Ringar och Kroppar: Grundvalarna

Vi letar efter fler konkreta exempel av ändliga kroppar och fr˚agar för vilka
primtal p vi kan ta K = Zp, d = −1. Metoden är av mer allmänt intresse, s˚a
det blir avbrott nu och vi först gör en liten sväng:
Vi börjar med n˚agra funderingar om ändliga delgrupper
G ⊂ R ∗
till enhetsgruppen R ∗ . Enligt Lagrange’s sats Th.4.19 vet vi att
a |G| = 1
gäller för alla a ∈ G. Vi visar nu en partiell omvändning:
Proposition 8.4. L˚at G ⊂ R ∗ vara en ändlig delgrupp till enhetsgruppen
R ∗ av ett integritetsomr˚ade R. Om a ℓ = 1 gäller för alla a ∈ G, s˚a gäller
dvs. ℓ är en heltalsmultipel till |G|.
ℓ ∈ Z · |G|,
Proof. Exponenterna ℓ ∈ Z med a ℓ = 1 för alla a ∈ G utgör ett ideal
s˚aledes
e(G) := ℓ ∈ Z; a ℓ = 1 ∀ a ∈ G ,
e(G) = Zn
med n˚agot n ∈ N. Enligt Lagrange gäller |G| ∈ e(G), dvs. n delar |G|.
Polynomet f = X n − 1 ∈ R[X] försvinner allts˚a p˚a G och har högst n
nollställen, s˚aledes |G| ≤ n och därmed nödvändigtvis n = |G|.
Example 8.5. Villkoret att R är ett integritetsomr˚ade kan inte lämnas bort:
1. För
G = Z ∗ 8 = 1, 3, 5, 7
har vi |G| = 4, men redan a 2 = 1 för alla a ∈ G.
2. L˚at p, q vara tv˚a olika udda primtal. Enhetsgruppen
har d˚a (p − 1)(q − 1) element och
G := Z ∗ pq ∼ = Z ∗ p × Z ∗ q
a ℓ = 1
gäller redan för ℓ = (p − 1)(q − 1)/2, eftersom ℓ är b˚ade delbart med
p − 1 och med q − 1.
36