 har inga heltalslösningar. Men
s˚a de är inte primelement.
2 · 3 = (1 + i √ 5)(1 − i √ 5),
60

˚Aterst˚ar fr˚agan vilka ringar Ad som är principalidealomr˚aden. Det finns
ett klassiskt tillräckligt villkor:
Proposition 11.8. L˚at R vara en euklidisk ring, dvs. det finns en funktion
ν : R \ {0} −→ N, s˚adant att
1. ν(ab) ≥ ν(a) för a, b ∈ R,
2. för alla a, b ∈ R, b = 0, finns det q, r ∈ R med a = qb + r och ν(r) <
ν(b).
D˚a är R ett principalidealomr˚ade.
Proof. Om a ⊂ R är ett icke-trivialt ideal, välj b ∈ a med minimal ν(b).
Sedan gäller a = Rb. Uppenbarligen a ⊃ Rb. Om nu a ∈ a, skriv a = qb + r
med ν(r) < ν(b). Men r = a − qb ∈ a, s˚a vi har nödvändigtvis r = 0 resp.
a ∈ Rb.
Example 11.9. 1. Heltalsringen Z är euklidisk med ν(a) := |a|.
2. Polynomringen K[X] är euklidisk med ν(f) := deg(f).
Proposition 11.10. Ringen Ad är euklidisk med avseende p˚a ν(a) = |N(a)|
för d = −11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 13.
Proof. Vi m˚aste skilja mellan fallen d < 0 och d > 1.
1. Fallet d < 0: Vi visar att, om d = −11, −7, −3, −2, −1, s˚a finns det för
varje komplext tal z ∈ C en gitterpunkt ω ∈ Ad med
|z − ω| < 1.
Om nu a, b ∈ Ad ta z = ab −1 och d˚a har vi
a = qb + r = ωb + (a − ωb).
L˚at först d ≡ 2, 3 mod (4). Vi tittar p˚a gittrets grundmaska
Md := x + iy ∈ C; − 1
1 |d| |d|
≤ x ≤ , − ≤ y ≤
2 2 2 2
centrerad i origo. Dess translationer Md + γ, γ ∈ Ad, övertäcker det
komplexa planet, och distansen av en punkt z ∈ Md + γ till Ad är up-
1 + |d|
penbarligen maximal, när det handlar om ett hörn, den är d˚a 1
2
61

- och den är < 1 för d = −1, −2. Om d ≡ 1 mod (4) ersätter vi Md
med sexhörningen
Sd ⊂ C
kring origo som begränsas av (delar av) de vertikala linjerna ± 1 + iR
2
och mittpunktsnormalerna till sträckorna fr˚an 0 till gitterpunkterna
1
2 (±1±√d). Samma resonemang som förut, bara distansen av ett hörn
till 0 blir nu 1
4 ( |d|+ 1 √ ). Att den är < 1 är ekvivalent med |d| < 14,
|d|
s˚aledes f˚ar vi d = −3, −7, −11.
2. Fallet d > 0: L˚at
U := {(x, y) ∈ R 2 ; −1 < x 2 − y 2 < 1}
vara den sammanhängande öppna mängden som begränsas av hyperblerna
x 2 − y 2 = ±1. Om vi vet att
((s, t) + U) ∩ Γd = ∅
för alla (s, t) ∈ R 2 , kan vi argumentera som i fallet d < 0 med ω =
x + y √ d, där (x, y √ d) ∈ ((s, t) + U) ∩ Γd och s + t √ d = ab −1 , eftersom
uppfyller
N(ab −1 − ω) = ˆ N((s, t) − (x, y))
−1 < N(ab −1 − ω) < 1.
Vi tittar först p˚a d ≡ 2, 3 mod (4). Eftersom U ⊃ (−1, 1) 2 , ligger i
varje mängd (s, t) + U en gitterpunkt, om
√ d < 2,
s˚aledes är d = 2, 3 tänkbara. Till sist i fallet d ≡ 1 mod (4) g˚ar det
redan bra med √ d < 4,
s˚adant att vi f˚ar de tv˚a värdena d = 5, 13 till.
Det är inte förv˚anande att det finns fler d > 0, för vilka ν = |N| gör Ad
till en euklidisk ring, medan för d < 0 vi har hittat alla s˚adana d. I själva
verket vet man följande:
62

