Ringar och Kroppar: Grundvalarna

2.) P˚a jakt efter nya kroppar: Given en kropp K letar vi efter utvidgningskroppar
L ⊃ K. Strategin är följande: Vi tar en K-algebra S och
plockar fram ett element a ∈ S. Bilden av utvärderingshomomorfismen
εa : K[X] −→ S, f ↦→ f(a),
är en delring till S och betecknas s˚a här:
K[a] := {f(a); f ∈ K[X]} ⊂ S.
Vi vill veta om det kan hända att L = K[a] är en kropp. Vi tittar först p˚a
n˚agra exempel:
1. Kvadratiska talkroppar: Vi tar K = Q och S = C samt
a := √ d,
där d ∈ Q inte är en kvadrat i Q. För d > 0 är √ d ∈ R>0 ett
väldefinierat tal; för d < 0 bestämmer vi
√ d := |d| · i ∈ C.
Sedan kallas
√
Q d ⊂ C
en kvadratisk talkropp. I själva verket har vi
√
Q d = Q + Q √ d ⊂ C
Uppenbarligen gäller Q + Q √ √d d ⊂ Q , medan den omvända inklu-
sionen följer pga. ( √ d) 2ν = d ν , ( √ d) 2ν+1 = d ν√ d. Att det verkligen
handlar om en kropp ser man s˚a här:
C ∋
1
a + b √ d = a − b√d a2 √
∈ Q d ,
− db2 där nämnaren inte försvinner om bara a = 0 eller b = 0. I en kvadratisk
talkropp finns det ocks˚a ”heltal”: De utgör en delring
√
Ad ⊂ Q d
och kommer att undersökas i avsnittet 11.
32