Ringar och Kroppar: Grundvalarna

2. principalideal (eller huvudideal) om
för n˚agot element b ∈ R.
a = Rb
Ett integritetsomr˚ade, där varje ideal är ett principalideal, kallas ett principalidealomr˚ade
(PID=principal ideal domain).
Remark 5.7. 1. a = {0} kallas nollidealet, a = R enhetsidealet.
2. En kommutativ ring R är en kropp, omm noll- och enhetsidealet är de
enda idealen.
3. En ringhomomorfism ϕ : K −→ R fr˚an en kropp till en icke-trivial
ring är alltid injektiv: Pga. ϕ(1) = 1, gäller ker(ϕ) = K, s˚aledes
ker(ϕ) = {0}.
Definition 5.8. L˚at R vara en ring och χ : Z −→ R den naturliga ringhomomorfismen.
Karakteristiken char(R) ∈ N av ringen R definieras som
det naturliga tal n ∈ N, s˚adant att
ker(χ) = χ −1 (0) = Zn .
Med andra ord: Antingen char(R) = 0 - i s˚a fall är χ : Z −→ R injektiv -
eller
char(R) = min{k ∈ N>0; k = 0 i R}.
Remark 5.9. För ett integritetsomr˚ade R är char(R) = 0 eller ett primtal
char(R) = p.
Example 5.10. För en kropp K av char(K) = p > 0 definieras Frobeniushomomorfismen
som
K −→ K, x ↦→ x p .
Uppenbarligen gäller (xy) p = x p y p och 1 p = 1, men ocks˚a
(x + y) p = x p p−1
+
k=1
p
x
k
k y p−k + y p = x p + y p ,
22