Theorem 11.11. Ringen Ad är ett principalidealomr˚ade omm den är faktoriell.
Den är
1. euklidisk med ν = |N| precis för
d = −11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73.
2. ett principalidealomr˚ade precis för följande d < 0, nämligen
d = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163.
3. Och s˚a finns det fler d > 0, för vilka Ad är ett principalidealomr˚ade.
Men man vet inte om det är oändligt m˚anga!
Vi avslutar avsnittet med att bestämma primelementen i ringen
av alla Gaußiska heltal.
A−1 = Z + Zi
Theorem 11.12. De irreducibla Gaußiska heltalen är s˚a när som p˚a associering,
dvs. multiplikation med ±1, ±i, följande
1. 1 + i,
2. för varje primtal p = 4k + 1 tv˚a konjugerade primelement π = a + bi, π
med a 2 + b 2 = p och 0 < b < a,
3. vanliga primtal p = 4k + 3.
De angivna primelementen är parvis icke-associerade. Med andra ord raden
av primelementen börjar s˚a här
1 + i, 3, 2 + i, 2 − i, 7, 11, 3 + 2i, 3 − 2i, 4 + i, 4 − i, 19, 23, 5 + 4i, 5 − 4i, 31, .........
Bevis. Gaußiska heltal c ∈ A−1, vars norm N(c) är ett primtal, är irreducibla,
eftersom normen är multiplikativ och bara enheter har norm 1. Det finns inga
Gaußiska heltal av norm p = 4k+3: Om s˚a vore fallet, skulle vi ha p = a 2 +b 2 ,
där vi f˚ar anta 0 < a, b < p. Men d˚a hade vi
0 = a 2 + b 2 ∈ Zp,
63

där b˚ade a = 0 = b och −1 ∈ Zp vore en kvadrat, motsägelse. ˚A andra sidan,
om p = 4k + 1, tittar vi p˚a ringhomomorfimsen
där j ∈ Zp uppfyller j 2 = −1. Vi har
ϕ : Z[i] −→ Zp, x + yi ↦→ x + yj,
ker(ϕ) = Z[i]β Z[i]p
med n˚agot Gaußiskt heltal β. Om ker(ϕ) = Z[i]p, hade nämligen elementen
ϕ(k + ℓi); 0 ≤ k, ℓ < p, varit parvis olika! Sedan gäller
med en icke-enhet α ∈ Z[i] och
p = αβ
p 2 = N(α)N(β)
med N(α) = p = N(β). S˚aledes β = a + bi, α = β, och eftersom vi f˚ar
multiplicera med fjärde enhetsrötter kan vi anta |b| < a. Till sist m˚aste vi
visa att varje Gaußiskt heltal är en produkt av de angivna talen: För z ∈ Z[i]
är zz = N(z) ∈ N en produkt av vanliga primtal och s˚aledes ocks˚a av v˚ara
Gaußiska primelement. Varje av dessa faktorer delar antingen z eller z och
s˚a kan vi successivt fördela faktorerna p˚a z och z.
Remark 11.13. N˚agra praktiska tips för Gaußisk primfaktorisering: L˚at
z = x + iy ∈ A−1. Först kan man skriva
z = sgd(x, y)z0,
faktorisera sgd(x, y) ∈ N p˚a det vanliga sättet och efter˚at skriva primdelarna
p ≡ 1 mod (4) som p = ππ och 2 = −i(1 + i) 2 . —
F.o.m. nu ska vi anta sgd(x, y) = 1. I s˚a fall vet vi
zz = |z| 2 = 2 ℓ
med primtal pν ≡ 1 mod (4). Det följer pga. sgd(x, y) = 1 att
z = e(1 + i) ℓ
r
ν=1
r
ν=1
p kν
ν
ϱ kν
ν ,
där e ∈ {±1, ±i} och, beroende p˚a ν, vi har ϱν = πν eller ϱν = πν.
64

Example 11.14. Vi primfaktoriserar a = 201+43i ∈ A−1. Vi har sgd(201, 43) =
1 och
aa = |a| 2 = 42250 = 2 · 5 3 · 13 2 .
S˚aledes
a = e · (1 + i)(ϱ1) 3 (ϱ2) 2 ,
där ϱ1 ∈ {2 ± i} och ϱ2 ∈ {3 ± 2i}. Vi börjar faktoriseringen med
a = (1 + i)(122 − 79i).
Prövning ger att 122 − 79i är delbart med 3 + 2i och s˚a kommer vi fram till
faktoriseringen
a = −(1 + i)(2 + 11i)(3 + 2i) 2 .
Vi undersöker om 2 + 11i är delbart med (2 + i) och f˚ar ett positivt resultat;
faktoriseringen blir d˚a
12 Faktorringar
a = −(1 + i)(2 + i) 3 (3 + 2i) 2 .
Till sist kommer vi fram till ett slags sensmoral: För att skapa enkla utvidgningar
till en given kropp K har vi använt oss av en K-algebra S som ett
slags universum, plockat fram ett element a ∈ S och studerat delringen
best˚aende av alla polynom
K[a] ⊂ S
g(a) =
n
cνa ν
i a med koefficienter c0, ..., cn ∈ K. Skillnaden till själva polynomringen
ν=0
K[X]
är att det kan finnas ”relationer”, dvs. g(a) = 0 kan gälla utan att vi har
0 = g ∈ K[X]. Jämförelsen av K[a] och K[X] görs med hjälp av substitutionshomomorfismen,
den lägre homomorfismen i diagrammet
K ↩→ S
∩ ∩
K[X] ↠ K[a]
n
ν=0 cνX ν =: g ↦−→ g(a) := n
ν=0 cνa ν .
65

