Ringar och Kroppar: Grundvalarna

För fullständighetens skull nämner vi:
Definition 6.9. En kommutativ ring R kallas lokal om icke-enheterna
m := R \ R ∗
utgör ett ideal. Idealet kallas d˚a den lokala ringens maximala ideal.
Example 6.10. 1. En kropp är en lokal ring med m = {0}.
2. Restklassringen Zn är en lokal ring omm n = p r är en primtalspotens.
I s˚afall är m = Zn · p.
3. Ringen R := S(p) −1 Z är en lokal ring med det maximala idealet m =
Rp.
7 Polynomringen
Följande definition är lite heuristisk, men suggestiv:
Definition 7.1. Ett polynom med koefficienter i den kommutativa ringen R
(eller över R) är ett ”formellt uttryck”
f =
n
ν=0
aνX ν , a0, ...., an ∈ R,
som kan användas för att definiera en funktion
fS : S −→ S, x ↦→ f(x) :=
n
aνx ν ,
ν=0
för varje R-algebra S. Mängden av alla polynom betecknas
n
R[X] := aνX ν
; a0, ..., an ∈ R, n ∈ N .
ν=0
28