Ringar och Kroppar: Grundvalarna

More documents

Recommendations

Info

Contents 1 Översikt 3 2 Heltalsaritmetik 3 3 Restklassaritmetik 7 4 Ringar 11 5 Homomorfismer 20 6 Br˚akräkning 25 7 Polynomringen 28 8 Kvadratiska kroppar 35 9 Enkla kroppsutvidgningar 40 10 Faktoriella ringar 51 11 Kvadratiska heltal 55 12 Faktorringar 65 13 Fr˚an N till C 71 14 p-adiska talkroppar 76 2
1 Översikt Följande tv˚a punkter tas som huvudmotivation för v˚art studium av ringteori: 1. fr˚agan om entydig primfaktorisering i olika sammanhang 2. konstruktionen av kroppar. Vi börjar med en kortfattad repris av heltalsaritmetiken, varvid vi redan inför begreppet av ett ideal i heltalsringen. Sedan blir det restklassringarna Zn som är de första ringarna utöver Z, Q, R, C vi bekantar oss med. Därefter är det dags för begreppet ring och homomorfism och allt som tillhör, i synnerhet kinesiska restsatsen och RSA-kryptering. Med kvotkroppen och polynomringen möter vi de första utvidgningsringarna till en given ring (resp. integritetsomr˚ade). Faktorringar till polynomringen införs som homomorfa bilder av polynomringen i en större ring, komplexa talkroppen eller ringen av kvadratiska matriser. Kvadratiska utvidgningar till Q realiseras som delkroppar till C, medan för en godtycklig kropp K adjungeras en 2 × 2-matris. För konkreta exemplens skull undersöker vi en ändlig kropps enhetsgrupp, visar att den är cyklisk, och kan sedan komma fram till ”komplexa tal med Zp-koefficienter”. Slutligen studerar vi generellt strukturen till en enkel utvidgning och ser att polynomringens PID-egenskap är avgörande, visar att en ändlig kropps ordning är en primtalspotens och att det finns bara en kropp med p 2 element. Sambandet mellan PID-egenskapen och entydig primfaktorisering är ämnet i avsnittet därp˚a; ringarna av d-kvadratiska heltal figurerar som intressanta exempel där geometrin som gitter i det komplexa planet spelar en viktig roll. Vi slutar med faktorringar som ett slags sensmoral: Med dem slipper vi de ”omgivande ringarna” C och K n,n . Det finns tv˚a avsnitt till som inte tillhör ordinarie kursen: En kortfattad diskussion av reella tal som Dedekindsnitt samt Argands bevis av Algebrans fundamentalsats, och till sist p-adiska talkroppar som lite exotiska analoga till reella talen, där dessförutom restklassaritmetik visar sig vara av intresse. 2 Heltalsaritmetik Vi börjar med lite repetition: Euklidiska algoritmen tjänar till att hitta största gemensamma delaren till tv˚a heltal. Här diskuterar vi först dess egenskaper och förklarar sedan hur man hittar den i praktiken. 3
Page 1: Ringar och Kroppar: Grundvalarna Ka
Page 5 and 6: 1. ideal om den är sluten b˚ade (
Page 7 and 8: 1. Vi f˚ar anta a ≥ b ≥ 0. 2.
Page 9 and 10: Remark 3.4. I själva verket är de
Page 11 and 12: Vi avslutar avsnittet med en liten
Page 13 and 14: och multipliceras a b c d · ã
Page 15 and 16: Definition 4.7. 1. Ett element a
Page 17 and 18: där vi använder oss av ”skalär
Page 19 and 20: Example 4.16. 1. 0, 1 är idempoten
Page 21 and 22: Att det är en ringhomomorfism, fö
Page 23 and 24: eftersom binomialkoefficienterna
Page 25 and 26: 6 Br˚akräkning Injektiva ringhomo
Page 27 and 28: Example 6.6. 1. Om S = R \ {0}, är
Page 29 and 30: Remark 7.2. 1. Polynom ”bestäms
Page 31 and 32: Proposition 7.3. L˚at R vara ett i
Page 33 and 34: 2. Matrisringar: Vi tar en godtyckl
Page 35 and 36: 8 Kvadratiska kroppar I det här av
Page 37 and 38: För en närmare undersökning av f
Page 39 and 40: vara primfaktorsuppdelningen: För
Page 41 and 42: Example 9.1. Relevanta K-algebror
Page 43 and 44: Beviset bygger som i fall av heltal
Page 45 and 46: 7. L˚at A ∈ K n,n ⊃ KE ∼ = K
Page 47 and 48: T.ex. om a = √ d, ta b = − √
Page 49 and 50: 2. Ringen K[a] är ett integritetso
Page 51 and 52: 10 Faktoriella ringar I det här av
Page 53 and 54:
1. en positiv konvergensradie och 2
Page 55 and 56:
Börja med n˚agot icke-faktoriserb
Page 57 and 58:
Remark 11.2. 1. Ad är uppenbarlige
Page 59 and 60:
9. En varning: Mängden av alla kva
Page 61 and 62:
˚Aterst˚ar fr˚agan vilka ringar
Page 63 and 64:
Theorem 11.11. Ringen Ad är ett pr
Page 65 and 66:
Example 11.14. Vi primfaktoriserar
Page 67 and 68:
för µ ≥ 2. S˚aledes f(A) = 0.
Page 69 and 70:
1. För en icke-kvadrat d ∈ K gä
Page 71 and 72:
13 Fr˚an N till C ”Die ganzen Za
Page 73 and 74:
medan mulitiplikationen definieras
Page 75 and 76:
Klammeruttrycket K(z) uppfyller lim
Page 77 and 78:
nytt konvergensbegrepp som ing˚ar.
Page 79 and 80:
5. Enhetsbollen Z(p) ⊂ Qp är en
Page 81 and 82:
3. Z(p) är ett principalidealomr˚
Page 83 and 84:
kallas summerbar om för varje ν
Page 85:
Proof. Beviset är som i fall av po
show all

Ringar och Kroppar: Grundvalarna

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?