I allmänhet är den inte injektiv, dvs. g(a) = 0 innebär inte g = 0. I s˚a
fall är dess kärna ett principalideal, som genereras av minimalpolynomet
pa ∈ K[X], dvs. vi har
g(a) = 0 ⇐⇒ pa|g.
Med andra ord: Allting är ”kodat” i polynomet pa. En naturlig fr˚aga är d˚a:
Vilka normerade polynom f ∈ K[X] kan erh˚allas som minimalpolynom pa
av n˚agot element a ∈ S i n˚agon lämplig K-algebra S? Svaret är: Alla!
Remark 12.1. 1. Fallet S = C: För varje irreducibelt normerat polynom
f ∈ Q[X] finns det ett komplext tal a ∈ C med pa = f. Algebrans
fundamentalsats Th. 13.3 ger ju ett nollställe a ∈ C till f, och pa = f
gäller, eftersom f är irreducibelt och normerat.
2. Fallet S = K n,n : För varje polynom
f = X n n−1
+ aνX ν ∈ K[X]
ν=0
finns en matris A ∈ Kn,n med pA = f. Ta
⎛
0
⎜ 1
⎜
A := ⎜ 0
⎜
⎝ .
0
0
1
0
0
0
. . .
. . .
. . .
0
0
0
−a0
−a1
−a2
.
⎞
⎟ .
⎟
⎠
0 0 . . . 0 1 −an−1
Sedan har vi
och
samt
Aeν = eν+1, ν < n, samt Aen = −
f(A)e1 = A n n−1
e1 + aνA ν e1 = −
ν=0
n
ν=1
aν−1eν.
n n−1
aν−1eν + aνeν+1 = 0
ν=1
ν=0
f(A)eµ = f(A)A µ−1 e1 = A µ−1 f(A)e1 = 0
66

för µ ≥ 2. S˚aledes f(A) = 0. Anta nu g(A) = 0 för ett polynom g
med deg g < n. I synnerhet g(A)e1 = 0, men det innebär, eftersom
vektorerna A ν e1 = eν+1, ν = 0, ..., n − 1, är linjärt oberoende, att vi
redan har g = 0.
Men vi är inte än nöjda: Eftersom
K[a] ∼ = K[b]
för a ∈ S ⊃ K och b ∈ T ⊃ K ifall pa = pb, kan vi säga:
Remark 12.2. För varje polynom f ∈ K[X] finns det en s˚a när som p˚a
isomorfi entydig utvidgningsring K[a] ⊃ K med pa = f.
Sedan börjar man fr˚aga sig, vad den ”stora ringen” S ⊃ K egentligen
tjänar till - svaret är att dess ringoperationer inducerar ringstrukturen i K[a].
Men den kan ocks˚a rekonstrueras utifr˚an K[X] och polynomet f ∈ K[X], ja,
faktiskt kan vi strunta i den ”omgivande ringen” S och skapa K[a] med hjälp
av en formell konstruktion: Kvotringen R/a av polynomringen R := K[X]
modulo idealet a := (f) := K[X]f.
S˚a här ser den ut:
Definition 12.3. L˚at R vara en kommutativ ring och a ⊂ R ett ideal.
1. En restklass mod a är en mängd
2. Mängden
x + a := {x + a; a ∈ a}.
R/a := {x + a; x ∈ R}
av alla restklasser mod idealet a utrustas med tv˚a operationer
(a) additionen
R/a × R/a −→ R/a
(x + a, y + a) ↦→ (x + a) + (y + a) = (x + y) + a,
som är den elementvisa summan av de tv˚a restklasserna x + a och
y + a, och
67

(b) multiplikationen
R/a × R/a −→ R/a
(x + a, y + a) ↦→ (x + a)(y + a) + a = xy + a,
som är den ”p˚afyllda” elementvisa produkten av de tv˚a restklasserna
x + a och y + a,
Remark 12.4. Restklasserna x + a är ekvivalensklasserna till ekvivalensrelationen
x ∼ y :⇐⇒ y − x ∈ a
p˚a R. I synnerhet gäller
x + a = y + a eller (x + a) ∩ (y + a) = ∅.
Example 12.5. Restklassringarna Zn är kvotringar:
med idealet (n) := Zn.
Zn = Z/(n)
Och s˚a visar följande proposition hur det fungerar med v˚art programm
att formalisera algebran:
Proposition 12.6. Om ϕ : R −→ S är en surjektiv ringhomomorfism och
a := ker(ϕ), s˚a är
R/a −→ S, x + a ↦→ ϕ(x),
en ringisomorfism:
S ∼ = R/a.
I synnerhet, om a ∈ S ⊃ K kommuterar med elementen i K, gäller
med idealet ma = (pa).
Proof. Övning.
K[a] ∼ = K[X]/(pa)
Example 12.7. Vi använder notationen (a) := Ra.
68

