MATEMAATLINE ANALRRS II 1. KORDSED INTEGRAALID ...

1.4 Kaksikintegraal:
Olgu piirkond D joontrapets
mis on piiratud joontega y = ' 1(x); y = ' 2(x); x = a; x = b, kus ' 1(x)
' 2(x) , x 2 [a; b]. Sealjuures ' 1 ja ' 2 on lõigul [a; b] pidevad funktsioonid.
Siis integraali
ID = R b
a dx R '2 (x)
'1 (x) f(x; y)dy = R b
a
nimetatakse funktsiooni f kaksikintegraaliks.
R '2 (x)
f(x; y)dy dx
'1 (x)
See võrdus ütleb, et kaksikintegraali arvutamine toimub kahe määratud
integraali arvutamise teel. Sisemises integraalis
R '2 (x)
f(x; y)dy = (x)
'1 (x)
vaadeldakse muutujat x konstandina ja arvutataks see integraal kui x:i
funktsioon (x). Seejärel arvutatakse juba integraal
ID = R b
(x)dx.
a
Saadud arv ongi kaksikintegraali väärtuseks.
Näide 16. Arvutada kaksikintegraal
ID =
R 1
2
0
R 1+ p 2x x 2
1 p 2x x 2
xy
p 2 x dy dx:
Arvutame kõigepealt sisemise integraali
R 1+ p 2x x 2
1 p 2x x 2
xy
p 2 x dy:
Selles integraalis on integreerimismuutujaks y, kusjuures muutujat x vaatleme
konstandina
R p
1+ 2x x2 1 p 2x x 2
= x
2 p 2 x
h
p
xy
dy = 2 x x
R p
1+ 2x x2 p
2 x 1 p 2x x2 ydy = x p
y
2 x
2
2 j1+p 2x x2 1 p 2x x2= 1 + p 2
2x x2 1 p 2i
2x x2 =
= x
2 p 1 + 2 2 x p 2x x2 + 2x x2 1 2 p 2x x2 + 2x x2 =
= 2x
p p
p 2x x2 2x
p
= p x(2 x) = 2x x:
2 x
2 x
14