MATEMAATLINE ANALRRS II 1. KORDSED INTEGRAALID ...

More documents

Recommendations

Info

Vn = P n i=1 f(Pi) Si nimetame funktsiooni z = f(x; y) integraalsummaks. Kui piirkonna D igas punktis f > 0, siis see summa kujutab xyz-ruumi kõversilindrite summat Kui eksisteerib piirväärus limmax Si!0 Vn, mis ei sõltu piirkonna D osadeks jagamise viisist ega punktide Pi valikust osapiirkonnas, siis seda nimetatakse funktsiooni z = f(x; y) kahekordseks ZZ ZZ integraaliks ja tähiststakse f(P )dS = f(x; y)dxdy. D Kui kahe muutuja funktsioonil z = f(x; y) on olemas kahekordne integraal, nimetetakse funktsiooni f integreeruvaks. Seega ZZ f(x; y)dxdy = limmax Si!0 D D P n i=1 f(Pi) Si. On selge, et n ! 1 , max Si!0. Piirkonda D nimetatakse integreeruvuspiirkonnaks. ZZ Kui integreeruvuspiirkonnas f > 0 , siis f(x; y)dxdy võrdub keha ru- umalaga, kus keha on piiratud pinnaga z = f(x; y), xy-tasandiga z = 0 ja silindrilise pinnaga, mille moodustajad on paralleelsed z-teljega ja juhtjooneks on piirkonna D rajajoon (vt. allpool olevat joonist) 12 D
Ketib järgmine Teoreem 4. Kinnises piirkonnas pidev funktsioon on integreeruv selles piirkonnas. Kahekordsel integraalil on järgmised omadused. <strong>1.</strong> Aditiivsus. Kui D = D1 [ D2, siis ZZ ZZ ZZ f(x; y)dxdy = f(x; y)dxdy + f(x; y)dxd D D1 2. Lineaarsus. Kui funktsioonid z = f(x; y) ja z = g(x; y) on integreeruvad, siis ka funktsioon z = af(x; y)+bf(x; y) on integreeruv ja kehtib võrdus ZZ ZZ ZZ (af(x; y)+bg(x; y))dxdy = a f(x; y)dxdy+b g(x; y)dxdy: D Võttes b = 0 või a = 1 ja b = 1, saame võrdused ZZ ZZ af(x; y)dxdy = a f(x; y)dxdy D D D ZZ ZZ (f(x; y) g(x; y))dxdy = f(x; y)dxdy D D D2 ZZ D D g(x; y)dxdy 3. Monotoonsus. Kui funktsioonid z = f(x; y) ja z = g(x; y) on integreeruvad ja f(x; y) 6 g(x; y) iga (x; y) 2 D korral, siis ZZ ZZ f(x; y)dxdy 6 g(x; y)dxdy D D 4. Absoluutne integreeruvus. Kui funktsioon z = f(x; y) ja on integreeruv, siis ka funktsioon j z = f(x; y) j on integreeruv ja kehtib võrratus ZZ ZZ j f(x; y)dxdy j6 j f(x; y) j dxdy D D 5. Keskväärtusteoreem. Kui funktsioon z = f(x; y) ja on integreeruv, siis leidub selline arv ZZ 2 [min f(x; y); max f(x; y)], et kehtib võrdus f(x; y)dxdy = SD D Erijuhul, kui f on pidev piirkonnas D, siis leidub selline punkt (x0; y0) 2 D, et = f(x0; y0), s.t. ZZ f(x; y)dxdy = f(x0; y0)SD D 13
Page 1 and 2: MATEMAATLINE ANALÜÜS II 1. KORDSE
Page 3 and 4: Funktsiooni z = f(x; y) osamuuduks
Page 5 and 6: zyy (fyy, @2z Osatuletisi zxy ja zy
Page 7 and 8: Näide 10. Leida puutujatasand ja n
Page 9 and 10: Näide 12. Leida kõverate y = cos
Page 11: Kui sama kõvertrapets pöörleb ü
Page 15 and 16: Seega ID = R 1 2 0 2xp R 1 3 2 xdx
Page 17 and 18: (x) = R x2 0 (x2 +y 2 )dy = x2y + y
Page 19 and 20: ZZ + D4 + R 1 1 e x+y dxdy = R 1 2
Page 21 and 22: Kui pinna võrrand on y = f(x; z) j
Page 23 and 24: Nn neljalehelise roosi võrrand pol
Page 25 and 26: Kuna integreerimispiirkonnaks on ri
Page 27 and 28: Näide 28. Määrata ümmarguse pla
Page 29 and 30: Näide 31. Leida ellipsi x2 a2 + y2
Page 31 and 32: See piirkond on piiratud alt tasand
Page 33 and 34: Integreerimispiirkond V on siin koo
Page 35 and 36: ZZZ f(x; y; z)dxdydz = R p 3R 0 V +
Page 37 and 38: 0; 067 ZZZ ZZZ xzdxdydz = r cos ' s
Page 39 and 40: = R 4 1 4 ( cos 2 ) 2 0 1 3 = R 1 4

MATEMAATLINE ANALRRS II 1. KORDSED INTEGRAALID ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?