1. För en icke-kvadrat d ∈ K gäller
2. R[X]/(X 2 + 1) ∼ = C = R[i].
3. För p ≡ 3 mod (4) f˚ar vi
4. Och fallet p = 2 leder till:
5. För d ≡ 2, 3 mod (4) har vi:
K[X]/(X 2 − d) ∼ = K
√
d .
Zp[X]/(X 2 + 1) ∼ = F p 2.
Z2[X]/(X 2 + X + 1) ∼ = F4.
Ad ∼ = Z[X]/(X 2 − d).
Homomorfismen Z[X] −→ Ad, X ↦→ √ d, är surjektiv och har kärnan
(X 2 − d): Om f(A) = 0 skriv f = q · (X 2 − d) + r med ett linjärt
polynom r ∈ Z[X], dvs. deg(r) ≤ 1. Men för ett s˚adant polynom
gäller r( √ d) = 0 =⇒ r = 0.
6. För d ≡ 1 mod (4) har vi:
Ad ∼
= Z[X] X 2 − X +
1 − d
4
med samma resonemang som i föreg˚aende punkt med homomorfismen
Z[X] −→ Ad, X ↦→ 1
2 (1 + √ d).
7. Om f ∈ K[X] är ett irreducibelt polynom, s˚a är L := K[X]/(f) en
kroppsutvidgning L ⊃ K och a := X ett nollställe till f.
Alla ovanst˚aende exempel av faktorringar är kroppar K[X]/(f) med ett
irreducibelt polynom f ∈ K[X]. Men vad händer annars? Vi ger svaret i
nästa sats, som formuleras för principalidealomr˚aden:
Theorem 12.8. L˚at R vara ett principalidealomr˚ade.
69

1. För ett primelement p ∈ R och n ∈ N>0 är faktorringen R/(p n ) en lokal
ring, dvs. icke-enheterna utgör det entydiga maximala icke-triviala idealet
m := (p) ⊂ R/(p n ),
där p = p + (p n ). Dess element är de nilpotenta elementen i R/(p n ).
2. För ett primelement p ∈ R är faktorringen R/(p) en kropp.
3. Om a = ep n1
1 · ... · pnr r med parvis icke associearade primelement pi, i =
1, ..., r, och T := R/(a), Ti := R/(p ni
i ), s˚a är
ψ : T ∼ =
−→ T1 × ..... × Tr, x + (a) ↦−→ (x + (p n1
1 ), ..., x + (p nr
r ))
en ringisomorfism.
Example 12.9. Matrisen
har minimalpolynom
A :=
1 0
0 −1
∈ K 2,2
pA = X 2 − 1 = (X − 1)(X + 1).
För char(K) = 2 är faktorerna icke-associerade och s˚aledes
K[X]/(X 2 − 1) ∼ = K[X]/(X − 1) × K[X]/(X + 1)
∼ = K[1] × K[−1] = K × K.
Proof. 1. Om x + (p n ) ∈ m, betyder det att p |x. Men d˚a har x och
p n inte gemensamma delare och Rx + Rp n = R, eftersom R är ett
principalidealomr˚ade. Välj c, d ∈ R med cx+dp n = 1, sedan är c+(p n )
inverst till x + (p n ).
2. följer fr˚an 1) med n = 1.
3. Injektivitet: Om ψ(x+(a)) = 0, s˚a gäller p ni
i |x för i = 1, ..., r. Eftersom
p1, ..., pr är parvis icke-associerade primelement, innebär detta a|x.
Surjektivitet: Vi visar att enhetsvektorerna ei ∈ T1 × ... × Tr ligger i
ψ(T ). Eftersom R är ett principalidealomr˚ade, gäller
med qi := p n1
1 · ... · p ni−1
i−1
Rp n1
i + Rqi = R
· pni+1
i+1
cpi + dqi = 1, f˚ar vi ψ(dqi + (a)) = ei.
· ..... · pnr
r . Om nu c, d ∈ R uppfyller
70

13 Fr˚an N till C
”Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.”
Det välkända citatet härstammar fr˚an den tyske matematikern Leopold
Kronecker. Men vad har människorna egentligen gjort? Hade historien varit
systematisk, kunde det ha varit s˚a här:
Man började göra skulder och skrev sina tillg˚angar och skulder som talpar
(n, s) ∈ N 2 och använde sig av en ”additiv lokalisering” för att kunna räkna
med dem: P˚a mängden N 2 definierar man en ekvivalensrelation
(m, r) ∼ (n, s) :⇐⇒ m + s = n + r.
Den är kompatibel med den komponentvisa additionen och följande multiplikation
(m, r) · (n, s) := (mn + rs, ms + rn),
s˚a den inducerar en addition och en multiplikation p˚a mängden av dess
ekvivalensklasser
Z := N/ ∼ .
I själva verket kan den uppfattas som en utvidgning
Z ⊃ N
genom att identifiera n ∈ N med ekvivalensklassen till (n, 0) ∈ N 2 .
Sedan upptäckte man, att ibland kunde det vara bra med lite socialt
tänkande och började dela och kom fram till rationella tal
Q := Q(Z) ⊃ Z.
Till sist var de gamla grekerna inte längre nöjda med bara rationella tal,
eftersom diagonalen till en kvadrat av sidolängd 1 inte riktigt gick att tolka
som ett rationellt tal. Som ofta i matematiken för att lösa ett problem, varför
inte helt enkelt hitta p˚a det man saknar? Dvs. i det här fallet skulle det bli
nya ”geometriska tal”: Man kan ju tänka sig de rationella talen som vissa
punkter p˚a en horisontell linje efter att ha bestämt sig för var 0, 1 ∈ Q skulle
ligga. ”Reella tal” skulle sedan motsvara precis punkterna p˚a denna linje
och s˚a kommer vi fram till en tredje utvidgning
R ⊂ Q.
71

