MATEMAATLINE ANALRRS II 1. KORDSED INTEGRAALID ...

Nagu näeme jooniselt, võime joontrapetsit vaadelda ka kui kujundit, mis
on moodustatud joontega x = y ja x = y 2 , kus y 2 [0; 1]. Siis
R 1
0 dx R p x
f(x; y)dy = x R 1
0 dy R y2 f(x; y)dx
y
1.5 Kahekordse integraali arvutamine
Kahekordset integraali arvutatakse tegelikult kaksikintegraali abil. Nimelt
kehtib
Teoreem 5.
ZZ
D
(1)
või ZZ
D
f(x; y)dxdy = R b
a dx R '2 (x)
'1 (x) f(x; y)dy = R b
a
f(x; y)dxdy = R d
c dy R 2(y)
1 (y) f(x; y)dx = R d
c
R '2 (x)
f(x; y)dy dx.
'1 (x)
R 2(y)
f(x; y)dx dy (2)
1 (y)
sõltuvalt sellest, kas piirkond D on esitatav joontrapetsina, mis on piiratud
joontega y = ' 1(x); y = ' 2(x); x = a; x = b (valem (1)) või piirkond
D on joontrapets, mis on piiratud joontega x = 1(y); x = 2(y); y = c; y = d
(valem (2))
Näide 18. Arvutada kahekordne integraal
ZZ
(x2 + y2 )dy,
D
kus piirkond D on esitatud alloleval joonisel
Seega tuleb meil arvutada kaksikintegraal
R 1
0 dx R x2 0 (x2 + y2 )dy = R 1 R x2 0 0 (x2 + y2 )dy dx:
Arvutame kõigepealt sisemise integraali (lugedes x = Const)
16