Statistiska metoder för härledning av indata till säkerhetsanalyser ...

Situationen kan modelleras enligt följande: Till att börja med antas felintensiteten vara konstant under den aktuellatiden. Intensiteten betecknas λ. Vidare betraktas antalet fel som utfall av en stokastisk variabel X. Tidenmodelleras inte explicit eftersom den antas vara deterministisk och mätbar (jmf. Carlin & Louis 2000, s. 17). Pånågot sätt måste nu X relateras till λ. Detta kan göras genom att observationerna antas vara realiseringar av enPoissonprocess där parametern λ ”styr” utfallet. Om detta uppfattas som en betingning kan sannolikhetsfunktionenför X betecknas p(x|λ). Bayes sats ”vänder” nu på denna betingning så att istället λ erhålls som funktion av x.Det är utmärkande för bayesiansk statistik att (som i exempel 3.3) observationerna uppfattassom betingade på modellparametern i en sannolikhetsfunktion (Englund 2000, s. 178). Dennahar således rollen av likelihoodfunktion (se avsnitt 5.1). Genom tillämpning av Bayes satserhålls sedan en sannolikhetsfunktion eller fördelning även för modellparametern. Om densökta parametern är en intensitet λ och likelihoodfunktionen betecknas p(x|λ) erhålls fördelningenför λ enligtp(x λi) p(λi)p(λix)= (3.7)p(x)med marginalfördelningenn∑p( x)= p(x λ ) p(λ ) . (3.8)i=1iiMetoden ger alltså ingen direkt skattning av λ. Istället erhålls en fördelning som beskriversannolikheten för olika värden på λ. Skillnaden mellan p(λ) och p(λ|x) är vidare att de uttryckerdenna sannolikhet före respektive efter att data beaktats. Att sannolikheter kan ändraseller uppdateras på grundval av erfarenhet är en av de stora skillnaderna mellan bayesianskoch klassisk statistik. Bayesianska sannolikheter är i själva verket subjektiva vilket betyder attde uttrycker förväntan, kunskap eller osäkerhet om den storhet som ska skattas. (Det bayesianskasannolikhetsbegreppet behandlas utförligare i kapitel 4.) Fundamentalt är ansättandet aven s.k. a priorifördelning p(λ). A priorifördelningen uttrycker i någon mening vad som påförhand (a priori) är känt om λ. Genuin osäkerhet kan t.ex. uttryckas genom att p(λ) väljs likformig(Englund 2000, s. 177). Via likelihoodfunktionen p(x|λ) uppdateras sedan a priorifördelningentill en a posteriorifördelning p(λ|x). Detta sker genom att p(λ) och p(x|λ) viktasihop för ett antal värden på λ.I praktiken ansätts oftast en kontinuerlig a priorifördelning och likelihoodfunktionen utvärderasför så många parametervärden som möjligt, vilket i det ideala fallet betyder för alla tänkbaraparametervärden. Härtill används den kontinuerliga versionen av Bayes sats:p(λ x)=p(x λ)p(λ)∞∝ p(x λ)p(λ). (3.9)p(x λ)p(λ)dλ∫0Skillnaden gentemot den diskreta versionen är att sannolikhetsfunktionerna ersätts med täthetsfunktioner(Englund 2000, s. 179). Ett problem med den kontinuerliga versionen är attintegralen i nämnaren (dvs. marginalfördelningen) i allmänhet måste beräknas numeriskt,12