Men en obehaglig känsla blir man inte av med: Vad är en punkt p˚a en
linje över huvud taget? Man behöver en formell definition motsvarande geometriska
intuitionen. Följande iakttagelse ligger till grund för den:
Varje punkt x ∈ R kan tillordnas delmängden
Q x.
Vi betecknar
mängden av alla dessa reella tal.
R ⊂ P(Q)
Remark 13.2. 1. Ett par (A, B), där A är ett reellt tal i ovanst˚aende
bemärkelse och B := Q \ A kallas ocks˚a ett Dedekindsnitt.
2. Rationella tal är reella tal: Vi har en injektiv avbildning
Q ↩→ R, x ↦→ Q

medan mulitiplikationen definieras först för positiva rella tal:
med den elementvisa produkten
α · β := α + β + ∪ Q≤0
α + β + = {xy; x ∈ α + , y ∈ β + }
av mängderna α + = α ∩ Q>0, β + = β ∩ Q>0. Till sist utvidgar man multiplikationen
R>0 × R>0 −→ R
till alla reella tal
R × R −→ R
p˚a det sedvanliga sättet.
Fullständighet: Lägsta övre gränsen (supremum) till en icke-tom begränsad
mängd M ⊂ R är
sup M :=
α.
S˚a det blev ganska enkelt! Om man däremot hade försökt definiera allt det
där med hjälp av decimalutvecklingen, hade det blivit en massa kr˚angel, inte
minst pga. icke-entydigheten fast den ju egentligen verkar förh˚allandevis
harmlös.
Problemet med längden av en kvadrats diagonal är nu löst: Fullständigheten
ger existensen av kvadratrötter för x ∈ R≥0, nämligen:
√ x := sup{y ∈ R; y 2 ≤ x}.
Men negativa tal orsakar fortfarande problem. S˚a uppfanns det för bekvämlighetens
skull imaginära enheten i som ett ”symboliskt tal som uppfyller
i 2 = −1” samt komplexa tal som kombinationer av reella tal med imaginära
enheten:
R + Ri = C ⊃ R.
α∈M
I modernt spr˚ak använde man sig allts˚a av definitionen
C := R[X]/(X 2 + 1)
med i := X utan att veta det. En liten elementär räkning visar nu att
varje komplext tal har en kvadratrot, dvs. man är inte längre tvungen att
73

”skapa” allt fler kvadratrötter. Och om man kommer p˚a idén att använda
polärkoordinater, s˚a ser man att det även finns n-te rötter till ett givet komplext
tal. Men situationen är ännu bättre än s˚a:
Theorem 13.3 (Algebrans fundamentalsats). Varje icke-konstant polynom
f ∈ C[X] har ett komplext nollställe.
Bevis: Beviset är ett existensbevis, det är inte konstruktivt. Det görs i tv˚a
steg:
1. Funktionen f : C −→ C har ett ninimalställe z0 ∈ C, dvs. s˚adant att
gäller för alla z ∈ C.
|f(z)| ≥ |f(z0)|
2. Minimalställen för en polynomfunktion är redan nollställen. I själva
verket visar man motsatsen: En punkt z0 ∈ C med f(z0) = 0 är aldrig
ett minimalställe för f: Nära till z0 finns alltid punkter z med
|f(z)| < |f(z0)|.
Detta är uppenbarligen fel för kroppen R i stället för C; den avgörande
egenskapen av C är att för varje n ∈ N och z ∈ C finns det en n-te rot
i C.
1.) Existens av minimalställen: Välj en följd (zµ)µ∈N ⊂ C av komplexa
tal med
lim
µ→∞ |f(zµ)| = inf {|f(z)|; z ∈ C} .
Vi visar att följden har en hopningspunkt z0 – det eftertraktade minimalstället.
Vi f˚ar anta att polynomet f är normerat, dvs.
f(z) = z n n−1
+ aνz ν .
ν=0
För |z| ≫ 0 är zn den dominerande termen: Skriv
f(z) = z n
1 +
n−1
aν
ν=0
zn−ν 74
= z n K(z).

Klammeruttrycket K(z) uppfyller
lim K(z) = 1,
z→∞
eftersom varje term i summan g˚ar mot 0 för z → ∞. S˚aledes
lim f(z) = lim
z→∞ z→∞ zn = ∞.
Men det innebär att följden (zµ)µ∈N är begränsad, och begränsade följder,
säger Bolzano och Weierstraß, har alltid hopningspunkter.
2.) Ett icke-nollställe z0 är aldrig ett minimalställe: Vi f˚ar anta z0 = 0
- om inte det är fallet ersätt f(z) med f(z + z0). Vi skriver
med a0, am = 0 och
för n > m, medan
för n = m. Ta b ∈ C med
f(z) = a0 + amz m + z m+1 g(z)
g(z) = anz n−m−1 +
g(z) ≡ 0
n−1
ν=m+1
b m = − a0
.
am
och undersök funktionen f(z) p˚a halvstr˚alen
Det blir s˚a här:
med
R≥0 · b = {tb, t ≥ 0}.
aνz ν−m−1
f(tb) = a0(1 − t m + t m+1 h(t))
h(t) := bm+1
g(tb).
Eftersom ju f(0) = a0 = 0, räcker det att visa
a0
|1 − t m + t m+1 h(t)| < 1
75

