MATEMAATLINE ANALRRS II 1. KORDSED INTEGRAALID ...

Siin võime integreerimispiirkonnaks võtta silindri x2 + y2 2y = 0 põhja,
milleks on ring keskpunktiga (0; 1) ja raadiusega R = 1, sest selle võrrandi
saame täisruuduks teisendamisega esitada kujul x2 + (y 1) 2 = 12 Selle ringjoone saame esitada polaarkoordinaatides
.
( cos ') 2 + ( sin ') 2
2 sin ' = 0 =) = 2 sin ', kus ' 2 0; 2 .
Kuna integreeritav funktsioon on
z = p 4 x 2 y 2 =) z =
siis 1
4 ruumalast
1
4 V = R 2
0
= 1
R
2
2 0
= 8
R
2
3
= 8
3
+ 8
3
= 4
3
"
q
4 ( cos ') 2 + ( sin ') 2 = p 4 2 ,
R 2 sin ' p R R
4 2 2 sin '
2
1
d d' = 0
0 0 2
#
3 2 sin '
2 2
(4 )
3 d' =
2
0
1
R h
2 4 4 sin 3 0
2 ' 3
2 4 3
2
R
2
3 0 d' R 2
0 cos2 ' cos 'd' =
R
2 1 sin 0 2 ' cos 'd' = 4
R
8 2
3 3 0
0 (1 cos3 ') d' = 8
' j 2
0
R
2
0 sin2 ' cos 'd' = 4
V = 16
9
8 8 1 4 + = 3 3 3 3
(3 4) 9: 64
8
3 3
16 4 = 9 9
2 sin ' j
(3 4)
0 + 8
3
1.8 Kahekordse integraali füüsikalisi rakendusi
sin 3 '
3
j 2
0 =
p 4 2 ( 2 )d d' =
cos 'd'+
i
d' =
1.8.1 Aine mass. Olgu piirkonnas D antud mingi aine pindtihedus
pideva funktsioonina
ZZ
= (x; y). Siis piirkonnas D leiduva aine mass
m = (x; y)dxdy
D
26