Ringar och Kroppar: Grundvalarna

Corollary 9.11. 1. Antalet element i en ändlig kropp F är en primtalspotens:
|F| = p m
med p = char(F).
2. S˚a när som p˚a isomorfi finns det precis en kropp F med
|F| = p 2 .
Proof. 1.) Ta en primitiv rot a ∈ F och l˚at m = deg(pa). Sedan gäller
och s˚aledes
F = Zp[a] = Zp + Zpa + ... + Zpa m−1
|Zp[a]| = |Zp| m = p m .
2.) L˚at först p > 2. Vi har F ∗ = p 2 − 1 = (p − 1)(p + 1) och
Z ∗ p = a (p+1)Z
best˚ar av alla element x ∈ F ∗ med x p−1 = 1. Eftersom p + 1 är jämnt, har
varje element d ∈ Zp en kvadratrot b ∈ F, och om d inte är en kvadrat i Zp,
s˚a följer F = Zp[b] ∼ = Zp[ √ d].
För p = 2 ta a ∈ F\{0, 1}. Eftersom |F ∗ | = 3, har a ordning 3 och s˚aledes
är det ett nollställe till polynomet
(X 3 − 1) = (X − 1)(X 2 + X + 1).
Pga. a = 1 följer a 2 + a + 1 = 0 resp. a 2 = a + 1. Men d˚a är uppenbarligen
F ∼ = F4!
Remark 9.12. I själva verket finns för varje primtalspotens pm en ändlig
kropp Fpm, entydig s˚a när som p˚a isomorfi.
Tillbaka till vardagen: Vi kan nu bedöma, när K[a] blir en kropp.
Theorem 9.13. För ett element a ∈ S i en K-algebra S, s˚adant att ma =
{0}, är följande p˚ast˚aenden ekvivalenta:
1. Ringen K[a] är en kropp.
48