för tillräckligt litet t > 0. Med
M := max
0≤t≤1 |h(t)|
och triangelolikheten f˚ar vi uppskattningen:
|1 − t m + t m+1 h(t)| ≤ |1 − t m | + t m+1 M
= 1 − t m + t m+1 M = 1 − t m (1 − tM) < 1,
om 0 < t < min(1, 1
M ). Ty för 0 ≤ t ≤ 1 har vi ju |1 − tm | = 1 − tm och för
blir det 1 − tM > 0.
t < 1
M
Kroppar som uppfyller algebrans fundamentalsats f˚ar ett eget adjektiv:
Definition 13.4. En kropp K kallas algebraiskt sluten om varje polynom
f ∈ K[X] är en produkt av linjära polynom:
med λ, b1, ..., bn ∈ K.
f = λ
n
(X − bν)
ν=1
Corollary 13.5. Kroppen C är algebraiskt sluten.
Proof. Induktion följande n = deg(f). För n = 1 är saken klar. För n > 1 ger
oss Algebrans fundamentalsats Th. 13.3 ett nollställe a ∈ C, vi faktoriserar
f = (X − a)g och använder induktionshypotesen p˚a polynomet g.
14 p-adiska talkroppar
Analogt till utvidgningen
finns det en rad kroppsutvidgningar
R ⊃ Q
Qp ⊃ Q,
där p ∈ N är ett primtal. Elementen i Qp kallas för p-adiska tal: S˚asom
reella tal kan de uppfattas som gränsvärden av rationella tal, men det är ett
76

nytt konvergensbegrepp som ing˚ar. Innan vi diskuterar definitionen av Qp,
förklarar vi egenskaperna.
Kroppen Qp är utrustad med ett absolutbelopp:
dvs. en funktion som uppfyller
1. |x| = 0 ⇐⇒ x = 0,
|..| : Qp −→ R≥0,
2. triangelolikheten |x + y| ≤ |x| + |y|, jo, det gäller t.o.m. den ”skarpa
triangelolikheten”
|x + y| ≤ max(|x|, |y|),
man säger att det p-adiska absolutbeloppet är icke-arkimediskt eller
ultrametriskt
3. och beloppet är multiplikativt: |xy| = |x| · |y|.
Ytterligare har vi:
1. För x = a
b pn ∈ Q ⊂ Qp med a, b ∈ Z inte delbara med p gäller
|x| = p −n ,
i synnerhet |x| ≤ 1 för alla heltal x ∈ Z och |p| < 1,
2. delkroppen Q ligger tätt i Qp: Varje p-adiskt tal x ∈ Qp är gränsvärde
av en följd (xn)n∈N ⊂ Q av rationella tal, dvs. limn→∞ |xn − x| = 0,
3. och Qp är fullständig m.a.p. det p-adiska absolutbeloppet: Varje Cauchyföljd
är konvergent.
Remark 14.1. 1. De ovanst˚aende tre punkterna karakteriserar Qp redan
fullständigt som komplettering av Q m.a.p. det p˚a Q inskränkta padiska
absolutbeloppet, men vi ska ge nedan en annan helt algebraisk
definition.
2. En intressant fr˚aga är, om det utöver R och Qp finns fler kroppar som
är kompletteringen av Q m.a.p. en absolutbeloppsfunktion |..| : Q −→
R≥0. Svaret är nej och ges i Ostrowski’s sats: Alla absolutbeloppsfunktioner
p˚a Q ser s˚a här ut:
77

(a) x ↦→ |x| α , där |x| är det vanliga absolutbeloppet och α ∈ R,
0 < α ≤ 1,
(b) x ↦→ |x| α , där |x| är ett p-adiskt absolutbelopp för n˚agot primtal
p och α ∈ R, α > 0.
Det finns dramatiska skillnader mellan R och Qp. Vi nämner bara:
1. Heltalen Z ⊂ Qp utgör inte en diskret delmängd (dvs. en mängd utan
hopningspunkter) s˚asom Z ⊂ R, man har ju
lim
n→∞ pn = 0 .
2. Ordningsrelationen p˚a Q g˚ar inte att utvidga till Qp, t.ex. kan ett
negativt rationellt tal vara gränsvärdet av positiva tal:
1
1 − p =
∞
p n .
3. Eftersom det p-adiska absolutbeloppet är icke-arkimediskt, utgör enhetsbollen
Z(p) := {x ∈ Qp; |x| ≤ 1} ⊃ Z
n=0
en ring, vars element kallas för p-adiska heltal.
4. Vi har ett diagramm
Z(p) ↩→ Qp = Q(Z(p))
∪ ∪
Z ↩→ Q = Q(Z)
där de vertikala inklusionerna är täta, och
Z(p) ∩ Q = S(p) −1 Z
med den multiplikativa mängden S(p) ⊂ Z av alla heltal inte delbara
med p.
78
,

