MATEMAATLINE ANALRRS II 1. KORDSED INTEGRAALID ...

siis ZZ
ZZ
f(x; y)dxdy =
D
Näide 25. Arvutada kahekordne integraal
ZZ
p
3 x2 + y2dxdy, D
D
f( cos '; sin ') d d' = R b
a
kus integreerimispiirkond D on antud võrratustega 0 y 1 ja p 1 y 2
x p 1 y 2 , s.o. pool ringi
Kuna integreerimispiirkond on ringi osa, siis arvutame kahekordse integraali
polaarkoordinaatides. p p Siis integreeritav funktsioon
3 x2 + y2 = 2 cos2 ' + 2 2 sin ' =
q 2 cos 2 ' + sin 2 ' = 2
= 3
3 ; ' 2 [0; ]
ja kuna antud ringjoone võrrand polaarkoordinaatides on = 1, siis
0 1 ja
ZZ
R 2
D
= R
p R
3 x2 + y2dxdy = 0
0
8
3
8
3
1
0
d' = 3
R
8 0
R 1
0
d' = 3
8
Näide 26.
R
Arvutada Poissoni integraal
1 x2 e dx.
1
Arvutame esmalt kahekordse integraali
ZZ
IR = e x2 y2 dxdy,
D
2
3 d d' = R
1: 178
0
R 1
0
R '2 ( )
f( cos '; sin ') d' d
'1 ( )
5
3 d d' =
kus integreerimispiirkonnaks on ring, mille rajajoone võrrand on x 2 +y 2 =
24