Ringar och Kroppar: Grundvalarna

4. Ett komplext tal a ∈ C kallas transcendent omm ma = {0}, i.e. om ψa :
Q[X] −→ Q[a] är en isomorfism. Talen e, π ∈ R ⊂ C är transcendenta,
ett icke-trivialt resultat, som först har bevisats p˚a 1800-talet.
5. För en matris
visar en liten räkning
A :=
a b
c d
∈ K 2,2
X 2 − (a + d)X + (ad − bc) ∈ mA.
6. För en matris A ∈ K n,n är idealet av alla polynom som annullerar A
icke-trivialt:
mA = {0}.
Ringen K n,n av alla kvadratiska matriser av storlek n×n kan nämligen
uppfattas som K-vektorrum och har d˚a dimension n 2 . S˚aledes är matriserna
E, A, A 2 , ...., A n2
linjärt beroende: Vi f˚ar a0, ......, a n 2 ∈ K inte alla = 0 med
resp.
med polynomet
a0E + a1A + ..... + an2A n2
= 0
f(A) = 0
f = a0 + a1X + ..... + an2X n2
= 0.
Tillbaka till teorin: Först och främst handlar det om polynomringen själv:
Vi m˚aste veta vilka ideal som finns i K[X]:
Proposition 9.3. Polynomringen K[X] över en kropp K är ett principalidealomr˚ade:
För ett icke-trivialt ideal a ⊂ K[X] har vi
a = K[X]f,
där f ∈ K[X] är ett polynom av minsta grad i a \ {0}. Om vi förutsätter f
vara normerat, är f entydigt bestämt.
42