5. Enhetsbollen Z(p) ⊂ Qp är en öppen och sluten delmängd: Idealet
m := {x ∈ Z(p); |x| < 1}
är uppenbarligen en öppen delmängd och Z(p) den disjunkta unionen
av dess restklasser (som igen är öppna mängder som translationer av
m). I själva verket gäller
Z(p)/m ∼ = Zp.
Det inses p˚a det vanliga sättet: Homomorfismen
Z ↩→ Z(p) ↠ Z(p)/m
är surjektiv eftersom Z ⊂ Z(p) ligger tätt och har kärnan (p) = Zp.
L˚at oss nu komma till konstruktionen av p-adiska talkroppen. Vi börjar
med dess heltal:
Definition 14.2. L˚at p vara ett primtal. Ett p-adiskt heltal är en följd (eller
en familj) av restklasser
a = (aν)ν∈N ∈
∞
Zpν+1, s˚adant att den omedelbara efterträdaren aν+1 ∈ Z p ν+2 till aν ∈ Z p ν+1 ”ligger
ovanför” aν, i.e. den naturliga ringhomomorfismen
uppfyller
för alla ν ∈ N. Vi betecknar
ν=0
Z p ν+2 −→ Z p ν+1, c + Zp ν+2 ↦→ c + Zp ν+1 ,
Z p ν+2 ∋ aν+1 ↦→ aν ∈ Z p ν+1
Z(p) ⊂
∞
Zpν+1 ν=0
mängden av alla p-adiska heltal och utrustar den med den komponentvisa
additionen och multiplikationen.
79

Remark 14.3. Vi vill definiera ett absolutbelopp:
och börjar med en ”valuering”
Nämligen, för a := (aν)ν∈N l˚at
D˚a gäller:
1. v(a + b) ≥ min(v(a), v(b))
2. v(ab) = v(a) + v(b)
3. v(a) = ∞ ⇐⇒ a = 0.
| | : Z(p) −→ R≥0
v : Z(p) −→ N ∪ {∞}.
v(a) := min{ν ∈ N; aν = 0}.
Absolutbeloppet av ett p-adiskt heltal blir sedan
|a| := p −v(a) ,
varvid p −∞ := 0. Här är valet av ”basen” p bara tradition - man kunde ha
tagit vilket som helst reellt tal > 1. Valueringens egenskaper översätts nu
till
1. |a + b| ≤ max(|a|, |b|)
2. |ab| = |a| · |b|
3. |a| = 0 ⇐⇒ a = 0.
Proposition 14.4. 1. Enhetsgruppen av ringen av alla p-adiska heltal är
Z ∗ (p) = {a = (aν)ν≥0; a0 = 0} = {a; |a| = 1},
sferen med radien 1, en öppen och sluten delmängd.
2. Varje a = (aν) ∈ Z(p) \ {0} är en produkt
a = p v(a) e, e ∈ Z ∗ p.
80

3. Z(p) är ett principalidealomr˚ade med (p n ), n ∈ N, som de icke-triviala
idealen och p det enda (s˚a när som p˚a associering) primelementet.
Proof. Första delen inses direkt. Sferen med radien 1 är inte bara sluten,
utan ocks˚a öppen, eftersom den är unionen av de icke-triviala restklasserna
mod idealet m ⊂ Z(p). L˚at n := v(a), s˚adant att aν = 0 for ν < n och an = 0.
Sedan har vi om aν = kν + Zp ν+1 , att kn+ν = p n ℓν för ν ≥ 0, och kan ta
e = (ℓn+ν + Zp ν+1 )ν∈N. Den tredje punkten följer nu med det samma.
Definition 14.5. Kroppen
kallas för p-adiska talkroppen.
Qp := Q(Z(p)) = p −N Z(p)
Remark 14.6. 1. Varje p-adiskt tal x ∈ Q ∗ p skrivs entydigt p˚a formen
med n ∈ Z, e ∈ Z∗ (p) ; i synnerhet
x = ep n
|x| = p −n .
2. Den punkterade p-adiska talkroppen Q ∗ p = Qp \ {0} är den disjunkta
unionen av sfererna med radie p −n , n ∈ Z, dvs.
Q ∗ p =
∞
n=−∞
p n Z ∗ (p).
3. Medan ett reellt tal x ∈ R kan utvecklas m.a.p. varje bas > 1, i
synnerhet m.a.p. primtalet p, nämligen
x = ±
∞
ν=−n
bνp −ν ,
där ”siffrorna” bν ∈ N uppfyller 0 ≤ bν < p, har ett p-adiskt tal
x = ep n ∈ Qp en utveckling
x =
81
∞
ν=−n
bνp ν

