Ringar och Kroppar: Grundvalarna
Ringar och Kroppar: Grundvalarna
Ringar och Kroppar: Grundvalarna
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
5 Homomorfismer<br />
För att först˚a relationen mellan olika slags ringar behövs det ”ringhomomorfismer”:<br />
Definition 5.1. L˚at R, S vara ringar. En avbildning ϕ : R −→ S kallas en<br />
ringhomomorfism omm<br />
1.<br />
2.<br />
för alla a, b ∈ R,<br />
ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) , ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b)<br />
ϕ(1) = 1 ,<br />
där 1 betecknar ettan i respektive ring R <strong>och</strong> S.<br />
Den kallas en ringisomorfism omm den ytterligare är bijektiv, <strong>och</strong> R är<br />
isomorf med S, skrivet som: R ∼ = S, omm det finns en ring isomorfism<br />
ϕ : R −→ S.<br />
Remark 5.2. 1. För en ringhomomorfism ϕ : R −→ S gäller<br />
ϕ(0) = 0, ϕ(−a) = −ϕ(a)<br />
pga. ϕ(a) = ϕ(a + 0) = ϕ(a) + ϕ(0) <strong>och</strong> 0 = ϕ(0) = ϕ(a + (−a)) =<br />
ϕ(a) + ϕ(−a).<br />
2. Villkoret ϕ(1) = 1 är alltid uppfyllt om ϕ(1) = 0 <strong>och</strong> S är ett integritetsomr˚ade,<br />
eftersom idempotenta element = 1 är nolldelare.<br />
Example 5.3. 1. För varje ring R finns precis en ringhomomorfism<br />
χ : Z −→ R.<br />
Nödvändigtvis har vi<br />
⎧<br />
n×<br />
<br />
⎪⎨ 1 + ...... + 1 , om n > 0<br />
χ(n) = 0<br />
⎪⎩<br />
(−1) + ...... + (−1)<br />
<br />
m×<br />
,<br />
,<br />
om n = 0<br />
om n = −m < 0<br />
20<br />
.
Change language