MATEMAATLINE ANALRRS II 1. KORDSED INTEGRAALID ...

More documents

Recommendations

Info

Asendame kahekordse integraali kaksikintegraaliga, kasutades selleks valemit (1). Kui kasutaksime valemit (2), siis tuleks integreerida funktsiooni e y x muu- tuja x järgi: selline integraal aga ei avaldu elementaarfunktsioonides. ZZ e y x dxdy = R 1 R x y e x dy dx = 0 0 R 1 y x xe x 0 0 dx = R 1 x (e 1) dx = 0 D = (e 1) x2 2 j10= e 1 2 0; 859 Piirkond D võib olla ka mitme joontrapetsi summa. Siis kasutame kahekordse integraali aditiivsust. Näide 21. Arvutada kahekordne integraal ZZ ex+ydxdy, D kus piirkonda piiravad kahe tsentrilise ruudu küljed, kusjuure nende ruutude keskpunktid on koordinaatide alguses, küljed on paralleelsed koordinaattelgedega ja seesmise ruudu külg on 2 ning välimise ruudu külg on 4. Jagame nüüd piirkonna D neljaks piirkonnaks D1; D2; D3 ja D4. Siis ZZ ex+y ZZ dxdy = ex+y ZZ dxdy + ex+y ZZ dxdy + ex+ydxdy+ D D1 18 D2 D3
ZZ + D4 + R 1 1 e x+y dxdy = R 1 2 R 1 2 ex+ydy dx+ R 2 1 R 2 2 ex+y dy dx + R 1 1 R 2 1 ex+y dy dx+ R 2 2 ex+y dy dx = R 1 2 (ex+2 e x 2 )dx+ + R 1 1 (ex+2 e x+1 ) dx+ R 1 1 (ex 1 e x 2 ) dx+ R 2 1 (ex+2 e x 2 ) dx = = (e 1 e 3 + e 4 )+(e 3 e 2 e + 1)+(1 e 1 e 2 + e 3 ) + + (e 4 1 e 3 + e 1 ) = e 4 e 2 e 2 + e 4 47: 09 1.6 Pindala ja ruumala arvutamine kahekordse integraali abil 1.6.1 Ruumala. Kahekordse integraali de…nitsioonist nägime, et kui integreeruvuspiirkonnas D funktsioon f > 0 , siis kahekordne üle piirkonna D võrdub keha ruumalaga, mis on piiratud pinnaga z = f(x; y), xy-tasandiga (z = 0) ja silindrilise pinnaga, mille moodustajad on paralleelsed z-teljega ja juhtjooneks on piirkonna D rajajoon: ZZ V = f(x; y)dxdy D Näide 22. Arvutada keha, mida piiravad pinnad x = 0; y = 0; x + y + z 1 = 0; z = 0 , ruumala ZZ V = (1 x y)dxdy = R h 1 R 1 0 0 x (1 x i y) dy dx = D = R h 1 (1 x) y 0 = 1 R 1 2 y 2 2 i 1 x 0 (1 x)2 dx = 1 2 0 dx = R h 1 (1 x) 0 1 (1 x) 1 3 3 j 1 0= 0 + 1 6 2 (1 x)2 2 = 1 6 i dx = 0:167 Kui keha, mille ruumala otsitakse, on piiratud pindadega 1(x; y) ja 2(x; y), kusjuures 2(x; y) 1 1(x; y) ja mõlema projektsiooniks xy-tasandil on piirkond D (vaata näiteks allpool olevat joonist) 19
Page 1 and 2: MATEMAATLINE ANALÜÜS II 1. KORDSE
Page 3 and 4: Funktsiooni z = f(x; y) osamuuduks
Page 5 and 6: zyy (fyy, @2z Osatuletisi zxy ja zy
Page 7 and 8: Näide 10. Leida puutujatasand ja n
Page 9 and 10: Näide 12. Leida kõverate y = cos
Page 11 and 12: Kui sama kõvertrapets pöörleb ü
Page 13 and 14: Ketib järgmine Teoreem 4. Kinnises
Page 15 and 16: Seega ID = R 1 2 0 2xp R 1 3 2 xdx
Page 17: (x) = R x2 0 (x2 +y 2 )dy = x2y + y
Page 21 and 22: Kui pinna võrrand on y = f(x; z) j
Page 23 and 24: Nn neljalehelise roosi võrrand pol
Page 25 and 26: Kuna integreerimispiirkonnaks on ri
Page 27 and 28: Näide 28. Määrata ümmarguse pla
Page 29 and 30: Näide 31. Leida ellipsi x2 a2 + y2
Page 31 and 32: See piirkond on piiratud alt tasand
Page 33 and 34: Integreerimispiirkond V on siin koo
Page 35 and 36: ZZZ f(x; y; z)dxdydz = R p 3R 0 V +
Page 37 and 38: 0; 067 ZZZ ZZZ xzdxdydz = r cos ' s
Page 39 and 40: = R 4 1 4 ( cos 2 ) 2 0 1 3 = R 1 4

MATEMAATLINE ANALRRS II 1. KORDSED INTEGRAALID ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?