Ringar och Kroppar: Grundvalarna

Definition 2.1. För heltal a, b ∈ Z inte samtidigt = 0 definieras deras största
gemensamma delare genom
sgd(a, b) := max{q ∈ N>0; q|a, q|b}.
Följande egenskap av den största gemensamma delaren är avgörande för
heltalsaritmetiken:
Theorem 2.2. Den största gemensamma delaren av heltal a, b ∈ Z med ab =
0 kan skrivas som en linjärkombination i a och b med heltalskoefficienter, dvs.
sgd(a, b) = ra + sb
med lämpliga heltal r, s ∈ Z. I synnerhet gäller
q|a, q|b =⇒ q|sgd(a, b).
Den viktigaste följdsatsen till v˚art teorem är väl:
Corollary 2.3. För ett primtal p ∈ N>0 gäller
p|ab =⇒ p|a ∨ p|b.
Proof. Vi antar att p inte delar a och visar p|b. Eftersom primtalet p bara
har p och 1 som positiva delare, har vi
1 = sgd(p, a) = rp + sa
med lämpliga heltal r, s ∈ Z. Men sedan är
delbart med p.
b = brp + s(ab)
För att visa Th. 2.2 tittar vi p˚a mängden
Za + Zb := {ka + ℓb; k, ℓ ∈ Z}
av alla linjärkombinationer med heltalskoefficienter i a och b. Den utgör ett
”ideal”:
Definition 2.4. En icke-tom delmängd a ⊂ Z kallas ett
4