MATEMAATLINE ANALRRS II 1. KORDSED INTEGRAALID ...

10. R axdx = ax + C ln a
11. R dx
1+x2 = arctan x + C
12. R
p dx
1 x2 = arcsin x + C
ja integraali omadusi
I R [f(x) g(x)] dx = R R
f(x)dx g(x)dx
II R af(x)dx = a R f(x)dx
III R f(x)dx = F (x) + C ! R f(ax + b)dx = 1F
(ax + b) + C
a
Kehtib ka muutujate vahetuse valem e. asendusvõte
R f ['(x)] ' 0 (x)dx = R f(u)du, kus u = '(x)
ja ositi integreerimise
R
valem
R
udv = uv vdu.
Näide 11.
1. R (2x 3 3 sin x+5 p x)dx = 2 x3+1
2. R xdx
3. R 2
1
3( cos x)+5 3+1 x 1 2 +1
1
2
1+x2 = (u = 1 + x2 ; du = 2xdx; xdx = du
R
1 du ) = 2 2 u
= ln (1 + x 2 ) + C
dx
= (u = ln x; du =
ln 3 xdx
x
= 4p ln 4 2 = ln 2
4. R x ln xdx =
5,
R 3
4
1
2
x ) = R ln 2
ln 1 u3du = u4
4
u = ln x du = dx
x
dv = xdx v = x2
2
= x2 ln x
2
arcsin p x
p dx = 1 x u = arcsin p x du = 1 p 1
1 x 2 p x
dv = dx p v = 2 1 x p 1 x
= 2 p 1 x arcsin p x j 3 R 3
4 4 2
1 1
2 2
p 1 x
2 p 1 x p dx = x
= 2 1
2 arcsin p 3 + p2 arcsin 2 2 1
R 3
p 4 + pdx 1 =
2 x
2
= 3 + 2
4 p 2 + 2p2 j 3
4
Määratud integraali rakendusi.
1
2
= 12 3 p 2 4 + p 3 p 2
1 +C =
+1 2x4 +3 cos x+ 10
3 xpx+C ln u + C =
= 1
2
jln 2
0 = 1
4 ln4 2 =
R
xdx
2 = x2 ln x
2
=
x 2
4 +C
1. Tasapinnalise kujundi pindala.
Kui kõvertrapets (vaata joonist all) on piiratud ülalt ja alt vastavalt joontega
y = f(x) ja y = g(x) ning vasakult ja paremalt vastavalt sirgetega x = a
ja x = b, siis tema pindala saab leida valemist
[f(x) g(x)] dx
S = R b
a
8