MATEMAATLINE ANALRRS II 1. KORDSED INTEGRAALID ...

P n
i=1 f(Pi) Vi
ja suurendame osapiirkondade Vi arvu piiramatult nii, et Vi suurim
läbimõõt läheneks nullille. Siis kolmekordseks integraaliks piirkonnas V nimetatakse
piirväärtust
ZZZ ZZZ
f(p)dV = f(x; y; z)dxdydz = limmax Vi!0
V
V
P n
i=1 f(Pi) Vi,
(4)
kui see eksisteerib. Kui kolme muutuja funktsioonil z = f(x; y; z) on olemas
kolmekordne integraal, nimetetakse funktsiooni f integreeruvaks. Kehtib
Teoreem 6. Kinnises piirkonnas V pidev funktsioon on integreeruv selles
piirkonnas.
Kui u = f(x; y; z) esitab aine ruumitihedust piirkonnas V , siis integraal
(4) annab kogu ainehulga selles ruumiosas.
Kui integreerimispiirkond V on alt piiratud pinnaga z = 1(x; y) ja ülalt
pinnaga z = 2(x; y), kusjuures nendel pindadel on z-teljega paralleelsete
sirgetega ainult üks ühine punkt ja kui piirkonna V projektsioon xy-tasandil
rahuldab tingimusi y 2 [' 1(x); ' 2(x)] kui x 2 [a; b] (selline piirkond on esitatud
alloleval joonisel)
siis integraali
IV = R b
a dx R ' 2 (x)
' 1 (x) dy R 2 (x;y)
1 (x;y) f(x; y; z)dz = R b
a
nimetatakse kolmikintegraaliks üle piirkonna V .
n R '2 (x)
' 1 (x)
Näide 32. Arvutada funktsiooni u = xyz kolmikintegraal üle piirkonna
V , mida piiravad tasandid x = 0; y = 0; z = 0; x + y + z = 1.
30
hR i o
2 (x;y)
f(x; y; z)dz dy dx
1 (x;y)