˚at det motsatta h˚allet, där ”siffrorna” bν ∈ N, 0 ≤ bν < p, även är
entydiga! Vi har |x| = p n , om b−n = 0, det ger entydigheten. För
existensen f˚ar vi anta |x| = 1, i.e. x = a = (aν)ν∈N, a0 = 0. Varje
aν = cν + (p ν+1 ) har en entydig representant cν, 0 ≤ cν < p ν+1 , och
detta tal har i sin tur en entydig p-adisk utveckling
cν =
ν
µ=0
bν,µp µ ,
där bν,µ för µ ≤ ν är oberoende av ν pga. p ν+1 |(cν − cν+1). S˚aledes
x = ∞
µ=0 bµp µ , där bµ := bν,µ, µ ≤ ν.
Den konstruktion vi har skapat ringen Z(p) med kallas ocks˚a för invers eller
projektiv limes av restklassringarna Zpn. Men det finns ocks˚a en konstruktion
som faktorring av ringen Z[[X]] av alla formella potensserier med heltalskoefficienter,
som bygger p˚a p-adiska utvecklingen av ett p-adiskt heltal. Det
g˚ar till s˚a här:
Potensserier i algebran: L˚at R vara en kommutativ ring. Vi p˚aminner om
hur vi har definierat polynom i början, nämligen som följder (a0, ......, an, 0, .........)
i ringen R, som blir stationära ≡ 0 efter en liten stund. Men detta villkor
behövs egentligen inte alls för att definiera addition och multiplikation: Vi
definierar
R[[X]] := R N
som mängden av alla följder i R; additionen är elementvis och multiplikation
som för polynom. Vi f˚ar en ring
R[[X]] ⊃ R[X],
som omfattar polynomringen. För att kunna försvara uttryck som
∞
aνX ν ,
ν=0
behöver vi ocks˚a oändliga summor:
Definition 14.7. En familj av följder
fµ := (a µ
0, a µ
1, a µ
2, ........) ∈ R N , µ ∈ N
82

kallas summerbar om för varje ν ∈ N vi har
a µ ν = 0
för bara ändligt m˚anga µ ∈ N. Sedan definieras
µ=0
∞
a µ ν :=
µ=0
µ=0
µ=0
µ∈N,a µ ν =0
och en summerbar familjs summa som
∞
∞
fµ := a µ
∞
0, a µ
∞
1, a µ
2, ........
Example 14.8. Given
µ=0
a µ ν
f = (a0, a1, a2, .....) ∈ R N
∈ R N .
tar vi nu fµ = aµX µ och har skaffat oss friheten att skriva
f = (a0, a1, a2, ......) =
∞
aµX µ
och kallar det hela en formell potensserie med koefficienter i ringen R.
Gradfunktionen deg : R[X] −→ N ∪ {−∞} kan säkerligen inte utvidgas;
i stället kan vi definiera ”undergraden” eller ”nollställeordningen i origo”:
Definition 14.9. Undergradsfunktionen
definieras genom
ω(f) :=
µ=0
ω : R[[X]] −→ N ∪ {∞}
n , if f = ∞
ν=n aνX ν , an = 0
∞ , if f = 0
83
.

Remark 14.10. 1. Man har
samt
ω(f + g) ≥ min(ω(f), ω(g)) , ω(fg) ≥ ω(f) + ω(g)
om R är ett inegritetsomr˚ade.
ω(fg) = ω(f) + ω(g)
2. Ringen R[[X]] av alla formella potensserier över ett integritetsomr˚ade
är igen ett integritetsomr˚ade.
3. En familj fµ, µ ∈ N, är summerbar omm limµ→∞ ω(fµ) = ∞.
4. Om ω(f) > 0, s˚a är familjen f µ , µ ∈ N, summerbar.
5. Formella potensserier f ∈ R[[X]] kan evalueras vid origo (men inte
n˚agon annanstans!): Det finns en ringhomomorfism
Proposition 14.11.
R[[X]] −→ R, f =
∞
aνX ν ↦→ f(0) := a0.
ν=0
R[[X]] ∗ = {f ∈ R[[X]]; f(0) ∈ R ∗ }.
Proof. Villkoret är nödvändigt pga. fg = 1 =⇒ f(0)g(0) = 1. Om nu
f(0) ∈ R ∗ kan vi lika bra anta f(0) = 1 och sedan skriva f = 1 − g med
g ∈ R[[X]], ω(g) > 0. Sedan är
invers till f.
f −1 :=
∞
g µ
ν=0
Proposition 14.12. Det finns en isomorfism
Z(p) ∼ = Z[[X]]/(X − p).
84

Proof. Beviset är som i fall av polynom: Eftersom Z ⊂ Qp är en begränsad
mängd och Qp ett fullständigt metriskt rum (dvs. Cauchyföljder konvergerar),
kan formella potensserier f = ∞ ν=0 cνX ν ∈ Z[[X]] utvärderas vid
p-adiska tal x ∈ Qp, |x| < 1, s˚a här:
f(x) := lim
n→∞
n
ν=0
cνx ν ∈ Z(p).
Sedan inducerar den surjektiva substitutionshomomorfismen
den ovanst˚aende ringisomorfismen.
Z[[X]] −→ Z(p), f ↦→ f(p),
T r e v l i g S o m m a r !
85